KOHOMOLOGI AV KNUTEROM, ETTER VASSILIEV. John Rognes
|
|
- Tina Larssen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 KOHOMOLOGI AV KNUTEROM, ETTER VASSILIEV John Rognes Vi studerer rommet av knuter i R 3. En knuteinvariant er en klasse i H 0 av dette rommet. Rom av knuter. Vi arbeider med parametriserte knuter, med asymptotisk fastlagt oppførsel nær uendelig, oppfattet som parametriserte kurver uten selvskjæringer eller singulære punkter. La en normal avbildning θ : R 1 R 3 være en glatt funksjon hvis graf nærmer seg linjen L = {(x,x,x)} asymptotisk nær uendelig (θ skal ha en glatt utvidelse S 1 S 3 med en fast gitt tangent i basispunktet i S 1 ). La K være det affine rommet av slike funksjoner. La Σ K være underrommet av funksjoner med selvskjæringer (det finnes s t med θ(s) = θ(t)) eller singulære punkter (θ (t) = 0). Dette underromet kalles diskriminantmengden. Komplementet K Σ er rommet av (normale) knuter. En endelig approksimasjon. Vi approksimerer K og rommet av knuter med en voksende følge av endeligdimensjonale underrom. Se på polynomer P : R 1 R 1 på formen P(t) = t(t d +a 1 t d 1 + +a d ) for et partall d. La Γ d være rommet av avbildninger R 1 R 3 på formen t (P 1 (t),p (t),p 3 (t)), hvorallep i ersomovenfor. Daer Γ d etaffint(3d)-dimensjonalt underrom av K. Generelt står Γ d ikke i generell posisjon til diskriminanten. Vi imbedder Γ d i et større, men fortsatt endeligdimensjonalt rom av polynomielle avbildninger Γ 3d+, ved substitusjonen t = s 3 +s. Da kan vi finne en vilkårlig liten perturbasjon i Γ 3d+ av Γ d, til et underrom Γ d som står transversalt på Σ. Dette er vår (3d)-dimensjonale approksimasjon til rommet av normale avbildninger, og Γ d Σ er et åpent tett underrom som approksimerer knuterommet. Ved Weierstrass approksimasjonssats er enhver normal knute ekvivalent (ambient isotop) med en knute i Γ d når d er tilstrekkelig stor, og enhver singulær kjede i knuterommet er homolog med en kjede i Γ d Σ for d tilstrekkelig stor. Så for å studere (den svake) homotopitypen til knuterommet K Σ er det tilstrekkelig å se på de normale knutene i Γ d for d voksende mot uendelig. Typeset by AMS-TEX 1
2 JOHN ROGNES Fra Aleksanderdualitet er i denne situasjonen H i (Γ d Σ) = H 3d 1 i (Σ Γ d ), hvor H betegnerredusertkohomologi,og H stårforlukkethomologi,dvs.redusert homologi av ettpunktskompaktifiseringen. Så vi ønsker å beregne H (Σ Γ d ). Konfigurasjoner av selvskjæringer og singulariteter. Vi stratifiserer diskriminantmengden Σ Γ d over de ulike klassene av selvskjæringer og singulariteter som forekommer. La A = (a 1 a a l ), a l være en følge av hele tall. La l(a) = l være lengden av følgen, og w(a) = l være dens vekt (weight). Siden alle a i er w(a) l(a). En A-konfigurasjon er en mengde av w(a) forskjellige punkter i R, delt inn i l(a) disjunkte uordnede delmengder U 1,U,...,U l med henholdsvis a 1,...,a l punkter i hver. La b være et helt tall, b 0. En b-konfigurasjon er en mengde av b forskjellige uordnede punkter v 1,...,v b i R. En (A,b)-konfigurasjon J er en A-konfigurasjon {U 1,...,U l } og en b-konfigurasjon {v 1,...,v b }. Punktene i A-konfigurasjonen behøver ikke være disjunkte fra punktene i b-konfigurasjonen. Vi sier at en normal avbildning θ : R 1 R 3 respekterer en (A,b)-konfigurasjon J som ovenfor hvis (i) for hver i har billedet θ(u i ) kardinalitet én, og (ii) for hver j er θ (v j ) = 0. θ skal altså ha selvskjæringer som identifiserer hver av de l punktmengdene U 1,...,U l, og ha singulære punkter i hver av de b punktene v 1,...,v b. To (A,b)-konfigurasjoner J og J er ekvivalente hvis de kan avbildes til hverandre ved en orienteringsbevarende diffeomorfi av R. Rommet av (A, b)-konfigurasjoner ekvivalent med en gitt konfigurasjon J er en åpen celle med dimensjon