OBLIG 1, våren 2021 løsningsforslag

Transkript

1 OBLIG 1, våren 2021 løsningsforslg Alle delspørsmålene teller like mye for å få godkjent trengs c. 70 % v mks-skår. Oppgve 1. I denne oppgven kn du få bruk for de hyperbolske funksjonene sinhx) = 1 2 ex e x ), coshx) = 1 2 ex + e x ) deres omvendte funksjoner rcsinhx) rccoshx). Funksjonene oppfyller relsjonen cosh 2 x) sinh 2 x) = 1 vi hr d dx rcsinhx) = 1, 1 + x 2 d dx rccoshx) = 1 x 2 1 ) En kurve C er gitt ved prmetriseringen rt) = rcsinh t ) ), t 2 + 2, b t b hvor b > 0. Finn hstighetsvektoren r t) til kurven, vis t vi hr r t) = 1 for lle t. ) r t) = t 2 +, t 2 t 2 +, 2 r t t) = t )2 + t )2 = 1 b) Vis t buelengden til kurven er 2b. Det betyr t kurven er prmetrisert ved sin buelengde. b b B = ds = r t) dt = 1dt = 2b C b b En kjedelinje er den kurven som fremkommer når en kjede henges opp mellom to fste holdepunkt. Den klles så en ktenær kurve etter cten - kjede på ltin. På hver del v kjeden virker kun tyngdekrften strekkrften lngs kjeden. 1

2 Figuren til høyre illustrerer en kjedelinje, pilene svrer til kreftene som virker på den delen v kurven som ligger mellom punktene c r. L s være lengden v denne delen v kurven. Tyngdekrften λgs, hvor g er tyngdens kselersjon λ er kurvens spesifikke msse pr. lengdeenhet) er vertiklt rettet, mens snordrgene er tngensielle til kurven, S 0 i bunnpunktet er horisontlt rettet mot venstre, lngs tngenten T 0, mens S i punktet r virker motstt vei, prllelt med tngenten T med vinkel θ med horisontlen hvor tnθ) = dx. c) Siden kjeden er i ro vil summen v kreftene som virker være 0. Hvis vi setter = S 0 λg hvor S 0 = S 0, får vi for kreftene i horisontl retning S 0 = S cosθ) i vertikl retning S 0s = S sinθ), med S = S. Bruk dette til å finne et uttrykk for dx = tnθ) smmenlikn svret med stigningstllet for kurven rt) i ) ved å utnytte t dx = dt dx dt Siden kurven er prmetrisert ved sin buelengde regner vi ut stigningstllene i punktet c, hvod vi hr t = s: S sinθ) = tnθ) = dx S cosθ) = dx = dt dx dt = S 0 s S 0 t t t = t = s = s Mo. kjede-kurven den prmetriserte kurven stemmer overens. 2

3 d) Bruk MATLAB eller et nnet prrm til å lge en illustrsjon v kjedelinjen for pssende verdier v b, f.eks. = 1 b = 3. Ved å bruke kommndoene >> t=-3:0.01:3; >> plotsinht),sqrtt.ˆ2+1)) får vi ut figuren Omdreiningsflten S vi får ved å dreie kjedelinjen om x-ksen klles en ktenoide. Den kn prmetriseres ved ρt,θ) = rcsinh t ), t cosθ), ) t sinθ) hvor b t b 0 θ < 2π. Vi skl bruke notsjonen ρ t = ρ t, ρ tθ = 2 ρ t θ, etc. Fltenormlen til en prmetrisert flte i et gitt punkt står normlt på lle tngentretningene til flten i punktet. Vi kn derfor finne fltenormlen ved å regne ut kryss-produktet ρ t ρ θ. Hvis vi vil h en enhetsnorml må vi i tillegg dele på lengden slik t vi får en enhetsvektor. 3

4 e) Finn en enhets-fltenorml n til ktenoiden S. ρ t = t 2 +, t cosθ) 2 t 2 +, t sinθ) ) 2 t ρ θ = 0, t sinθ), ) t cosθ) kryssproduktet er gitt ved i j k t cos θ) t sin θ) ρ t ρ θ = t 2 + t t t sinθ) t cosθ) = t cos 2 θ) + t sin 2 θ), cosθ), sinθ) ) = t, cosθ), sinθ)) Denne hr lengde ρ t ρ θ = t 2 + cosθ)) 2 + sinθ)) 2 = t så en enhets-fltenorml er gitt ved ) t cosθ) sinθ) n =,, t t t Definer nå følgende størrelser: E = ρ t 2, F = ρ t ρ θ, G = ρ θ 2 L = ρ tt n, M = ρ tθ n, N = ρ θθ n, Middelkrumningen til flten S er gitt ved H = 1 EN 2F M + GL 2 EG F 2 En flte klles en minimlflte dersom middelkrumningen H = 0 overlt. f) Vis t flten S er en minimlflte. 4

