T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll mellom og 0 gnget med en tierpotens. 8,5 0 4, 0 0 4 0, 4 0 8 5 4 Vi gjør om tllene til stndrdform. Deretter deler vi vnlige tll på vnlige tll og tierpotenser på tierpotenser. 5 50 000,5 0 8 7 0,5 0 5 0 0,005 5 0 Vi gjør om tllene til stndrdform, før vi opphøyer fktorene i eksponentene. Deretter regner vi ut svret ved å gnge vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. ( ) ( ) 8 8 4000 0, 0 4 0 0 64 0 0 7 64 0 6 6, 4 0 9 6 8 4 5 + + + + + + + + + + + + 4 4 4 4 4 4 0 4 6 + + + + + + 9 + + 6 6 6 6 + + + + + + + + 6 Aschehoug www.lokus.no Side v 5
E 0 9 ( ) 4 b c d E4 b c ( ) 7 6 4 5 8 6 6 6 6 6 6 4 5 ( x ) ( x ) ( x ) ( )( ) 4x + 4 4 + 4 + x x x + x Vi bruker konjugtsetningen på telleren og metoden for fullstendige kvdrter på nevneren. ( )( + ) ( ) 4 + 4 + 4 Vi bruker metoden for fullstendige kvdrter på telleren, og bruker deretter konjugtsetningen på nevneren. ( x ) ( x ) ( x ) ( )( ) ( ) x x + 5 + 5 x + 0 + 5 + 5 x 50 5 x + 5 x 5 x 5 Aschehoug www.lokus.no Side v 5
E5 ( ) ( ) ( ) b + b + 5b b + b + b + b + 5b b + b b b + 5b b b ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) ( ) Løsninger E6 b E7 ( x) x 6 x 4 x 6 + 4 + x x x x x 6 + x + 4 x 5x x Vi finner først fellesnevner og setter på felles brøkstrek. Deretter trekker vi smmen uttrykket og forkorter. + + x x x x x x ( ) ( x ) ( ) x( x ) ( x ) + x( x ) + x x x + x( x ) x x( x ) x x y x + y xy 5x y x x 5 45 4 4 7 7 4 4 7 0 6 + 9 8 6 Aschehoug www.lokus.no Side v 5
E8 Oscr tenker på tllet t og får dette regnestykket: (( t + 5) 4) 8 4t + 60 8 4 4 4t + 5 4 4 ( t + ) 4 t + t + E9 x 5 8 x x x 8 5 0 Bruker bc-formelen. x x ± ( 8) ( 8) 4 ( 5) 8 ± 64 + 60 8 ± 4 8 ± 4 8 ± 4 ± 4 4 + b ( x )( x + ) ( x + 5)( x + ) x + 4x x 6 x + x + 5x + 0 x 6x 6 0 Bruker bc-formelen. ( 6) ( 6) 4 ( 6) ± 6 ± 6 + 64 6 ± 00 6 ± 0 8 Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 5
c Løsninger x + 4 Vi gnger opp med fellesnevneren x på begge sider. x x x + 4x x 4x 0 x x 4 0 Vi bruker produktregelen. ( ) 0 4 Ser t x 0 er en flsk løsning, siden vi ikke kn dele på null når vi setter x inn igjen i ligningen. x 4 er dermed eneste løsning v ligningen. x + x x++ x d x+ 5 5 Vi skriver om til. x + 5 Setter eksponentene lik hverndre. e lg x 7 5lg x lg 4 lg lg x 0 0 00 lg 5x lg f ( ) lg ( 5x ) lg lg ( 5x ) lg 8 g ( x ) 0 0 5x 8 5x 0 lg 5 lg8 x + x 4 5 x + x 4 6 x + x 4 4 x + x lg 4 lg 4 Deler på lg 4 på begge sider. ( ) x + x + x 0 Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 5
Bruker bc-formel. h ± 4 ( ) ± + 8 ± 9 ± x x Vi skl løse likningssettet: x + y x + xy Vi bruker den første likningen til å finne et uttrykk for y. y + x Vi setter deretter inn uttrykket vi fnt for y inn i den ndre likningen. x + x + x ( ) x x + x x x 0 Bruker bc-formel på digitlt verktøy. ± ± + 8 ( ) ( ) 4 ( ) ± 9 ± Vi setter x-verdiene inn i uttrykket for y. y + ( ) ( ) y + Får d løsningene:,, ( ) ( ) Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 5
E0 Fr. jnur 04 til. jnur 00 hr det gått 6 år. Vekstfktoren blir,0. Dg får dermed dette uttrykket: E x x + 6 6 0 Bruker bc-formelen. 6 00 000, 00 kroner. b 6 6 4 ( 6) ± 6 ± 6 + 64 6 ± 00 6 ± 0 8 x x + 6 6 0 ( x )( x ) + 8 0 Vi lger fortegnslinje: Vi leser v fortegnslinj og ser når løsningsmengden er negtiv (ltså mindre enn null) og lik null. L [ 8,] c Telleren kn fktoriseres til ( + 8)( ) x x. For t vi skl kunne forkorte brøken må en v disse fktorene dukke opp også i nevneren. I nevneren hr vi x +. Det vil si t er en fktor som må settes utenfor prentesen i nevneren for t vi skl kunne forkorte. Dermed må være dobbelt så stor som hver v de to konstntene i fktorene i telleren. Dermed får vi t kn være lik 6 eller kn være lik 4. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 5
E Vi hr digonlen AC i kvdrtet med lengde 4, og vi strter dermed med å finne lengden v sidekntene. Vi får en likebeint treknt ABC og bruker pytgorssetning. x + 4 x 6 x 8 8 4 Arelet v kvdrtet blir dermed sideknt gnge sideknt. A s s 4 8 Vi finner deretter relet v sirkelen. Sirkelen hr dimeter som er like lng som sidekntene i kvdrtet, og vi finner dermed rdiusen ved å hlvere sideknten. r Vi setter rdiusen inn i formelen for relet v en sirkel. A ( ) π r π π π Vi finner relet v det blå området ved å t relet v kvdrtet og trekke fr relet v sirkelen. A A A 8 π E b Treknt AOC er en rettvinklet, likebeint treknt. Vi bruker pytgorssetningen for å finne hypotenusen AC. AC AO + OC AC r + r AC r AC r AC r AC r Vi finner først relet v treknt AOC. l b r r r A AOC Vi finner deretter relet v treknt ABC. r A ABC A AOC r Vi finner deretter relet v hlvsirkelen som spenner over AB. Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 5
A Hlvsirkel AB πr Vi finner deretter relet v hlvsirkelen som spenner over AC. Denne hlvsirkelen hr rdius lik AC delt på, som dermed blir A Hlvsirkel AC r. r r r π π π 4 πr 4 Vi skl nå finne relet v det blå området. D må vi t relet v hlvsirkelen som spenner over AC og trekke fr det lille, hvite relet. Det lille, hvite relet finner vi ved å t relet v hlvsirkelen som spenner over AB, minus relet v treknt ABC, og dele svret på to, siden vi hr to like store slike reler. πr r πr r A Hvitt område 4 D er vi klr for siste steg, relet v det blå området. πr πr r πr π r + r r r A Blå område 4 4 4 4 Vi ser dermed t relene er like store. E4 Vi finner først stigningstllet: y y 0 y ( ) x x x 4 0 4 Vi bruker deretter ettpunktsformelen for å finne likningen til linj. ( ) y y x x y x 4 ( ) ( 0) y + 0,75 x y 0,75x E5 Siden funksjonen bre hr ett nullpunkt, vet vi t det må bli null under rottegnet i bc-formelen for ± 4 ndregrdslikninger, b b c. Altså vet vi t diskriminnten b 4c må bli 0. Vi hr verken b eller c, men setter inn 4, og får likningen: b 4 4 c 0 b 6c 0 Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 5