r(j) (rank) lik antall geometrisk ulike punkter i konfigurasjonen. Vi har r(j) w(a)+b. Rommet av normale avbildninger som respekterer en gitt (A, b)-konfigurasjon J har kodimensjon 3f(J) = 3(w(A) l(a)+b) i rommet av normale avbildninger K. Vi kaller f(j) = w(a) l(a)+b filtrasjonen til konfigurasjonen. For en jevn d og en (A,b)-konfigurasjon J la χ(γ d,j) være rommet av (polynomielle normale) avbildninger i Γ d som respekterer J. Lemma.1.. La d være et partall, og J en (A,b)-konfigurasjon. For nesten alle valg av rom Γ d holder følgende utsagn: (i) For nesten alle (A,b)-konfigurasjoner J ekvivalent med J er χ(γ d,j ) et affint underrom av Γ d med kodimensjon 3f(J). Spesielt er det tomt hvis f(j) > d. (ii) Anta f(j) d. Hvis f(j) (3d+1)/5 er kodimensjonen av χ(γ d,j ) i Γ d lik 3f(J) for alle J ekvivalent med J. (Må komme tilbake til dette.)) (iii) Anta f(j) < d. Rommet av J ekvivalent med J slik at χ(γ d,j ) har kodimensjon 3(f(J) d), og er tomt hvis f(j) > 3d. ((Hvorfor ikke d?)) Vassiliev viser dette ved å innse at de underrommmene Γ d som ikke oppfyller egenskapene i lemmaet danner et semialgebraisk underrom med positiv kodimensjon i rommet av (3d)-dimensjonale affine underrom i Γ 3d+. Heretter antar vi at Γ d er valgt slik at egenskapene i lemmaet er oppfyllt.
3 KOHOMOLOGI AV KNUTEROM, ETTER VASSILIEV 3 Kanter i grafer. Vi beskriver kombinatoriske data som genererer (A, b)-konfigurasjoner. La Ψ = R R/(t,t ) (t,t) være rommet av uordnede par av punkter i R. Vi identifiserer R med diagonalen = {(v,v)} i Ψ. Gitt en samling forskjellige punkter {(t 0,t 0),...,(t q,t q)} i Ψ kan vi danne en minimal A-konfigurasjon {U 1,...,U l } slik at t i og t i ligger i en felles komponent U j R, j = j(i), for alle i. Vi kan tenke på punktene {t 0,...,t q,t 0,...,t q} i R som hjørner i en abstrakt graf, med en kant mellom t i og t i for alle i. Da er komponentene {U 1,...,U l } i A-konfigurasjonen lik hjørnene i de forskjellige veisammenhengskomponentene til grafen. Vi har ulikhetene w(a) l(a) = (a i 1) q +1 ( ) ai ( w(a) Gitt en samling forskjellige punkter {v 1,...,v b } i R, som vi kan identifisere med Ψ, bestemmer de en b-konfigurasjon bestående av de samme punktene. Vi kan tenke på punktene {v 1,...,v b } som avmerket på R. La J være (A,b)- konfigurasjonen ({U 1,...,U l },{v 1,...,v b }). En normal avbildning θ respekterer J hvis og bare hvis (i) θ(t i ) = θ(t i ) for alle i, og (ii) θ (v j ) = 0 for alle j. Vi sier at en slik endelig samling punkter ({(t 0,t 0),...,(t q,t q)},{v 1,...,v b }) i Ψ genererer den tilhørende (A, b)-konfigurasjonen J. To samlinger punkter er ekvivalente hvis de kan avbildes til hverandre med en diffeomorfi av R. Ekvivalente samlinger genererer ekvivalente (A, b)-konfigurasjoner. Fiksér d, Γ d og en (A,b)-konfigurasjon J, og anta det finnes en normal avbildning θ iχ(γ d,j). Såχ(Γ d,j) ogfralemma.1.(iii)erw(a) l(a)+b = f(j) 3d. Siden l(a) w(a) l(a) vil l(a) 3d, b 3d og w(a) 3d+l(A) 6d. En samling punkter som ovenfor som genererer J vil da oppfylle q +1 ( ) ai ( ) w(a) ( ) 6d og b 3d, så antall punkter i samlingen er opptil begrenset av ( 6d ) +3d. Lemma.3.. Hvis N er tilstrekkelig stor finnes det en polynomiell avbildning λ : R R R N som faktoriserer gjennom Ψ, slik at billedene av ( ( 6d ) + 3d) vilkårlige forskjellige punkter i Ψ ligger i generell posisjon i R N, dvs. er affint uavhengige. Resolusjon av diskriminanten. Fiksér en jevn grad d, et rom av normale avbildninger Γ d og en polynomiell imbedding λ : Ψ R N som ovenfor. Vi konstruerer nå en resolusjon av diskriminantmengden, som en homologiekvivalens σ Σ Γ d. Se på en normal avbildning θ Γ d, en (A,b)-konfigurasjon J slik at θ respekterer J, og en samling punkter (T,V) = ({(t 0,t 0),...,(t q,t q)},{v 1,...,v b }) ).
