Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =. Dermed er E(XZ) = Cov(X, Z) + E(X)E(Z) også lik, E(XY) = - E(X ) siden E(X) = E(Z) =. E(XY) = - (Vr(X) + (E(X)) ) Bruker formelen Vr(X) = E(X ) (E(X)) E(XY) = - Vr(X) E(XY) = -1 Hr fått oppgitt i oppgven t X er normlfordelt med forventning E(X) lik og stndrdvvik lik 1. D er også Vr(X) = 1. Cov( X, Y ) x Cov( X, Y) Vr ( X )* Vr ( Y) Vr(X) = 1, og Vr (Y) kn skrives som Vr(Z X): E( XY ) x Vr ( Z X ) µ x = µ =, så dette leddet fller bort. E( XY ) Vr (1* Z ( 1) X ) 1 1 Vr ( Z) ( 1) Vr ( X ) 1 Vr ( Z) Vr ( X ) Vr(Z) og vr(x) er begge lik 1. Så: 1 1
Oppgve : Her lot jeg først Excel til å trekke tll for vriblene X og Z, der X og Z er normlfordelte med forventning og stndrdvvik 1. Deretter lgde jeg en tredje kolonne for Y, og stte Y lik Z - X. Først lgde jeg et punktdigrm for vriblene X og Z, og fikk følgende resultt: 1,5 1,5 - -1 1 3 -,5 Serie1-1 -1,5 - Her ser vi t det er stor spredning og liten smmenheng mellom vriblene, X og Z virker å være uvhengige v hverndre. Korrelsjonen mellom X og Z er derfor i dette tilfellet liten (,17 i med disse tllene i Excel), d det ikke er noen tdelig lineær smmenheng. Den forventede korrelsjonen mellom X og Z er lik, så vårt estimt bommer noe på den snne korrelsjonen. Dette skldes i hovedsk tilfeldigheter og t vi hr få observsjoner. Deretter gjorde jeg kkurt det smme for vriblene X og Y. Resulttet ble slik:,5,5 Serie1 - -1,5-1 -,5 -,5,5 1 1,5 1,5 1-1 -1,5 - Her ser vi en viss smmenheng mellom vriblene, d det ikke er noen observsjoner v lv verdi på X som medfører lv verdi på Y, og ingen observsjoner v hø verdi for X som medfører en hø verdi for Y. Vi observerer derfor en negtiv smmenheng mellom vriblene. X og Y gir dermed et visst inntrkk v vhengighet, som forventet, d den teoretiske korrelsjonen mellom X og Y er -.77.
Oppgve 3: Først skl vi se t vi kn skrive korrelsjonen som 1 Vi hr Cov( X, Y ) x og Y = Z + X Cov( X, Y) Vr ( X )* Vr ( Y) Vr(X) = 1, så vi kn skrive: E( XY ) x Vr ( Y) µ x = µ =, så dette leddet fller bort. Setter inn for Y: E( X ( Z X )) Vr ( Z X ) E( XZ ) E( X Vr ( Z) 1 ) Vr ( X ) Siden X og Z er uvhengige er E(XZ) =. E(X ) = Vr(X) + (E(X)) = 1. Vr(X) = Vr(Z) = 1. D kn vi skrive uttrkket som: Deretter løser vi denne likningen mhp for ρ = -. og ρ =.9: For ρ = -.: 1 (-.) = 1.4(1+ ) =.4 =.4 3
.96 =.4 1 = 4 1 = ± = ±.414 4 Her blir = -.414 fordi og ρ må h smme fortegn. Etter å h simulert n = observsjoner for X og Z i Excel på smme måte som i oppgve, lger vi en tredje kolonne for Y, der vi setter Y = Z.414X. Deretter plotter vi X og Y-vriblene i et punktdigrm. Der fikk jeg følgende resultt: 3,5 1,5 1,5 Serie1 - -1,5-1 -,5 -,5,5 1 1,5-1 -1,5 Her ser vi t det er en svk negtiv smmenheng mellom X og Y, omtrent som forventet, d ρ = -.. For ρ =.9: 1 (.9) = 1.81(1+ ) =.81 =.81.19 =.81 4
