Oppgav 1 (5 %) Vi har følgnd: Pålydnd Gjnværnd løptid (år) Kupong Kurs 1 1 1 16,75 1 1 11,7 1 8 111,1 1 4 6 15,8 a) Vi finnr nullkupongrntn slik: R 11 = 16.75 R. 1 + 11 = 11.7 =.975 R = ln.975 R =. R =., dvs. spotrntn for 1 år r % =.94 R =.5 dvs. spotrntn for år r.5 %..5 8 + 8 + 18 = 111.1 18 = 95.79..5.4 4 6 + 6 + 6 + 16 = 15.8 4 16 = 88.54 4 =.8869 R =.4 dvs. spotrntn for år r 4 % =.885 R =.45 dvs. spotrntn for 4 år r 4.5 % b) rminrntn finnr vi slik: År 1 :.5. =.4 dvs. 4 % År :.4.5 =.5 dvs. 5 % År 4: 4.45.4 =.6 dvs. 6 % c) Kurs på obligasjon md kupong 6 r: y y y y 6 + 6 + 6 + 16 = 15.8 Uttrykkt kan løss for y, som gir y =.44 llr 4.4 %.
Dt kan vær nklr bar å finn intrnrntn md kalkulator, og dn r 4.57 %. Kontinurlig brgnt r yild da ln1.457 =.44 llr 4.4 %. d) Vi brgnr nåvrdikoffisintr og annuittsfaktor: År Spotrnt Disk faktor rmin 1, %,974455, %,5 %,998 4, % 4, %,886944 5, % 4 4,5 %,8571 6, %,65 Vi har at A =.65 og d =.8571 Par yild = (1 1 *.8571)/.65/1 = 4.54 %. Vi kan kontrollr vd å brgn kurs for n obligasjon md kupong 4.54 %: 1 4 Kontroll 1, 4,54 4,54 4,54 14,54 Oppgav ( %) a) Vi sttr opp kontantstrømmn til rntbyttavtaln: id FIX FLOA Diskontring PV fix PV float,5 1,5 5,875,994984 1,4857475 5,68785,75 1,5,96681178 1,451977 1,5 51,5,99416 48,79777 51,1567 5,68785 Vrdi -,946 LIBOR vd sist rntrgning var.5 %, dvs. 5 mill *.5/ =.875 i rntbtaling. NV av flytnd: 5.875 * -.4/4 = 5.688 Fast rntbtalingr r 6 % dvs. 5 *.6/ = 1.5 mill halvårlig. NV av btalingn: 1.5 * -.4 * /1 + 1.5 * -.45 * 9/1 + 51.5 * -.5*15/1 = 51.151 Vrdi for bankn: 5.688 51.151 = -.946 llr 946 8. b) Vi må først brgn NV av dividndn I: I = * -.4 * /1 + * -.45 * 9/1 =.917 F = (1.917) *.5 * 15/1 = 1.8
c) Vi må først finn NV av gjnværnd dividnd I: I = * -.45 * /1 =1.9776 Vrdi på kontraktn md ny spotkurs 11 for n md long posisjon: f = 11 1.9776 1.8 * -.45* 9/1 = 9.15 Oppgav (5 %) a) Vi brgnr nødvndig størrlsr for å kunn tgn trt:.45.5 u = = 1.746 d = 1/ u = 1/1.746 =.775.5.5.775 p = =.46 1.746.775 rt kan viss slik: At ach nod: Uppr valu = Undrlying Asst Pric Lowr valu = Option Pric Valus in rd ar a rsult of arly xrcis. Strik pric = Discount factor pr stp =,975 im stp, dt =,5 yars, 18,5 days Growth factor pr stp, a = 1,5 Probability of up mov, p =,46 Up stp siz, u = 1,746 Down stp siz, d =,775 566,8975 6,8975 41,945 16,56 47,755 18,76 158,7588 Nod im:,,5 1, Som trt visr, har vi at: f uu = 566.8975. = 6.8975 f ud = f du =
