HJEMMEOPPGAVER (utgave av ):

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "HJEMMEOPPGAVER (utgave av ):"

Transkript

1 HJEMMEOPPGAVER (utgave av ): Oppgave 16 til 26 mai: La K være kroppen med 2 elementer og la A = K(t)[x]/(x 2 +t) være residuringen av polynomringen i den varibale x over den rasjonale funksjonsringen K(t) i den variable t, modulo idealet genert av polynomet x 2 + t. Finn ringe B slik at X A X A = X B. Oppgave 1 til 3. februar: Er ringen Q[s, t]/(t 2 s 3 ) et entydig faktoriseringsområde.? Oppgave 2 til 10. februar: (1) La A være en ring som er inneholdt i et entydig faktoriserings område B. Er A et entydig faktoriseringsområde? (2) La B A være en surjektiv avbildning av ringer. Anta at B er et entydig faktoriseringsområde. Er A et entydig faktoriseringsområde? (3) Er en kropp et entydig faktoriseringsområde? Oppgave 3 til 17. februar: La A være en ring og M en A-modul. Vi betegner mengden av alle A-modul homomofier u : M M med End A (M). (1) Vis at End A (M) har en naturlig struktur som en ring. (2) Vis at det finnes en naturlig ring homomorfi A End A (M). (3) Vis at ring homomorfien i punkt (2) er injektiv når M er en tro A-modul. (4) Vis at når M er en endelig generert og tro A-module så er hver kommutativ underring av End A (M) som inneholder A hel over A. (5) Er hver kommutativ underring av End A (M) som inneholder A alltid hel over A når M er en tro A-modul? Oppgave 4 til 24. februar: La Z[s, t] være polynomringen i de to uavhengige variable s og t med koeffisienter i Z. Hvilke av følgende ringer er hele over Z? (1) Z[s, t]/(2s 1, t 2 ). (2) Z[s, t]/(st 1, t 2 ). (3) Z[s, t]/(s 2 t 2 ). (4) Z[s, t]/(st 1, s 2 t 2 ). Oppgave 5 til 3 mars Finn et element u i ringen A = Z[s, t]/(s 2 t st 2 ) som er transcendent over Z og er slik at A er hel over Z[u]. Oppgave 6 til 10 mars: (1) La A være undermodulen over Q av polynomringen Q[s, t] i de uavhengige variable s, t, generert av elementene 1, og s i t j med i < j. 1

2 2 (2) La A være undermodulen over Q av polynomringen Q[s, t] i de uavhengige variable s, t, generert av elementene s i t j der 2 deler i + j. (3) La A være undermodulen over Q av polynomringen Q[s, t] i de uavhengige variable s, t, generert av elementene s i t j der 2 deler j i og j i > 0. Oppgave 7 til 17 mars: La K være en algebraisk lukket kropp, og la K n være mengden av n- tupler av elementer i K. (1) La (a 1, a 2,..., a n ) K n. Vis at {f(t 1, t 2,..., t n K[t 1, t 2,..., t n ] : f(a 1, a 2,..., a n )} = 0 er et ideal i polynomringen K[t 1, t 2,..., t n ] og finn et endelig antall generatorer for dette idealet. (2) La (b 1, b 2,..., b n ) K n og la Vis at V = {(a 1, a 2,..., a n ) K n : a 1 b 1 + a 2 b a n b n = 0}. {f(t 1, t 2,..., t n ) K[t 1, t 2,..., t n ] : f(a 1, a 2,..., a n ) = 0 for alle (a 1, a 2,..., a n ) V er et ideal, og finn et endelig antall generatorer for dette idealet. Oppgave 8 til 24 mars: Hva er (Krull) dimensjonen til ringen K[s, t, u]/(s(t u), t(u s), u(s t))? Oppgave 9 til 31 mars: La X være et topologisk rom. For hver ikke tom åpen undermengde U av X lar vi F(U) være Z. (1) For hver inklusjon U V av ikke tomme åpne mengder i X lar vi ρ V,U : F(V ) F(U) være identitetsavbildningen. Vis at F med disse avbildningene er et pre-knippe. Hvilke av betingelsene for et knippe tilfredsstiller F? (2) For hver ekte inklusjon U V av ikke tomme åpne mengder i X lar vi ρ V,U : F(V ) F(U) være nullavbildningen, og vi lar ρ U,U = id U. Vis at F med disse avbildningene er et pre-knippe. Hvilke av betingelsene for et knippe tilfredsstiller F?