81 = 19 81 = ± = ±.6474 19 Her blir =.6474 fordi og ρ må h smme fortegn. Deretter gjør vi det smme som i sted, og får dette spredningsplottet: 8 6 4 - -1 1 3 - Serie1-4 -6 Her ser vi t det er en tdelig lineær smmenheng mellom X og Y, som er positiv. Smmenhengen er me tdeligere enn i sted, noe som skldes t bsoluttverdien på ρ er større ved dette tilfellet. Oppgve 4: Her bruker vi tllene fr oppgve, og beregner korrelsjonen mellom X og Y ved hjelp v Excel. Resulttet jeg fikk, ltså estimert korrelsjon mellom X og Y med mine observsjoner, ble r = -.58355643. Estimeringsfeilen er dermed -.58355-(-.77) =.1355 Vi ser t korrelsjonen mellom X og Y for n = tilfeldige vribler er i nærheten v det forventede resulttet (-.77), men smtidig ikke helt nøktig. Dette skldes i stor grd størrelsen på utvlget, d n = er et forholdsvis lite utvlg. Hdde vi økt n, og dermed fått et større utvlg, hdde snnsnligvis estimeringsfeilen vært mindre. Men størrelsen på estimeringsfeilen skldes også i stor grd tilfeldigheter. 5
Frekvens Oppgve 5: Etter å h fått 5 ulike observsjoner for r, lgde jeg et histogrm med 6 intervller og intervllbredde.5. Histogrmmet mitt ble seende slik ut: Histogrm 1 1 8 6 4 -,85 -,8 -,75 -,7 -,65 -,6 Mer Intervll Frekvens Til tross for reltivt få observsjoner for r (5 observsjoner), gir histogrmmet et visst inntrkk v t r er normlfordelt, d det er en klr tendens til t de fleste observsjonene smler seg rundt gjennomsnittet for de 5 observsjonene for r, som er -.74 (se Excel-rk). Smtidig er flere v observsjonene for r er et stkke unn denne verdien. Dette kn forklres ved hjelp v størrelsen på stndrdvviket for r, som Excel beregnet til å være.67 med dette dtsettet. Hdde stndrdvviket vært mindre, hdde snnsnligvis flere v observsjonene smlet seg rundt midten v histogrmmet ved fst intervllbredde. Gjennomsnittet er beregnet til -.7457, og medinen til -.7515. Vi ser her t begge disse verdiene treffer forholdsvis br i forhold til forventningsverdien ρ (som er -.77), selv om treffsikkerheten nok kunne vært bedre. Gjennomsnittet bommer ltså med.3357 på den forventete korrelsjonen. Stndrdvviket til gjennomsnittet v observsjonene for r, er v Excel beregnet til å være.1364 (står som stndrdfeil i Excel). Vi forventer ltså t gjennomsnittet bommer med.1364 på den snne verdien ρ med dette dtsettet. Men gjennomsnittet bommer her med me mer, fktisk så me som.53 stndrdvvik (sjekk selv; t gjennomsnittet v observsjonene for r minus forventningsverdien (ρ) delt på stndrdvviket til gjennomsnittet, klt stndrdfeil i Excel). Dette er en forholdsvis stor bom også reltivt til stndrdvviket, men smtidig ikke unturlig stort. Hdde vi htt flere observsjoner, hdde gjennomsnittet v observsjonene våre for r snnsnligvis truffet end nærmere forventningsverdien ρ. Men me v årsken til størrelsen på bommen skldes i dette tilfellet tilfeldigheter. Vår estimerte korrelsjon r virker å være en reltivt pålitelig estimtor for den snne korrelsjonen ρ, vi må i lle fll være forsiktige med å konkludere med det motstte. Største verdi for r vr -.6673, og minste verdi -.883 Dette gir en differnse på.7647 mellom største og minste verdi. 6
