T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047 h ± 50, 047 h 7,07 Hypotenusen er 7,07 m. Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h k + K h± k + K Hypotenusen er gitt ved uttrykket Oppgve 6.3 h k + K. Vi setter den ukjente siden lik og ruker pytgorssetningen. 5 + 4 5 6 + 5 6 9 ± 9 3 Den ukjente siden er 3. Aschehoug www.lokus.no Side v 57
Vi setter den ukjente siden lik cm og ruker pytgorssetningen. 9 + 4, 8 + 6,8 86,8 64,9 ± 64,9 8,0 Den ukjente siden er 8,0 cm. Oppgve 6.4 Vi setter den ukjente vstnden lik meter og ruker pytgorssetningen. 4 + 3,5 6 +, 5 6, 5 3, 75 ± 3, 75, 9 Den nederste delen v stigen står,9 m unn veggen. For å kunne ruke pytgorssetningen må vi gå ut fr t veggen, kken og stigen dnner en rettvinklet treknt med stigen som hypotenus. Oppgve 6.5 Vi ruker pytgorssetningen. h k + K K h k K ± h k Kteten K er gitt ved uttrykket Oppgve 6.6 Vi ruker pytgorssetningen. + 4 + 4 3 ± 3 K h k. 3 Vi kontrollerer svret med CAS-delen v GeoGer. Aschehoug www.lokus.no Side v 57
Oppgve 6.7 Vi setter den ukjente kteten lik og ruker pytgorssetningen. ( ) + 4 + 4 3 ± 3 3 Den ukjente kteten hr lengden 3. Hlvsirkelen hr rdius. Omkretsen v hlvsirkelen er derfor π π. Omkretsen v hele figuren er dermed Oppgve 6.8 ( ) + 3 +π + 3+π Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. Hvis treknten er rettvinklet, er det den lengste siden som må være hypotenus, og de korteste sidene må være kteter. h 8,9 79, k + K 3,9 + 8, 0 5, + 64 79, Tllene psser i pytgorssetningen. Treknten er derfor rettvinklet. Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. h 68 463 76 k + K 356 + 588 6 736 + 345 744 47 480 Tllene psser ikke i pytgorssetningen (463 76 47 480). Treknten er derfor ikke rettvinklet. Oppgve 6.9 Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. h 00 40 000 k + K 0 + 60 4 400 + 5 600 40 000 Tllene psser i pytgorssetningen. Hjørnevinkelen er derfor 90. Aschehoug www.lokus.no Side 3 v 57
Oppgve 6.0 Hypotenusen i en rettvinklet treknt er den motstående siden til den rette vinkelen. Altså er det siden c som er hypotenus. Hosliggende ktet til vinkel A er siden. Hosliggende ktet til vinkel B er siden. c Motstående ktet til vinkel A er siden. Motstående ktet til vinkel B er siden. d Ktetene er og, og hypotenusen er c. Pytgorssetningen kn derfor uttrykkes som Oppgve 6. + c. Løsninger Vi ruker pytgorssetningen. h 5,0 + 0,0 h h 5 + 00 5 h ± 5 h, Hypotenusen er, cm. Oppgve 6. Digonlen er hypotenus i en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. h 5 + h h 5 + 44 369 h ± 369 h 9, Størrelsen på skjermen er 9. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 57