3 Oppgave 10 til 7. april: La K være en kropp og la A være en endelig generert K algebra. Sett X = Hom K -alg (A, L) og la D f = {x X : f(x) 0} for hvert element f A. (1) Beskriv de elementene f i A slik at D f =. (2) Gi en algebraisk beskrivelse av de ringene A slik at D f D g for alle f og g slik at D f = D g. Oppgave 11 til 14. april: La K være en kropp og la A = K[s, t] være polynomringen i de to uavhengige variable s og t over K. Videre la B = K[t]. Sett A 1 = X B og A 2 = X A, og la origo 0 i X B og X A være K-algebra homomorfiene B L respektive A L definert ved t 0, respective (s, t) (0, 0). (1) Vis at A 1 \ 0 er en affin varietet. (2) Vis at A 1 \ 0 er isomorf med en lukket varietet i A 2. (3) Vis at A 2 \ 0 er en varietet. (4) Vis at A 2 \ 0 ikke er isomorf med A 2. Oppgave 12 til 28. april La Y være et topologisk rom og F et pre-knippe på Y. Videre, la L være en kropp og la F L være et underknippet av knippet av alle funksjoner på Y, det vil si, for alle åpne V i Y vil F L (V ) bestå av funksjoner V L og for hver inklusjon V V av åpne mengder i Y er restriksjonen ρ V,V : F L (V ) F L (V ) gitt av ρ V,V (s ) = s V. La X være en undermengde av Y. Definer F X (U) for alle åpne undermendger U av X ved F X (U) = {(s x ) x U x U F x : for alle x U finnes en åpen undermengde V x i Y og t x F(V x ) slik at x V x, og slik at ρ Vx,y(t x ) = s y for alle y V x U}. Videre definerer vi (F L X)(U) for alle åpne U i X ved (F L X)(U) = {s F L (U) : for alle x U finnes en åpen V x i Y og t x F(V x ) slik at s(y) = t x (y) for alle y U V x }. (1) Vis at F X er et knippe på X, og bestem (F X ) x for hvert punkt x X. (2) Vis at F L X er et knippe på X, og bestem (F L X) x for hver punkt x X. (3) Vis at for hver åpen V i Y finnes det naturlige avbildninger F(V ) F X (V X) 3 og F L (V ) (F L X)(V X),

4 4 og vis at de tilsvarende avbildningene og F x (F X ) x (F L ) x (F L X) x er surjektive for alle x V X. (4) La F = F L. Vis at avbildningene i del (3) induserer en avbildning F X (V X) (F X)(V X) og at disse avbildningene, for alle åpne V i Y, definerer en avbildning av knipper F X F X. (5) La Y = X A være en affin varietet og la F = O Y. Anta at X er lukket i Y og at L er algebraisk lukket. Beskriv kjernen til avildningen fra (4), for hvert element f A. (O Y ) X (D f ) (O Y X)(D f ) Oppgave 13 til 5 mai La K være en kropp og la A være undermengden av produktet i=1 K = K N av K med seg selv N ganger, som består av elementene (f 1, f 2,... ) der f n = f n+1 = for noe n, som kan variere med elementet. (1) Vis at A er en K-algebra under avbildningen K A som sender f til (f, f,... ). (2) Beskriv alle punktene i X A. (3) Finn de irredusible komponentene til X A. Oppgave 14 til 12 mai: La A n+1 være det affine n + 1-dimensjonale rommet definert over en kropp K med punkter i en utvidelse L. Vi definerer en ekvivalensrelasjon på punktene i A n+1 \ {0} ved (f 0, f 1,..., f n ) (g 0, g 1,..., g n ) når det finnes et element h L slik at f i = hg i for alle i. La P n være rommet som består av ekvivalensklassene. Vi får en residyavbildning ϕ : A n+1 \ {0} P n. Gi P n topologien slik at V er åpen i P n hvis og bare hvis ϕ 1 (V ) is åpen in A n+1 \ {0}. (1) Vis at vi har en kontinuerlig avbildning av topologiske rom ϕ i : A n P n for i = 0, 1,..., n gitt av ϕ i (f 1, f 2,..., f n ) = (f 1,..., f i 1, 1, f i,..., f n ) som er en homeomorfi på sitt bilde U i. (2) Vis at du kan gi P n en entydig struktur som varietet slik at morfismen ϕ i iduserer en isomorfi mellom varieten A n og varietetene indusert av P n på U i.

