Holomorfe symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter. Darboux teorem.

Transkript

1 Holomorfe symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter. Darboux teorem. av Knut Petersen-Øverleir MASTEROPPGAVE for graden Master i matematikk Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo Mai 2013

2 2

3 Forord Hvis man starter et søk på universitetsbiblioteket eller på internett etter litteratur om symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter vil man se at det er noe å finne, men i forhold til mange andre retninger innen matematikken er utvalget relativt beskjedent. Det som er å finne er for det meste teori som omhandler det reelle tilfellet. Søker man etter komplekse resultater er det lite eller ingen ting å finne. Et viktig mål med denne oppgaven har vært å bevise Darboux teorem for komplekse mangfoldigheter. På veien til målet var det nødvendig å bevise holomorfe resultater innen symplektisk teori. Resultatet har blitt et produkt med to kapitler, et om symplektisk lineær algebra og et om symplektiske mangfoldigheter. Det har vært interessant, krevende og lærerrikt å få arbeide med temaet. Jeg vil rette en stor takk til min veileder professor Erik Løw for en fantastisk støtte og særdeles god faglig hjelp med denne oppgaven! Matematikken er en fantastisk vitenskap som er vakker og er å betrakte som kunst på linje med alle menneskenes kunstarter. Derfor har jeg valgt å ta med tegningen som er laget av tegneren Eline Hjelle. Den symboliserer skjønnheten i den matematiske kunsten, billedkunsten og den musikalske kunsten representert med tonene b-a-c-h. Etter Johan Sebastian Bach, musikkhistoriens store mester innenfor symmetri og anti-symmetri... Starum, 14. mai 2013 Knut Petersen-Øverleir 3

4 Innhold 1 Symplektisk lineær algebra Definisjoner Antisymmetrisk bilineær form Symplektisk form Symplektiske vektorrom Symplektisk vektorrom Symplektisk basis Det duale vektorrommet Symplektisk ortogonalitet Hyperbolske par, plan og rom Symplektiske matriser og grupper Symplektiske lineære avbildninger og matriser Generering av Sp(V) Transveksjoner Underrom av symplektiske vektorrom Underrommene W, radw og u W Isotropiske, Symplektiske, Koisotropiske og Lagrangske underrom Konstruksjon av symplektiske underrom. Symplektisk innhylling Symplektiske mangfoldigheter Definisjoner. Kompleks mangfoldighet Biholomorfi Kompleks mangfoldighet Koordinatsystem og kart Krav til en kompleks mangfoldighet. Atlas Det komplekse tangentrommet og cotangentrommet Holomorfe (r,0)-former Parameteravhengige holomorfe funksjoner, vektorfelter og former Symplektisk mangfoldighet Symplektomorfisme Darboux teorem Holomorfe ordinære differensiallikninger Picards suksessive approksimasjon Eksistens- og entydighetssatsen Holomorf avhengighet av parameter Rektifiseringsteoremet Mosers triks Poincares lemma Bevis for Darboux teorem

5 Kapittel 1 Symplektisk lineær algebra 1.1 Definisjoner Vi starter med de helt grunnleggende definisjonene vi trenger for å kunne definere det vi kaller et symplektisk vektorrom. Ved å studere grunnleggende lineær algebra (som for eksempel i ethvert matematisk bachelorstudium på høyskole og universitetsnivå) blir vi kjent med begreper som vektorrom, indreprodukt, indreproduktrom, normerte vektorrom og matematiske former. I for eksempel normerte vektorrom er definisjonen av indreproduktet essensielt for å definere en norm som danner grunnlag for mye viktig teori angående det normerte vektorrommets egenskaper. Når vi skal studere symplektisk lineær algebra er det det vi kaller symplektiske former som er det essensielle. Det er velkjent innen teorien om lineær algebra at et indreproduktrom er et vektorrom utstyrt med et indreprodukt. Som en parallell skal vi se at et symplektisk vektorrom er et vektorrom utstyrt med en symplektisk form. Hvis ikke annet er angitt er [1] benyttet som kilde for kapittel Antisymmetrisk bilineær form La oss betrakte et vilkårlig vektorrom V. Definisjon 1.1. En bilineær form på V definerer vi som en avbildning ω : V V K, der K er en kropp (f.eks. C eller R), med følgende egenskaper: For alle u, v og w V og λ K har vi 1.ω(u + w, v) = ω(u, v) + ω(w, v) 2.ω(u, v + w) = ω(u, v) + ω(u, w) 3.λω(u, v) = ω(λu, v) = ω(u, λv) 5

6 Enhver bilineær form kan skrives som: ω(v, w) = v T Aw = n a ij v i w j = v, Aω (1.1.1) i,j=1 der A = (a ij ) er en n n matrise (a ij ) = ω(e i, e j ) og, er standard indreproduktet i R n eller C n. En bilineær form ω defineres som antisymmetrisk (eller skjevtsymmetrisk) når vi har: ω(v, w) = ω(w, v) for alle v, w V. Dette er ekvivalent med at ω(v, v) = 0, v V og at A er skjevtsymmetrisk A t = A. [1] og [11] Symplektisk form I symplektisk lineær algebra er vi interesserte i det vi kaller ikke degenererte antisymmetriske bilineære former: Definisjon 1.2. La V være et vektorrom over C og la ω betegne en antisymmetrisk bilineær form ω : V V C. Vi kaller ω ikke degenerert hvis den har følgende egenskap: Hvis ω(v, w) = 0 for alle v 0, v V, så er w = 0 Hvis v 0 så fins det en w slik at ω(v, w) 0. A er invertibel. Som nevnt innledningsvis er det det vi kaller en symplektisk form som er selve kjærnen i teorien om symplektisk lineær algebra. Den defineres slik: Definisjon 1.3. Vi definerer en antisymmetrisk og ikke degenerert bilineær form som en symplektisk form. Et annet velkjent begrep for indreproduktrom er ortogonalitet. Det fins tilsvarende definisjoner innen symplektisk teori som vi skal komme tilbake til i avsnitt Men for å utføre nødvendige beviser av viktige teoremer i forbindelse med definisjonen av symplektiske vektorrom er det nødvendig å definere underrommet W av et vektorrom V : Definisjon 1.4. La V være et vilkårlig vektorrom og W V et underrom. Vi definerer W = {v V ω(v, w) = 0 for alle w W } 6

7 Lemma 1.5. La V, W og W være som i definisjon 1.4 Da er dim W = dim V dim W Bevis. I følge (1.1.1) har vi ω(v, w) = v t Aw og det viser at den symplektiske formen anvendt på to vektorer er standard indreprodukt av v og Aw og dermed kan vi bruke velkjente resultater fra grunnleggende teori om lineær algebra. v W ω(v, w) = 0 for alle w W v, Aw = 0 for alle w W v (A(W )) der (A(W )) er det ortogonale komplementet til (A(W )) med hensyn på standard indreprodukt. Siden A er invertibel så er dim A(W ) = dim W. Det følger da av formelen for ortogonalt komplement i standard indreprodukt at vi får dim W = dim V dim W. 1.2 Symplektiske vektorrom Når vi nå har definert begrepet symplektisk form kan vi definere begrepet symplektisk vektorrom og se litt på hvilke egenskaper et slikt rom har Symplektisk vektorrom Definisjon 1.6. Et vektorrom V (over en kropp, for eksempel R eller C) kalles et symplektisk vektorrom hvis det er utstyrt med en symplektisk form ω. Vi skriver (V, ω) for et symplektisk vektorrom. Hvis vi igjen går tilbake til teorien om grunnleggende lineær algebra vet vi at ethvert endelig dimensjonalt vektorrom har et indreprodukt. Dette er ikke tilfelle når det gjelder en symplektisk form og det betyr at ikke alle vektorrom er symplektiske. Teorem 1.7. La (V, ω) være et symplektisk vektorrom over C og dim V = p. Da er p et liketall, p = 2n og det fins en basis B = {e 1,..., e n, f 1,..., f n } for V slik at ω(e i, f j ) = ω(f j, e i ) = δ ij ω(e i, e j ) = ω(f i, f j ) = 0 7