Vi vet også t funksjonen går gjennom punktet (0, ). Setter derfor 0 og f( x ) inn i funksjonsuttrykket f ( x) 4x + bx + c. Vi får d følgende likning: 4 (0) + b 0 + c c c Setter nå c inn i den første likningen b 6 0 b 6 b 6 b 4 b 4 b 6c 0 for å finne b. E6 Siden grfen hr et toppunkt, ltså t grfen hr form som en «sur munn», vet vi t -verdien er negtiv. Vi vet t toppunktet ligger på den vertikle symmetrilinj b. Vi vet også t toppunktet ligger til høyre for y-ksen, noe som her gir positiv x i denne formelen. Smtidig vet vi t er negtiv. For t x d skl kunne bli positiv må b her være positiv, siden b llerede hr en minus forn seg i formelen, og et negtivt tll delt på et negtivt tll blir positivt. Grfen skjærer y-ksen over x-ksen. Dermed vet vi t c er positiv. Diskriminnten b 4c kn vi nå finne fortegnet til. Første ledd, b, vil lltid være positivt. Siden er negtiv og c er positiv, vil produktet v de to fktorene være negtivt. Men i formelen skl vi trekke fr 4c, og minus og minus blir pluss. Dermed vil diskriminnten bestå v noe positivt pluss noe positivt, og diskriminnten vil dermed være positiv. E7 ( ) 0 f x når grfen til f ligger under x-ksen. [,] L. f( x) > gx ( ) når grfen til f ligger over grfen til g i koordintsystemet. L,0 5,. E8 5 x + x 4 Gnger lle ledd med fellesnevner 4. x + 8 8x 0 x 8x 0 8 9 8 Deler på 9 på begge sider. b Vi skl løse likningssettet: x + y 7 x y 4 Aschehoug www.lokus.no Side 0 v 5
c Vi bruker den første likningen til å finne et uttrykk for y. y 7 x Vi setter deretter inn uttrykket for y inn i den ndre likningen. x 7 4 ( ) x 4 + x 4 5x 0 Vi setter x-verdien inn i uttrykket for y. y 7 ( ) y 5 Får d løsningen y 5. + + x 9x 5 0 Vi bruker bc-formelen til å fktorisere uttrykket og skrive det på formen ( )( ) 9 9 4 ( ) 5 ± ( ) 9 ± 8 + 40 4 x x x x. 9 ± 4 9 ± 4 x x 5 bc-formelen gir ltså løsningene x og x 5 og vi får ulikheten: ( x 5) x + 0 Tegner fortegnslinje og undersøker når uttrykket gir negtivt svr, ltså stiplet linje. Vi får d løsningen x, [ 5,. Aschehoug www.lokus.no Side v 5
E9 f ( x) x + 6 x( x + ) Løsninger Vi tegner fortegnslinje for den fktoriserte versjonen v den deriverte. Der den deriverte blir negtiv synker grfen, der den deriverte blir positiv stiger grfen. I nullpunktene til den deriverte finner vi topp- og bunnpunktene. Ser t gir et toppunkt og 0 gir et bunnpunkt. Vi setter disse x-verdiene inn i f( x ) for å finne y-koordintene. f ( ) ( ) + ( ) 8 + 4 f ( 0) ( 0) + 0 ( ) 0 Toppunktet blir dermed i (,4) og bunnpunktet i ( 0, 0 ). b Nullpunktene finner vi lltid ved å løse likningen f ( x ) 0. f ( x ) 0 x + x 0 x ( x + ) 0 Vi bruker nå produktregelen og setter hver v fktorene lik null og løser likningene. 0 0 x + 0 Nullpunktene blir dermed og 0., f. ( ) c Vi finner først y-koordinten til punktet f ( ) og regner ut ( ) f ( ) ( ) + ( ) + Vi trenger også stigningstllet i punktet og regner derfor ut f '( x ). f '( ) ( ) + 6( ) 6 Vi kn nå sette inn tllene vi hr funnet i ettpunktsformelen y y x ( x ), der f ' x, for å finne likningen for tngenten i punktet. ( ) ( ( )) ( ) y x y x + y x y x Aschehoug www.lokus.no Side v 5
d Hvis tngenten til grfen skl h stigningstll 9 i et punkt, vil det si t ( ) punktet. Vi løser likningen f '( x ) 9. f '( x ) 9 E0 x + 6x 9 x + 6x 9 0 Vi bruker bc-formelen og løser likningen. 6 6 4 ( 9) ± 6 ± 6 + 08 6 6 ± 44 6 6 ± 6 Løsninger f ' 9 i dette Vi får to løsninger. Det vil si t dette skjer i to punkter. Vi regner ut f ( ) og ( ) finne y-koordintene. f f ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) 4 + 0 Punktene blir dermed (, 0) og (,4 ). Hvis grfen til ( ) ( ) f 0 0 0 + f x x + skl skjære y-ksen for y må ( ) f 0. f for å Vi ser t. Dette kunne vi også h sett ved å se t er funksjonens konstntledd. Funksjoner skjærer y-ksen i konstntleddet sitt. b Hvis grfen skl h et nullpunkt for f 0. f ( ) 0 + 0 9 6 + 0 x må ( ) c For t y-verdien i bunnpunktet til grfen skl være -5 må ( ) 0 f ( x ) 5. Vi strter med f ( x ) 0. f ( x) x x 0 Vi setter nå x inn i likningen ( ) 5 f x. f, og i tillegg må Aschehoug www.lokus.no Side v 5
f ( ) 5 + 5 4 + 5 d For t grfen skl h minst ett nullpunkt må likningen ( ) 0 f ( x ) 0 x x + 0 Vi setter inn i bc-formelen. ( ) ( ) Løsninger f x h en eller flere løsninger. ± 4 ± 4 4 For t denne likningen skl h en eller to løsninger må det ikke bli negtivt under rottegnet. Det vil si t 4 4 0. 4 4 0 4 4 Vi deler på 4 og snur «større enn»-tegnet. Det vil si t må være lik eller mindre enn. E Vi leser v grfen. f ( 0) siden f skjærer y-ksen i. ( ) rett linje på formen y x + b. Dermed vil y f 0 0,5 siden grfen til f er en, og vi ser t den deriverte vil være lik stigningstllet til den rette linj f. Dette stigningstllet leser vi v grfen til å være 0,5. b Likningen f ( x) g( x ) hr sin løsning der de to grfene skjærer hverndre. Vi leser v c figuren og ser t det skjer for. Fortegnslinjer for g(x) og g (x): d Vi ser v figuren t tngenten til grfen g i punktet der vil bli brttere enn i punktet der. Dermed vil den deriverte h en større verdi i punktet der enn der. Dette g < g. fører igjen til t ( ) ( ) Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 5
