Oppgave 3, SØK400 våren 00, v/d. Lnd En bonde bonde dyrker poteter. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 0. Hvs det blr frost, blr avlngen. Naboen bonde, som vl være tsatt for samme vær, dyrker også poteter, men på en annerledes åker. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 6. Hvs det blr frost, blr avlngen 4. De to bøndene lever på et solert sted ten andre mennesker, og de konsmerer bare poteter. Avlngene er nettotall, dvs. avlng t over behovet for settepoteter for den følgende peroden. Sannsynlgheten for mldvær er, og sannsynlgheten for frost er. Begge bøndene oppfatter stasjonen slk den er beskrevet her. Anta at hver bonde maksmerer forventet nytte M F +, hvor er en strengt økende og strengt konkav nyttefnksjon, og hvor M er konsmert mengde poteter for bonde hvs det er mldvær, og F er konsmet hvs det blr frost. Endret notasjon for konsmet fra X tl. a Illstrer en Edgeworth-boks hvordan det kan tenkes at bøndene har nytte av å nngå en avtale om delvs bytte av avlng. D kan anta at avtalen vl bl nngått før været blr kjent, og at den oppfattes som bndende for begge parter. Svar: Vl først forklare hva en Edgeworth-boks er for dette tlfellet. Må starte med ndfferenskrver for en av bøndene. Det som følger, er hentet fra et forelesnngsnotat, og kanskje kke formlert akkrat som en eksamensbesvarelse.
Indfferenskrver for tlfellet S Margnal sbsttsjonsbrøk er b b a a Langs skkerhetslnja 45-graders-lnja, der a b, blr MSB lk b a b b a a
Edgeworth bytteboks for to tlstander Lengden på horsontal sde: Samlet tlgjengelg konsm neste perode tlstand Lengden på vertkal sde: Samlet tlgjengelg konsm neste perode tlstand Krav på dsse er de to varene som nngår de to ndvdenes forventede nytte Bytteboksen fortsetter at de to ndvdene tgangspnktet eer slke krav på tlsammen alt tlgjengelg konsm, altså et pnkt dagrammet Tangerngspnktene gr Pareto-optmale allokernger Hvs tgangspnktet kke er Pareto-optmalt: Mlg å foreta bytte av krav som er fordelaktg for begge Hvs boksen er kvadratsk: All skkerhet kan nngås Hvs kke kvadratsk: Mnst en må bære rsko Speselt fgren: Samme -fnksjon for begge 3
b Vs Edgeworth-boksen hvlke allokernger som er Pareto-optmale. Brk ttrykkene for forventet nytte tl å tlede førsteordensbetngelsen for Pareto-optmale allokernger. Svar: Førsteordensbetngelsen er lkhet mellom margnale sbsttsjonsbrøker for bøndene, der v kan elmnere sannsynlghetene, sden oppfatnngene er lke M F M F 6 6 M F I den sste brøken har v satt nn for samlet, tlgjengelg konsm mns den delen som går tl bonde svar sltt Anta resten av oppgaven at for hver bonde har fnksjonen følgende form e, hvor k er en postv konstant, som kan være den samme for begge bønder eller ha to lke verder. c Forklar betydnngen av konstanten k denne nyttefnksjonen. Svar: Regn t den førstederverte og den andrederverte, og vs at k er lk absoltt rskoaversjon svar sltt d Brk resltatet nder pnkt b tl å fnne et eksplstt ttrykk for hvlke allokernger som er Pareto-optmale. Hnt: Sett nn de eksplstte fnksjonsformene for 4
og betngelsen nder pnkt b og foreta en logartmsk transformasjon. Vs resltatet Edgeworth-boksen, først for tlfelle der k k, og så for tlfellet der k 4k. Svar: Lkhet mellom margnale sbsttsjonsbrøker for dsse nyttefnksjonene kan skrves ke k e M F k k e e 6 6 M M F 6 M 6 + F F M F 0 + k k som er rette lnjer bytteboksen, med helnng 45 grader, se fgren, der krysset markerer atark-pnktet. I fgren er samlet konsm ved mldvær lk 6, samlet ved frost lk 6, og kontraktskrven er en rett lnje fra pnktet 5,0 tl pnktet,6 der tallene er allokernger for bonde. Denne krven gjelder for 0 k k, altså F M M 5. Om v øker k / k tl 4, får v nye ndfferenskrver hvert fall for en av bøndene, og kontraktskrven skfter mot nordvest 0 dagrammet tl F M M svar sltt. 5 5
Fgr: Edgeworth-boks for de to bøndene. e Vs at den opprnnelge allokerngen er Pareto-optmal hvs k k 4. Under hvlke betngelser vl bonde avg avlng mldvær mot å få avlng ved frost, og nder hvlke betngelser vl det være omvendt? Om v holder k fast, drøft vrknngen Edgeworth-boksen av at k 0, og g en nttv forklarng på dette. Svar: Kontraktskrven for k k 4 blr F M 8, som går gjennom pnktet 0,, den opprnnelge allokerngen. Hvs k < k 4, vl den lgge lenger mot sørøst. Enhver Pareto-forbedrng vl da nnebære at bonde avgr avlng ved frost for å få mer ved mldvær. Hvs k > k 4, er det omvendt. Hold k fast, la k 0, da vl krven gå gjennom nordøstre hjørne, bonde er rskonøytral, og bonde bærer kke rsko svar sltt. 6