Oppgve 6.3 Den lengste siden i en rettvinklet treknt er lltid hypotenusen. Ktetene er de to korteste sidene. Vi setter den ukjente siden lik cm og ruker pytgorssetningen. 0,0 6,0 + 00 36 + 00 36 64 ± 64 8,0 Den ukjente siden er 8,0 cm. Oppgve 6.4 Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. Hvis treknten er rettvinklet, er det den lengste siden som må være hypotenus, og de korteste sidene må være kteter. h 3 9 k + K + + 4 5 Tllene psser ikke i pytgorssetningen (9 5). Treknten er derfor ikke rettvinklet. Oppgve 6.5 BD er hypotenus i den rettvinklede treknten ABD. h 4,5 + 3, 0 h h 0, 5 + 9 9,5 h ± 9,5 h 5, 4 Lengden v BD er 5,4 cm. BC er korteste ktet i den rettvinklede treknten BCD. Vi setter 6,8 + 5,4 39, 4384 9, 68 + 39, 4384 9, 68 0,703 ± 0,703 3, Lengden v BC er 3, cm. BC cm. Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 57
Oppgve 6.6 Motstående ktet til vinkel v er siden c. Motstående ktet til vinkel v er siden d. 3 Motstående ktet til vinkel v er siden h. 4 Motstående ktet til vinkel v er siden m. Hosliggende ktet til vinkel v er siden. Hosliggende ktet til vinkel v er siden f. 3 Hosliggende ktet til vinkel v er siden g. 4 Hosliggende ktet til vinkel v er siden k. c Hypotenusen er, og ktetene er og c. Altså er Hypotenusen er e, og ktetene er d og f. Altså er 3 Hypotenusen er i, og ktetene er g og h. Altså er 4 Hypotenusen er l, og ktetene er k og m. Altså er + c. d + f e. g + h i. k + m l. Oppgve 6.7 Bkken, stuen og treet dnner en rettvinklet treknt med treet som hypotenus. Vi ruker derfor pytgorssetningen til å finne høyden v den øverste delen v treet. h 5, +,6 h 3,04 + 6,76 h 37,8 h ± 37,8 h 5, 4 Den øverste delen v treet er 5,4 m høyt. Høyden v hele treet vr dermed 5,4 m +,6 m 8,0 m. Oppgve 6.8 Treknten ABC er likeeint. Normlen fr A på BC deler derfor BC i to like store deler. Vi ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten ABD. h 9,5 + 3,00 h 85,565 + 9 h 94,565 h ± 94,565 h 9,7 Lengden v AB er 9,7 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 57
Vi setter BC m og ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten BCD. 4,85,55 + 3,55 6,505 + 3,55 6,505 7,0 ± 7,0 4,3 Lengden v BC er 4,3 m. Dermed er AB 7,0 m 4,3 m,9 m. Oppgve 6.9 Vi setter den hosliggende kteten til vinkel A lik. Den motstående kteten er d. Fr pytgorssetningen er ( ) 0 + ( ) 0 + 4 0 5 4 ± De to ktetene hr lengdene og 4. 4 Oppgve 6.0 Vi setter den ukjente kteten lik. Hypotenusen er d. Pytgorssetningen gir ( ) + 9 4 + 8 3 8 7 ± 7 7 9 3 9 3 3 3 Den ukjente kteten hr lengden 3 3. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 57
Oppgve 6. Meterstven hr lengden m 00 cm. Vi setter den ukjente vstnden lik cm og ruker pytgorssetningen. 00 60 + 0 000 3600 + 6400 ± 6400 80 Mrit må måle ut 80 cm lngs den ndre veggen. Vi setter den ukjente vstnden lik cm og ruker pytgorssetningen. 00 + 0 000 5000 ± 5000 7 Hun må måle ut 7 cm lngs egge veggene. Oppgve 6. Tenk t Nin svømte meter ut fr strnden. D svømte hun 3 meter prllelt med strnden. Svømmeturen dnner en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. 36 + (3 ) 99 856 + 9 0 99 856 9985, 6 ± 9985, 6 00 Nin svømte 00 m utover før hun svingte. Oppgve 6.3 Høyden ned på grunnlinj deler grunnlinj i to like store deler. Vi lr hlvprten v grunnlinj være, og ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten ACD. Det gir 8 + 5 64 5 + 64 5 39 39 Lengden v grunnlinj er ltså 39. Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 57