E h x + 6x + 5 ( ) b c h ( ) ( ) + 6 + 5 4 + + 5 8 + + 5 + lim x 0 x 0 ( x) f h ( x) lim x 0 x f x x f x lim x 0 x ( + ) ( ) ( x + x) + 6( x + x) + 5 ( x + 6x + 5) ( ) ( ) x x + x + 6 x lim x 0 x x( x + x + 6) lim x 0 x lim x + x + 6 x x + x x + x + 6x + 6 x + 5 x 6x 5 lim x 0 x Vi lr nå x gå mot 0, det vil si t vi bytter ut x med 0 i uttrykket. Dermed blir: h ( x) x + 6 Nullpunkter: h( x ) 0 x x + 6 + 5 0 Vi bruker bc-formel. ± 6 6 4 5 6 ± 6 0 6 ± 6 6 ± 4 5 Nullpunktene er 5 og. Topp- eller bunnpunkt: ( x) 0 h x + 6 0 x 6 Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 5
Løsninger Siden h( x ) hr positiv -verdi forn ndregrdsleddet, vet vi t grfen «smiler», og t den hr et bunnpunkt. Regner ut h( ) for å finne y-koordinten til bunnpunktet. ( ) ( ) ( ) h + 6 + 5 9 8 + 5 4 Bunnpunktet hr koordintene (, 4). d e hx x x ( ) + 6 + 5 ( ) 6 h x + h ( ) ( ) + 6 4 Den momentne vekstfrten er 4. f Av figuren i oppgve e ser vi t løsningen v hx ( ) < 5 er L 6,0. Ved regning: hx ( ) < 5 x + 6x + 5 < 5 x + 6x < 0 xx ( + 6) < 0 Av fortegnslinj ser vi t t løsningen v hx ( ) < 5 er L 6,0. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 5
E Ifølge pytgorssetningen gjelder uttrykket Vi undersøker hvilken verdi 4 + 8 6 + 64 80. Vi ser nå på 9 8 hypotenus. ktet + ktet hr. Løsninger ktet + ktet hypotenus i rettvinklede treknter. Hdde treknten vært rettvinklet ville tllene vært like. Siden de to ktetene kvdrert til smmen får en verdi som er mindre enn hypotenusen kvdrert, ser vi t hypotenusen vil bli «for lng». Det vil si t vinkelen må økes til mer enn 90 grder for å få plss til hypotenusen, og vi konkluderer med t den største vinkelen i treknten må være større enn 90 grder. E4 Vi løser oppgven med relsetningen som inneholder sinus til en vinkel og to sider. A b c sina 5 0,8 6 Arelet er 6. b For t sin A 0,8 må forholdet mellom motstående ktet og hypotenusen være 0,8. D får vi: c BC 0,8 AC BC 0,8 5 BC 4 Vi vet t treknten er rettvinklet siden sidene er, 4 og 5 lnge. AC er hypotenusen, og dermed er vinkel B 90. sin B sin 90 Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 5
E5 Siden sin B vet vi t den motstående kteten til B er og hypotenusen er 5. Vi vet i 5 tillegg t treknten er rettvinklet. Vi tegner treknten: b Vi regner ut relet med relformelen A ABC A DEF 4 5 sin40 6, 4 4 5 sin 0 5 ABC hr størst rel. A b sin C. Vi får disse to relene: E6 Vi vet t cos A og t treknten er rettvinklet. Vi kn d regne med t en v ktetene er 4 og hypotenusen 4. Vi bruker Pytgors setning for å finne en verdi for den siste siden. kt + kt hyp + 4 9 + 6 x 7 7 Vi tr så for oss sin C som er motstående ktet delt på hypotenus. Motstående ktet til vinkel C er den smme siden som hosliggende ktet i vinkel A. Vi får: sin C 4 For å finne cos C trenger vi den ndre kteten, som vi llerede hr vist er hosliggende ktet delt på hypotenusen. Vi får: cos C 7 4 7. Cosinus er Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 5
b I denne oppgven bruker vi cosinussetningen b + c bc cos A. Sideknten vi setter på venstre side v likningen er den motstående sideknten til vinkelen vi kjenner. Altså setter vi EF på venstre side v likningen. Vi får: ( EF ) ( ) ( ) 6 + 6 6 6 ( ) 4 EF 6 + 4 6 6 ( EF ) 6 + 4 8 ( EF ) EF sin A sin B c Vi hr treknten GHI. Vi bruker sinussetningen som sier t BC AC. I denne oppgven tilsvrer det sin H sin G. Vi får følgende likning: GI HI sin H sin G GI HI 4 Vi kryssgnger teller med nevner og nevner med teller. HI HI 4 Vi forkorter på høyre side. 4 HI Vi gnger med tre. HI E7 Treknt ADB blir en rettvinklet, likesidet treknt. Vi bruker Pytgors setning for å finne et uttrykk for BD, som også er rdius i den frgede sirkelen. kt + kt hyp x + 4 x x BD r Vi bruker nå formelen for relet v en sirkel A π ( ) A π r. Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 5
A π Siden vi ikke er ute etter en hel sirkel, kun en kvrtsirkel, deler vi svret på fire. π π A kvrtsirkel 4 E8 tn 45 0,6 lg 0, cos 90 0 0 7 7. Vi ordner tllene i stigende rekkefølge, og får denne rekk: lg 0,, 0, cos 90, tn 45, E9 Bruker pytgorssetningen. AB + BE AE + AE + AE 4 5 AE 4 5 5 AE 4 AE 7 og 0. AF som regnes ut på tilsvrende måte. b Vi finner relet v AEF ved å regne ut relet v ABCD og trekke fr de tre trekntene ABE, ADF og ECF. Alle disse tre trekntene er rettvinklede, og vi bruker formelen A g h A ABE A ADF 4 A ECF 8 Vi finner rel v kvdrtet: A s s ABCD Aschehoug www.lokus.no Side 0 v 5