Frekvens Oppgve 6: Her gjør vi det smme som i oppgve 5, men øker n slik t n = 5 (for hver observsjon v r). Dette g meg følgende histogrm for observsjonene v r, med smme intervllbredde (.5) som i oppgve 5: Histogrm 8 6 4 -,8 -,75 -,7 -,65 -,6 -,55 Mer Intervll Frekvens Dette histogrmmet ser litt nnerledes ut enn det jeg fikk i oppgve 5, men også her får vi inntrkket v t r er normlfordelt. Her ser histogrmmet mer pålitelig ut, d ingen v intervllene skiller seg voldsomt ut med en veldig hø eller lv frekvens. Dette histogrmmet gir også muligens et litt klrere inntrkk v t r er normlfordelt i forhold til i oppgve 5. Dette er helt forventet siden ntllet observsjoner for hver v de 5 estimtorene for ρ (ltså våre 5 observsjoner for r) hr økt fr til 5. Men vær obs på t dette også i stor grd kn skldes tilfeldigheter, d et histogrm kn se rimelig forskjellig ut vhengig v hvor mn setter intervllgrensene. Det er begrenset for hvor bstnte konklusjoner mn kn trekke fr et histogrm med så få observsjoner. Gjennomsnittet for våre 5 observsjoner for r er nå beregnet til å være -.714, og medinen er -.71558. Disse verdiene treffer ltså bedre enn verdiene i oppgve 5 på den forventede verdien ρ = -.77. Dette er i tråd med forventningene om t gjennomsnittet er en mer pålitelig estimtor for den snne verdien ρ når ntllet observsjoner øker. Men som vi skl se, skldes dette her i stor grd tilfeldigheter. Stndrdvviket til r og stndrdvviket til gjennomsnittet til r (står som stndrdfeil i Excel) er henholdsvis.67 og.134, ltså nesten det smme som i oppgve 5. Fordi vi hr flere observsjoner for hver verdi v r, skulle en forvente t flere v verdiene smlet seg rundt midten v histogrmmet ved smme intervllbredde, dvs. en skulle forvente t stndrdvviket for r vr mindre enn i oppgve 5. Dette er dog ikke tilfellet her, så vi må konkludere med t dette skldes tilfeldigheter. Gjennomsnittet treffer likevel bedre enn i oppgve 5 (som ikke er gitt med tnke på t stndrdvviket for gjennomsnittet er omtrent det smme). For å komme med en litt mer generell konklusjon: Vi forventer t stndrdvviket for r, er mindre jo flere observsjoner vi hr for hver verdi v r. Altså forventer vi også t stndrdvviket til gjennomsnittet for observsjonene v r, er mindre jo flere observsjoner vi hr for hver verdi v r. Således forventer vi t gjennomsnittet treffer bedre på den snne verdien ρ jo flere observsjoner vi hr for hver verdi v r. Det gjorde det også i dette tilfellet, men ikke på grunn v lvere stndrdvvik. Her skldtes det i hovedsk tilfeldigheter. Men t stndrdvviket for r ikke vr mindre selv om ntll observsjoner økte, vr ikke forventet, og således også tilfeldig. 7