4 4 JOHN ROGNES i Ψ som genererer J. Via imbeddingen λ utspenner de (q b) punktene λ(t 0,t 0),...,λ(t q,t q),λ(v 1,v 1 ),...,λ(v b,v b ) et affint (q+b)-simpleks i R n. Vi oppfatter dette simplekset som et underom i Γ d R N over θ Γ d : {θ} (λ(t 0,t 0),...,λ(v b,v b )) Γ d R N Et slikt simpleks kalles et standardsimpleks, og resolusjonen σ er unionen av alle slike standardsimplekser når (A,b), J, θ og de genererende samlingene (T,V) varierer. Det er en naturlig avbildning σ Σ Γ d, indusert av projeksjonen Γ d R N Γ d. To standardsimplekser i Γ d R N svarende til forskjellige genererende samlinger (T 1,V 1 ) og (T,V ) for J kan ikke møtes i indre punkter, ved Lemma.3.. Så et indre punkt i et standardsimpleks bestemmer den genererende samlingen. Lemma.3.4. (i) σ er semialgebraisk. (ii) Projeksjonen σ Γ d Σ induserer en isomorfi H (σ) H (Σ Γ d ). Del (ii) vises ved å triangulere billedet, og se at over det indre av hvert simpleks i billedet Σ Γ d danner σ en bunt med fiber det kontraktible standardsimplekset bestemt av en maksimal genererende samling. Konkret, for en normal avbildning θ la {(t 0,t 0),...,(t q,t q)} være listen av alle par av forskjellige punkter i R som identifiseres under R, og la {v 1,...,v b } være de singulære punktene til θ. q og b er endelige fordi θ ligger i Γ d. La J være den genererte (A,b)-konfigurasjonen. Hvis θ ikke er en knute er f(j) 1 og fiberen over θ er det affine lukkede (q +b)-simplekset utspent av de (q +1+b) punktene {λ(t 0,t 0),...,λ(v b,v b )} i R N. Vi kan også beskrive fibrene for projeksjonen av σ på R N -faktoren. La p R N. Inversbilledet til p for projeksjonen σ Γ d R N R N er et (muligens tomt) affint underrom av normale avbildninger θ Γ d som oppfyller en samling krav på formen θ(t) = θ(t ) eller θ (v) = 0. Disse kravene genererer en (A,b)-konfigurasjon J, og inversbilledet til p er da χ(γ d,j) {p}. Hvis θ χ(γ d,j) ligger (θ,p) i det indre av et standardsimpleks i σ. Filtrasjon av resolusjonsrommet. For å beregne kohomologien til knuterommet har vi nå redusert oss til å beregne den lukkede homologien til resolusjonen σ av Σ Γ d, mens d vokser mot uendelig. For dette innfører vi en naturlig filtrasjon av σ, og studerer den assosierte spektralfølgen. La σ i σ være unionen av standardsimpleksene i Γ d R N assosiert med (A,b)- konfigurasjoner J med f(j) i. Dette bestemmer en voksende filtrasjon σ 1 σ σ 3d = σ av resolusjonsrommet σ. Filtrasjonen stopper ved i = 3d fra Lemma.1. (iii). Vi får en assosiert spektralfølge {E r p,q(d)} av homologisk type, med E 1 p,q(d) = H p+q (σ p σ p 1 ),
5 KOHOMOLOGI AV KNUTEROM, ETTER VASSILIEV 5 og som konvergerer til H p+q (σ). Vi reindekserer følgen som for Aleksanderdualitet, og får en spektralfølge {E p,q r (d)} av kohomologisk type med hvor E p,q r (d) = Er p,3d 1 q (d), E p,q 1 (d) = H 3d 1 p q (σ p σ p 1 ) og følgen konvergerer til Hp+q (Γ d Σ). Vi kaller denne kohomologiske spektralfølgen Vassiliev-spektralfølgen (i grad d). Spektralfølgen. Teorem (Vassiliev). La d > d være partall, og velg rommene Γ d og Γ d slik at egenskapene i Lemma.1. er oppfyllt. (A) Gruppene E p,q 1 (d) er trivielle hvis ikke p+q 0, p 3d og p. Vi kaller området hvor (3d+1)/5 p og p+q 0 det stabile omraadet i spektralfølgen, og resten av området hvor det finnes ikketrivielle grupper er det ustabile