Sfunnsøkono ndre vdelng, kroøkono, Dderk Lund, 9.rs 22 Vdereutvklng retn. velferdsteor: Koplette rkeder, S tlstnder, hoogene oppftnnger Spesltlfelle v odellen kp. 2: S tlstnder og S forskjellge verdpprer (Kunne få se resultt ed flere pprer enn tlst. For enkelhets skyld: ntr (for lle s t ppr nr. s får verden (f.eks. en krone tlstnd s, en ngentng de ndre tlstndene (Bre en forenklng, kunne droppe denne ntkelsen Slke verdpprer klles eleentære tlstndsbetngede krv eller rrow-debreu-verdpprer L p s være prsen på ppr s ved t Kn nt t det tllegg fns et rskofrtt verdppr S Må h / R p s s ( hvorfor? Hr d spesltlfelle v odellen v llerede kjenner Førsteordensbetngelsen for verdppr (,, S : ~ ~ E u C ( R R [ ( ] π u ( C ( R S π u ( C R s π su ( Cs R sden R s er null for lle s L λ S s π su ( Cs R, denne hr kke noe speselt ed verdppr å gjøre Sden utfllet tlstnd for vkstnngen på verdppr nr. er R / p, fnner v π u ( C / p λ for lle -D-verdpprene; jfr. Vrn s. 383 øverst R S s s s s
Sfunnsøkono ndre vdelng, kroøkono, Dderk Lund, 9.rs 22 Velferdsteor for koplette rkeder (Vrn, vsn. 9.5 og 2.7 Hovedte velferdsteoren: Senheng ello frkonkurrnseløsnng og Preto-optu Gjelder se resultt under uskkerhet? ntr fortstt: Bre to peroder, lle er rskoverse, hoogene oppftnnger, S tlstnder Preto-optu ex nte betydnng, sett fr t Etter t en frkonkurrnseløsnng er funnet: Fns det fortstt gjensdg fordelktge, kke utnyttede ulgheter for å bytte rettgheter tl nntekter ved t? Ne, kke hvs lle ndvder hr se rgnle substtusjonsbrøker ello rettgheter tl nntekt ethvert pr v tlstnder MSB for ello tlstndene og b: ~ de [ u ( C ] π u ( C dc + π bu ( Cb dcb dcb π u ( C dc π bu ( Cb Fr lknngen nederst forrge sde (Vrn s. 383: π ( j ( j u C u C p π π u C p π u C b ( b b b j ( Hr dered vst t MSB ello tlstndene og b, både for og j blr lk prsforholdet vhengg v koplette rkeder, d.v.s. t det fns lke nge kptlobjekter so tlstnder; objektene å h Vs-vektorer so er lneært uvhengge F.eks. et fullt sett v eleentære tlstndsbetngede krv, lte relstsk, en teoretsk nteressnt jb 2
Sfunnsøkono ndre vdelng, kroøkono, Dderk Lund, 9.rs 22 Kptlverdodellen (Vrn vsn. 2.4 Et nnet spesltlfelle v den generelle odellen kp. 2 (jfr. trnsprent 4 for 8. rs Forutsetter kke lenger lke nge verdpprer so tlstnder Forutsetter stedet forventnng-vrns prefernser (jfr. Vrn vsn..7, trnsprent for 3. rs ktørene bryr seg bre o forventnng og vrns tl konsuet ved t, EC (,vr( C, st o konsuet ved t, c Begrunnelse for forventnng-vrns prefernser: o lle ktører hr kvdrtske u -funksjoner, eller o lle ulge C norlfordelte Tl dsse to lterntve ntkelsene svrer to forenklnger v førsteordensbetngelsene for nyttekserng (so vser seg å føre tl se resultt: o u -funksjonen kvdrtsk u -funksjonen er lneær, u( C 2bC; b en postv konstnt o C norlfordelt lknngen øverst s. 38 hos Vrn: cov( u( C, E u( C cov( C, o Denne sste lknngen oftter også tlfellet ed kvdrtsk u -funksjon, sden v får u( C 2b og cov( 2 bc, 2bcov( C, Begge tlfeller: cov( u( C, E u( C cov( C, 3
Sfunnsøkono ndre vdelng, kroøkono, Dderk Lund, 9.rs 22 Kptlverdodellen, forts. Skl utlede Kptlverdodellen (Cptl sset Prcng Model (CPM, Vrn lkn. (2.7 Først utledet v Shrpe (964, Lntner (965, Mossn (966, grunnleggende fnnsteor Førsteordensbetngelse for ndvd for ppr (trnsprent 4, 8. rs: cov u( C, R R E u( C Forutstt kvdrtsk nytte eller norlfordelng: Kn oforuleres v.h.. kovrns-forel forrge sde: For lle og : R ( C cov u ( C, E u ( C cov, R E u( C E u( C L x,, x være vektene en portefølje v bre de rskble verdpprene (so på trnsprent, 8. rs, en ed x, slk t x L Z bl nvestert denne porteføljen ved td L Z være verden v nvesterngen ved td, gtt ved V V Z Zx + + Zx p p D blr vkstnngen på porteføljen, R, defnert so Z V x xr Z p 4