8 Bevis. La V være et symplektisk p-dimensjonalt vektorrom over C og la ω være en symplektisk form. Velg en vilkårlig e 1 V, e 1 0. Siden ω er symplektisk må det finnes en vektor f 1 V slik at ω(e 1, f 1 ) 0. Ved å sette f 1 = f 1 ω(e 1,f 1 ) får vi ω(e f 1 1, f 1 ) = ω(e 1, ω(e 1,f 1 )) = ω(e 1,f 1 ) ω(e 1,f 1 ) = 1. Tilsvarende har vi da ω(f 1, e 1 ) = 1 siden ω er antisymmetrisk. Altså er ω(e 1, f 1 ) = ω(f 1, e 1 ) = δ 11 = 1 Siden ω er antisymmetrisk må vi ha ω(e 1, e 1 ) = ω(f 1, f 1 ) = 0. Definerer W 1 = Span{e 1, f 1 }. Ut i fra konstruksjonen kan vi da konkludere med at dim W 1 = 2, siden f 1 / Span{e 1 }. Påstår at W 1 W1 = {0}. La v W 1 W1. Da er v = pe 1 + qf 1, p og q C. Siden v W1 må vi ha ω(v, e 1) = 0. Men ω(v, e 1 ) = ω(pe 1 + qf 1, e 1 ) = ω(pe 1, e 1 ) + ω(qf 1, e 1 ) = qω(f 1, e 1 ) = q og dette gir oss q = 0. Tilsvarende utregning medfører ω(v, f 1 ) = 0 = p = 0. Dette betyr at v = 0 og dermed er altså W 1 W1 = {0}. Påstår at V = W 1 W 1. Betrakt rommet {e 1 }. Avbildningen V C gitt ved v ω(e 1, v) er lineær, surjektiv og kjernen er {e 1 }. Dermed har vi dim{e 1 } = p 1. Det samme er tilfelle for {f 1 }. Vi har W 1 = {e 1} {f 1 }. Dessuten er {e 1 } {f 1 }. Dermed har vi dim W 1 = p 2 og det følger at V = W 1 W 1. Nå må vi vise at W1 er symplektisk. (Det vil si at ω W1 er symplektisk.) ω W er opplagt skjevt symmetrisk så vi må sjekke at den også er ikke degenerert. 1 Velg en w W1, w 0. Da fins det en v V slik at ω(w, v) 0. Vi kan nå skrive v = u + u hvor u W1 og u W 1. Ved definisjonen av W 1 har vi ω(u, w) = 0. Dermed må vi ha ω(u, w) 0 og ω W er ikke degenerert. 1 Finn så en vilkårlig e 2 W 1 og deretter en f 2 W 1 slik at ω(e 2, f 2 ) = 1. La W 2 = Span{e 1, e 2, f 1, f 2 } Repeter så prosedyren ovenfor induktivt til vi får V = W n og vi får ønsket resultat. [1] og [6] 8

9 Teorem 1.7 forteller oss at dimensjonen til et symplektisk vektorrom V over C må være et like tall. Det viser seg at dette ikke bare gjelder for symplektiske vektorrom over C men alle symplektiske vektorrom. Dermed kan ikke et vektorrom med odde dimensjon være symplektisk. Det betyr for eksempel at vektorrom som R 3 og C 3 ikke er symplektiske mens rom som R 2 og C 2 er det. Matrisen J, standard form og standard matrisen. Hvis vi definerer en basis B som i teorem 1.7 så er matrisen ω B til ω gitt ved [ ] 0n I ω B = n (1.2.1) I n 0 n Det er vanlig å betegne matrisen (1.2.1) for J. Det vil si at vi har ω(v, w) = v t ω B w = v t Jw (1.2.2) Formen ω med matrisen J kalles i symplektisk lineær algebra for henholdsvis standard form og standard matrisen. Det kan være verdt å merke seg at for v, w V for et 2-dimensjonalt V får vi ω(v, w) = [ v 1 v 2 ] [ ] [ ] w1 = v 1 w 2 v 2 w 1 = det ([ v w ]). w 2 For 2-dimensjonale vektorrom er med andre ord den symplektiske avbildningen ω det samme som determinant funksjonen. Vi vil dra nytte av noen enkle egenskaper for standard matrisen J: Lemma 1.8. J 1 = J t = J og J 2 = I 2n Bevis. [ ] 0n I J = n = J t I n [ ] [ ] [ ] [ ] J 2 0n I = n 0n I n In ( I = n ) 0 n In 0 = n = I I n 0 n I n 0 n 0 n ( I n )I n 0 n I 2n n 0 n J 2 = ( J)J = J t J = I 2n J t = J 1 9

10 1.2.2 Symplektisk basis. Definisjon 1.9. Basisen B = {e 1,..., e n, f 1,..., f n } konstruert som i teorem 1.7 kalles en symplektisk basis. Hvor fritt kan en symplektisk basis velges? Et vesentlig spørsmål innen symplektisk lineær algebra er hvilke grader av frihet vi har til å velge en symplektisk basis for et symplektisk vektorrom. I bevis for teorem 1.7 går det fram hvordan en symplektisk basis konstrueres. Hvis vi utdyper dette litt tydligere så kan en symplektisk basis velges slik: Vi starter med å velge første basisvektor (e 1 0) og den kan velges helt fritt i V. Andre basisvektor (f 1 0) kan ikke velges i {e 1 } men ut over det kan den velges vilkårlig i V \ {e 1 } normalisert slik at ω(e 1, f 1 ) = 1. Som i beviset for teorem 1.7 gjøres prosedyren videre induktivt. La oss nå anta at basisvektorene e 1,..., e j, f 1,..., f j er valgt, j < n og V j = Span{e 1,..., e j, f 1,..., f j }. Siden V j er utspent av 2j lineært uavhengige vektorer er dim V j = 2j. I følge bevis for teorem 1.7 kan vi sette V = V j Vj. Da er dim Vj = 2n 2j og vi kan velge e j+1 0 helt fritt i Vj. Sett så W j = Span{V j, e j+1 }. Da er dim Wj = 2n 2j 1 og vi kan velge f j+1 vilkårlig i Vj \ Wj, normalisert slik at ω(e j+1, f j+1 ) = 1. For et symplektisk vektorrom av dimensjon 2n utføres prosedyren n ganger og vi vil få den symplektiske basisen B = {e 1,..., e n, f 1,..., f n }. Det er med andre ord ikke slik at enhver basis for et vektorrom V utstyrt med en symplektisk form ω er symplektisk og en symplektisk basis kan ikke velges helt vilkårlig. Men derimot viser ovenfor nevnte prosedyre også at vi har stor frihet i valg av en del av basisvektorene og at det dermed finnes mange forskjellige symplektiske basiser for et symplektisk vektorrom. Et interessant spørsmål er om man kan velge alle e i -ene først og deretter alle f i -ene når man skal konstruere en symplektisk basis? Og det viser seg at det er mulig: La (V, ω) være et 2n-dimensjonalt symplektisk vektorrom. Velg en vilkårlig e 1 fritt i V. Hvis n = 1 velger man så f 1 vilkårlig normalisert i V \ {e 1 } slik at ω(e 1, f 1 ) = 1 og da har vi en symplektisk basis. Er n > 1 så forteller lemma 1.5 på side 7 oss at dim{e 1 } = dim V dim{e 1 } = 2n 1. Da kan vi velge e 2 helt fritt i {e 1 } \ {e 1 }. Fortsetter vi induktivt så antar vi for l < n at vi har valgt l antall e i -er slik 10