Oppgve 6.4 Vi lr den ukjente kteten h lengden. Hypotenusen er d. Pytgorssetningen gir ( ) + 4 44 3 44 + 48 ± 48 48 6 3 6 3 4 3 Den ukjente kteten hr lengden 4 3, og hypotenusen hr lengden 8 3. Oppgve 6.5 Treknten ABC er rettvinklet, der AB er hypotenusen. Pytgorssetningen gir dermed h 6 + 6 h h 36 + 36 7 h ± 7 h 7 36 36 6 Siden AB hr lengden 6. De to ktetene hr lengden 6. Omkretsen v treknten er derfor 6+ 6 + 6. Oppgve 6.6 Treknten ABC er rettvinklet. Hypotenusen er lik rdien i sirkelen, som er 3. Den ene kteten hr lengden. Vi setter lengden v den ukjente kteten lik. Pytgorssetningen gir 3 + 9 + 4 5 5 Omkretsen v rektnglet er dermed + 5 4+ 5. Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 57
Oppgve 6.7 Løsninger Treknten ABD er rettvinklet. Vi finner derfor den ukjente kteten fr pytgorssetningen. 55 + 39 305 + 5 305 5 504 ± 504 38,78 Dermed er DE 38,78 m 3 m 6,78 m. Treknten CDE er også rettvinklet. Det gir y 6, 78 + 39 y 566,97 y ± 566,97 y 39,58 Omkretsen v firknten er dermed (39 + 3 + 39,58 + 38, 78) m 49,36 m 49 m. Oppgve 6.8 Edderkoppen kn velge mellom to forskjellige ruter. Den kn strte med å gå lngs gulvet og så opp veggen til venstre (), eller den kn strte med å gå opp den nærmeste veggen og så ort lngs tket (). Vi må regne ut korteste vei for egge lterntivene. D tenker vi oss t vi retter ut esken, se figurene. Den korteste veien svrer til rette linjer på de utrettede eskene. Vi ruker derfor pytgorssetningen. Alterntiv : h 30 + 60 4500, h 4500 67 Alterntiv : h 50 + 40 400, h 400 64 Den korteste veien edderkoppen kn gå er ltså lterntiv, som til smmen er 64 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 0 v 57
Oppgve 6.9 Vinkel D tilsvrer vinklene A og G. Derfor er D 80. Vinkel E tilsvrer vinklene B og I. Derfor er B I 40. Vinkelsummen i trekntene er 80. Det gir C F H 80 80 40 60. Oppgve 6.30 Vinkel A tilsvrer vinkel H. Derfor er A 60. Vinkel C tilsvrer vinkel F. Derfor er C 00. Vinkel E tilsvrer vinkel B. Derfor er E 90. Vinkel G tilsvrer vinkel D. Derfor er G 0. Vinkelsummen er 60 + 90 + 00 + 0 360. Oppgve 6.3 c Løsninger To v vinklene i trekntene er prvis like store. D må den tredje vinkelen også være lik. Siden vinklene er prvis like store, er trekntene formlike. (Den tredje vinkelen er C F 80 50 70 60.) De tilsvrende sidene ligger mellom tilsvrende vinkler. De tilsvrende sidene er derfor AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi kjenner lengden v BC, som er tilsvrende side med EF. Vi kn derfor finne lengden v EF ved å ruke formlikhet. EF og BC er tilsvrende sider, og DE og AB er tilsvrende sider. Forholdet mellom tilsvrende sider skl være lik hverndre. EF DE BC AB 4,0 4,5 5, 0 4,5 4, 0 4,5 4,5 5, 0 3, 6 Lengden v EF er 3,6 cm. Oppgve 6.3 De tilsvrende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi finner først BC, og setter d BC. BC AB EF DE 4,60 4,90 6,90 4,90 4, 60 4,90 4,90 6,90 3, 7 Lengden v BC er 3,7 cm. Aschehoug www.lokus.no Side v 57
