5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet lger forundet med det frykteligste mn kn tenke seg innen mtemtikken: Bokstvregning. Det er synd, for kn mn de vnlige regnereglene for tll i mtemtikken, er fktisk regning med okstver mye, mye, mye enklere. Å legge smmen tllene 134,3438 og 89,6753 er for eksempel ikke enkelt uten ppir og lynt eller klkultor. Å legge smmen og 3 er imidlertid usedvnlig enkelt: 4. Og end enklere er det å legge smmen og : + = +! Poenget er t lle regneregler som gjelder tll, gjelder med okstver! Og kn dere dem ikke med okstver, kn dere dem snnsynligvis ikke skikkelig med tll heller! Kpitlet er mye repetisjon, merk dere særlig røkregning, og det ender opp med repetisjon v likninger og ulikheter: Dette er svært viktig før neste kpittel der dere skl lære å løse ndregrdslikninger og likningssett! Kpitlet ygger på kpitlene 1, og 3! Tommy & Tigern, ind, side 9, midten Oppgver Innhold Dto 5.1, 5., 5.3, 5.4, 5.5 5.1 Tll og tllmengder: Vi trenger nvn på ulike tlltyper. De vnlige telletllene, er nturlige og mengden, sekken der de ligger, klles N. Dersom vi vil h med null, kn vi skrive N 0. De hele tllene kn også være negtive, og den sekken, mengden, klles Z. Svært mnge tll, også de negtive og de hele, kn skrives som en røk, rsjonle tll som klles Q. Også hr vi noen flotte tll som ikke kn skrives som røk, men som likevel er rukre tll, irrsjonle. Skl vi h med dem også, må vi h et nvn på lle virkelige tll, nturlige, hele, røker og irrsjonle tll, R, som er lle reelle tll. Det er de tllene vi skl kunne ruke i videregående skole. (Det fins også noen uvirkelige tll, imginære i vår tid skulle de knskje vært klt virtuelle tll som noen v dere kn komme orti seinere: De ligger ikke på tllinj vår, i motsetning til lle de reelle! Intervller: Fr 3 til 5, ltså lle tll mellom 3 og 5: (åpent intervll Fr og med 3 til 5, ltså lle tll mellom 3 og 5, medregn tllet 3: Fr og med 3 til og med 5: ] (lukk intervll Elementtegnet:, x er element i, ltså fins mellom 3 og 5. ], x ligger utfor intervllet fr og med 3 til og med 5. Snitt og union: Tegnene kjenner dere fr forrige kpittel, og de kn rukes smmen med intervller også:. Legg merke til t det ikke er noe hull i intervllet!. Når det gjelder snitt, er vi på jkt etter det som er felles:. Noen intervll hr ikke noe felles:, den tomme mengde (overstreket null. 1/1 1
Oppgver Innhold Dto REGNES UT dvs. uten ruk v 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.10 5.11(U 5. Kvdrtiske likninger og produktregelen: Likninger med hr ofte løsninger.(de kn h ei eller ingen løsning også. De enkleste inneholder ett ledd med smt et ledd som er tll, og de løser vi som vnlige likninger, vi fnger leine på venstre side, og så kn vi trekke ut rot på egge sider. Legg merke til t vi får åde pluss og minus, ±, når vi tr kvdrtrot (og fjerde, sjette osv. rot. (Kvdrtiske likninger. Generelt sett ser likning slik ut: Noen hr et x-ledd i tillegg til -leddet: D skffer vi oss null på høyre side, fktoriserer og setter hver v fktorene lik null: Det lir fort to løsninger. Generelt sett ser likning slik ut: ( Den generelle ndregrdslikning hr tre ledd:. Denne løses ved hjelp v formel seinere i kpitlet (side 170. 13/1 Husk på t TI-nspire løser lle likninger og ulikheter med solve. For eksempel solve(x^=64,x gir Innføring kpittel 4: 4.114, 4.116, 4.134, 4.138 17/1 5.1, 5.13, 5.14 5.15(U, 5.16(U 5.17, 5.18, 5.19, 5.0, 5.1 5.(U 5.3 Formelregning: Mn snur på formler og finner svr ved hjelp v reglene for likninger. Derfor husker mn lltid re på én versjon v en formel. Arelet v et rektngel med rel A, lengde l og redde er: Vi kn snu på formelen for å finne en formel for lengden:. Eller redden:. 