5 5 (3) Vis at med denne strukturen som varietet vil avbildningen ϕ være en morfi av varieteter. (4) Er morfismen ϕ affin? (5) La X = V(t 0 t 1 t 2 t 3 ) \ {0} være undervarieteten av A 4 \ {0} av punkter (f 0, f 1, f 2, f 3 ) slik at f 0 f 1 = f 2 f 3. Er den induserte morfismen ϕ X : X P 3 endelig? Oppgave 15 til 19 mai: La A være en algebra over en vilkårlig kropp K som er et integritetsområde. (1) La I være et ideal i polynomringen K[t]. Vis at det finnes en kanonisk isomorfi av K-algebraer K[t]/I K K[t]/I K[x, y]/j til restklasseringen av polynomringen K[, x, y] i to variable modulo idealet J generert av alle elementene f(x) og f(y) med f(t) I. (2) Er A K A et integritetsområde? (3) Er A K A redusert? Gi bevis eller moteksempler.

Geometri på ikke-kommutative algebraer

Geometri på ikke-kommutative algebraer Geometri på ikke-kommutative algebraer Ski og matematikk 2011 Rondablikk Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo January 4, 2012 Algebraiske varieteter k = k (f.eks. C), S = k[x 1,..., x n ] Affint algebraisk

Detaljer

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008

For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 ITERERTE LINEÆRE REKURSJONER OG SCHUBERT REGNING For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 1. Adjunksjon av røtter 1.1 Notasjon. La A være en ring. For en A-algebra B betrakter vi Hom A (B, A) som en

Detaljer

Oppgaver i kommutativ algebra

Oppgaver i kommutativ algebra Oppgaver i kommutativ algebra Fredrik Meyer 1 Moduler Oppgave (1). Vis at om m, n er koprimære, så er (Z/mZ) Z (Z/nZ) = 0. Proof. Siden m og n er koprimære, finnes det a, b Z slik at an + bm = 1. La x

Detaljer

Konneksjoner og monodromi for en klasse moduler over simple kurvesingulariteter. Eivind Eriksen

Konneksjoner og monodromi for en klasse moduler over simple kurvesingulariteter. Eivind Eriksen Konneksjoner og monodromi for en klasse moduler over simple kurvesingulariteter Eivind Eriksen 22. mai 2000 Innhold Forord 2 Innledning 6 1 Teorien 7 1.1 Konstruksjonene........................... 7 1.2

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2007-2008 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet

Detaljer

Geometri i ekstensjonsrom til vektorbunter på kurver.