c 8 AEF, som vr det vi skulle vise. 4 4 8 8 8 8 8 8 I denne oppgven bruker vi relformelen A b sin C. I vårt eksempel tilsvrer dette: A AEF AE AF sinα E0 5 5 sin α 8 5 sin α Gnger opp med 8 på begge sider. 8 8 5 sinα sinα, som vr det vi skulle vise. 5 Vi finner relet v den innskrevne treknten PQM ved å t relet v hele treknten OBA og trekke fr de tre små trekntene OQP, QBM og PMA. A OBA OB OA 8 4 6 OQ OP x x A OQP x QB h ( 8 x) A QBM 8 x Vi bruker QB som grunnlinje. Her fnt vi høyden h som y-koordinten til punktet M. AP h ( 4 x) 4 A PMA ( 4 x) 8 x Vi bruker AP som grunnlinje. Her fnt vi dermed høyden h som x-koordinten til punktet M. T( x) A PQM A OBA A OQP A QBM A PMA T( x) 6 x ( 8 x) ( 8 x ) T( x) 6 x 8 + x 8 + x T( x) x + x Vi ser t definisjonsmengden er x-verdier mellom 0 og 4, siden x ligger mellom punktene O og A på y-ksen, og hr dermed sin minste verdi for 0 og sin største verdi for 4. b For å finne det størst mulig relet bruker vi derivsjon og finner funksjonen T sitt toppunkt.. T x hr negtiv -verdi på formen x + bx + c, vet vi t grfen blir en «sur munn», Siden ( ) og vi hr et toppunkt når T ( x ) 0. T ( x) x + x + 0 Aschehoug www.lokus.no Side v 5
E Det vil si t relet er størst mulig når. P ( ) gunstige 8 rød 0, 4 mulige 0 5 b 0 prosent vil si t snnsynligheten for blå NonStop er 0,0. E P ( blå) x 0 4 gunstige x mulige 0 0, 0 Det vr ltså 4 blå NonStop i posen. Vi lger en krysstbell: Klsse A Vlgt fysikk Ikke vlgt fysikk Totlt Vlgt biologi 5 9 4 Ikke vlgt biologi 7 4 Totlt 5 P begge fg g 5 m 5 5 Vi ser det er 4 elever som hr vlgt biologi. Vi hr dermed 4 mulige. g 5 P( fysikk biologi) m 4 b ( ) c E Vi lger en krysstbell Klsse A Fest Ikke fest Totlt Konsert 4 5 9 Ikke konsert 0 6 6 Totlt 4 5 b P ( ikke konsert) E4 g m 6 5 5 4 0 5 8 7 56 4 P( to gule) P( gul) P ( ndre gul første gul) 5 4 0 6 6 + + + 8 7 8 7 56 56 56 8 b P( smme frge) P( to gule) P ( to røde) E5 4 6 5 0 5 P( to ess) P( første ess) P ( ndre ess første ess) Aschehoug www.lokus.no Side v 5
b P( to konger) P( første konge) P ( ndre konge første konge) Løsninger 6 5 0 5 c Snnsynligheten for å få én konge og ett ess er det motstte v å få to like. Vi tr derfor og trekker fr både snnsynligheten for to konger og snnsynligheten for to ess. 5 6 8 P( konge og ess) P( to ess) P ( to konger) 5 5 5 5 5 5 Aschehoug www.lokus.no Side v 5
Med hjelpemidler E6 Vi regner først ut hvor mnge mol 7, millirder sølvtomer er. ntll sølvtomer ntll prtikler i et mol 9 7, 0,96 0 6, 0 0 4 mol Hvert mol veier 07,9 grm. Vi gnger derfor ntll mol med vekten per mol.,96 0 07,9 9, 05 0, 905 0, 0 E7 4 4 grm. Vi setter først opp uttrykket fr teksten i stykket: t t + n n n + n Dette uttrykket omformer vi. t t + n n 4n t t n + Vi splitter opp den lengste brøken til to mindre brøker. n 4n 4n t t + Vi bytter nå ut t med x siden x n 4 n 4 n t n x x + Vi omformer for å få uttrykket i oppgven. 4 4 x + x 4 x + x 4 t t + n b Vi setter n 9 inn i likningen. n 4n t t + 9 9 4 9 t t + 7 Vi gnger med fellesnevner 6 i lle ledd. 9 6 4t t + 7 6 ( ) 4t t 7 6 t 6 Deler på på begge sider v likningen. t Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 5
E8 Arelet v et rektngel er A l b, ltså lengde gnger bredde. Hvis lengden v et rektngel øker med 0 prosent vil det øke med vekstfktor,0. Hvis bredden minker med ti prosent vil det minke med en vekstfktor på 0,90. Vi får d følgende rel: A,0l 0,90b A 0,99( l b ) Det vil si t det opprinnelige relet endrer seg med en vekstfktor på 0,99, og det vil med ndre ord bli prosent mindre. Vi kn dermed fstslå t det kun er påstnden «Arelet blir mindre» som er korrekt. E9 b Når vi øker korthuset med en etsje vil vi trenge to nye kort i bredden og ett nytt kort på toppen. Det vil si t vi trenger tre ny kort per ekstr etsje. Nederste etsje i et korthus med 5 etsjer vil innholde + 4 kort. Nederste etsje i et korthus med 6 etsjer vil innholde 4 + 7 kort. Nederste etsje i et korthus med 7 etsjer vil innholde 7 + 0 kort. Første etsje hr to kort, og som vi hr sett øker ntll kort med per etsje. I den n-te etsjen vil det derfor være: ( ) + n + n n ntll kort. I denne oppgven bruker vi ( n ) siden vi strter å legge til tre kort fr og med den ndre etsjen. c Vi regner ut med formelen fr oppgve b) n 8 n 9 Vi deler på på begge sider. n Det vil si t et hus med 8 kort i nederste etsje hr etsjer. d Vi setter inn i formelen. n + n 500 n + n 000 n + n 000 0 Vi bruker bc-formelen på uttrykket i CAS med kommndoen Løs[ <Likning>, <Vribel> ]. Vi trykker deretter på tilnærmet lik-ikonet i verktøylinj for å få numeriske løsninger. Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 5
n 8, n 8, 4 Her må svret være positivt. Det vi si t vi bruker 8,, noe som sier oss t vi kunne bygd 8 fullstendige etsjer. E40 Vi tster inn likningen i CAS, og vi bruker x i stedet for D i likningen. Etter å h tstet inn likningen i CAS må vi løse den. Det gjør vi ved å mrkere likningen ved å klikke på mrkeringsknppen til venstre for den, og deretter klikke på knppen. For å finne tilnærmede verdier gjør vi det smme, men vi klikker nå på knppen «x». I denne oppgven er det kun positive svr som er mulige og vi ser t dimeteren D blir 5, dm. b Når noe er 0 prosent større enn noe nnet kn vi bruke vekstfktor,. D skl nå være 0 prosent større enn d. Vi løser dette ved å klle d for x i CAS, og klle D for, x. Vi får følgende regnestykke når vi skriver inn likningen i CAS: Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 5
E4 Her kn vi kun h positive svr og vi får t dimeteren øverst d er 4, dm. Men det vr den dimeteren på midten D vi skulle finne: D, d, 4, 5, dm. Dimeteren på midten er ltså 5, dm. Vi bruker lineær regresjon i GeoGebr. Vi tster først tllene fr tbellen inn i regnerkfunksjonen i GeoGebr. Vi mrkerer tllene vi hr tstet inn og velger deretter verktøyet Regresjonsnlyse. Vi forndrer regresjonsmodellen til Lineær, siden f(x) er på formen x + b. Vi får d funksjonen y 0,7x + 0,65. Det vil si t 0,7 og b 0,. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 5