11 at W l = Span{e 1,..., e l }. Dimensjonen til Wl er da i følge lemma 1.5 dim Wl = dim V dim W l = 2n l. Da kan vi velge e l+1 helt fritt i Wl \ W l. Utføres denne prosedyren til l = n får vi W n = Span{e 1,..., e n } og dim Wn = dim W n = n = W n = Wn. Nå har vi dim V \ W n = n og for enhver vektor v W n må vi også ha v / V \ W n. Derfor kan vi nå fritt plukke ut den vi ønsker av e i -ene og vilkårlig velge en basisvektor f i i V \ W n normalisert slik at ω(e i, f i ) = 1. Rommet V 1 = V \ Span{W n, f i } har dimensjon n 1. Plukk så fritt ut en basisvektor e j (j i) fra W n og vi kan vilkårlig velge en basisvektor f j i V 1 normalisert slik at ω(e j, f j ) = 1. Gjenta slik at vi for all e i -ene finner en f i slik at ω(e i, f i ) = 1 og vi har konstruert en symplektisk basis ved først å velge alle e i -ene først og deretter alle f i -ene Det duale vektorrommet Anta at vi har et endelig dimensjonalt komplekst vektorrom V. Da har V et korresponderende vektorrom som kalles det duale vektorrommet notert som V. V er rommet av alle lineære funksjoner λ : V C. Lemma La v 1,..., v n være en basis for V. Da er vektorene v i V, definert ved v i (v j ) = δ ij (1.2.3) en basis for V Bevis. Velkjent. Det duale rommet gir flere interessante resultat innen symplektisk lineær algebra. Det første vi skal vise er en alternativ definisjon av den symplektiske formen. Korollar Ved valg av basis B som i teorem 1.7 kan den symplektiske formen ω skrives som n ω = e i fi der e i og f i i=1 er basisvektorer for det duale rommet. Bevis. La V være et vektorrom og v, w V. Velg basis og ω som i teorem

12 Anta at V er det duale rommet til V og at {e 1,..., e n, f1,..., f n} er basisen til V. Vi får da: [ ] ω(v, w) = v T 0n I n w = I n 0 n v T (w n+1, w n+2,..., w 2n, w 1, w 2,..., w n ) = v 1 w n+1 + v 2 w n v n w 2n v n+1 w 1 v n+2 w 2... v 2n w n n = (v i w n+i v n+i w i ) i=1 Videre har vi n n e i fi (v, w) = (e i (v)fi (w) e i (w)fi (v)) = i=1 i=1 n (v i w n+i v n+i w i ) = ω(v, w) i=1 I en del litteratur kalles denne definisjonen av ω for den kanoniske formen av ω. Avbildninger inn i det duale rommet. Kontraksjonen. Enhver bilineær form ω på V definerer et par med lineære avbildninger fra V til det duale rommet V. Vi skal nøye oss med å se på en av dem. Avbildningen vi skal fram til får vi ved å utelate det andre argumentet i ω. Med det mener vi at w utelates i ω(v, w) og vi får ω(v, ) hvor ( ) indikerer hvor det andre argumentet skulle vært plassert. Dermed kan vi definere avbildningen ω(v, ) : V V som ω(v, )(w) = ω(v, w) Notasjonen for ω(v, ) kan variere i forskjellig litteratur. En av disse er v ω = ω(v, ) som vi også skal benytte. Definisjon Vi kaller avbildningen V V, v v ω definert som v ω(w) = ω(v, w) for en kontraksjon. Vi definerte standardformen til ω ( på side 9) som ω(v, w) = v T Jw. Det betyr at den symplektiske formen ω anvendt på to vektorer v og w rett og slett er det standard euklidiske/hermitiske indreproduktet av v og Jw. 12

13 Lemma Anta at (V, ω) er et 2n dimensjonalt vektorrom med en antisymmetrisk form ω. Da er følgende ekvivalent: (i) (ii) ω er symplektisk. ω er en isomorfi. Bevis. Anta at (V, ω) er et 2n dimensjonalt symplektisk vektorrom. (i) = (ii) At ω er bilineær medfører at ω er lineær og dermed er ω en homomorfi. Siden ω er symplektisk må vi ha v ω = 0 v = 0 så ω er injektiv. Av samme grunn kan vi bruke korollar 1.11 og får e j ω = n e i fi (e j, ) = i=1 n (e i (e j )fi e i fi (e j )). i=1 Nå er e i (e j) = 1 når i = j og 0 ellers og f i (e j) = 0 for alle i, j. Det betyr at e j ω = f j. Tilsvarende utregning for f j gir oss f j ω = e j. Dette medfører at { f 1 ω,..., fn ω, e1 ω,..., en ω} gir basisen til V. For hver v V kan vi da finne en v V slik at v ω = v. Da er ω surjektiv og dermed også en isomorfi. (ii) = (i) Anta at ω er en isomorfi. Da kan vi ikke finne en w V slik at ω(v, w) = 0 for alle v 0. Grunnen til det er at v ω = 0 = v = 0 siden ω er en isomorfi og ω(v, w) = v ω(w). Altså er ω symplektisk. Lemma Anta at (V, ω) er et 2n-dimensjonalt symplektisk vektorrom. Da er ω n = ω... ω 0. Bevis. ω = n e i fi i=1 ω n = n!( 1) n 2 (n 1) e 1... e n f 1... f n 0 13

14 Hvis vi studerer det duale vektorrommet litt nærmere viser det seg at ved hjelp av det kan vi faktisk konstruere et symplektisk vektorrom ut i fra ethvert vektorrom over en kropp K. La nå W være et (vilkårlig) n-dimensjonalt vektorrom over en kropp K og la W være W sitt duale vektorrom. Anta at {e 1,..., e n } er en basis for W og at {e 1,..., e n} er en basis for W. Da vil rommet V = W W med en symplektiske form ω : V V K definert som ω(v + η, w + ξ) = η(w) ξ(v) med v, w W og η, ξ W være symplektisk. ω er opplagt antisymmetrisk. Hvis v + η 0 så er enten v 0 og vi kan velge w = 0 og ξ W slik at ξ(v) = 1 eller η 0 og vi kan velge ξ = 0 og w W slik at η(w) = 1. I begge tilfeller er ω(v + η, w + ξ) = Symplektisk ortogonalitet Som nevnt i avsnitt på side 6 finner vi også innen symplektisk teori begrepet ortogonalitet. Definisjon To vektorer fra et symplektisk vektorrom (V, ω) kalles skjevt-ortogonale når ω(v, w) = 0. Dette er også beskrevet som v w. Det varierer noe innen forskjellig litteratur hvilke ord man setter på symplektisk ortogonalitet og noen benytter ordet ortogonal i ovenfor nevnte definisjon. Vi velger å bruke ordet skjevt-ortogonal for å ikke blande sammen symplektisk ortogonalitet med euklidisk ortogonalitet. I avsnitt definerte vi mengden W. W kalles ofte for det symplektiske komplementet til underrommet W og som vi allerede har sett så spiller dette rommet en sentral rolle i symplektisk teori. Vi kommer enda mer inn på W og andre underrom i avsnitt 1.4 «Underrom av symplektiske vektorrom» Hyperbolske par, plan og rom Et todimensjonalt symplektisk rom P er i henhold til teorem 1.7 og basisen uttrykket som i definisjon 1.9 på formen P = Span{e, f} med ω(e, e) = ω(f, f) = 0, ω(e, f) = 1 Paret (e, f) kalles for et hyperbolsk par og P kan kalles et hyperbolsk plan. En skjevt-ortogonal sum av hyperbolske plan kalles da et hyperbolsk rom H 2n = P 1... P n. 14