Geometri i ekstensjonsrom til vektorbunter på kurver. Geometri i ekstensjonsrom til vektorbunter på kurver george.h.hitching@hive.no 14. september 2010 1 Mye av dette er samarbeid med Insong Choe (Konkuk Univ., Seoul). La C være en kompleks projektiv glatt

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 10

MAT Grublegruppen Notat 10 MAT1100 - Grublegruppen Notat 10 Jørgen O. Lye Ringer Vi fortsetter i et lynkurs i algebraiske dyr. Først ut er ringer. En ring A (også kalt R) er en abelsk gruppe med addisjon + som operasjon. I tillegg

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,

Detaljer

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne 901 38 621 EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Tillatte

Detaljer

Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010

Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Morten Brun og Runar Ile 1 Dette er et utvidet løsningsforslag hvor det er gitt alternativer løsninger på flere av punktene og noen tips og kommentarer. På

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets

Detaljer

Cartier-divisorer. Cartier-divisorer. 1. Del

Cartier-divisorer. Cartier-divisorer. 1. Del 1. Del Cartier-divisorer Cartier-divisorer Warning: En svært midlertidig versjon som er ikke er ferdig. Den er rotete og sikkert full av feil. Forbedring følger etterhvert! versjon 0.2 last update: 10/8/15

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

4-torsjonspunkter på elliptiske romkurver

4-torsjonspunkter på elliptiske romkurver 4-torsjonspunkter på elliptiske romkurver Astri Strand Lindbæck Masteroppgave, våren 2015 Innledning I denne oppgaven ønsker vi å undersøke punkter på kurver der det tangerende hyperplanet snitter kurven

Detaljer

Stanley-Reisner ringer med sykliske gruppevirkninger

Stanley-Reisner ringer med sykliske gruppevirkninger Stanley-Reisner ringer med sykliske gruppevirkninger Kirsti Loe Masteravhandling i Algebra/algebraisk geometri Matematisk institutt Universitetet i Bergen juni 009 Takk til Jeg vil gjerne takke min veileder

Detaljer

Koszul-algebraer over endelig kropper

Koszul-algebraer over endelig kropper Koszul-algebraer over endelig kropper Trude Pedersen Sundtjønn Master i matematikk Oppgaven levert: Mai 28 Hovedveileder: Øyvind Solberg, MATH Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

Matematisk studentkollokvium. En liten smakebit av Algebraisk geometri og Rasjonale cuspidale plane kurver. Torgunn Karoline Moe. 12.

Matematisk studentkollokvium. En liten smakebit av Algebraisk geometri og Rasjonale cuspidale plane kurver. Torgunn Karoline Moe. 12. Matematisk studentkollokvium 12.mars 2010 ebit av geometri og Rasjonale cuspidale plane kurver Torgunn Karoline Moe CMA / Matematisk institutt Universitetet i Oslo De mest spennende objektene i verden

Detaljer

Koszul-algebraer over endelige kropper

Koszul-algebraer over endelige kropper Koszul-algebraer over endelige kropper Kari-Lise Frisvold Olsen Master i matematikk Oppgaven levert: Juli 28 Hovedveileder: Øyvind Solberg, MATH Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt

Detaljer

Algebraiske strukturer

Algebraiske strukturer MAT1140, H-16 Algebraiske strukturer Vi kan legge samme og multiplisere tall, funksjoner og matriser, og vi kan bruke snitt og union til å danne nye mengder. Mange av disse operasjonene følger de samme

Detaljer

a b c d e f g h i j k l m n o p q a b c d e f g h i j k l m n o p q A B C D E F G H I J K L M N O P Q

a b c d e f g h i j k l m n o p q a b c d e f g h i j k l m n o p q A B C D E F G H I J K L M N O P Q Forkunnskaper MAT4250 Høst 2013 Forkunnskaper Idetteavsnittetskalvirasktrepetereenkelteavdegrunnleggenderesultatenefra kurset i kommutativ algebra. De ringene som opptrer i algebraisk tallteori er spesielle

Detaljer

TOPOLOGISKE MODULÆRE FORMER. John Rognes 20.03.01

TOPOLOGISKE MODULÆRE FORMER. John Rognes 20.03.01 TOPOLOGISKE MODULÆRE FORMER John Rognes 20.03.01 Gruppoider Grafer, små kategorier og gruppoider. En graf, eller en liten pre-kategori, består av en mengde objekter O, en mengde morfismer M og to funksjoner

Detaljer

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har: Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til

Detaljer

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/thorup/dlbook/april 11, 2005 DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Diskret matematikk finnes ikke Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ). Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til

Detaljer

Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den

Detaljer

En studie av Letterplace- og Co-letterplace-idealer over et poset P, når

En studie av Letterplace- og Co-letterplace-idealer over et poset P, når En studie av Letterplace- og Co-letterplace-idealer over et poset P, når P = 2, 3 Nils Petter Storset November 20, 2017 1 2 Innhold 1 Monomiale idealer 7 1.1 Simplisielle komplekser........................

