Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9 99 99: 8 87 99: 8 99: 97 Fnn følgende karakterstka for dette datasettet, dersom det som det spørres etter er menngsfullt: a) Modus (typetall) Modus er det tallet som forekommer hyppgst. I dette utvalget forekommer hvert tall bare en gang, og utvalget har derfor kke noe modus. b) Medan Medan er den mdterste verden når lsta er sortert. Her er lsta sortert: 8 87 9 99 9 87 8 8 79 8 87 8 97 Sden antall tall lsta er et partall, er det kke ett tall som er det mdterste. De to mdterste verdene er 8 og 79, og medanen er gjennomsnttet av dsse, altså ~ 8 79 x =
c) Gjennomsntt (mddelverd) Dette er x = (9 87 + 8 + 8 + 8 + 79 + 87 + 9 99 + 8 87 + 8 + 97) / = d) Varasjonsbredde Varasjonsbredden er største tall mnus mnste tall datasettet, altså 97 8 87 = 89 e) Varans (utvalgsvarans) s n n x x x ((8 9 87 ) (9 99 ) (9 87 ) ( 8 ) ( 8 ) (97 ) ) ( 8 ) ( 87 ) ( 79 ) ( 8 ) (88 9 9 89 8 9 79 9) 9 8 89 9.89 f) Standardavvk (utvalgsstandardavvk) s 89.89.7 Statstkk og økonom, oblg Sde
Oppgave La den stokastske varablen være antall seksere ved kast med tre ternnger. a) Fnn verdmengden tl. Verdmengden tl er mengden av de verder kan ha. Hvs man kaster med tre ternnger, kan man få,, eller seksere. Følgelg er V,,, b) Fnn sannsynlghetsfordelngen tl. Den enkleste regnngen får v her ved å nnse at dette er et bnomsk forsøk med tre delforsøk med p (sden hver av ternngene er uavhengge av de andre og kan derfor betraktes som tre uavhengge forsøk, og sannsynlgheten for å få sekser på hver av ternngene er /). V får da ) ) ) ).9.79.7. Hvs en kke ser at dette er et bnomsk forsøk (for eksempel ford dere gjorde denne oppgaven før v hadde gjennomgått bnomsk fordelng), kan man tenke slk: Ved kast med ternng er alle seks utfall lke sannsynlge, og v kan derfor regne sannsynlgheter ved å telle gunstge på mulge. Vdere er det vktg å tenke på at de tre ternngene er uavhengge av hverandre. V vet at når hendelsene A og B er uavhengge, vl P( A B) P( A) P( B) Skal v da regne ut sannsynlgheten for seksere, kan v regne ut dette som sannsynlgheten for kke å få sekser på den første ternngen ganger sannsynlgheten for kke å få sekser på den andre ternngen ganger sannsynlgheten for kke å få sekser på den tredje ternngen. Sannsynlgheten for kke å få sekser på en ternng fnner v ved gunstge på mulge tl å være /. V får derfor Statstkk og økonom, oblg Sde
).79 Skal v få en sekser, kan v få dette på den første ternngen og ngen sekser på de to andre, eller en sekser på den andre ternngen og ngen på den første og tredje osv. V får da ).7 Måten v kan få to seksere på, er ved å få seksere på de to første ternngene, de to sste, eller på første og sste. Sannsynlgheten blr da ).9 Det er bare en måte å få tre seksere på, nemlg ved at alle tre ternnger blr sekser: ). Oppgave La være antall systemsvkt neste uke et nytt datasystem. Sannsynlghetsfordelngen er gtt følgende tabell: x P( = x)....7. a) Tegn et sannsynlghetshstogram for denne fordelngen. Statstkk og økonom, oblg Sde