Oppgve 7: Etter å h simulert 5 observsjoner for X og Z, og stt Y = Z 3X fikk jeg følgende resultt: 4-3 - -1-1 3-4 -6-8 -1-1 -14-16 Serie1 Deretter beregnet jeg korrelsjonen mellom X og Y i Excel, og fikk r(x, Y) =.783. Resulttet tder derfor på t det ikke er noen klr lineær smmenheng mellom X og Y, noe vi også ser i punktdigrmmet, t det ikke er. Vi observerer derimot t X og Y likevel virker å være stokstisk vhengige v hverndre, d observsjonene smler seg rundt det som ville vært en ikke-lineær kurve i digrmmet. Men denne effekten fnges ikke opp i beregningen v korrelsjonen. Dette er fordi korrelsjonsverdien r som vi beregner, beskriver den lineære smmenhengen mellom X og Y. I dette tilfellet er det heller ingen klr lineær smmenheng, men definitivt en smmenheng. Vi kn derfor konkludere med t r ikke nødvendigvis er egnet til å beskrive en smmenheng mellom to vribler som ikke er lineær. Her ser vi t selv om kovrinsen mellom to vribler forventes å være lik (og derfor også korrelsjonen), trenger ikke nødvendigvis vriblene å være uvhengige. Beregner også den snne ρ: Cov( X, Y) x Cov(X, Y) = E(XY) - µ x µ Forventningen til X og Y er lik. Cov(X, Y) = E(X(Z 3X )) Cov(X, Y) = E(XZ 3X 3 ) Cov(X, Y) = E(XZ) 3E(X 3 ) X og Z er uvhengige og E(XZ) er derfor lik. E(X 3 ) er også lik når X er normlfordelt med Cov(X, Y) = forventning. Og derfor må også korrelsjonen mellom X og Y, ltså ρ(x, Y) være lik. Korrelsjon lik tilsier t det ikke er noen form for lineær smmenheng mellom X og Y, og eksperimentet gikk dermed omtrent som forventet, d estimeringsverdien r vr svært liten, og ikke signifiknt forskjellig fr. 8
HKS-dødelighet Oppgve 8: (i) = 4511 = 148 X sigrettkonsum per voksen per år. = 34. = 144.87 Y HKS-dødelighet per 1. S x = 87.9766 S = 66.56133 Bruk formlene oppgitt i oppgve 4 for estimering v stndrdvviket til x og smt kovrinsen. S x = 3933.33 Estimerer ρ: r(x, Y) = r(x, Y) = S S x x S 3933.33 87.9766*66.56133 r(x, Y) =.795 3 5 Smmenheng mellom sigrettkonsum og HKS-dødelighet 15 1 5 Serie1 Lineær (Serie1) 1 3 4 5 Sigrettkonsum 9
Vi ser t det er en reltivt klr smmenheng mellom sigrettkonsum og HKS-dødelighet, uten t det forklrer lt. Korrelsjonskoeffisienten r =.795, gir r =.5317. Dermed forklres c. 53 % v HKS-dødeligheten ut ifr sigrettkonsumet. Resten blir stående uforklrt i vår modell. Denne uforklrte delen, er et resultt v t ndre fktorer også spiller inn (som for eksempel lndenes helsevesen), feilmrgin (kommer n på størrelsen på utvlget) smt tilfeldigheter. Smmenhengen er likevel såpss klr t vi trolig kn slå fst t røking fører til en hppigere HKS-dødelighetsrte. Hvor sikkert vi kn slå fst dette, skl vi se nærmere på i oppgve 9. (ii) Hvis vi endrer benevningen for HKS-dødelighet til å omhndle hver 1, vil vi få følgende endringer: Estimtor for stndrdvvik for X og Y: S x = 87.9766 S = 6.656133 uendret. 1/1 i forhold til i sted. Estimtor for kovrinsen: S x = 393.3 1/1 i forhold til i sted. Estimtor for korrelsjonskoeffisienten: r(x, Y) = r(x, Y) = S S x x S 393.3 87.9766*6.656133 r(x, Y) =.795 uendret. Vi ser her t om vi endrer benevningen for HKS-dødeligheten til pr. 1, vil lle Y- verdiene bli 1 gnger mindre. Dette får konsekvenser for stndrdvviket til Y og kovrinsen mellom X og Y, som begge får lvere verdier i forhold til i sted. Korrelsjonskoeffisienten, derimot, forblir uendret. Fordi lle Y-verdiene endres proporsjonlt med X, vil ikke den reltive smmenhengen mellom X og Y bli påvirket. 1