Så finner vi DF, og setter d DF. DF DE AC AB 6,90,0 4, 60,0 6,90,0,0 4, 60 3,5 Lengden v DF er 3,5 cm. Oppgve 6.33 Huset og grsjen hr form som to formlike rektngler. På figuren er AB og EF tilsvrende sider, og AD og EH er tilsvrende sider. Forholdet mellom tilsvrende sider skl være lik hverndre. Lengden v grsjen er EH. EH EF AD AB 6,30 3,30 0, 00 3,30 6,30 3,30 3,30 0, 00 8,38 Lengden v grsjen må være 8,38 m. Oppgve 6.34 3 5 53 5 ± 5 Siden må være positiv, er 5. Oppgve 6.35 Forholdet mellom tilsvrende sider i mngekntene er 5. Forholdet mellom relene er d 5 5. Forholdet mellom relene er 5. Den minste treknten hr relet Den største treknten hr derfor relet 5 8,0 cm 00 cm. 8,0 cm. Aschehoug www.lokus.no Side v 57
Oppgve 6.36 De to ildene er formlike rektngler. Sidene AB og EF er tilsvrende sider, og AD og EH er tilsvrende sider. Vi setter forholdet mellom de tilsvrende sidene lik hverndre. EH EF AD AB 8,0 8,0 8,0 8,0 4 Høyden i det forstørrede ildet lir 4 cm. Oppgve 6.37 6 cm 4 cm 3 cm 6 4 cm 3 8 cm y 3 cm 0 cm 6 cm 3 y 0 cm 6 y 5 cm Forholdet mellom tilsvrende sider i trekntene er. Forholdet mellom relene er derfor 4. Vi kn også kontrollere dette ved å regne ut relene. Trekntene er rettvinklede. Arelet v den største treknten: 8 cm 6 cm 4 cm Arelet v den minste treknten: Forholdet mellom relene: 4 cm 3 cm 6 cm 4 cm 4 6 cm Oppgve 6.38 De tilsvrende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi setter forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. DE EF AB BC 9 3 6 3 93 3 6 4,5 Lengden v DE er 4,5 m. Aschehoug www.lokus.no Side 3 v 57
DF EF AC BC 9 4 6 4 9 4 4 6 6 Lengden v DF er 6 m. Oppgve 6.39 Trekntene ABC og ACD er egge rettvinklede, og de hr vinkel A felles. Derfor er også ACD B. Trekntene er ltså formlike. Sidene AC og AD er tilsvrende sider, og AB og AC er tilsvrende sider. Vi setter AC. AC AB AD AC + 4 6 ± 4 3 4 3 3 Lengden v siden AC er 3. Vi finner lengden v BC ved å ruke pytgorssetningen på treknten ABC. ( ) 6 36 + + 4 ± 4 4 4 6 4 6 6 Altså er AB 6, AC 3 og BC 6. Omkretsen v treknten er derfor 6+ 3+ 6. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 57
Oppgve 6.40 Trekntene ABC og EBD er rettvinklede, og de hr vinkel B felles. Trekntene hr ltså to vinkler felles. Den tredje vinkelen må derfor også være lik. Siden vinklene er prvis like store, er trekntene formlike. AC og DE er tilsvrende sider, og AB og BE er tilsvrende sider. BE AB AE 9 cm 4 cm 5 cm Vi setter forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. DE BE AC AB 5 6 9 6 56 6 9 3,3 Lengden v DE er 3,3 cm. Oppgve 6.4 Forholdet mellom rdiene i sirklene er r r 3. Forholdet mellom relene er d A πr r r A πr r r Oppgve 6.4 3 9 Sidene AB og DF i kvdrtet er prllelle. Derfor er ABC BED. Siden trekntene ABC og BED er rettvinklede, er dermed også BAC EBD. Trekntene ABC og BED er ltså formlike. DE og BC er tilsvrende sider, og BD og AC er tilsvrende sider, der BD AB. Fr pytgorssetningen er + c 4 + 3 cm 5 cm 5 cm Dermed får vi DE BD BC AC 5 cm 3 cm 4 cm 53 cm 4 3, 75 cm Løsninger Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 57