området. (B) Hvis p (3d + 1)/5 er gruppen E p,p 1 uavhengig av d, og kan gis en algebraisk beskrivelse. (C) Spektralfølgene {Er p,q (d)} og {E p,q r (d )} er isomorfe når enten (i) r = 1 og (p,q) er i det d-stabile området, eller hvis r > 1 og (p,q) er slik at ingen differensialer av lengde < r når fra det d-ustabile området til bigrad (p,q). Fra (C) følger det at hver enkelt gruppe Er p,q (d) stabiliserer når d vokser mot uendelig. Vi kan derfor definere en stabil Vassiliev-spektralfølge Er p,q som konvergerer til Hp+q (K Σ). Leddene E p,p danner de assosierte graderte gruppene for en uendelig filtrasjon av H 0 (K Σ), dvs. rommet av knuteinvarianter. En knuteinvariant som overlever til E p,p kalles en Vassiliev-invariant av type p. Vassiliev-invariantene av alle endelige typer kalles også invarianter av endelig type. Uheldigvis vet vi ikke om spektralfølgen oppfyller sterk konvergens, dvs. om alle knuteinvarianter er (en grense av invarianter) av endelig type.
VASSILIEVS SPEKTRALFØLGE. John Rognes. 15. oktober 1994
VASSILIEVS SPEKTRALFØLGE John Rognes 15. oktober 1994 Resolventen. La d, Γ d og λ : R 2 / R N være valgt som før. La T = {{t 0,t 0},...,{t q,t q}} være en samling krav om selvskjæringer, og V = {v 1,...,v
DetaljerTOPOLOGISK K-TEORI OG BOTT PERIODISITET. John Rognes. 8. mai 2003
TOPOLOGISK K-TEORI OG BOTT PERIODISITET John Rognes 8. mai 2003 0. Ikke-kommutative rom og bunter Ved Gelfand Naimark korrespondansen svarer det et kompakt Hausdorff rom X til enhver kommutativ C -algebra
DetaljerEliminasjon av ubetsemthet
1. Del Eliminasjon av ubetsemthet Warning: En svært midlertidig versjon som er ikke er ferdig. Den er rotete og sikkert full av feil. Forbedring følger etterhvert! versjon 0.3 last update: 10/21/15 2:48:38
DetaljerOm forholdet mellom produkt og barysentrisk oppdeling av simplisialkomplekser
Om forholdet mellom produkt og barysentrisk oppdeling av simplisialkomplekser Vegard Fjellbo Matematisk institutt Universitetet i Oslo rvfjellb[at]student.matnat.uio.no 28. mai 2009 En prosjektoppgave
DetaljerGeometri på ikke-kommutative algebraer
Geometri på ikke-kommutative algebraer Ski og matematikk 2011 Rondablikk Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo January 4, 2012 Algebraiske varieteter k = k (f.eks. C), S = k[x 1,..., x n ] Affint algebraisk
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerPopulærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X.
Om Fargelegging av Kart og Grafer i Planet Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. 1. Firefargeteoremet Et
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerGeometri i ekstensjonsrom til vektorbunter på kurver.
Geometri i ekstensjonsrom til vektorbunter på kurver george.h.hitching@hive.no 14. september 2010 1 Mye av dette er samarbeid med Insong Choe (Konkuk Univ., Seoul). La C være en kompleks projektiv glatt
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
DetaljerStanley-Reisner ringer med sykliske gruppevirkninger
Stanley-Reisner ringer med sykliske gruppevirkninger Kirsti Loe Masteravhandling i Algebra/algebraisk geometri Matematisk institutt Universitetet i Bergen juni 009 Takk til Jeg vil gjerne takke min veileder
DetaljerPlangeometri Romgeometri Høyere dimensjoner. Vinkler. Arne B. Sletsjøe. Universitetet i Oslo. Faglig-pedagogisk dag, 1.