Detaljer

Bjørn Jahren. 1. DIFFERENSIABILITET I R m

Bjørn Jahren. 1. DIFFERENSIABILITET I R m (NOTER TIL MA 352, VÅREN 1992) Bjørn Jahren 1. DIFFERENSIABILITET I R m La f : E R n være en kontinuerlig avbildning, der E R m er en åpen delmengde. Vi sier at f er differensiabel i et punkt x E dersom

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200

Detaljer

Normal oppdeling og produkt av endelige simplisielle mengder

Normal oppdeling og produkt av endelige simplisielle mengder Normal oppdeling og produkt av endelige simplisielle mengder Rune Vegard S. Fjellbo Masteroppgave for graden Master i matematikk Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet, februar 2012 Forord Våren

Detaljer

MAT1030 Forelesning 23

MAT1030 Forelesning 23 MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier

Detaljer

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk

Detaljer

Kommentarer til Eksamen IM005 - V02

Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple

Detaljer

MA3002 Generell topologi

MA3002 Generell topologi Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Richard Williamson, (735) 90154 MA3002 Generell topologi Lørdag 1. juni 2013 Tid:

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Traseringen til 2-dimesnsjonale representasjoner av kvosienter av k x, y

Traseringen til 2-dimesnsjonale representasjoner av kvosienter av k x, y Traseringen til 2-dimesnsjonale representasjoner av kvosienter av k x, y av ASMAA QURESHI THESIS for the degree of MASTER OF EDUCATIONAL SCIENCE (Master i realfagsutdsnning Det matematisk- naturvitenskapelige

Detaljer

Dette er altså et slags produkt av undermengder. Man sjekker lett at dette produktet har en assosiativitetsegenskap 1,nemlig:

Dette er altså et slags produkt av undermengder. Man sjekker lett at dette produktet har en assosiativitetsegenskap 1,nemlig: Kvotientgrupper En helt sentral konstruksjon i gruppeteorien er dannelsen av kvotienten av en gruppe G med en normal undergruppe. I et spesialtilfelle har vi allerede gjort denne konstruksjonen, nemlig

Detaljer

Holomorfe symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter. Darboux teorem.

Holomorfe symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter. Darboux teorem. Holomorfe symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter. Darboux teorem. av Knut Petersen-Øverleir MASTEROPPGAVE for graden Master i matematikk Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet

Detaljer

(ii) g = (f B)^{-1} \: V \to B \subset R^m er deriverbar med Dg(f(u)) = (Df(u))^{-1} \: R^m \to R^m for alle u i B.

(ii) g = (f B)^{-1} \: V \to B \subset R^m er deriverbar med Dg(f(u)) = (Df(u))^{-1} \: R^m \to R^m for alle u i B. MAT1300 Analyse I 5. mai 2009 13.3. Det inverse funksjonsteoremet Vi vil bruke kontraksjonsprinsippet for å bevise følgende teorem: Teorem 13.13 (Det inverse funksjonsteoremet): La U \subset R^m være åpen,

Detaljer

Forord. Denne oppgaven markerer slutten på min tid som student ved Lektorutdanningen i realfag

Forord. Denne oppgaven markerer slutten på min tid som student ved Lektorutdanningen i realfag Sammendrag I denne oppgaven studerer vi Cartanmatriser, additive og subadditive funksjoner og translasjonsquivre. Spesielt vil vi se hvordan additive og subadditive funksjoner er definert både for Cartanmatriser

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Representasjoner av den Modulære Gruppa