5 Vi regner ut t ρ tt = t ) 3 2 ), 2 cosθ), 2 sinθ) t ) 2 3 t ) 2 3 ρ tθ = 0, t sinθ) t 2 +, t cosθ) ) 2 t 2 +, 2 ρ θθ = 0, t cosθ), ) t sinθ) Dette gir dermed E = ρ t 2 = 1, F = ρ t ρ θ = 0, G = ρ θ 2 = t L = ρ tt n = t2 3 t ) 2 = t 2 + 2, M = ρ tθ n = 0, N = ρ θθ n = H = 1 EN 2F M + GL 2 EG F 2 = t ) t t = Sluttkommentr: L Σ 1 være en sirkel i et prllellpln til y,z)-plnet med sentrum i b rcsinh b ),0,0) med rdius 2 + b 2, l Σ 2 være en prllell sirkel med sentrum i b rcsinh b ),0,0) smme rdius. At S er en minimlflte betyr t v lle smmenhengende gltte flter som omslutter de to sirklene Σ 1 Σ 2, så vil S være flten med minst rel. Hvis mn kunne ppe de to prllelle sirklene ned i såpe vnn, ville såpefilmen mellom dem være en minimlflte dermed en ktenoide. T gjerne en titt på opptket fr Abelforelesningene ved UiO i 2019, < Etter rundt 16 minutter lger Mtt Prker en ktenoide v såpefilm. Oppgve 2. Et vektorfelt F er gitt ved Fx,y) = x + by,cx + ) hvor, b, c d er reelle konstnter. Vi kn konstruere et nnet vektorfelt som står normlt på F, vi kller det normlfeltet til F, gitt ved F x,y) = cx,x + by). ) Vis t feltene F F står normlt på hverndre. F F = x + by,cx + ) cx,x + by) = 0 5

6 b) Bestem konstnten d uttrykt ved, b c slik t feltet F er konservtivt, vis t φx,y) = c 2 x2 + xy + b 2 y2 er en potensilfunksjon φ for F. I resten v oppgven forholder vi oss til denne verdien v d som gjør feltet F konservtivt. En nødvendig betingelse for t feltet er konservtivt er t Vi hr φx,y) = y cx ) x + by) = d = 0 y x c 2 x2 + xy + b 2 y2 ), y c 2 x2 + xy + b ) 2 y2 ) = cx + y,x + by) = cx,x + by) = F Nivåkurvene til φ er gitt ved cx 2 2xy by 2 = K L rt) = xt), yt)) være en prmetrisering v en nivåkurve. c) Bruk kjerneregelen til å vise t grdienten φ til potensilfunksjonen φ står normlt på nivåkurvene. For nivåkurvene hr vi φrt)) = konstnt Det betyr t d dt φrt)) = φrt)) r t)) = 0 grdienten står dermed normlt på tngenten til kurven som er det smme som t den står normlt på kurven). d) Forklr hvorfor c) gir t nivåkurvene til potensilfunksjonen φ er strømningslinjer for vektorfeltet F. Strømningslinjene til F er prllelle med feltet F står derfor normlt på F = φ. Men φ står så normlt på nivåkurvene, ergo er strømningslinjene nivåkurvene prllelle, dvs. smmenfllende. 6

7 Nivåkurvene til φ kn uttrykkes ved hjelp v den kvdrtiske formen ) cx 2 2xy by 2 c x ) = x y) b) y Etter spektrlteoremet kn enhver symmetrisk mtrise digonliseres den hr reelle egenverdier. Det betyr t etter et bsisskifte vil den kvdrtiske formen se ut som ) ) λ1 0 u u v) = λ 0 λ 2 v 1 u 2 + λ 2 v 2 ) Hv slgs kjeglesnitt nivåkurvene utgjør, er bestemt v determinnten til den kvdrtiske mtrisen: Hvis < 0, så er kurvene hyperbler, hvis > 0, så er kurvene ellipser. e) Avgjør hv slgs nivåkurver vi hr som funksjon v verdiene på konstntene, b c. Determinnten er gitt ved = c b = bc 2 = 2 + bc) Det gir hyperbler for 2 + bc > 0 ellipser for 2 + bc < 0. f) Velg to sett v verdier for, b c, ett med > 0 ett med < 0. Bruk MATLAB til å illustrere vektorfeltet F i disse to tilfellene. Tegn så inn noen nivåkurver i hvert v tilfellene. Bruk MATLAB-kommndoen contour). 7

8 Vi setter først = b = c = 1. Det gir oss Fx,y) = x + y,x y) = ) = 2. Ved å bruke kommndoene >>x=-5:0.5:5; y=-5:0.5:5; >> [x,y]=meshgridx,y); >>u=x+y; v=x-y; >>quiverx,y,u,v); >>hold on >>z=x.ˆ2-2*x.*y-y.ˆ2; >>contourx,y,z) får vi ut figuren Så setter vi = c = 1 b = 2. Det gir oss Fx,y) = x 2y,x y) = ) 1) = 1. Kommndoene blir d >>x=-5:0.5:5; y=-5:0.5:5; >> [x,y]=meshgridx,y); >>u=x-2*y; v=x-y; >>quiverx,y,u,v); >>hold on >>z=x.ˆ2-2*x.*y+2*y.ˆ2; >>contourx,y,z) som gir oss figuren 8