MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler og volumer inngår i pensum. Det er meningen t dere skl kjenne til og kunne nvende disse formlene, men det er ingen krv til å kjenne utledningen v formlene. De formlene det gjelder er lengde v funksjonsgrfer L + (f ()) d og lengde v prmeterkurver L ( (t)) + (y (t)) dt, bok side 46 og 49, volum v omdreiningslegemer om -ksen V π(f()) d, bok Emple 4 side 396, og overflterel v omdreiningslegeme om -ksen A πf() + (f ()) d. Vi vil her se på hvordn formelen for lengde v funksjonsgrfe utledes. Dette er kun for de mest interesserte. L y f() være deriverbr på et intervll [, b]. D kn vi spørre om hvor lng grfen er fr (, f()) til (b, f(b)). Vi hr en formel for dette som ser slik ut: + (y ) d. Det vi gjør når vi skl vise t dette er rett formel er t vi strter med en prtisjon P {,,,..., n b} v [, b]. Over hvert intervll [ k, k ] regner vi ut lengden v seknten fr ( k, f( k )) til ( k, f( k ))). Hvis denne lengden er d k så får vi ved bruk v Pythgors setning t d k ( k k ) +(f( k ) f( k )). Ved Middelverdisetningen finnes c k i [ k, k ] slik t f( k ) f( k ) ( k k )f (c k ). Men d får vi d k + (f (c k )) ( k k ). Riemnnsummen v lengdene v sekntene blir Når vi lr P, så får vi S P n + (f (c k )) ( k k ). k lim S P P + (y ) d. Eksempel: Vi regner ut omkretsen v en sirkel med rdius r, + y r. Vi regner ut lengden v øvre hlvdel og multipliserer med. Øvre hlvdel er gitt ved y r, og omkretsen blir O r r + (y ) d. Nå er y slik t + (y ) r. r r Nå kn vi integrere: Omkretsen r r r r d r rcsin(/r) r rcsin() r (π/) πr. I PC-øvelse nr. inngikk en prmeterkurve (t) t sin(t) og y(t) cos(t). Lengden v prmeterkurver er gitt ved når t går fr til b: ( ) + (y ) dt. r
Setter vi inn for prmeterkurven i PC-øvelse nr. og regner ut lengden L når t går fr til π, så får vi π π π L ( cos(t)) + (sin(t)) dt cos(t) 4 sin (t/) dt 8. Volum v omdreiningslegemer. Hvis vi hr gitt en funksjon f() på er intervll [, b], så kn vi rotere grfen til f om -ksen. D får vi et legeme som er rundt og kn se ut som en pære. Når vi skl beregne volumet v dette legemet, så tr vi igjen og prterer intervllet [, b]. I punktene gitt ved prtisjonen skjærer vi opp legemet og vi får en rekke tynne skiver (skjær opp en pære og se). Disse skivene er nesten som sylindre med tykkelse ( k k ) og grunnflte πf () (rdius blir f()). Tr vi så Riemnnsummene og lr P, får vi som resultt volumet Volumet πf () d. Øvelse: L y f() r og [, b] [ r, r]. Vi vi roterer grfen til f om - ksen får vi en kule med rdius r. Beregn volumet v kul. Du vil få å regne ut integrlet r r π(r ) d. Regn også ut relet v overflten v smme kule. Vribelskifte i bestemte integrler. Det er ikke rett frm å se hv som skjer når vi foretr et vribelskifte i et bestemt integrl. Ant g() er deriverbr på et intervll I [, b], og for å gjøre ting noe enklere ntr vi t g er voksende. D blir rekkevidden til g intervllet D [g(), g(b)]. På D er f definert og vi ntr også f er deriverbr. Vi strter med prtisjon P I {,,,.., n } v I. For k,,,..n l u k g( k ). D får vi en prtisjon P D {u, u,..., u n } v D. Ved Middelverdisetningen kn vi skrive u k u k ( k k )g (d k ) der d k ligger i intervllet [ k, k ]. L c k g(d k ). D får vi f(c k )(u k u k ) f(g(d k ))g (d k )( k k ). Vi ser t rektnglet med lengde (u k u k ) og høyde f(c k ) hr smme rel som rektnglet med bredde ( k k ) og høyde f(g(d k ))g (d k ). Hvis f.eks. g (d k ), så kompenserer vi en hlvering v intervllbredden med en dobling v høyden på rektnglet, ( k k ) er hlvprten v (u k u k ), og f(g(d k ))g (d k ) er dobbelt så stor som f(c k ). Litt om polynomer. I Emple 6 side 559 i bok bruker vi t når to polynomer er like, så må polynomene h smme grd og h like koeffisienter. Dette kn begrunnes som følger. Ant p() + + +... + n n og q() b + b + b +... + b m m er like, dvs. p() q() for lle. Vi setter og får p() q() b. Deretter deriverer vi begge sider v p() q() og får p () q (). Setter vi nå, så får vi p () q () b. Ny derivsjon og innsetting v gir p () q () b osv. Oppgve 6.4: 7. Vi hr gitt seprbel differensillikning y e y e e y. Vi multipliserer begge sider med e y og får e y y e. Integrsjon med hensyn på og deretter vribelskifte til y som vribel på venstre side gir e y e y dy e y y d e d e + C.