15 1.3 Symplektiske matriser og grupper Ved å bruke teorien vi har vist i avsnitt 1.2 skal vi nå se på den symplektiske versjonen av lineæravbildninger, matriser og grupper Symplektiske lineære avbildninger og matriser En lineær avbildning er symplektisk når den tilfredsstiller følgende definisjon: Definisjon La (V 1, ω 1 ) og (V 2, ω 2 ) være to symplektiske vektorrom og φ : V 1 V 2 en lineær avbildning. Vi kaller φ symplektisk hvis ω 2 (φ(v), φ(w)) = ω 1 (v, w) for alle v, w V 1 (1.3.1) Vi skal vise at symplektiske lineære avbildninger har en del egenskaper som danner grunnlag for symplektiske matriser og grupper. De er alle injektive og når de er definert i mellom endelig-dimensjonale rom av samme dimensjon er de isomorfier. Lemma En symplektisk lineær avbildning φ er injektiv. Bevis. La φ være en symplektisk morfi og anta φ(v) = 0. Hvis (1.3.1) i definisjon 1.16 skal holde må v = 0 siden ω 1 er ikke degenerert. Dermed har vi φ(v) = 0 v = 0 og φ er injektiv. Av dette lemmaet følger: Korollar Anta dim V 1 =dim V 2 <. Da er φ en isomorfi. Dette korollaret forteller oss at to symplektiske vektorrom av samme (endelige) dimensjon er isomorfe. Definisjon En φ som i korollar 1.18 kalles en symplektomorfisme. Hvis vi har (V 1, ω 1 ) = (V 2, ω 2 ) = (V, ω) vil φ være en automorfi på (V, ω). La nå M representere matrisen til φ i basisen B og ω være på standard form i B. Da får vi: som gir oss ω(φ(v), φ(w)) = ω(mv, Mw) = (Mv) t J(Mw) = v t M t JMw = ω(v, w) = v t Jw Videre kan vi da finne den inverse matrisen til M: M t JM = J (1.3.2) M t JM = J 15

16 J 1 M t JMM 1 = J 1 JM 1 M 1 = J 1 M t J = JM t J (fordi J 1 = J) (1.3.3) Av dette kan vi konkludere med: Lemma La (V, ω) være et symplektisk vektorrom, ω en standard form og φ en symplektisk automorfi på (V, ω) med matrise M i basisen B. Da er følgende ekvivalent: (i) (ii) (iii) ω(φ(v), φ(w)) = ω(v, w) (Dvs φ er en symplektomorfisme.) M t JM = J M 1 = JM t J Vi skal nå se at matrisen M spiller en sentral rolle i teorien rundt symplektiske matriser og grupper. Symplektiske matriser Definisjon Matrisen M til en symplektomorfisme φ kalles en symplektisk matrise. Vi uttrykker mengden av alle symplektiske matriser på et vektorrom V med betegnelsen Sp(V ). Spesielt hvis V = K 2n med ω på standard form skriver vi Sp n (K). Vi skal vise at Sp(V ) faktisk er en matematisk gruppe. Teorem La (V, ω) være et symplektisk vektorrom over K. Mengden Sp(V ) av alle symplektiske morfier på V danner en gruppe under komposisjon (matrise multiplikasjon). Bevis. Anta at Sp(V ) er mengden av av alle symplektiske morfier på V og la φ 1, φ 2, φ 3 Sp(V ) med matriser henholdsvis M 1, M 2, M 3 GL n (V ). Vi har da: (M 1 M 2 ) t J(M 1 M 2 ) = M t 2M t 1JM 1 M 2 = M t 2JM 1 = J så Sp(V ) er lukket. Sjekker for assosiativitet: Siden M i GL n (V ) har vi (M 1 (M 2 M 3 )) = ((M 1 M 2 )M 3 ) 16

17 og som gir (M 3 (M 2 M 1 )) t = (M 2 M 1 ) t M t 3 = M t 1M t 2M t 3 = M t 1(M 3 M 2 ) t = ((M 3 M 2 )M 1 ) t (M 3 (M 2 M 1 )) t J(M 1 (M 2 M 3 )) = ((M 3 M 2 )M 1 ) t J((M 1 M 2 )M 3 ) Sjekker identiteselement og invers: I følge lemma 1.20 så har M en invers og vi har ω(i n v, I n w) = ω(v, w) for alle v, w V så I n Sp(V ). Altså er Sp(V ) en gruppe under komposisjon. Sp(V ) har noen enkle men viktige egenskaper som er nyttige: Lemma Hvis M Sp(V ), så er også M t Sp(V ). Bevis. Ved å bruke (M t ) 1 = (M 1 ) t og lemma 1.20 (iii) får vi: (M t ) 1 = (J 1 M t J) t = J t (M t ) t (J 1 ) t = J 1 (M t ) t J Lemma Hvis φ Sp(V ) er det(φ) = 1. Bevis. Anta φ Sp(V ) og ω en symplektisk form. Ved å bruke lemma 1.14 på side 13 har vi: e 1... e n f 1... f n(φe 1,..., φe n, φf 1,..., φf n ) = det(φ)e 1... e n f 1... f n(e 1,..., e n, f 1,..., f n ) = e 1... e n f 1... f n(e 1,..., e n, f 1,..., f n ) Altså må vi ha det(φ) = 1 Siden det viser seg at hvis φ Sp(V ) så er determinanten til φ alltid lik 1 betyr det at Sp(V ) er en delmengde av SL(V ). (SL(V ) er betegnelsen for den spesielle lineære gruppen som er samlingen av alle matriser med determinant lik 1.) Som vi kommenterte på side 9 må vi for 2-dimensjonale vektorrom ha Sp(V ) = SL(V ). 17

18 Egenverdier til en symplektisk matrise. Teorem La M Sp n (K) og λ en egenverdi av M med multiplisitet k. Da er 1 λ også en egenverdi med multiplisitet k. Bevis. La P (λ) = det(m λi 2n ) være det karakteristiske polynomet til M. Ved å bruke M t JM = J M 1 = J 1 M t J, lemma 1.24 og at similære matriser har samme egenverdier får vi: P (λ) = det(m λi 2n ) = det(m t λi 2n ) = det(j 1 (M t λi 2n )J) = det(m 1 λi 2n ) = det(m 1 ) det(i 2n λm) = λ 2n det(m 1 λ I 2n) Generering av Sp(V) Vi har et nyttig lemma for å sjekke om en matrise M eller M t tilfredsstiller (1.3.1) i definisjon 1.16 på side 15: Lemma For A, B, C, D M n (K) (der M n (K) er en n n matrise med elementer fra en kropp K) er følgende ekvivalent: [ ] A B (i) M = Sp C D n (K) (ii) A t C = C t A, B t D = D t B, A t D C t B = I n (iii) AB t = BA t, CD t = DC t, AD t BC t = I n Bevis. [ M t A t C JM = t ] [ ] [ ] [ 0 I A B C t A = t ] [ ] A B I 0 C D D t B t C D B t D t [ A = t C C t A A t D C t ] B B t C D t A B t D D t = J B I følge lemma 1.23 er M t også symplektisk og vi får: [ ] [ ] [ (M t ) t JM t = MJM t A B 0 I A t C = t ] [ ] [ B A A t C C D I 0 B t D t = t ] D C B t D t [ AB = t BA t AD t BC t ] CB t DA t CD t DC t = J 18