f dd = Vi startr bakrst og brgnr vrdin av kjøpsopsjonn på tidspunkt t =.5 år: (.46 * 6.8975) * -.5/ = 16.56 (s også trt) Vrdin av kjøpsopsjonn på t = :.46 * 16.56 * -.5/ = 47.755 Om man vrdsttr dirkt utn å gå om vrdin i trt r dt også fullgod løsning. b) Vi kan finn vrdin av n put nklst vd hjlp av salg-kjøp parittn: Put = 47.755 + * -.5 = 61.666 Om man vrdsttr dirkt utn å gå om vrdin i trt r dt også fullgod løsning. At ach nod: Uppr valu = Undrlying Asst Pric Lowr valu = Option Pric Valus in rd ar a rsult of arly xrcis. Strik pric = Discount factor pr stp =,975 im stp, dt =,5 yars, 18,5 days Growth factor pr stp, a = 1,5 Probability of up mov, p =,46 Up stp siz, u = 1,746 Down stp siz, d =,775 566,8975 41,945 15,798 61,666 18,76 1,6147 158,7588 171,41 Nod im:,,5 1, Om non vlgr å bruk vrdin i trt dirkt r dt også fullgodt. Vi sr at: f dd = 158.7588 = 171.41 f du = = f ud = =
Vrdi på t =.5 dd og du: (.46 * +.598 * 171.41) * -.5/ = 1.6147. Drsom aksjkursn r u og d får vi *.598 * -.5/ = 15.798 (s også trt) Vrdi på t = : (.598 * 1.6147 +.46 * 15.798) * -.5/ = 61.666, som stmmr md salg kjøp parittn. c) Vi sttr opp trt: At ach nod: Uppr valu = Undrlying Asst Pric Lowr valu = Option Pric Valus in rd ar a rsult of arly xrcis. Strik pric = Discount factor pr stp =,975 im stp, dt =,5 yars, 18,5 days Growth factor pr stp, a = 1,5 Probability of up mov, p =,46 Up stp siz, u = 1,746 Down stp siz, d =,775 566,8975 41,945 15,798 65,9557 18,76 111,764 158,7588 171,41 Nod im:,,5 1, En amrikansk opsjon kan utøvs før bortfall. Vi så foran at på aksjkurs opp og så nd gir på tid =.5 n forvntt vrdi på 1.6147. På dtt tidspunktt vill utøvls gi n gvinst på 18.76 = 111.764. Vi vlgr drfor å utøv tidlig. Opsjonsvrdin blir: (.598 * 111.764 +.46 * 15.798) * -.5/ = 65.9557 d) Ja, dtt r n fornuftig stratgi. Hvis oppkjøpt gjnnomførs, r dt sannsynlig at aksjkursn vil øk. Da vil kjøpsopsjonn bli IM. Hvis oppkjøpt ikk gjnnomførs, fallr kursn og salgsopsjonn blir IM. Dnn stratgin r fornuftig gnrlt når aksjkursn r ustabil. Man kan også vis avkastningskurvn for n long call og long put grafisk:
Oppgav 4 (5 %) a) Vi sttr opp 95 % konfidnsintrvall (1.96 standardavvik fra forvntning) for aksjkursn S om 6 mnd: lns LnS. ~ φ(4.687,.45) ~ φ ln1 + (. ).5,..5 σ =.45 =.11 4.687 1.96.11 < ln S < 4.687 + 1.96.11 < S < 4.687 1.96.11 4.687+ 1.96.11 71.6 < S < 16.76 b) Forvntt aksjkurs om 6 mnd: 1 *./ = 11.5171 c) Dtt r standard BS. Vi brgnr d 1 og d : ln(1 / 1) + (.5 +. / ).5 d1 = =.9..5 d =.9..5 =.118 Vi finnr N(d 1 ) og N(d ) vd avlsning fra tabll og hlst intrpolring: N(d 1 ) =.5886 N(d ) =.547 Vi prisr kjøpsopsjonn vd hjlp av BS:.5.5 c 1.5886 1 =.547 = 9.6 d) Ralvrdin r og tidsvrdin 9.6. ) Vi brukr salg-kjøp parittn: Put = 9.6 + 1 * -.5 1 = 7.16
Brgningn bkrfts av rgnarkt undr: Aksjkurs nå 1, Innløsningskurs 1, Risikofri rnt 5, % Standardavvik, % id til bortfall (dagr) 18 id til bortfall (år),5 d1,9 d,118 N(d1),5886 N(d),547 Vrdi kjøpsopsjon 9,6 Vrdi salgsopsjon 7,17