b Tllet forteller oss t vinnersykkelen hr minket med 0,7 kilo, ltså 7 grm, i gjennomsnitt hvert år fr 980 til 00. c Vi setter 6,8 kilo inn i formelen vi fnt i oppgve. Vi får likningen: 6,8 0,7x + 0,65 Vi løser likningen med CAS. Løsninger x 7, Det vil si t det tr 7, år regnet fr 980. Det vil si t sykkelen vil komme ned i en vekt under 6,8 kilo første gng i 008. E4 b Siden funksjonen f ( x) x + 4, hr 4, som konstntledd, vil det si t funksjonen skjærer y-ksen i 4,, og dette punktet hr x-verdien 0. Vi ser t funksjonen er symmetrisk om toppunktet til grfen i punktet ( 0, 4, ), og vi ser t de mulige x-verdiene utspenner seg 0 meter i positiv retning og 0 meter i negtiv retning, siden gngbro totlt er 0 meter x 0, 0. lng. Det vil si t definisjonsmengden blir [ ] Vi vet t f (0) 0. Setter derfor 0 og f( x ) 0 inn i funksjonsuttrykket og finner. ( ) 0 0 + 4, 0 00 + 4, 00 4, Deler på 00 på begge sider v likningen. 0,04 Lstebilen er,5 meter bred og 4,0 meter høy. Det vil si t lstebilen vil h best plss om den psserer,5 meter til venstre for toppunktet og,5 meter til høyre for toppunktet. Dermed må f (, 5) og f (, 5) være større enn 4. Siden funksjonen er symmetrisk om toppunktet, holder det å sjekke en v de to funksjonsverdiene. f (, 5) 0, 04 (, 5) + 4, 4, Det vil si t lstebilen fint kn pssere gjennom åpningen. Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 5
c Høyden skl minst være, meter. Det vil si t vi må finne de to x-verdiene som hr denne funksjonsverdien. Vi setter f( x ),. + 0, 04x 4,, 0, 04x,, 0,04, 0,04 x ±5,06 Det vil si t den største bredden blir 5,06 0, 0, meter. E4 Vi tegner begge funksjonene A og B i GeoGebr og bruker kommndoen «Skjæring mellom to objekt». Vi klikker deretter på begge funksjonene og får skjæringspunktet mellom dem. I dette punktet er folketllet i de to bygdene likt. Vi ser t skjæringspunktet blir ( ),9, 67,7. Det vil si t folketllet er like stort i de to kommunene like før det hr gått fire år, ltså mot slutten v 006. Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 5
b For å finne ut når folketllet psserer 500 til smmen må vi regne ut likningen: Ax ( ) + Bx ( ) 500 Vi hr llerede tegnet de to funksjonene i GeoGebr. Dermed går vi inn i CAS og skriver inn likningen over. Vi mrker likningen ved å trykke på mrkeringsknppen til venstre for likningen. Vi trykker deretter på verktøyknppen, og får d svret på likningen. Vi får svret 5,7, og det tr ltså cirk fem og trekvrt år, regnet fr. jnur 00. Det vil si t folketllet psserer 500 høsten 008. E44 Vekstfktor per 000 meter blir 0,88. Luftrykket blir: 0, 0,88 89,44 89, hp 000 meter over hvet. x b Vi får en eksponentilfunksjon på formen f( x) b. c er funksjonsverdien når 0, i dette tilfellet 0,. b er vekstfktoren, i dette tilfellet 0,88, siden lufttrykket vtr med prosent per 000 meter. x står for ntll gnger 000 meter over hvet. Aschehoug www.lokus.no Side 0 v 5
d 469 meter tilsvrer,469 gnger 000 meter. Vi tegner linj, 469 i smme koordintsystem som grfen til f og bruker GeoGebr-kommndoen «Skjæring mellom to objekt». Vi klikker deretter på den loddrette linj x og grfen f. Vi får d skjæringspunktet,47, 7,88. Det vil si t lufttrykket på Gldhøpiggen er 7,88 74 hp. ( ) Vi gjør det på tilsvrende måte for Mount Everest, og tegner linj 8,85. Vi får skjæringspunktet ( 8,85,,68 ). Det vil si t lufttrykket på Mount Everest er, 68 hp. e Vi tegner linj y 80,0 i smme koordintsystem som grfen til f. Vi bruker GeoGebrkommndoen «Skjæring mellom to objekt» og klikker på den vnnrette linj y og grfen f. Vi får,85, 80. Det vil si t vi er,85 000 850 meter over hvet. d skjæringspunktet ( ) Vi kn ikke stole helt på dette tllet d lufttrykket forndrer seg ved ulike værtyper som høytrykk og lvtrykk. E45 Temperturen vr 5 C. Vi finner dette som skjæringspunktet med y-ksen, for i dette b punktet er tiden 0. De vrmet vnnet i 5 minutter. Vi finner dette ved å lese v x-verdien til grfens toppunkt. Temperturen finner vi som toppunktets y-verdi, og temperturen vr 90 C. Grfen som viser temperturen under oppvrming er tilnærmet lineær, og vil derfor være på formen y x + b. Vi leser v to punkter på grfen: ( 0, 5 ) og ( 5, 90 ). Vi ser d t konstntleddet b 5, siden dette er y-verdien når 0. Vi finner stigningstllet: y y 90 5 75 5 x x 5 0 5 Vi får d funksjonsuttrykket y 5x + 5. Setter y 00 for å finne regne ut hvor lng tid det ville ttt å koke vnnet. 00 5x + 5 85 5x Deler på 5 på begge sider v likningen. x 5,7 Altså tr det c. 5,7 minutter. c Vi må løse to ulikheter, både 5x + 5 60 og 5,8 0,94 + 5 60. 5x + 5 60 5x 45 x Det vil si t vnnet psserer 60 grder første gng etter minutter. Aschehoug www.lokus.no Side v 5