19 Noen spesielle matriser I noe litteratur bl.a. [1] og [4] omtales tre matriser som spesielle symplektiske matriser. Den ene av disse er J som vi kjenner fra før som gir J t JJ = J og er opplagt symplektisk. Den andre er samlingen av matriser U V definert som [ ] V 0 U V = 0 V der V = (V t ) 1. Ved å bruke lemma 1.26 (ii) ser vi at V t 0 = 0V, 0V = (V ) t 0 og V t V 0 = I n så U V er symplektisk. Den tredje og siste er samlingen av matriser T R definert som [ ] I R T R = hvor R t = R. 0 I Ved å igjen bruke lemma 1.26 (ii) ser vi at I0 = 0I, RI = IR og II 0 = I så T R er også symplektisk. Definisjon 1.16 på side 15 for symplektiske avbildninger er relativt rigid så det begrenser opplagt mulighetene for hvordan matrisen til en slik avbildning kan konstrueres. Grunnen til at J, U V og T R omtales som spesielle er at de alene sammen med J 1 faktisk genererer hele Sp n (K). Teorem Alle varianter av matrisene J, J 1, U V sammen Sp n (K). og T R genererer til Bevis. La S være [ samlingen ] av alle varianter av matrisene J, J 1, U V og A B T R og la M = Sp C D n (K). Vi må vise at S = Sp n (K). Det er opplagt at S Sp n (K) så det gjenstår da å vise at Sp n (K) S. Siden S Sp n (K) og M Sp n (K) må det være slik at hvis vi lar Q være et element eller produkter av elementer fra S og multipliserer med M så må QM Sp n (K) eller MQ Sp n (K) siden Sp n (K) er en gruppe. Ideen bak dette beviset er at hvis vi kombinerer dette faktum sammen med lemma 1.26 så vil vi se at vi må ha M S. Vi starter med å multiplisere M fra venstre med U V og fra høyre med U V [ V AV V BV som gir matrisen U V MU V = ] V CV V DV Sp n (K). Påstår at med et passende valg av V og V får [ vi V AV ] på diagonalform med bare 0 og 1 som elementer. Altså V AV I1 0 = der I er en k k 19

20 identitetsmatrise. La A : K n K n være en lineær transformasjon. Hvis rank(a) = k, så fins en basis {v 1,..., v n } for K n slik at {v 1,..., v k } er en basis for Im(A). Videre fins det en annen basis {w 1,..., w n } for K n slik at Aw i = v i for i k og Aw i = 0 for i > k. Nå velger vi V 1 = [ v 1,..., v n ] og V = [ w 1,..., w n ]. Hvis {e i } er standard basisen for K n så har vi for i k V AV (e i ) = V A(w i ) = V (v i ) = e i og for i > k V AV (e i ) = V A(w i ) = V (0) = 0. [ ] Det vil si V AV I1 0 =. 0 0 Uten tap av generalitet kan vi nå anta at A har denne formen i utgangspunktet så vi setter nå [ ] I1 0 A =. (1.3.4) 0 0 Nå vil vi se [ nærmere på ] hvordan C må være og deler C opp i undermatriser C11 C slik at C = 12. C 21 C 22 [ ] [ ] [ ] Ved utregning får vi da A t I1 0 C11 C C = 12 C11 C = 12 og 0 0 C 21 C [ C C t t A = 11 C21 t ] [ ] [ ] I1 0 C t C12 t C22 t = C12 t. 0 Ved hjelp av lemma 1.26 (ii) ser vi at vi må ha C 12 = 0 og C 11 = C11 t for at M Sp n (K) så C ser nå slik ut: [ ] C11 0 C = der C C 21 C 11 = C11 t 22 I tillegg kan vi når A er på formen (1.3.4) konkludere med at det(c 22 ) 0. Hvis ikke ville de første n kollonnene i M være lineært avhengige og det kan de ikke være siden det(m) = 1. Nå multipliserer vi M med T λi fra venstre, der λ K er en (foreløpig udefinert) parameter. [ ] [ ] [ ] I λi A B IA + λic IB + λid Da får vi T λi M = =. 0 I C D IC ID [ ] I + Dermed har vi en A λc11 0 = A + λc =. Siden det(c λc 21 λc 22 ) 0 22 er det(a ) et polynom av grad n som ikke er identisk lik 0. Derfor kan vi nå velge en passende verdi for λ å sørge for at det(a ) 0. 20

21 Nå kan vi igjen da uten tap av generalitet gjøre nye antagelser for A å anta at det(a) 0 som gjør at vi ender opp med A = I n. Dette betyr at vi nå må ha [ ] In B M = og C = C t C D i følge lemma 1.26 når A = I n. Siden C = C t når A = I n gir det at matrisen T C er med i S og nå bruker vi det for å sluttføre beviset. [ ] Vi multipliserer så M fra venstre med J 1 In 0 T C J = og vi får C [ ] [ ] J 1 In 0 In B T C JM = = C C D I n I n [ ] In B 0 ( CB + D) [ ] In B som medfører at det nå gjenstår å behandle matriser på formen. 0 D I følge lemma 1.26 (ii) får vi da I n D = I n = D = I n som igjen gir ved samme lemma B t = B. [ ] In B Dermed står vi igjen med M = = T 0 I B S = Sp n (K) S. n [4] Transveksjoner En lineæravbildning τ : V V er en transveksjon med fiksert hyperplan W hvis τ W = Id W og τv v W for alle v V. En spesiell transveksjon τ u,λ : V V er definert ved der u V og λ R. Lemma τ u,λ Sp(V ) Bevis. τ u,λ (v) = v + λω(v, u)u (1.3.5) ω(τ u,λ (v), τ u,λ (w)) = ω(v + λω(v, u)u, w + λω(w, u)u) = ω(v, w) + ω(v, λω(w, u)u) + ω(λω(v, u)u, w) + ω(λω(v, u)u, λω(w, u)u) = ω(v, w) + λω(w, u)ω(v, u) λω(u, v)ω(u, w) = ω(v, w) Definisjon Den spesielle transveksjonen τ u,λ definert som i (1.3.5) kalles en symplektisk transveksjon. 21

22 Det viser seg at samlingen av alle symplektiske transveksjoner også genererer den symplektiske gruppen slik de spesielle symplektiske matrisene gjør. Teorem Sp(V ) er generert av symplektiske transveksjoner. La oss kalle gruppen generert av alle transveksjoner τ for T. Hvis teorem 1.30 skal holde må vi ha T = Sp(V ). Vi har opplagt T Sp(V ) og må vise at vi også har Sp(V ) T. For å vise at Sp(V ) T er det hensiktsmessig å starte med å vise to lemma: Lemma La ω være en symplektisk form på V. Da fins det for hvert par v, w av ikke-null vektorer av V et produkt av på det meste 2 transveksjoner som sender v til w. Bevis. Anta v, w V, v w, v 0 og w 0. Hvis ω(v, w) 0: Sett λ = 1 ω(v,w) og u = v w. Da er τ u,λ(v) = v+λω(v, u)u = v+ ω(v,v w) ω(v,w) (v w) = v (v w) = w. Hvis ω(v, w) = 0: Påstår at det fins en vektor z slik at 0 ω(v, z) ω(w, z) 0. La v = n i=1 a ie i +b i f i og w = n i=1 c ie i +d i f i der alle e i og f i er basisvektorer fra en symplektisk basis. Da har vi dim v = 2n 1 og dim w = 2n 1. To hyperplan fyller ikke ut V og det må da finnes en z slik at 0 ω(v, z) ω(w, z) 0. Dermed kan vi konstruere τ 1 og τ 2 slik at τ 1 (v) = z og τ 2 (z) = w. Lemma La ω være en ikke-degenerert antisymmetrisk bilineær form på V og la v 1, w 1, v 2, w 2 være vektorer i V slik at ω(v 1, w 1 ) = 1 og ω(v 2, w 2 ) = 1. Da fins det et produkt av på det meste 4 transveksjoner som sender v 1 til v 2 og w 1 til w 2. Bevis. I følge lemma 1.31 fins det et produkt av transveksjoner σ = τ 2 τ 1 som avbilder v 1 til v 2. Så σ : (v 1, w 1 ) (v 2, σ(w 1 )). Sett w 3 = σ(w 1 ). Da har vi 1 = ω(v 1, w 1 ) = ω(v 2, w 2 ) = ω(v 2, w 3 ). Hvis ω(w 2, w 3 ) 0: La Ψ T og sett Ψ(z) = z + λω(w 3 w 2, z)(w 3 w 2 ) med λ = ω(w 2, w 3 ). Da får vi Ψ(w 3 ) = w 2 og Ψ(v 2 ) = v 2, fordi ω(w 3 w 2, v 2 ) = 1 1 = 0. 22