Oppgve 9: (i) Ved å plotte en rd for verdiene v x for så å beregne verdiene for h(x), får vi følgende grf: 3 h(x) 1-1,5-1 -,5,5 1 1,5-1 h(x) - -3 Som vi ser er strengt voksende i x. Legg også merke til t funksjonen er kontinuerlig, dvs. det er ingen hopp. (ii) Legg merke til t Z = h(r), den smme funksjonen som i oppgve (i) bre med r som rgument istedenfor x. Siden h(r) er en strengt voksende, kontinuerlig funksjon v r, vil h(r) være større enn eller lik h(r ) hvis og bre hvis r er større enn eller lik r. Å si t h(r) er større enn eller lik h(r ) er derfor ekvivlent med å si t r er større enn eller lik r. Snnsnligheten for t r er større enn eller lik r er derfor det smme som snnsnligheten for t Z er større enn eller lik h(r ). Altså P(r r ) = P(Z h(r )). (iii) Vi hr P(r r ) = P(Z h(r )). Vår observerte verdi for r fr oppgve 8, vr r =.795. Så vi kn sette inn denne verdien i uttrkket: P(r.795) = P(Z h(.795)) = P(Z ) = P(Z 8.97) Siden vi vet t Z er tilnærmet normlfordelt med forventning og stndrdvvik 1, kn vi tolke dette uttrkket slik: Snnsnligheten for t vi observerer en verdi for r som er større enn vår verdi under ntgelsen ρ =, er det smme som snnsnligheten for t en normlfordelt vribel er minst 8.97 stndrdvvik unn sin forventede verdi. Altså ekstremt usnnsnlig. Hvor usnnsnlig, kn vi finne ut ved hjelp v Excel, eller ved hjelp v tbell D.3 i Løvås. 11
For en normlfordelt vribel med forventning og stndrdvvik 1 gjelder følgende: P(Z z) = G(z) P(Z 8.97) = 1 - P(Z < 8.97) = 1 - P(Z 8.97) Siden Z er en kontinuerlig vribel. Så P(Z 8.97) = 1 - P(Z 8.97) = 1 - G(8.97) Ved å bruke Excel, finner vi G(8.97) 1. Altså er P(r.795) = P(Z 8.97). Vi observerer en p-verdi så liten t vi kn runde den v til. Dette betr t snnsnligheten for t vi observerer en verdi for r som er større enn vår verdi, er tilnærmet lik under ntgelsen om t ρ =. Vi burde derfor vurdere om ntgelsen vår er feil, og t det finnes en smmenheng mellom vriblene, dvs. ρ. I dette tilfellet er resulttet svært signifiknt, og vi kn fstslå nesten helt sikkert t ρ, og t det er en smmenheng mellom sigrettkonsum og HKS-dødelighet. En p-verdi nærme forteller oss t snnsnligheten for t ρ = er ekstremt liten, og konklusjonen vår om t ρ nesten lltid er snn. I dette tilfellet konkluderer vi med t ρ >, dvs. smmenhengen er positiv. Merk: Tbell D.3 i Løvås hr bre verdier for G opp til c. 3. Vi ser t llerede for G(3) er snnsnligheten veldig nærme 1. Altså er det ekstremt sjeldent en normlfordelt vribel er mer enn 3 stndrdvvik unn sin forventede verdi. Dermed er det end sjeldnere t en normlfordelt vribel er så me som 8.97 stndrdvvik unn sin forventede verdi, og snnsnligheten for dette er veldig nærme. For verdier over 3 er vi derfor såpss sikre t vi i de fleste tilfeller kn runde snnsnligheten opp til 1. Men pss her på å si t snnsnligheten er tilnærmet lik 1, for helt 1 % sikkert er det ikke, men nesten! 1