Oppgve 6.43 Siden A 3 er forholdet mellom motstående og hosliggende ktet lik 0,60: BC 0,60 AB Dermed er BC 0,60 AB 0,60,0 cm 7, cm Nå er C 90 A 90 59 3. Derfor er AB 0,60 BC AB 0,60 BC 0,60 7,5 cm 4,5 cm Oppgve 6.44 tn 9 0,584 tn 37,5 0, 7673 c tn 85, 430 Oppgve 6.45 tn 35,5 8,5 8,5 tn 35,5 8,5 0,73 6, tn v 3 3 3 3 tn v 3 3 0, 4, 3 Oppgve 6.46 4,5 tn 5,0 4,5 tn 5,0 4,5,80 3,5 Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 57
8 tn v 8 3 38 4 Oppgve 6.47 BC tn A AB 0, 45 5,0 5,0 0, 45, 5 Lengden v BC er,5. AB tn C BC, 70 8,0 8,0,70 3, 6 Lengden v AB er 3,6. Oppgve 6.48 AB tn C AC 5,6,8 AC 5,6 AC,8 AC,0 Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 57
Oppgve 6.49 Treknten er likeeint. Høyden fr L på PK deler derfor PK i to like deler. LQ tn P PQ tn,8 50 50 tn,8 60,0 Kiteren er 60 meter fr lnd. Oppgve 6.50,0 tn 5,0 tn 0, 40 tn 0, 40,8 Oppgve 6.5 BC tn A AB 3 tn A 0, 75 4 A tn 0, 75 36,9 C 90 A C 90 36,9 53, De spisse vinklene i treknten er 36,9 og 53,. Oppgve 6.5 Vi ruker pytgorssetningen til å finne. + 3 ± 3 3 Dermed er tn 60 tn 60 3 Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 57
Oppgve 6.53 Vi måler på figuren og finner t 4,6 cm AB og BC,8 cm. Dermed er BC,8 cm tn A 0,39 AB 4,6 cm AB 4,6 cm tn C, 6 BC,8 cm Oppgve 6.54 tn 3,5 6 6 tn 3,5 3,8,5 tn 40,0,5 3, 0 tn 40,0 3 c tn 5,5 3,3 tn 5,5 d tn 35 0 0 tn 35 7,0 3, 0 e tn v 0,5455 5,5 v tn 0,5455 8, 6 5 f tn v, 5 0 v tn,5 56,3 8, 4 g tn v 3, 65,3 v Oppgve 6.55 tn 3, 65 74, 7 Vi finner først høyden h på figuren. h tn 3 m h 3 m tn 5,3 m Høyden v veggen er ltså,5 m + 5,3 m 6,8 m. Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 57
Oppgve 6.56 4 tn B 5 4 tn B 3 Oppgve 6.57 AC tn B AB 0,80 5,0 0,80 5,0 4,0 Lengden v AC er 4,0. Oppgve 6.58 8,0 m tn v 3, 4 m 8,0 v tn 3, 4 v 67,0 Vinkelen mellom stigen og underlget er 67,0. Oppgve 6.59 AB tn C AC 3 3 3 3 3 3 3 Lengden v AC er 3. Aschehoug www.lokus.no Side 0 v 57
Oppgve 6.60 tnα 0, 08 c α Stigningen er på 4,6. tn 0,08 4,6 Stigningen er på %. Det etyr t tnα % 0,. c α tn 0, 6,3 En stigning på % er det smme som en stigning på 6,3. tnα 00 % α tn 45 En stigning på 00 % svrer til 45. Oppgve 6.6 h tn A 0 cm tn 65 0 cm 9,3 cm tn 65 h tn B y 0 cm tn 47 y 0 cm y 8,7 cm tn 47 AB + y 9,3 cm + 8,7 cm 8 cm Oppgve 6.6,8 +, 3, 9 tn A 5,6 5,6 3,9 A tn 34,85 5,6, tn w 5,6, w tn 0,56 5,6 v A w 34,85 0,56 4, 9 4,3 Aschehoug www.lokus.no Side v 57