23 Hvis ω(w 2, w 3 ) = 0: Da får vi 1 = ω(v 2, w 3 ) = ω(v 2, v 2 + w 3 ) og 0 ω(w 3, v 2 + w 3 ) ω(w 2, v 2 + w 3 ) 0. Så vi kan finne et produkt av 2 transveksjoner som avbilder paret (v 2, w 3 ) til (v 2, v 2 + w 3 ) og deretter finne et nytt produkt av 2 transveksjoner som avbilder paret (v 2, v 2 + w 3 ) til (v 2, w 2 ). Bevis for Teorem Anta at V har en symplektisk basis B = {e 1,..., e n, f 1,..., f n }. La σ Sp(V ) og sett σ(e i ) = e i og σ(f i) = f i. I følge Lemma 1.32 kan vi finne et produkt Ψ T som avbilder paret (e 1, f 1 ) til (e 1, f 1 ). Da er Ψ 1 σ identitetsavbildningen i rommet W = Span{e 1, f 1 } og Ψ 1 σ induserer en lineær avbildning på W som er generert av {e 2,..., e n, f 2,..., f n }. Så vi kan ved induksjon på dimensjonen til V konkludere med at σ kan skrives som et produkt av transveksjoner. Det betyr at σ T som gir Sp(V ) T. [5] 1.4 Underrom av symplektiske vektorrom Så langt har vi nå sett en del av teorien bak symplektisk lineær algebra. Ved å bruke noe av dette skal vi nå vise at det er mulig å konstruere flere ulike underrom av et symplektisk vektorrom (V, ω). Svært sentralt så langt i dette kapittelet er teorem 1.7 på side 7. I forbindelse med teorien rundt symplektiske underrom er det nyttig å se på en mer generell versjon av dette teoremet. Da tar vi utgangspunkt i et vektorrom V som ikke nødvendigvis er symplektisk, utstyrt med en ω som fortsatt er antisymmetrisk, men mangler den ikke degenererte egenskapen. Teorem Hvis V er et p-dimensjonalt vektorrom over C med en antisymmetrisk form ω, dim V = k og W et underrom av V slik at V = V W, så er W symplektisk, dvs p = k + 2l, og vi har en basis B = {e 1,..., e l, f 1..., f l, u 1..., u k } for V slik at 0 l I l I l 0 l ω B = Bevis. La V være et p-dimensjonalt vektorrom over C og la ω være en antisymmetrisk bilineær form. 23

24 Anta W et underrom av V slik at V = V W. Påstår at ω W er symplektisk. Hvis w W, w 0, så er w / V siden V = V W. Altså finnes det en v V slik at ω(v, w) 0. Siden V = V W finnes da en v V og w W slik at v = v + w. Men da er ω(v, w) = ω(v + w, w) = ω(w, w) så ω(v, w) 0. Altså er ω W symplektisk. I følge teorem 1.7 blir da dim W = 2l. Hvis {e 1,..., e l, f 1..., f l } er en symplektisk basis for W og {u 1,..., u k } en vilkårlig basis for V så blir da {e 1,..., e l, f 1..., f l, u 1,..., u k } en basis for V og ω B er på gitt form. Et sentralt begrep innen teorien om generell lineær algebra er begrepet rang. Innen symplektisk teori definerer vi rangen til ω slik: Definisjon Rangen til en antisymmetrisk form ω (som i teorem 1.33) defineres som dimensjonen til søylerommet til matrisen ω B. I følge teorem 1.33 må rangen til ω B da være et like tall. For et symplektisk vektorrom (V, ω) må da, i følge teorem 1.7 på side 7, ω B ha samme rang som dimensjonen til V (som må være et like tall) Underrommene W, radw og u W Anta at V er et 2n dimensjonalt symplektisk vektorrom og W V et underrom av dimensjon k. W V som vi bl.a. definerte i definisjon 1.4 på side 6 kalles det skjevtortogonale rommet til W og dimensjonen til W må bli dim W = dim V dim W = 2n k i følge lemma 1.5 på side 7. Det er verdt å merke seg hvis vi sammenligner et symplektisk vektorrom med et standard euklidisk indreproduktsrom vil vi for et symplektisk vektorrom ha Span{e 1 } Span{e 1 } noe som ikke er tilfelle i et standard euklidisk indreproduktsrom. Av rommene W og W kan det igjen konstrueres andre underrom. Et av dem er radikalen til W, rad W. rad W defineres slik: rad W := W W Det betyr at basisvektorene for rad W er de basisvektorene for W som ikke er hyperbolske par i W. I følge teorem 1.33 vil det være rank ω W = 2l vektorer som er hyperbolske par i W. Det betyr det at dimensjonen til rad W må bli dim rad W = dim W rank ω W = k 2l. Ut i fra dette kan vi konkludere med at siden vi kan ha rad W {0} betyr det at uttrykket V = W W ikke nødvendigvis er sant for symplektiske 24

25 vektorrom. Et annet rom som kan konstrueres av rommene W og W er u W := W +W. Dimensjonen til u W blir: dim u W = dim W + dim W dim rad W = 2n (k 2l). La oss se kort et eksempel på hvordan vi kan konstruere de nevnte underrommene ut i fra de forskjellige basisvektorene i en symplektisk basis B = {e 1,..., e n, f 1,..., f n } konstruert som i teorem 1.7 på side 7. Vi kan alltid velge en basis ut i fra B slik at {e 1,..., e k l, f 1,..., f l } er en basis for W. Da vil {e l+1,..., e n, f k l+1,..., f n } være en basis for W. Nå ser vi at e l+1,..., e k l er basisvektorer i både basisen til W og W så {e l+1,..., e k l } blir derfor en basis for rad W = W W. Plukker vi ut alle basisvektorene for W og W så blir da {e 1,..., e n, f 1,..., f l, f k l+1,..., f n } en basis for u W Isotropiske, Symplektiske, Koisotropiske og Lagrangske underrom. Andre kanskje enda mer sentrale enn de nevnte underrommene er isotropiske, symplektiske, koisotropiske og Lagrangske underrom. Et symplektisk vektorrom inneholder alltid minst et underrom av hver av disse typene og det kan konstrueres mange av dem. De kan konstrueres ut i fra forskjellige kombinasjoner av en symplektisk basis som i definisjon 1.9 på side 10. Isotropiske underrom Definisjon Et underrom Q V med ω Q = 0 kalles et isotropisk underrom av (V, ω). Anta at V har en symplektisk basis B = {e 1,..., e n, f 1,..., f n }. I teorem 1.7 på side 7 så vi at hvis vi brukte den symplektiske formen på to basisvektorer var det kun hyperbolske par som ga oss en avbildning 0. Det betyr at hvis vi tar et utvalg av basisvektorer for å konstruere Q vil enhver kombinasjon hvor vi unngår å bruke hyperbolske par gi oss ω Q = 0. Underrommet utspent av for eksempel {e 1, e 2, e 3 } eller {e 1, f 2, e 3 } (n 3) vil gi oss et isotropisk underrom av V mens {e 1, e 3, f 1 } gjør det ikke. Dette betyr også at hvis Q har dimensjon k og er et isotropisk underrom av et 2n-dimensjonalt vektorrom V så må vi ha k n. En annen egenskap teorem 1.7 gir oss er at hvis Q er isotropisk er det ekvivalent med Q Q. Hvis Q er et vilkårlig isotropt underrom av dimensjon k, kan vi alltid finne en symplektisk basis slik at {e 1,..., e k } er en basis for Q. Underrommet rad W som vi definerte i avsnitt er alltid isotropisk. 25