Så tr vi ln() på begge sider og får y y() ln(e + C). Oppgve 6.4: 3. Vi hr gitt y y. Vi seprerer de vrible ved å flytte y over på venstre side, og får y. Nå integrerer vi som i oppgven forn, og får: y rcsin(y) dy y Så tr vi sin() v begge sider og får: y d y y y() sin( + C). d + C. Oppgve 6.4: 33. Se informsjon om Crter Lke på web-sid: http://www.crter-lke.com/ C 4 hr hlveringstid på 57 år. k i vår modell bli k ln() 57. Vi hr oppgitt t y(t).445 y y e t ln() 57. Vi forkorter y og tr ln() v begge sider. D får vi slik t Oppgve 6.4: 34. t ln(.445) t ln() 57, ln(.445) 57 ln() 6658 år. y(t) p y y e t ln() 57, gir t ln(p) 57 t. ln() Setter vi inn p.7, får vi t 457 år. Setter vi inn p.8, får vi t 4 år. Setter vi inn p.6, får vi t 569 år. Vi ser t en liten målefeil i p, kn gi store utslg i tiden. Oppgve 6.5: 3. Nå er vi over på lineære differensillikninger. Disse løses ved å sette de på norml form og deretter følge oppskriften side 5 i bok. Vi hr gitt y + 3y sin() og >. Vi strter med å dividere med, og likning er nå på normlform y + 3 y sin() 3. Vi ser t P () 3 sin() og Q(). P () d 3 3 d 3 ln() slik t den integrerende fktoren lir v() e 3 ln() 3. v()q() d sin() d cos() + C, og løsningen blir y() C cos() (C cos()) 3 3. 3
Oppgve 6.5: 9. Vi hr gitt som hr normlform y y ln(), y y ln(). P () d d ln slik t v() e ln /. Vi skl h en integrende fktor, og velger v() /. Videre får vi ln() v()q() d d (ln()) + C. (Bruk substitusjonen u ln().) Dermed får vi løsningene y() [C + ln ()]. (Å tegne integrlkurvene er en del v Obligtorisk PC-øvelse nr..) Oppgve 6.5:. R Vi hr gitt y + y med strtverdi y() 6. v() e d e /. Og v()q() d e / d e / + C. (Bruk substitusjonen u /.) Generell løsning blir y() e / [C + e / ] + C e /. Innsetting v strtverdi gir 6 y() + C/ slik t C 7. Den søkte løsningen er y() 7 e /. (Integrlkurvene er tegnet i tillegget til fil Oblig PC.mcd) Oppgve 6.7: 6. Når y(t) t tnh(/t) får vi ved derivsjon (husk å bruke kjerneregelen) Oppgve 6.7: 57. y (t) t tnh(/t) + t /t cosh (/t) t tnh(/t) cosh (/t). ln() sinh(u) cosh(ln(t)) dt t cosh(u) du ln() eln() e ln() sinh(ln()) / 3 4. 4 Substitusjon: u ln(t) du dt/t, u(), u() ln()
Oppgve 6.7: 73. π Oppgve 6.7: 8. S cos() + sin () d Substitusjon: u sin() du. du cos()d, u(), u(π). + u cosh() A d sinh() Se side 5. sinh(b) sinh() Vi ser t S A. cosh() ) d + ( d d + sinh () d b sinh(b). cosh() d d cosh() sinh() d 5