Universitetet i Oslo Faglig-pedagogisk dag, 1. november 2012 Plangeometri Vinkelsummen i en plan trekant er 180 grader eller π. Vinkelsummen i en firkant er 2π. Proposisjon For en mangekant med vinkler
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerUtvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010
Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Morten Brun og Runar Ile 1 Dette er et utvidet løsningsforslag hvor det er gitt alternativer løsninger på flere av punktene og noen tips og kommentarer. På
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerOppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:
HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene
DetaljerKJERNEREGELEN I FUNKTORKALKULUS. John R. Klein og John Rognes
KJERNEREGELEN I FUNKTORKALKULUS John R. Klein og John Rognes Homotopifunktorer Vil studere homotopifunktorer, dvs. funktorer fra homotopikategorien htop av topologiske rom og homotopiklasser av kontinuerlige
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
DetaljerNotat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)
Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da
Detaljer4-torsjonspunkter på elliptiske romkurver
4-torsjonspunkter på elliptiske romkurver Astri Strand Lindbæck Masteroppgave, våren 2015 Innledning I denne oppgaven ønsker vi å undersøke punkter på kurver der det tangerende hyperplanet snitter kurven
DetaljerNORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER
NORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER SIE 3080 STOKASTISKE OG ADAPTIVE SYSTEMER Oddvar Hallingstad 0. februar 00 Vi skal her utlede noen nyttige formler for arbeidet med kovariansmatriser
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerGrublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand
DetaljerJEAN-PIERRE SERRE : ALGEBRAISK TOPOLOGI. John Rognes. 25. april 2003
JEAN-PIERRE SERRE : ALGEBRAISK TOPOLOGI John Rognes 25. april 2003 Jean-Pierre Serre ble født den 15. september 1926 i Bages, øst i Pyreneene. Han var student ved Ecole Normale Supérieure 1945 48, og mottok
DetaljerForberedelse Kompletthet Kompakthet INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet. Andreas Nakkerud. 8.
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet Andreas Nakkerud 8. september 2015 Forberedelse Theorem La x være en variabel som ikke forekommer i Γ eller i φ. (i) Γ φ Γ[x/c] Γ[x/c]. (ii) Hvis
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerOppgaver MAT2500 høst 2011
Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis
DetaljerSensitivitet og kondisjonering
Sensitivitet og kondisjonering Gitt en lineær likningssystem Ax = b vi skal studere effekten av perturbasjoner av input data: 1/19 på output data: Man kan A, b x perturbere bare b perturbere b og A samtidig.
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
DetaljerEksamensoppgave i TMA4150 Algebra
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4150 Algebra Faglig kontakt under eksamen: Torkil Utvik Stai Tlf: 47638459 Eksamensdato: 29. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 15:00 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Detaljerx 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
DetaljerInnlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13
Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva
DetaljerDihedral homologi på skjemaer og étale descent
Dihedral homologi på skjemaer og étale descent av Arthur Mårtensson MASTEROPPGAVE for graden Master i Matematikk (Master of Science) Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo November
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerMatematisk studentkollokvium. En liten smakebit av Algebraisk geometri og Rasjonale cuspidale plane kurver. Torgunn Karoline Moe. 12.
Matematisk studentkollokvium 12.mars 2010 ebit av geometri og Rasjonale cuspidale plane kurver Torgunn Karoline Moe CMA / Matematisk institutt Universitetet i Oslo De mest spennende objektene i verden
DetaljerFølger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
DetaljerHJEMMEOPPGAVER (utgave av ):
HJEMMEOPPGAVER (utgave av 20-5-2003): Oppgave 16 til 26 mai: La K være kroppen med 2 elementer og la A = K(t)[x]/(x 2 +t) være residuringen av polynomringen i den varibale x over den rasjonale funksjonsringen
DetaljerEn følge i en lukket delmengde av R^m kan altså ikke konvergere mot en vektor utenfor den lukkede delmengden.
MAT1300 Analyse I 2. februar 2009 For analyse i R spiller delmengder E \subset R på formen E = (a,b) og E= [a,b] ofte en spesiell rolle. Dette er de åpne og de lukkede intervallene. For analyse i R^m er
DetaljerHolomorfe symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter. Darboux teorem.