x Den ndre ulikheten, 5,8 0,94 + 5 60, velger vi å løse grfisk i GeoGebr. Vi tegner både grfen til venstre side, 5,8 0,94 x + 5, og grfen til høyre side, 60, i smme koordintsystem. Vi finner deretter skjæringspunktet mellom de to grfene med kommndoen «Skjæring mellom to objekt». d Skjæringspunktet blir (,04, 60). Vi ser t temperturen er over 60 C til venstre for skjæringspunktet. Det vil si t temperturen er høyere frm til det hr gått minutter. Vi får ltså løsningsmengden L [, ], det vil si fr til minutter etter t oppvrmingen strtet. Etter lngt tid i kjøleskpet vil temperturen på vnnet nærme seg temperturen i kjøleskpet. Vi ser t i funksjonsuttrykket f( x ) 5,8 0,94 x + 5 hr vi vekstfktoren 0,94 x. Når x blir svært stor vil dette uttrykket nærme seg 0. Det vil si t funksjonen vil nærme seg konstntleddet 5 på lng sikt, og vi kn konkludere med t temperturen i kjøleskpet vr 5 C. E46 Vi tster funksjonsuttrykket inn i CAS. Vi velger å omforme svret i CAS og splitter opp telleren i to ledd. Aschehoug www.lokus.no Side v 5
( x x) x + x + x + x + + + x x x x x x x x x x x x x x ( ) Vi får vertikle symptoter for x-verdier som gir 0 i nevner. Vi ser t det skjer for 0 og. Vi får horisontle symptoter når vi lr x ±. Vi ser t når x blir enormt stor i positiv eller negtiv retning vil uttrykket nærme seg 0. Dermed står vi igjen med den horisontle x x symptoten y 0. ( ) E47 Vi leser v grfen og ser t når ( ) 4 f x er 4 og 0. b Vi skl løse ulikheten f( x ) 0. Det vil si t grfen til funksjonen skl ligge over x-ksen. Vi ser t dette skjer fr til den loddrette symptoten. Det skjer også fr og videre til høyre. Vi får dermed denne løsningsmengden: L,,. [ c x + d 0 gir loddrett symptote. Siden den loddrette symptoten er, må d. Siden den loddrette symptoten er, må d. Vi hr gitt tre punkter på grfen. Vi setter inn verdiene for disse tre punktene i funksjonsuttrykket og får følgende tre likninger (NB! For nullpunktene tr vi ikke med nevneren, d f er null når telleren er null): (, 0) gir 4 b + c 0 (, 0) gir 4 + b + c 0 (0, 4) gir c 4 Vi setter c 4 inn i de to ndre likningene og hr nå to likninger med to ukjente: 4 b 4 0 4 + b 4 0 Vi bruker CAS og kommndoen «Løs[<Liste med likninger>,<liste med vribler>]». Vi tster inn begge likningene og vriblene som vist nedenfor: Vi hr t, b 0, c 4 og d. E48 Vi bruker CAS og kommndoen Løs[<Liste med likninger>,<liste med vribler>]. Vi tster inn begge likningene og vriblene som vist nedenfor: Aschehoug www.lokus.no Side v 5
Vi ser t vi får to løsningspr: ( 0, ) og ( 6,5). Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 5
Vi omformer likningene så vi får y lene på venstre side. Likning I: y + x 6 Likning II: y + x x Løsninger Vi tegner nå begge funksjonene i smme koordintsystem. Vi bruker deretter GeoGebrkommndoen Skjæring mellom to objekt og får skjæringspunktene mellom de to grfene. Vi ser t vi får to løsningspr: ( 0, ) og ( 6,5). b Vi setter og y 5 inn i likningen. 5 ( ) + 0 + y x +, siden denne likningen innholder c Vi bruker innsettingsmetoden. Vi setter likning II, omformet til y + x, inn i likning I, y x +. Vi får d denne likningen: ( ) + x x + 6 4 + x x + ( ) x + x + 6 6 0 Vi bruker bc-formelen. Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 5
( 6) ( 6) 4 ( ) ( 6 ) ( ) ± 6 ± 6 + 4 4 6 ± 60 4 For t likningssystemet skl h en løsning må uttrykket under rottegnet være null. 60 4 0 60 4 5 Løsninger For t likningssystemet skl h to løsninger må uttrykket under rottegnet være større enn null. 60 4 > 0 60 > 4 < 5 For t likningssystemet skl h ingen løsninger må uttrykket under rottegnet være mindre enn null. 60 4 < 0 60 < 4 > 5 E49 Vi bruker CAS og skriver inn funksjonsuttrykket Vi skriver deretter inn D '(). Dx ( ) ( x ) 008 +, 6 x + 9, 4. Vi ser t vi får svret x 9. Det vil si t etter to år øker bestnden med cirk 9 dyr i året. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 5
b Vi skriver inn funksjonsuttrykket Dx ( ) ( x ) 008 +, 6 x + 9, 4 i inntstingsfeltet i GeoGebr. Deretter skriver vi D (x) i inntstingsfeltet. Vi får d opp funksjonen til den deriverte v D og vi tegner grfen til denne deriverte funksjonen for x-verdier fr 0 og oppover. Vi velger deretter verktøyet Funksjonsnlyse fr menyen i GeoGebr og mrkerer området rundt toppunktet. Vi får d dette skjermbildet: Den derivertes mksimlverdi finner vi til høyre for Mks i funksjonsnlysevinduet. Vi ser t x, gir den største verdien for den deriverte til D. Dette forteller oss t ntllet dyr i bestnden vokser rskest etter, år. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 5
E50 Linje gir oss likningen for tngenten med som vribel. Linje og linje 4 gir oss henholdsvis x-verdien og y-verdien til punktene der tngenten krysser x-ksen og y-ksen. Linje 5 gir oss utregning v relet v treknten OCD. Arelet blir lltid lik 6. E5 Arelet v rektngelet er lengde gnget med bredde, A l b. Lengden AB x. Bredden AE y kx + b A l b AB AE x ( kx + b) kx + b bx kx Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 5
b Siden b > 0 ser vi t b b F k 4k b er et toppunkt for F(x). k er dermed det største relet rektnglet kn få. c Punktet B vil h y-koordint 0, og dermed x-koordint lik kx + b 0, noe som gir b k. Det vil si t AB b k. Punktet C vil h y-koordint b, siden x-koordinten er 0. Dermed er AC b. Vi finner relet v treknt ABC. A ABC b b b l b AB AC k k b k Vi skl vise t dette relet er dobbelt så stort som det mksimle relet v rektnglet. Vi gnger relet v rektnglet med. b b AADPE 4 k k Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 5