Representasjoner av den Modulære Gruppa Representasjoner av den Modulære Gruppa av Håkon Hobæk KORT MASTEROPPGAVE for graden Master i Matematikk (Master of Science) Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo Mai 2009 Faculty

Detaljer

Repetisjonsforelesning - INF1080

Repetisjonsforelesning - INF1080 Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en

Detaljer

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene. Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

Deformasjon av Stanley-Reisner skjemaer til K3-flater i rasjonale normale skruer

Deformasjon av Stanley-Reisner skjemaer til K3-flater i rasjonale normale skruer Deformasjon av Stanley-Reisner skjemaer til K3-flater i rasjonale normale skruer av CHRISTINE FURUSETH TAPPEL MASTEROPPGAVE for graden Master i Matematikk (Master of Science Det matematisk- naturvitenskapelige

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Emnerapport for MAUMAT vår og 2015 vår av Runar Ile 11/ Navn på emneansvarlig: Runar Ile (begge årene) Hvilke styringsorgan har

Emnerapport for MAUMAT vår og 2015 vår av Runar Ile 11/ Navn på emneansvarlig: Runar Ile (begge årene) Hvilke styringsorgan har Emnerapport for MAUMAT644 2014 vår og 2015 vår av Runar Ile 11/9 2015 Navn på emneansvarlig: Runar Ile (begge årene) Hvilke styringsorgan har behandlet evalueringen/når: Referanse til eventuelle saksforelegg

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B =

Detaljer

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik. Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave

Detaljer

Cremonatransformasjonar og elliptiske kurver i P 4. Anders Klungre Masteroppgåve, hausten 2015

Cremonatransformasjonar og elliptiske kurver i P 4. Anders Klungre Masteroppgåve, hausten 2015 Cremonatransformasjonar og elliptiske kurver i P 4 Anders Klungre Masteroppgåve, hausten 2015 Innleiing Matematikk har frå dei tidligste tider vore noko vi menneskje har brukt for å skildre og forstå

Detaljer

Eksamen i Geometrisk Modellering

Eksamen i Geometrisk Modellering Eksamen i Geometrisk Modellering STE6038 Sivilingeniørutdanningen ved Høgskolen i Narvik, Produktutformingsteknologi (1. PUT), 9. august 1995 Til denne eksamenen er alle skrevne hjelpemidler samt alle

Detaljer

Permutasjoner og symmetriske grupper

Permutasjoner og symmetriske grupper 4. Del Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere kommer av det latinske verbet permutare og betyr å bytte om, og ombyttinger,elleraltsåpermutasjoner,ernoevikjennerfradagliglivet.imatematikker

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære

Detaljer

Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag)

Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag) Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag 1 Grunnleggende mengdelære La A = {0, {0}} og B = {0, {0}, {0, {0}}}. Er følgende påstander sanne eller usanne? 1 {{0}} A 2 0 B 3 A B 4 A B 1 Usann 2 Usann 3 Sann

Detaljer

Emnenavn: Matematikk for IT. Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide

Emnenavn: Matematikk for IT. Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide EKSAMEN Emnekode: ITF75 Dato: 4. desember 6 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Emnenavn: Matematikk for IT Eksamenstid: 9. 3. Faglærer: Christian F Heide Kalkulator er ikke

Detaljer

Ringen av Endelige Mengder

Ringen av Endelige Mengder Ringen av Endelige Mengder John Rognes 29. oktober 2010 Dette foredraget handler om hvorfor man i mange tusen år har regnet med hele tall i stedet for med endelige mengder, og om hvordan det kanskje kan

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Gröbnerbaser og kryptosystemet HFE

Gröbnerbaser og kryptosystemet HFE Gröbnerbaser og kryptosystemet HFE Jon Inge Kolden Master i fysikk og matematikk Oppgaven levert: Juni 2009 Hovedveileder: Aslak Bakke Buan, MATH Biveileder(e): Petter Andreas Bergh, MATH Norges teknisk-naturvitenskapelige

Detaljer

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}.