5.4 - Konjugtsetning: Dere skl nå lære 3 setninger som ikke er nødvendige, re nyttige. Og det etyr t dere skl ruke dem! Setningene kn rukes egge veger, og dersom vi ruker dem klengs, kn de fktorisere vnskelige uttrykk for oss, og det er nyttig. 1 Konjugtsetning er vkker: ( ( Brukt klengs ser vi t differnsen mellom to kvdrter lltid kn skrives om et hyggelig produkt! 17/1 17/1 Husk på t TI-nspire kn fktorisere: Og gnge ut: Prøve kpittel 4 19/1 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7 5.8(U 5.9(P 5.5 Første kvdrtsetning: Denne gir oss et svr med tre ledd i stedet for de fire vi får hvis vi vil unngå setning. 1. kvdrtsetning: ( 5.5 Andre kvdrtsetning: Denne gir oss også et svr med tre ledd i stedet for de fire vi får hvis vi vil unngå setning. 3. kvdrtsetning: ( 0/1 Løsning v oppgve 5.6 husk på t dere skl regne ut: 5.30, 5.31, 5.3, 5.33, 5.34 5.35(U 5.6 Fullstendig kvdrt: Her skl vi ruke første og ndre kvdrtsetning klengs for å fktorisere det er ikke det viktigste i verden, vi skl lære en generell metode seinere, men det er en nyttig intellektuell øvelse! ( ( Det er vnskelig å kjenne igjen midtleddet, det doelte v første og siste gng smmen. (, men er ikke fktoriserr! 0/1
Oppgver Innhold Dto 5.36, 5.37, 5.38, 5.39, 5.40, 5.41 5.4(U 5.7 Fktorisering og forkorting v røkuttrykk: Like fktorer i lle ledd i et uttrykk, kn settes forn en prentes der det som lir igjen, lir stående inni prentesen! Dette er spesielt viktig når du skl se om du kn forkorte en røk, og teller eller nevner estår v flere ledd, for eksempel med okstvuttrykk! Av og til må vi ruke kvdrtsetningene eller konjugtsetning for å fktorisere! 6/1 Løsning v oppgve 5.4 husk på t dere skl regne ut: 5.43, 5.44, 5.45, 5.46, 5.47 5.8 Løsningsformel for ndregrdslikninger: Alle ndregrdslikninger kn skrives slik: x x c 0 Når tllet er lik null, er det lett å fnge x leine på venstre side og deretter å trekke ut kvdrtrot på egge sider. (Se 5. Når tllet c er lik null, kn vi dividere lt med og fktorisere venstre side og løse slik vi hr gjort tidligere. (Se 5. Når ikke er null, er det verre. i 5.6 lg vi et fullstendig kvdrt vh. 1. eller. kvdrtsetning v x-leddene og deretter trkk vi ut rot: Elegnt og litt vnskelig. Metoden rukes for å lge en generell formel for lle ndregrdslikninger: x ( x x c 0 x 4c x ( x c ( x 4c x ( x c ( 4c Fordi denne utregning stemmer for solutt lle, og c dersom ikke er null, men d hr vi jo ingen ndregrdslikning er dette den generelle formelen for å løse ndregrdslikninger! Den er ikke pen, men den er ekstremt nyttig! 7/1 Trenger vi minne dere på likningsløsning? 5.48, 5.49, 5.50, 5.51 5.5(U 5.53, 5.54, 5.55, 5.56 5.57(U 5.9 Bruk v ndregrdslikninger: Dere kn få ruk for ndregrdslikninger i mnge smmenhenger. Av og til dukker de opp i geometrioppgver, og ikke sjelden trenger vi å løse dem i forindelse med funksjoner og grfer! Sjøl om formelen står i formelsmling deres, må dere fktisk kunne den og være flinke til å ruke den! 5.10 Likninger med røker: Regler for likninger er greie: Gjør hv du vil (uten å gnge eller dele med null på egge sider v likhetstegnet. Og i ei likning kn du lltid få vekk lle røker, hvis du vil sjøl om du kn ende opp med en røk som svr. Det etyr t vi multipliserer med fellesnevneren. Dersom x er i nevner, får vi den opp dersom vi gnger vekk nevnerne. Et tilleggsprolem møter vi dersom en nevner med x kn være lik null! Slike løsninger er urukelige! Når en røk er lik en nnen røk, er kryssmultiplisering en flott metode. 7/1 31/1 3