Oppgve 6.63 Hvis vi lr normlen fr C ned på AB være 4, ser vi t vstnden fr A til normlen lir 3, og vstnden fr B til normlen lir 5. Dermed er tn A 4 3 og tn B 4 5. (For øvrig er ikke treknten rettvinklet.) Oppgve 6.64 c er motstående ktet til vinkelen som er oppgitt. Vi ruker derfor sinus. sin 5,5,5,5 sin 5,5 5,38 Vi kjenner motstående ktet til vinkelen som er oppgitt. Derfor ruker vi sinus. 3,5 sin 55,0 3,5 sin 55,0 4,3 Vi kjenner hosliggende ktet til vinkelen som er oppgitt. Derfor ruker vi cosinus.,0 cos5,0 cos5 9, Oppgve 6.65 Vi vil finne motstående ktet, og ruker derfor sinus. sin 70 6,0 m 6,0 m sin 70 5,6 m Stigen når 5,6 m opp på veggen. Oppgve 6.66 8 m sin 70 8 m sin 70 9 m Vieren er 9 m lng. Aschehoug www.lokus.no Side v 57
Oppgve 6.67 8,0 cos60 h 8,0 h 6,0 cos60 sin 60 6,0 6,0 sin 60 3,9 Lengden v hypotenusen er 6,0, og lengden v den ndre kteten er 3,9. Oppgve 6.68 Vi finner først den motstående kteten AC. AC sin B BC 3 y 4 3 y 3 4 3 y y 6 Så finner vi AB fr pytgorssetningen. ( ) 4 3 6 + 48 36 + ± 4 3 4 3 3 Lengden v AB er 3. Oppgve 6.69 BC cosc AC 3 y 3 4 3 3 y 3 4 3 3y y 4 Lengden v BC er 4. Aschehoug www.lokus.no Side 3 v 57
Vi finner AB fr pytgorssetningen. ( ) 4 3 + 4 48 6 + 3 ± 3 3 6 6 4 Omkretsen v treknten er ltså 4+ 4 + 4 3. Oppgve 6.70 4,0 sin 3 4,0 sin 3 7,9 Oppgve 6.7 6,0 cos 9,0 6,0 cos 9,0 48, Oppgve 6.7 8,0 cm cosc 0, 64,5 cm C cos 0, 64 50, 8,0 cm sin A 0, 64,5 cm A sin 0, 64 39,8 I tillegg til den rette vinkelen på 90 er vinklene i treknten 50, og 39,8. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 57
Oppgve 6.73 c Se figuren til høyre. BC sin A AC sin 30 AB cos A AC cos30 3 BC cosc AC cos60 Oppgve 6.74 Fr pytgorssetningen finner vi t BC sin A AC sin 45 AB cos A AC cos 45 Oppgve 6.75 CD sin A AC CD sin 7,0 m CD 7,0 m sin CD,6 m AD cos A AC AD cos 7,0 m AD 7,0 m cos AD 6, 49 m Dermed er AB 6,49 m,98 m 3,0 m. AC +. Det gir Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 57
Oppgve 6.76 AD tn ABD AB AD tn 56,0,0 AD,0 tn 56,0 AD,965 Lengden v AD er 3,0. AD sin ACD CD,965 sin ACD 8,5,965 ACD sin 8,5 ACD 0, 4 Oppgve 6.77 DB cos CDB DC DB cos50 30 m DB 30 m cos50 DB 9,8 m 9 m Vi finner først BC ved å ruke sinus i treknten BCD. BC sin CDB DC BC sin 50 30 m BC 30 m sin 50 BC,98 m Så finner vi AB fr pytgorssetningen. AB AC BC 40,98 m 3, 74 m Dermed er AD AB DB 3,74 m 9,8 m 3,46 m 3 m. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 57
Oppgve 6.78 c d Vi skl finne motstående ktet til vinkelen som er oppgitt, og ruker derfor sinus. sin 40,5 3, 4 3,4 sin 40,5 8,7,5 sin 60,5 sin 60 4, 4 3 m sin v 4 m 3 v sin 4 v 3,8 Vi kjenner den hosliggende kteten til vinkelen v, og ruker derfor cosinus. 4 cm cosv 3 cm 4 v cos 3 v 5,5 Oppgve 6.79 Sinus til vinkelen B er lik forholdet mellom motstående ktet og hypotenusen i treknten. Hvis den motstående kteten hr lengde 3 og hypotenusen hr lengde 5, vil derfor sin B 3 5. Oppgve 6.80 AB cos B BC 0, 40 8,0 8,0 0, 40 3, Lengden v AB er 3,. Løsninger Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 57