Holomorfe symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter. Darboux teorem. av Knut Petersen-Øverleir MASTEROPPGAVE for graden Master i matematikk Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet
DetaljerOPPGAVER FOR FORUM
OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerBasis, koordinatsystem og dimensjon
Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis
DetaljerZorns lemma og utvalgsaksiomet
MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 06 Anbefalte øvingsoppgaver fra boken: 9.3 : 53, 6, 64, 7, 75. Det er bare oppgaven under
DetaljerKarakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner
Kapittel 8 Karakterer 8. Homomorfier av grupper I forrige kapittel definerte vi begrepet abstrakt gruppe, som en abstrakt versjon av begrepet symmetrigruppe. For å studere forbindelsen mellom abstrakte
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerLitt topologi. Harald Hanche-Olsen
MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).
UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: 4.3 8.3. This problem set consists of 6 pages.
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt
DetaljerSIGNERT DOMINASJON OG RETTEDE MATROIDESYSTEMER
SIGNERT DOMINASJON OG RETTEDE MATROIDESYSTEMER Matematisk institutt Binære monotone systemer Grunnelementer i modell: X i = I(ite komponent virker), i = 1, 2, 3 φ(x) = I(Systemet virker) = X 1 X 2 + X
DetaljerDeformasjon av Stanley-Reisner skjemaer til K3-flater i rasjonale normale skruer
Deformasjon av Stanley-Reisner skjemaer til K3-flater i rasjonale normale skruer av CHRISTINE FURUSETH TAPPEL MASTEROPPGAVE for graden Master i Matematikk (Master of Science Det matematisk- naturvitenskapelige
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier
DetaljerMAT 1110: Bruk av redusert trappeform
Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,
DetaljerForelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet
Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende
DetaljerForslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5
Forslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5 Oppgave 1 isomorfi, nemlig 24 = 2 3 3, så det finnes tre abelske grupper av orden 24 opp til Z 2 Z 2 Z 2 Z 3 ; Z 2 Z 4 Z 3 ; Z 8 Z 3. O
DetaljerDette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:
Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerGeometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved
Kaittel 5 Geometri i rommet I dette kaitlet skal vi konsentrere oss om isometrier i R. Det er stort sammenfall mellom teoriene i og dimensjoner, og mange av resultatene fra forrige kaittel er gyldig også
DetaljerGenerelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU
Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle
DetaljerOBLIG 2 - MAT 1120 Høsten 2005
> with(linearalgebra): with(linalg):with(plots): Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerDagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens)
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 11: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 31. april 2008 Institutt
DetaljerNormal oppdeling og produkt av endelige simplisielle mengder
Normal oppdeling og produkt av endelige simplisielle mengder Rune Vegard S. Fjellbo Masteroppgave for graden Master i matematikk Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet, februar 2012 Forord Våren
DetaljerEmne 7. Vektorrom (Del 1)
Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske
DetaljerVi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon.
Mengder En mengde (eng:set) er en uordnet samling av objekter. Vi bruker vanligvis store bokstaver, A, B, C, osv., til å betegne mengder. Objektene som inngår i mengden kalles for elementer i mengden (eller
Detaljer6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen
6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av et indreprodukt rom V. Man kan starte med en vanlig basis for W og konstruere en ortogonal basis for W. Ønskes det en
DetaljerLinjegeometri. Kristian Ranestad. 3. Januar 2006
3. Januar 2006 Konveksitet Hva er en konveks mengde med punkter? En punktmengde er konveks dersom alle linjestykkene med endepunkter i mengden er helt inneholdt i mengden. Eksempler: Et linjestykke (den
DetaljerMerk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere!
Forelesning 8: Førsteordens logikk kompletthet Martin Giese - 10. mars 2008 1 Repetisjon: Kalkyle og Sunnhet av LK 1.1 Sekventkalkyleregler Definisjon 1.1 (γ-regler). γ-reglene i sekventkalkylen LK er:
DetaljerKarakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.
Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor
DetaljerEksamen i TMA4190 Mangfoldigheter fredag 30 mai, 2014
Eksamen i TMA4190 Mangfoldigheter fredag 30 mai, 2014 LØYSINGSFORSLAG Oppgåve 1 å sette Vi definerer funksjonane F : R 4 R 2 og G : R 2 R 4 ved F : (x, y, z, w) (u, v) = (xy, zw) G : (u, v) (u, u 2, v,
DetaljerRepetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon
Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og
DetaljerOppgaver i kommutativ algebra
Oppgaver i kommutativ algebra Fredrik Meyer 1 Moduler Oppgave (1). Vis at om m, n er koprimære, så er (Z/mZ) Z (Z/nZ) = 0. Proof. Siden m og n er koprimære, finnes det a, b Z slik at an + bm = 1. La x
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets
Detaljer