26 Koisotropiske underrom Definisjon Et underrom W V med W isotropisk kalles et koisotropisk underrom av (V, ω). Underrommet W av et 8-dimensjonalt symplektisk vektorrom V utspent av for eksempel vektorene {e 1,..., e 4, f 1 } eller {e 1, e 2, e 4, f 2, f 3 } vil gi oss et koisotropisk underrom av V. Her får vi at hvis W har dimensjon k og er et koisotropisk underrom av et 2n-dimensjonalt vektorrom V så må vi ha k n. Teorem 1.7 gir oss at hvis W er koisotropisk er det ekvivalent med W W. Hvis W er koisotropisk, kan vi alltid finne en symplektisk basis slik at {e 1,..., e n, f 1,..., f k } er en basis for W. Underrommet u W som vi definerte i avsnitt er alltid koisotropisk. Lagrangske underrom Definisjon Et underrom L V som er både isotropisk og koisotropisk kalles et Lagrangsk underrom av (V, ω). Lagranske underrom kalles også maksimalt isotropisk. For eksempel er begge underrommene utspent av vektorene {e 1,..., e n } og {f 1,..., f n } Lagranske undderrom av V. Hvis L er Lagrangsk, kan vi alltid finne en symplektisk basis slik at {e 1,..., e n } er en basis for L. Siden et lagransk underrom L er både isotropisk og koisotropisk så er det ekvivalent med at L = L. Hvis L har dimensjon k og V er et 2n-dimensjonalt vektorrom må vi ha k = n. Symplektiske underrom Definisjon Et underrom W V med ω W ikke degenerert kalles et symplektisk underrom av (V, ω). Symplektiske underrom har vi hatt befatning med flere ganger. Første gang allerede i beviset for teorem 1.7. For en symplektisk basis B vil for eksempel et underrom utspent av et eller flere av de hyperbolske parene {e i, f i } være symplektisk. For et symplektisk underrom W vil i følge teorem 1.33 rangen til ω W være 2l og dermed vil dimensjonen til W også bli 2l Konstruksjon av symplektiske underrom. Symplektisk innhylling. Hvis vi har et 2n-dimensjonalt symplektisk vektorrom V kan vi alltid klare å konstruere et underrom Ū V som er symplektisk. Dimensjonen til Ū kan være hvilken som helst 2l der 1 l n. 26

27 Teorem La V være et symplektisk vektorrom, U V et underrom med dim U = k og la W U være et annet underrom slik at U = rad U W = rad U W. La videre {u 1,..., u p } være en vilkårlig basis for rad U. Da er W symplektisk, dim W = 2l slik at k = 2l + p og det eksisterer vektorer {v 1,..., v p } slik at {e 1,..., e l, u 1,..., u p, f 1,..., f l, v 1,..., v p } er en symplektisk basis for et symplektisk underrom Ū U. dim Ū = 2l + 2p = k + p Bevis. I følge teorem 1.33 er W symplektisk og dim W = 2l. La e i, f i og u i være som i teorem Vi har da W = Span{e 1,..., e l, f 1,..., f l } og vi må finne vektorene v 1,..., v p V. Sett W 0 = W. I følge bevis for teorem 1.7 på side 7 eksisterer da W0 slik at V = W 0 W0. Anta u 1 rad U. Siden u 1 rad U må vi ha u 1 W0. I følge bevis for teorem 1.7 kan vi da finne en v 1 W0 slik at ω(u 1, v 1 ) = 1. Det betyr at v 1 / rad U og v 1 / W 0. Sett nå W 1 = Span{e 1,..., e l, u 1, f 1,..., f l, v 1 }. Gjenta prosedyren induktivt til vi har W p = Span{e 1,..., e l, u 1,..., u p, f 1,..., f l, v 1..., v p }. Sett så Ū = W p og vi har ønsket resultat. Definisjon Vi kaller Ū i teorem 1.39 for en symplektisk innhylling til U. Et underrom U av et symplektisk rom V kan altså alltid utvides til en symplektisk innhylling Ū. Vi skal nå se at hvis det allerede fins en symplektisk lineær avbildning φ fra vår U og inn i et annet symplektisk vektorrom V så kan denne utvides til også å gjelde for den symplektiske innhyllingen Ū. Teorem La U være et underrom av et symplektisk vektorrom V, Ū en symplektisk innhylling til U, V et symplektisk vektorrom og φ : U V en symplektisk injektiv lineær avbildning. Da kan φ utvides til en symplektisk lineær avbildning φ : Ū V. Bevis. La φ være en symplektisk injektiv lineær avbildning φ : U V og anta at dim rad U = p. Siden φ er en symplektisk injektiv lineær avbildning kan vi sette e i = φ(e i), f i = φ(f i) og u i = φ(u i) for e i, f i, u i U. Vi definerer V W = φ(w ) der W er definert som i teorem Da har vi φ(u) = Span{u 1,..., u i } W. I følge teorem 1.39 fins det basiselementer v i V slik at for W i = Span{e 1,..., e l, u 1,..., u i, f 1,..., f l, v 1..., v i }, i = 1,..., p så har vi V = W i W i. Regelen φ(v i ) = v i gir oss nå den ønskede utvidelsen av φ. 27

28 Ut i fra dette resultatet kan vi raskt konkludere med at hvis det fins en symplektisk lineær avbildning φ fra et underrom U av et symplektisk rom V inn i et annet symplektisk rom V som er isomorft med V, så kan φ utvides til en isomorfi i mellom rommene. Korollar La V og V være isomorfe symplektiske vektorrom, U V et underrom og φ : U V en injektiv symplektisk lineær avbildning. Da kan φ utvides til en isomorfi φ : V V. Bevis. La U være et underrom av det symplektiske vektorrommet V og φ : U V en injektiv symplektisk lineær avbildning. Ved å bruke teorem 1.39 kan vi la Ū = V være den symplektiske innhyllingen til U. I følge teorem 1.41 kan φ utvides til en symplektisk lineær avbildning φ : Ū V. Dermed har vi da den ønskede avbildningen φ : V V. Siden V og V er isomorfe symplektiske vektorrom har de samme dimensjon og i følge korollar 1.18 på side 15 er φ en isomorfi. 28

29 Kapittel 2 Symplektiske mangfoldigheter Innenfor den matematiske disiplinen differensialgeometri er det en undergren som kalles for symplektisk geometri. Sentralt i denne teorien om differensialgeometri er mangfoldighetene. Dette kapittelet er skrevet under forutsetning av at man innehar forståelse av grunnleggende differensialgeometri og man bør forstå begreper som vektorrommet tangentrom/tangentbunt T M, det duale vektrorrommet cotangentrom/cotangentbunt T M, avbildningene push forward f og pull back f samt differensiable former. Omfattende redegjørelser for disse begrepene er å finne i [8] i det reelle tilfellet og i [7] for det komplekse. Kildene til dette kapittelet er for den symplektiske teorien hentet fra [1], og for den generelle differensialgeometrien fra [7], [8] og [9]. Når andre kilder benyttes er det spesielt angitt. 2.1 Definisjoner. Kompleks mangfoldighet. Ved å bruke teorien om symplektisk lineær algebra vi redegjorde for i kapittel 1 genereres teorien om symplektiske mangfoldigheter. Som der må vi også i dette kapittelet starte med noen grunnleggende definisjoner for å kunne definere en kompleks symplektisk mangfoldighet Biholomorfi Helt sentralt i teorien om symplektiske komplekse mangfoldigheter er holomorfe avbildninger. Definisjon 2.1. La D C n være åpen. En avbildning f : D C kalles holomorf på D hvis f C 1 (D) og f tilfredsstiller systemet med differensial- 29