Oppgver Innhold Dto 5.58, 5.59, 5.60, 5.61, 5.6, 5.63 5.64(U 5.11 Smmentrekking v uttrykk med den ukjente i nevner: Husk på t vi re kn fjerne nevnere i likninger (og v og til i ulikheter. I mtemtiske uttrykk må vi t vre på nevnerne, ellers er metoden ikke ny: Skl dere legge smmen og/eller trekke fr hverndre røker, må dere h fellesnevner! Skl dere gnge eller dele røker, skl dere ikke h fellesnevner. Alle vnlige tll kn skrives som røk, heltllene med 1 i nevner. Dette gjelder unsett uttrykk og unsett om det er tll og/eller okstver i uttrykket! / Trenger vi minne dere på metoden for å forenkle uttrykk? 5.65, 5.66, 5.67, 5.68 5.69(U, 5.70(U 5.71, 5.7, 5.73, 5.74, 5.75, 5.76 5.77(U 5.1 Brudden røk: Vi ruker som dere veit ikke lenger lnd tll! Brøker kn godt h tellere som er større enn nevner. Men lle røker skl dersom det er mulig forkortes så mye som mulig: Fktoriser teller og nevner og stryk like fktorer oppe og nede! Husk på t det også er lov å gnge med smme tll oppe og nede i en røk, også i en røk som står i teller. Og i en røk som for eksempel står i teller til en nevner til en nevner til en teller til en nevner i en røk! Alle røker med smårøker i seg, rudne røker, kn gjøres om til en enkel røk ved å gnge oppe og nede i røker med smme tll, og forkorte! En rudden røk er en røk med ny(e røk(er i teller og/eller nevner. Vi får dem lltid til å li vnlige røker ved å gnge oppe og nede i hovedrøken med fellesnevner for smårøkene! 5.13 Fktorisering v ndregrdsuttrykk: Alle ndregrdsuttrykk kn fktoriseres ved hjelp v formelen for løsning v ndregrdslikninger. Hvis vi kller løsningene for x 1, x osv., hr vi formelen: ( ( Dette gjelder også dersom de to løsningene er like. Og det gjelder generelt for n-tegrdsuttrykk: ( ( ( Dette er det endelige hjelpemiddelet for å fktorisere og forkorte røker! / 3/ Et pr v oppgvene 5.76c og 5.77 løst med hjelpemidler: 5.78, 5.79, 5.80, 5.81 5.8(U 5.14 Likningssett som ikke er lineære: I kpittel.4 lærte dere innsettingsmetoden for likningssett. Og dette gjldt re lineære likningssett, dvs. med x i første grd. Dere lærte å finne den ene ukjente vh. den ndre i ei v de to likningene, deretter sette inn dette svret i den ndre likning slik t dere kunne løse den; svret dere fikk stte dere inn i den første for å finne den ndre. Denne metoden (men ikke ddisjonsmetoden som noen v dere kn virker også på ikke-lineære likningssett: Dersom ei v likningene er v første grd, finner dere den ene ukjente uttrykt ved den ndre i den likning og ruker innsettingsmetoden derfr: Det lir fort flere løsninger! (Dersom egge likningene er v ndre grd, velger dere likning fritt, og det lir litt mere å psse på! Dere lærte også å ruke GeoGer for å løse likningssett: Vi tenker oss hver v de to likningene som en rett linje. Disse kn vi tegne på vnlig måte i et koordintsystem. Løsning ligger i skjæringspunktet mellom de to grfene. Der kn vi lese v åde x og y. 4 9/
Oppgver Innhold Dto Denne metoden virker på lle funksjoner, ikke re rette linjer, og det kn godt være vi finner flere skjæringspunkt, ltså flere løsninger. Dere lærte også å ruke TI-nspire for å løse likningssett. Den metoden virker for lle typer likningssett. Skriv inn likningene på en v disse to måtene og løs. Husk lle kommene! 9/ 5.83, 5.84, 5.85, 5.86, 5.87, 5.88, 5.89 5.15 Smmenstte eksempler: Her møter dere ei større oppgve som tr for seg mnge v teknikkene dere hr lært i kpitlet. Det er viktig å se smmenhenger når dere lærer noe, knskje spesielt i mtemtikk der lt ygger på noe dere hr lært tidligere! Prøv dere på oppgvene! 9/ Smmendrg v kpitlet - side 186 (Bok 1T: Dette er stoff som psser på en huskelpp for kpittel 5. Test deg selv - side 187 (Bok 1T: Utfør testen på egen hnd en stille ettermiddg. Deretter retter du utfr løsningene på side 304-308. Klrer du hlvprten, hr du såvidt klrt en 3er! En tredel gir deg ståkrkter og fire femdeler er en 5er! Øvingsoppgvene til kpitlet - side 188-199 (Bok 1T: Fsit side 335-34. Tommy & Tigern (Clvin & Hoes: Innføring til kpitlet: 5.181, 5.1, 5.1 Prøve i kpittel 5: 5 Tommy & Tigern, ind 3, side 94, øverst og midt 9. jnur 01 Thor Hermn & Hns