E5 Vi tegner grfen i GeoGebr og bruker verktøyet Linje. Vi klikker først i origo, og legger deretter linjene slik t de blir tngenter til grfen i ulike punkt. Vi får denne figuren: b En tngent gjennom punktet (, ( )) f( x) f( x ) f ( x ) ( x x ) f( x) f ( x ) ( x x ) + f( x ) x f x hr likningen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( x),5 x 6,5x + 6 ( x x ) + 0,5x, 5x + 6x, 5 f( x),5x 6,5x + 6 x,5x 6,5x + 6 x + 0,5x,5x + 6x,5 f( x),5x 6,5x + 6 x,5x 6,5x + 6x + 0,5x,5x + 6x,5 f( x),5x 6,5x + 6 x,5x + 6,5x 6x + 0,5x,5x + 6x,5 f( x),5 x 6,5x + 6 x x +, 5x, 5 Vi setter inn origo i likningen, ltså 0 og y f( x ) 0 ( ) 0,5 x 6,5x + 6 0 x +, 5x, 5 0 x +, 5x, 5 Vi løser denne likningen i CAS i GeoGebr. Aschehoug www.lokus.no Side 40 v 5
Vi regner ut de tre x-verdienes y-verdier. f 0,5, 5 + 6, 5 8, 79 4 4 4 4 f f ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5, 5 + 6, 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5, 5 + 6, 5 0 Vi får dermed punktene ( 0,75, 8,79), (, ) og (, 0 ). E5 Vi tegner grfen i GeoGebr. Ved fødselen vil grisens vekt tilsvre konstntleddet i funksjonsuttrykket, og vi ser t en gris veier 0,5 kilo ved fødselen. b Vi tegner grfen til y 0 i smme koordintsystem som grfen til f. Vi bruker GeoGebrverktøyet Skjæring mellom to objekt og leser v skjæringspunktets x-verdi. 9.09 og vi ser t det tr omtrent 9, måneder før grisen veier 0 kilo. y y 0 0,5, x x 9,09 0 Det vil si t grisen legger på seg, kilo per måned. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 5
c Vi skl finne den momentne vekstfrten etter måneder. Det gjør vi ved å regne ut ( ) Vi bruker GeoGebr og skriver f ( ) inn i inntstingsfeltet under grfen. Vi får d svret d,4. Det vil si t vekt til grisen øker med,4 kilo i måneden etter måneder. f. Vi kn løse oppgven i GeoGebr. Vi bruker verktøyet Glider og kller glideren for. Vi lr f ' i inntstingsfeltet h verdier fr 0 til 5 med nimsjonstrinn 0,. Vi tster deretter inn ( ) og bruker glideren til å undersøke ulike verdier for den deriverte. Ved prøve- og feilemetoden kommer vi frm til t når f ' 0,5. I tillegg sjekker vi t den er ( ) deriverte er synkende når øker fr dette punktet. Det vil si t grisen slktes etter måneder. Vi kn også løse oppgven ved regning, og vi finner f '( x ). ( ) f ' 0,x +, 6 Setter så ( ) 0,x +, 6 0,5 f ' 0,5 og løser likningen. 0,, Vi deler på 0, på begge sider v likningen. Det vil si måneder. E54 Vi bruker CAS og kommndoen Løs[<Liste med likninger>,<liste med vribler>]. Vi tster inn begge likningene og vriblene som vist under b Vi får dermed løsningene ( 0, ) og ( 6,5). Vi løser ulikheten i GeoGebr ved å tste inn venstre side og høyre side v ulikheten som to grfer. Vi får grfene f( x) x x + og gx ( ) x +. Vi bruker deretter verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktene, der grfene hr smme verdi. Vi finner til slutt intervllet der grfen til f ligger over grfen til f. Vi får disse grfene: Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 5
Vi ser t f ligger høyere enn, eller er lik, g i intervllene: x,,9] [ 8,9, E55 ( ) ( ) b f x bx + b + c Vi omformer funksjonsuttrykket til: ( ) f ( x) x bx + b + c Vi bruker nå bc-formel på dette uttrykket. Vi får d: ( b) ( b) 4 ( b c) ± + Vi vet t et ndregrdsuttrykk hr nøyktig en løsning hvis det blir 0 under kvdrtrottegnet i bc-formelen. ( b) ( b c ) 4 + 0 4b 4b 4c 0 4c 0 c 0 Vi strter med å derivere funksjonen. ( ) f ( x) x bx + b + c Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 5
f '( x) x b Løsninger I et ekstremlpunkt er den deriverte lltid lik 0. Vi setter f '( x ) 0 og inn i uttrykket. b 0 ( ) b 0 b 0 b Hvis b er vil gi et ekstremlpunkt. E56 Vi bruker først cosinussetningen for å finne vinkel ABF. AF AB + BF AB BF cos ABF 84 95 + 5 95 5 cos ABF 84 95 5 95 5 cos ABF 84 95 5 ABF cos 6, 7 95 5 Vi ser t ABF PBF. BFP 80 50, 6, 7 68,. Vi bruker sinussetningen for å finne PB. sin 50, sin 68, 5 PB 5 sin 68, PB 64 sin 50, Båten er ltså 64 kilometer unn B. E57 Vi bruker cosinussetningen. b AB BC + AC BC AC cosc 4 8 + 8 cosc 4 8 C cos 86, 4 8 Vi bruker relsetningen A BC AC sin C 8 sin 86, 4 47,9 c Vi bruker først cosinussetningen og finner B. AC AB + BC AB BC cos B 4 + 8 4 8 cos B Aschehoug www.lokus.no Side 44 v 5
4 8 B cos 58,8 4 8 Vi finner deretter 86, 4 CDB 80 58,8 78. For å finne vstnden BD bruker vi nå sinussetningen. 86, 4 sin sin 78 8 BD 8 sin 4, BD 5,6 sin 78 Vi bruker nå relsetningen for å finne relet DBC. A DBC 5,6 8 sin 58,8 9, Finner til slutt A ACD. A A A 47,9 9, 8, 7 ACD ABC DBC E58 For å finne AD tegner vi først en hjelpelinje BD. Vi finner lengden v BD ved hjelp v cosinussetningen. BD BC + CD BC CD cosc BD + 95 95 cos5 BD + 95 95 cos5 0, Vi trenger nå ABD. For å finne den må vi først finne CBD. Vi bruker cosinussetningen. CD BC BD BC BD CBD + cos 95 + 0, 0, coscbd 95 0, CBD cos 7 0, ABD CBA CBD 0 7 75 Vi finner nå AD ved hjelp v cosinussetningen. AD AB + BD AB BD cos ABD AD 05 + 0, 05 0, cos 75 AD + AD er 94 m. 05 0, 05 0, cos 75 94 Aschehoug www.lokus.no Side 45 v 5