Sannsynlghetsfordelng - antall systemsvkt neste uke,,,,,,,,,, b) Fnn forventnngsverd. x P( x )....7..9 c) Fnn varans og standardavvk. x. P( ) x...7.98.8 =...9.. d) Tegn den kumulatve fordelngsfunksjonen F(x) for. Statstkk og økonom, oblg Sde
e) Fnn P( > ). Denne kan v regne ut på flere måter: P( > ) = P( = ) + P( = ) =.7 +. =. Alternatvt kan v regne slk f) Fnn P( < ). P( > ) = F() = (P( = ) + P( = ) + P( = ) = (. +. +.) =. ) P( ) P( ) P( )...7 Anta nå at bedrften som leverer dette datasystemet må betale et gebyr basert på hvor mange ganger løpet av en uke systemet svkter. Dette gebyret beregnes som g ( ) g) Hva er forventnngsverden tl gebyret? E g( ) E Statstkk og økonom, oblg Sde
E( ) E( ) E() Husk her at E ( ) x P( x ). 98 som v fant da v regnet ut varansen. Følgelg får v E g( ).98.9 9 Oppgave Følgende tabell vser smultanfordelngen tl og Y. x y P( = x)........ P(Y = y)... a) Beregn E() og E(Y). E( ) x P( x )... E( Y ) b) Fnn E( Y). Y y P( Y y ).... E ( Y) j x y j P( x Y y ) j Her blr alle leddene null unntatt ett, nemlg for x = og y =. Følgelg: E ( Y).. c) Fnn kovaransen og korrelasjonen. Cov (, Y) E( Y) E( ) E( Y)... Når kovaransen er null er også korrelasjonen null. Dette ser v også av defnsjonen av korrelasjonen: Cov(, Y ) (, Y ) Corr(, Y ) Y Y Statstkk og økonom, oblg Sde 7
d) Undersøk om varablene er uavhengge. V må her undersøke om P x Y y ) P( x ) P( Y y ) for alle mulge par av x og y. Her ser v for eksempel at ( j j mens Y ). ) P( Y )... P( Y ) Konklusjonen er altså at selv om korrelasjonen er så er kke varablene uavhengge. Oppgave En keramker produserer fem tekanner. Sannsynlgheten for at en kanne må vrakes, er p =.. Anta at hvorvdt en kanne blr vraket er uavhengg av hvorvdt de andre kannene blr vraket. La være antall vrakede kanner blant de fem. a) Fnn P( = ). Dette er et bnomsk forsøk med fem delforsøk og p =.. Følgelg er ). (.). b) Tegn opp sannsynlghetsfordelngen tl. Dette kan v enten regne ut eller slå opp en tabell: ). (.).78 ). (.).9 ). (.). ). (.). ). (.).77 ). (.). Statstkk og økonom, oblg Sde 8
,,,,,,,,,,,,,,7,7,8,8,9,9 bn (,.),,,,,,,, Oppgave Noen soldater kaster mynter mot en vegg, og det gjelder å komme nærmest mulg veggen for å vnne. La være avstanden meter fra veggen tl der Magnes mynt lander. Følgende sannsynlghetstetthet er en god modell: ( x) f ( x) x ellers a) Tegn sannsynlghetstettheten.,,,, b) Skraver arealet som tlsvarer P (..8). Statstkk og økonom, oblg Sde 9
,,,,,,,,,,,,,,7,7,8,8,9,9,,,, c) Beregn sannsynlgheten P (..8)..8 P (..8) f ( x) dx ( x) dx.8..8..8 x x ( x x ) dx x..8.8.8 (... ).7.97.9. 7 d) Beregn hvor nær veggen Magne kan forvente at mynten lander. E( ) x f ( x) dx x( x) dx ( x x x ) dx x x x. ( ) ( 8 ). Statstkk og økonom, oblg Sde
e) Fnn standardavvket tl. V må først fnne varansen: x f ( x) dx x ( x) dx. ( x x x ) dx. x x. x ( ). ( ) ( ). Standardavvket blr da...7.7.9 Statstkk og økonom, oblg Sde