Oppgve 6.8 Vi skl finne hosliggende ktet til vinkelen, og ruker derfor cosinus. cos3 3,5 m 3,5 m cos3 3, 0 m Avstnden fr åten til rygg er 3,0 m. Oppgve 6.8 5,0 m sin 75 5,0 m sin 75 5, m Stigen må være 5, m lng. sin 9 600 m 600 m sin 9 94 m Høydeforskjellen mellom høyeste og lveste punkt på veien er 94 m. Oppgve 6.83 tn 3 7 cm 7 cm tn 3 3, 0 cm 4,5 cm sin 33 4,5 cm sin 33 8,3 cm 9 cm c cos 0 cm cos 0,9 cos 0,9 5,8 Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 57
Oppgve 6.84 c Vi ruker sinus på treknten ABD. BD sin A AB m sin v 60 m v sin 0, v, 5 Vi ruker sinus på treknten CBD. BD sin BCD CB m sin 30 CB m CB sin 30 CB 4 m Vi finner først AD fr pytgorssetningen på treknten ABD, og deretter CD ved å ruke tngens på treknten CBD. AD AB BD 60 m 58,8 m BD tn BCD CD m tn 30 CD m CD tn 30 CD 0,8 m AC AD CD 58,8 m 0,8 m 38 m Lengden v AC er 38 m. Oppgve 6.85 Sinus til vinkelen C er lik forholdet mellom motstående ktet og hypotenusen i treknten, AB sin C BC Vi kn derfor finne lengden v BC. 3 4,5 cm 5 BC 5 BC 4,5 cm 7,5 cm 3 Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 57
Oppgve 6.86 Vi finner først lengden v AD ved å ruke tngens på treknten ABD. AD tn ABD AB AD tn 56,0,0 AD,0 tn 56,0 AD,97 Så finner vi AC ved å ruke pytgorssetningen på treknten ACD. AC CD AD 8,5,97 7,96 Dermed er BC AC AB 7,96, 0 5,96 6, 0. Oppgve 6.87 Vi ruker tngens på treknten ACD. CD tn A AD h tn 3 3,5 m h 3,5 m tn 3 h, m Høyden v hemsen er, m. Vi finner først vstnden på utsiden v veggen, og ser d på treknten BEF. EF tn B BF 0, 40 m tn 3 0, 40 m tn 3 0,64 m Mellom veggene er vstnden dermed 3,5 m 0,64 m 5,7 m 5,7 m Bredden v hemsen mellom veggene er 5,7 m. Aschehoug www.lokus.no Side 30 v 57
Oppgve 6.88 Vi finner først høyden h fr åten opp til rygg før vnnet stiger (figuren til venstre). h sin 3 3,5 m h 3,5 m sin 3,855 m Etter t vnnet hr steget er denne høyden redusert til (figuren til høyre) y h 0,5 m,855 m 0,5 m,355 m Lengden v tuet, som dnner hypotenusen i treknten, er fortstt 3,5 m. Vi finner dermed fr pytgorssetningen. 3,5,355 m 3, m Avstnden fr åten til rygg etter t vnnet hr steget vil være 3, m. Oppgve 6.89 Vi egynner med å finne ktetene i treknten DGN. DN sin G GN DN sin 5 330 m DN 330 m sin 5 39,46 m DG cosg GN DG cos 5 330 m DG 330 m cos 5 99,08 m Dermed er CD 450 m 99, 08 m 50,9 m. Til slutt ruker vi pytgorssetningen på treknten CDN. CN CD + DN 50,9 + 39, 46 m 05, 49 m 05 m Avstnden mellom Corneli og Nnn er 05 m. Aschehoug www.lokus.no Side 3 v 57
Oppgve 6.90 Vi finner BC ved hjelp v tngens, og CA ved hjelp v sinus. AB tn C BC 4, km tn 65 BC 4, km BC,968 km tn 65 AB sin C CA 4, km sin 65 CA 4, km CA 4,656 km sin 65 Dermed er AB + BC + CA 4, km +,968 km + 4, 656 km 0,844 km. Lengden v løyp er 0,84 km. Punktet M er midtpunktet på AC. Det etyr t normlen fr M på AB deler AB i to like store deler, og normlen fr M på BC deler BC i to like store deler. Trekntene ABM og BCM er derfor egge likeeinte. Altså er BM CM MA, og følgelig BM + MA CA. Vicky hr derfor jogget 4,66 km. Oppgve 6.9 På figuren er u 30 og v 50. Vi ser derfor t cos30 0,87 og cos50 0,87. To vinkler som til smmen er 80 hr ltså cosinusverdier med motstt fortegn. Oppgve 6.9 Punktet P hr koordintene (0,8, 0,6). Sinus til vinkelen er ndrekoordinten til punktet. Altså er sinus til vinkelen 0,6. Cosinus til vinkelen er førstekoordinten til punktet. Altså er cosinus til vinkelen 0,8. Sinus til vinkelen er ndrekoordinten til punktet, ltså. Cosinus til vinkelen er førstekoordinten til punktet, ltså. Oppgve 6.93 sin v sin ( 80 v) for lle vinkler v. Altså hr vinkelen 5 smme sinusverdi som vinkelen 80 5 55. 