30 ligninger f z j (p) = 0 for 1 j n og p D. Disse ligningene kalles for Cauchy-Riemann ligningene. Vi betegner rommet av holomorfe avbildninger på D med O(D). En avbildning f = (f 1,..., f n ) : D C n kalles holomorf hvis alle komponentene f j er det. Definisjon 2.2. En homeomorfi defineres som en kontinuerlig invertibel bijektiv funksjon f : U V (der U og V er åpne) hvor den inverse funksjonen f 1 også er kontinuerlig og bijektiv. En biholomorfi er en holomorf homeomorfi med holomorf invers f : D D der D og D er åpne mengder i C n Kompleks mangfoldighet. En n-dimensonal kompleks mangfoldighet er et sammenhengende Hausdorff topologisk rom M som er lokalt biholomorft med en åpen mengde i rommet C n. (Det er definert i avsnitt hva vi mener med en lokal biholomorfi i dette tilfellet.) Uttrykt litt enklere og noe umatematisk vil det si at en kompleks mangfoldighet er et topologisk rom som lokalt ser ut som C n Koordinatsystem og kart. For hvert punkt p i en n-dimensjonal kompleks mangfoldighet M fins det en åpen omegn U M om p og på U en biholomorfi z : U z(u) C n. Hvis p er et punkt i U M får vi punktet z(p) = (z 1 (p), z 2 (p),..., z n (p)) i z(u) C n. Når vi har et punkt p i en delmengde U M kan vi altså tilegne oss koordinater for punktet p i C n. Paret (z, U) kalles for et kart og det kalles også for et koordinatsystem for U Krav til en kompleks mangfoldighet. Atlas. Hvis M skal kalles en kompleks mangfoldighet må noen krav oppfylles. Anta nå at det fins to åpne omegner U i, U j M og to biholomorfier z i : U i z i (U i ) C n, z j : U j z j (U j ) C n. Hvis M = i I U i, U i U j og avbildningene z j z 1 i : z i (U V ) z j (U V ) er biholomorfe for alle i, j I kaller vi en samling av alle (z i, U i ) for et kompleks atlas. Når vi har en mangfoldighet med et slikt atlas kalles den for en kompleks 30

31 mangfoldighet. En kontinuerlig avbildning f : M M mellom komplekse mangfoldigheter M og M kalles holomorf hvis w i f zj 1 er holomorf der den er definert for alle kart (z j, U j ) i M og (w i, V i ) i M Det komplekse tangentrommet og cotangentrommet. Tangentrommet og cotangentrommet til punktet m i den reelle mangfoldigheten M betegnes vanligvis som henholdsvis T m M og T mm. For de komplekse tangent- og cotangentrommene benyttes også i en del litteratur betegnelsene T m M og T mm, men i noen tilfeller brukes CT m M og CT mm. Vi vil bruke T m M og T mm som betegnelse og hver gang disse betegnelsene benyttes er det altså komplekse tangentrom vi omtaler Holomorfe (r,0)-former. Vi er spesielt interesserte i holomorfe (r, 0)-former. Anta at z 1,..., z n er holomorfe koordinater på U C n Med en holomorf (r, 0)-form på U mener vi da en (r, 0)-form ω = a I dz I 1 i 1 < <i r n a i1,...,i r dz i1 dz ir = I med holomorfe koeffisienter (det vil si a I O(U) for alle I). Vi betegner samlingen av alle (r, 0)- former på U C n for Ω r (U) og vi har da: Ω r (U) = {f C r,0(u) f = 0} (2.1.1) Parameteravhengige holomorfe funksjoner, vektorfelter og former Definisjon 2.3. Anta at U C m M er en åpen mengde der M er en kompleks mangfoldighet. a) En parameteravhengig holomorf funksjon på U er en holomorf avbildning f : U C Vi betegner f med f(τ, z) der τ C m og z M. b) Et parameteravhengig holomorft vektorfelt på U er en holomorf avbildning X : U T M 31

32 der X(τ, z) T z M for alle (τ, z) U. I lokale koordinater (z 1,..., z n ) på M kan vi skrive X(τ, z) = n i=1 X i (τ, z) z i der X i (τ, z) er parameteravhengige holomorfe funksjoner. c) En parameteravhengig holomorf k-form på U er en holomorf avbildning ω : U Ω k (T M) der ω(τ, z) Ω k (T z M) for alle (τ, z) U. I lokale koordinater kan vi skrive ω(τ, z) = a i1,...,i r (τ, z)dz i1 dz ir = 1 i 1 < <i r n I a I (τ, z)dz I der a I (τ, z) er parameteravhengige holomorfe funksjoner. d) Når m = 0, det vil si at vi ikke har parameteravhengighet, gir dette oss henholdsvis holomorfe funksjoner, vektorfelter og former. e) Når m = 1 oppfatter vi ofte parameteren som (kompleks) tid og betegner den med t. Vi snakker altså om tidsavhengige holomorfe funksjoner, vektorfelter og former. I dette tilfellet betegner vi disse med f t, X t og σ t. f) Vi kan også se på tilfellet med avhengighet av både tid t og en parameter τ. Dette betegnes med f t (τ, z), X t (τ, z) og σ t (τ, z). 32

33 2.2 Symplektisk mangfoldighet Definisjon 2.4. En kompleks mangfoldighet M kalles for en symplektisk mangfoldighet hvis det på M er definert en lukket ikke-degenerert holomorf (2, 0)-form ω. Med en lukket ikke-degenerert holomorf (2, 0)-form mener vi en ω Ω 2 (M) med følgende egenskaper: (i) (ii) dω = 0. (Altså er ω lukket) Hvis vi for hvert tangentrom T m M, m M har ω m (X, Y ) = 0 for alle Y T m M, da er X = 0. Vi skriver (M, ω) for en kompleks symplektisk mangfoldighet. I tilfeller hvor det ikke er tvil om eller om det er uvesentlig hvilken ω som er definert på M skriver vi kun M for en kompleks symplektisk mangfoldighet når det er hensiktsmessig. Alle tangentrommene T m M er vektorrom og i definisjon 2.4 (ii) gjenkjenner vi den symplektiske formen i fra definisjon 1.2 på side 6 kapittel 1. Ved å bruke teorien derfra kan vi konkludere med at T m M må være et symplektisk vektorrom. Det er vel kjent innen teorien for differesialgeometrien at dimensjonen til tangentrommet T m M og mangoldigheten M er den samme. Dermed må dimensjonen til en p-dimensjonal symplektisk mangfoldighet være like, altså p = 2n. Den reelle dimensjonen er derfor et multippel av 4. Bemerkning. I kapittel 1 viste vi at for ethvert like-dimensjonalt vektorrom utstyrt med en symplektisk form kunne vi finne en symplektisk basis. Altså har ethvert like-dimensjonalt vektorrom struktur som gjør at det kan bli symplektisk. Dette er ikke tilfelle for symplektiske mangfoldigheter. Det kan for eksempel vises at den (reelle) 4-dimensjonale mangfoldigheten M = S 4 ikke er symplektisk Symplektomorfisme. Definisjon 2.5. La (M, ω) og (M, ω ) være to symplektiske komplekse mangfoldigheter og F : M M en holomorf avbildning. Vi kaller F for en symplektisk avbildning hvis vi har F ω = ω. Hvis F er en symplektisk avbildning og den har en invers F 1 som også er symplektisk kalles F en symplektomorfisme. 33