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon Martin Giese - 23. januar 2008 1 Mengdelære 1.1 Mengder Mengder Definisjon 1.1. En mengde er en endelig eller uendelig samling objekter der innbyrdes rekkefølge og

Detaljer

Permutasjoner og symmetriske grupper

Permutasjoner og symmetriske grupper Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere betyr å bytte om, og ombyttinger, eller altså permutasjoner, er noe vi kjenner fra dagliglivet. I matematikk er de også flittig i bruk, de fleste har

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 9

MAT Grublegruppen Notat 9 MAT1100 - Grublegruppen Notat 9 Jørgen O. Lye Gruppeteori Oppvarmingseksempel La oss som vanlig ta en historisk vinkling. En klassisk måte grupper (som jeg straks skal denere) oppstod er gjennom å lete

Detaljer

To nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner

To nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner To nyttige begreper Det er to begreper fra mengdelæren som til stadighet vil bli brukt i dette kurset, og som vi av erfaring vet kan være tungt fordøyelig for endel studender. For å få en skikkelig forståelse

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

EKSAMEN. Emne: Emnekode: Matematikk for IT ITF Dato: Eksamenstid: til desember Hjelpemidler: Faglærer:

EKSAMEN. Emne: Emnekode: Matematikk for IT ITF Dato: Eksamenstid: til desember Hjelpemidler: Faglærer: EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 05 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: 09.00 til 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Skolemfunksjoner; Andreordens logikk. Andreas Nakkerud. 10. september 2015

INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Skolemfunksjoner; Andreordens logikk. Andreas Nakkerud. 10. september 2015 INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Skolemfunksjoner; Andreas Nakkerud 10. september 2015 Henkin-vitner Theorem La T være en teori med språk L, slik at T xφ(x), hvor FV (φ) = {x}. La c være en konstant som

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 0:, Induksjon Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 23. januar 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 23.01.2008 2 / 47 1

Detaljer

Eksamen MAT H Løsninger

Eksamen MAT H Løsninger Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle

Detaljer

VIDUNDERLIGE NYE RINGER. John Rognes

VIDUNDERLIGE NYE RINGER. John Rognes VIDUNDERLIGE NYE RINGER John Rognes Innledning Denne artikkelen er basert på forfatterens foredrag ved Norsk Matematisk Forenings årsmøte 2002, holdt den 20. mars i Oslo. I kapittel 1 skal vi gi en elementær

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Forelesning 2. Boolsk algebra og logiske porter

Forelesning 2. Boolsk algebra og logiske porter Forelesning 2 Boolsk algebra og logiske porter Hovedpunkter Toverdi Boolsk algebra Huntington s postulater Diverse teorem Boolske funksjoner med sannhetstabell Forenkling av uttrykk (port implementasjon)

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1. Onsdag 18. september Løsningsforslag

Matematikk for IT. Prøve 1. Onsdag 18. september Løsningsforslag Matematikk for IT Prøve 1 Onsdag 18. september 2013 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Er 26 11 (mod 3)? Begrunn svaret. Dette spørsmålet betyr: Gir 26 : 3 samme rest som 11 : 3? Vi ser at 26 : 3 gir rest 2,

Detaljer

Om forholdet mellom produkt og barysentrisk oppdeling av simplisialkomplekser

Om forholdet mellom produkt og barysentrisk oppdeling av simplisialkomplekser Om forholdet mellom produkt og barysentrisk oppdeling av simplisialkomplekser Vegard Fjellbo Matematisk institutt Universitetet i Oslo rvfjellb[at]student.matnat.uio.no 28. mai 2009 En prosjektoppgave

Detaljer

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

VINKELENS TREDELING, KUBENS FORDOBLING OG SIRKELENS KVADRATUR. Dan Laksov

VINKELENS TREDELING, KUBENS FORDOBLING OG SIRKELENS KVADRATUR. Dan Laksov Forum för matematiklärare VINKELENS TREDELING, KUBENS FORDOBLING OG SIRKELENS KVADRATUR Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2007 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse VINKELENS TREDELING,

Detaljer