b Vi finner relet v firknten ABCD ved å regne ut relet v de to trekntene BCD og ABD. A BCD A ABD 95 sin5 900,5 05 0, sin 75 5 70,5 A A + A 900,5 + 5 70,5 4 47 ABCD BCD ABD Firknten ABCD hr et rel på,45 0 4 m. E59 Vi kller vstnden fr A til bunnen v fjellet for y. Avstnden fr bunnen v fjellet til toppen v fjellet kller vi x. Disse to vstndene vil stå vinkelrett på hverndre. Vi får d to ligninger: I: tn 0 x y som gir x y. tn 0 + II: tn 4 x som gir y + y x. tn 4 Vi setter likningene lik hverndre og får: x x + tn 0 tn 4 ( ) x tn 4 x + tn 0 x tn 4 x tn 0 + tn 0 x tn 4 x tn 0 tn 0 x ( tn 4 tn 0) tn 0 tn 0 ( tn 4 tn 0) x 0 meter. E60 Sirkelen hr rdius 40, og vi ser dermed t vstnden fr sentrum og rett opp til det blå området er 40 0 0. Vi ser t vi d får en rettvinklet treknt fr sentrum og opp til det blå området. Siden hypotenusen i denne treknten er dobbelt så lng som den korteste kteten, vet vi t denne treknten er en 0, 60, 90 -treknt. Vinkelen ut fr sentrum blir 60. Siden vi hr en tilsvrende treknt på den ndre siden, vil sentripetlvinkelen som buen spenner over til smmen være 60 + 60 0. Arelet v kkesegmentet vil være 0 600π 60 A π 40. Vi må nå trekke fr relet v de to små rettvinklede trekntene. Vi bruker relsetningen for å finne disse to relene: Aschehoug www.lokus.no Side 46 v 5
A 0 40 sin 60 800 00 Siden det er to v disse trekntene gnger vi med. A 00 400 Arelet v det blå området blir d: 600π A 400 E6 Vi bruker Pytgors setning på den rettvinklede treknten. y + r R y + y y y 5 Vi finner d høyden i kjeglen ved å finne R + y. b c h R + y + 5 5, V π r h V π ( ) 5, Vi setter den lille rdiusen lik x. Vi får d: y + r R y + y 9 x d Vi finner d høyden som + + 9 h R y x. Vi setter inn uttrykkene vi fnt for h og r i uttrykket for volum v en kjegle. V π r h. V f( x) π x ( + 9 x ) Vi løser oppgven i GeoGebr. Vi ser t den største verdien x kn h er, siden rdius i kul er. Dette gir oss en definisjonsmengde der x 0,. Aschehoug www.lokus.no Side 47 v 5
Vi tegner grfen til f( x ) og finner grfens toppunkt med kommndoen «Ekstremlpunkt». Vi får x-verdien til toppunktet som,8. Det vil si t rdiusen må være,8. Høyden finner vi som + y. Vi finner først y ved formelen ( ) y 9 9,8. Dermed blir høyden 4 Volumet blir y-verdien til toppunktet, som vi ser er,5. +. E6 b c Menn Kvinne Totlt Ønsker bllbinge 6 67 0 Ønsker ikke bllbinge 69 4 0 Totlt 08 40 Vi finner snnsynligheten for t et medlem ønsker bllbinge: g 0 P 0,54 54, % m 40 Vi bruker Byes setning i denne oppgven. Vi definerer hendelsen A «medlemmet ønsker bllbinge». Vi definerer hendelsen B «medlemmet er mnn». Vi strter med å bruke totl snnsynlighet for å finne PA. ( ) ( ) ( ) PA ( ) PB ( ) PA ( B) + PB P A B 6 08 67 PA ( ) + 40 40 08 4 Vi setter inn i Byes setning. 6 PB ( ) PA ( B) 40 6 PB ( A) 0, 485 48,5% PA ( ) 0 4 Aschehoug www.lokus.no Side 48 v 5
d Minst 75 prosent må være for bllbinge. Vi vet d t P 0,75. Løsninger Hvis vi verver x medlemmer som er for bllbinge, vil både ntllet som er for øke med x, og det totle ntllet øke med x. Vi får følgende ligning: 0 + 40 + x x 0,75 ( x ) 0 + 0, 75 40 + 0 + 80 + 0, 75x x 0, 75x 80 0 0, 5 50 Vi deler på 0,5 på begge sider v likningen. 00 Det vil si t fotbllgrupp må verve minst 00 nye medlemmer som er for bllbinge. E6 Vi systemtiserer opplysningene i en tbell. Biologi (B) Ikke biologi Totlt Fysikk (F) 0 0 40 Ikke fysikk 48 60 Totlt 68 00 Vi ser nå t snnsynligheten for t en elev hr vlgt både fysikk F og biologi B er: g 0 PF ( B) 0, 0% m 00 b Snnsynligheten for biologi B: ( ) g PB 0, % m 00 E64 Snnsynligheten for jenter (J): 0 P( J J J ) 0,9 9,% 0 9 8 57 b Snnsynligheten for gutter (G): 8 7 6 4 P( G G G ) 0, 049 4,9% 0 9 8 85 c Snnsynligheten for minst en v hvert kjønn tilsvrer minus snnsynlighetene for bre gutter og bre jenter. Vi får: ( ) ( ) ( ) P begge kjønn P J J J P G G G 0,9 0, 049 0, 758 75,8% Aschehoug www.lokus.no Side 49 v 5
Aschehoug www.lokus.no Side 50 v 5
E65 Snnsynligheten for t ingen v de 0 sykler uten lys: b c ( ) ( ) 0 P ingen uten lys 0,80 0,07 0, 7% Løsninger Snnsynligheten for t minst en sykler uten lys tilsvrer minus snnsynligheten for t ingen sykler uten ly lys. P 0,07 0,89 89,% Snnsynligheten for t den første, den fjerde og den tiende sykler uten lys: 7 P 0, 0,8 0,8 0, 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0, 0, 0,8 0, 007 0,7% E66 Begge hr vlgmuligheter. Vi skl se på ntllet kombinsjoner, og vi finner dette ved 9. Mulighetene er: Bård Stein Stein Stein Sks Sks Sks Ppir Ppir Ppir Lrs Stein Sks Ppir Stein Sks Ppir Stein Sks Ppir b c d Vi teller ntll muligheter der Bård vinner. Det skjer i v 9 tilfeller. ( ) g P Bård 9. m I hver omgng kn vi få resultter, B, U eller L. Vi spiller omgnger. Antllet mulige resultter blir d: Antll mulige 7. Snnsynligheten for t Bård vinner minst v de gngene vil si å regne ut snnsynligheten for t hn vinner gnger og for t hn vinner gnger, og så plusser vi smmen de to snnsynlighetene. Vi regner først ut snnsynligheten for t hn vinner gnger. Dette kn skje på tre forskjellige måter, ltså t tpet kommer først, i midten eller til slutt. 6 P( Bård ) + + 7 Så regner vi ut snnsynligheten for t hn vinner lle tre: Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 5
e P( Bård ) 7 Snnsynligheten for seier minst v de gngene blir dermed: 6 7 P +. 7 7 7 Bård kn vinne smmenlgt på flere ulike måter. Hn kn vinne lle gngene. Hn kn vinne v gngene. Og hn kn vinne v gngene, men dette forutsetter t de ndre kmpene i dette spillet ender uvgjort. Vi hr llerede regnet ut snnsynligheten for seire og for seire. Vi regner nå ut snnsynligheten for t Bård vinner smmenlgt med bre seier. Denne ene seieren kn komme i første, ndre eller tredje omgng: P( Bård ) + + 7 Snnsynligheten for t Bård vinner smmenlgt blir dermed: 6 0 P ( Bård ) + +. 7 7 7 7 Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 5