Sfunnsøkono ndre vdelng, kroøkono, Dderk Lund, 9.rs 22 Kptlverdodellen, forts. Lknngen dt på forrge sde gjldt for lle og ; tr for hver et ved sntt v høyre og venstre sde: E u ( C x R R x C R E u( C ( cov (, Sden xcov ( C, R cov ( C, xr for lle konstnte x, og sden xr R, kn dette forenkles tl: E u ( C R R cov C, R E u( C ( Se lknng gjelder både R og det vede snttet R ( C E u( C ( C cov, cov, R R E u ( C R R Dropp leddet dten; t suer over lle ndvder: I ( C I ( C cov, cov, R R R R Nevnerne er de se lle leddene hver su; nok å cov C, cov C, suere tellerne; ( ( 5
Sfunnsøkono ndre vdelng, kroøkono, Dderk Lund, 9.rs 22 Kptlverdodellen, forts. I Defner C gg C, ggregert konsu ved t nt nå t dette utelukkende består v verden v nvesternger verdpprene,, L C gg C,gg + C,gg, der første ledd er ggregert rskofr nvesterng, og ndre ledd er ggregert rskbel nvesterng, begge verdstt ved t D er C,gg verden ved t v porteføljen v lle rskble verdpprer, rkedsporteføljen L denne være Z so defnert forn; Z er suen nvestert lle de rskble verdpprene ved t : Z C,gg vkstnng på rkedsporteføljen: Z Z D er cov( C gg, cov( C,gg, + cov( C,gg, cov( C,gg, cov( Z, Z cov(, Tlsvrende: cov( C gg, Z cov(, Z vr( cov ( C gg, cov ( C gg, Fr forrge sde: R R R R cov(, R R ( R R β( R R vr( Dette er lknng (2.7 hos Vrn, CPM Hr defnert β so forholdet ello kovrnsen og vrnsen; et ål for rskoen knyttet tl verdppr Kovrnsen åler bdrget fr tl uskkerheten R 6
Sfunnsøkono ndre vdelng, kroøkono, Dderk Lund, 9.rs 22 Kptlverdodellen: Hv er relevnt rsko? Konsekvensene for beslutnnger et ksjeselskp so er oppttt v størst ulg rkedsverd nt selskpet er fullt ut fnnsert ed egenkptl, slk t den uskre kontntstrøen selskpet ved t er lk den slede verden v ksjene, VX, der X er ntllet ksjer selskpet hr utstedt Slet rkedsverd v selskpet ved t er px For enkelhets skyld kn v nå sette X lk D er vkstnngen gtt ved V / p, og CPM gr V V R R + cov, λ (* p p λ ( R R /vr( er kke vhengg v Vs t (* kn ofores tl p V λ cov( V, R Vs t dette kn tolkes so nåverd v en skkerhetsekvvlent, en t denne skkerhetsekvvlenten er noe nnet enn den for CR so v fnt på trnsprent for 3. rs hvorfor? Vs t hvs selskpet består v to prosjekter, b og c, slk t V V b + V c, så vl verden ved t v suen v prosjektene, p, være lk suen v verdene ved t v prosjektene verdstt hver for seg, pb + pc Denne egenskpen klles verdddtvtet gjelder den også for skkerhetsekvvlenten for CR? Kn v s t et ksjeselskp vser rskoversjon? 7
Ekstr øvngsoppgve, kroøkono, ndre vdelng, rs 22 En bonde på Østlndet hr ål jord, so skl deles ello å dyrke bygg og rug. I lle fll koster det kr. per ål såkorn, gjødsel etc. Bygg er en stbl vekst, so gr en vlng verdt 5 kr. per ål. Det er /3 sjnse for t frosten ødelegger rugvlngen, så den blr verdløs; ellers er den verdt 3 kr. per ål. Bonden hr ngen ndre nntekter. ( Vs hvordn nettonntekten x hver v de to ulge tlstndene blr en funksjon v B, so er ntll ål bygg. Bonden kserer forventet verd v en nyttefunksjon, u(x. Hv er betngelsen for optl fordelng v jord ello rug og bygg? (b Hv blr optl fordelng derso u(x n x? I (c kn en nt t lle hr logrtsk nyttefunksjon, so (b. (c Bonden hr en venn Trøndelg so hr lke stor gård, og so på lle vs står se stusjon. Været Trøndelg er stokstsk uvhengg v det på Østlndet. De to bøndene kn vtle å hjelpe hverndre hvs det går godt for den ene og dårlg for den ndre. Dskuter hvordn v skl odellere vtlen ello de to, og hv so er en relg ålfunksjon for prtene. Hv er den optle vtlen, og hv er den optle fordelngen ello rug og bygg for hver v de? 8