80 50 30 3 80 75 05 4 Vinklene v og 80 v hr smme sinusverdi. (Hvis v 0, 90 så vil 80 v 90,80.) Aschehoug www.lokus.no Side 3 v 57
Oppgve 6.94 Når v 0 fller venstre vinkelein smmen med den positive førsteksen. Vinkeleinet skjærer enhetssirkelen i punktet (, 0). Dermed er sin 0 0 og cos0. Når v 90 fller venstre vinkelein smmen med den positive ndreksen. Vinkeleinet skjærer enhetssirkelen i punktet (0, ). Dermed er sin 90 og cos90 0. c Når v 80 fller venstre vinkelein smmen med den negtive førsteksen. Vinkeleinet skjærer enhetssirkelen i punktet (, 0). Dermed er sin80 0 og cos80. Oppgve 6.95 Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Ettersom sin v> sin u er derfor v> u. Vinkelen v er størst. Cosinus er en monotont synkende funksjon i intervllet 0,80. Ettersom cosu < cosv er derfor u > v. Vinkelen u er størst. c Sinus er en positiv funksjon i hele intervllet 0,80, mens cosinus er positiv i intervllet 0, 90 og negtiv i intervllet 90,80. Når sin v > 0 og cosv < 0 vet vi derfor t v 90,80. Oppgve 6.96 Arelet v treknten er lik hlve produktet v de to sidene og sinus til den mellomliggende vinkelen. 5 0,6 9,0 F AB AC sin A 5,0 3,0 0,6 4,5 Arelet v treknten er 4,5. Oppgve 6.97 F 8,0 sin 36 8 F 4 sin 8 36 Aschehoug www.lokus.no Side 33 v 57
Oppgve 6.98 Arelet v treknten er gitt ved F AB AC sin A 5,5 sin 35 54 Arelet v treknten er 54 cm. Arelet v treknten er gitt ved F AB AC sin A. 36, 0,5 AC sin 50 36,0 AC,5 sin 50 AC 7,5 Siden AC hr lengden 7,5 cm. Oppgve 6.99 Arelet v treknten er lik hlve produktet v de to sidene og sinus til den mellomliggende vinkelen. F 6,8 4,5 sin00 5, Arelet v treknten er 5, m. Oppgve 6.00 Tomt er stt smmen v to treknter. Treknt ABD: F 54, 78,3 sin 3,9 5,6 Treknt BDC: F 6,7 78,3 sin 44,5 693, Smlet rel: 5,6 m + 693, m 845,7 m 850 m Arelet v tomt er 850 m,85 mål. Aschehoug www.lokus.no Side 34 v 57
Oppgve 6.0 Arelet v treknten er gitt ved F AC BC sin C Det gir likningen 50 0 sin C 50 60 sin C 50 sin C 60 Vi må huske t likningen hr to løsninger: én spiss vinkel og én stump vinkel. 50 50 C sin C 80 sin 60 60 C 56, 4 C 80 56, 4 C 56,4 C 3,6 F AB BC sin B 0,5 AB 7 sin50 0,5 AB 7 sin50 AB 6 Oppgve 6.0 Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Det kn vi se utfr enhetssirkelen. Når vinkelen v øker, øker ndrekoordinten til skjæringspunktet mellom vinkeleinet og enhetssirkelen. Siden 35 > 33 er ltså sin 35 > sin 33. Arelet v treknt I er gitt ved F I 3, 4,8 sin 35 Arelet v treknt II er gitt ved F II 3, 4,8 sin 33 Den eneste forskjellen mellom uttrykkene er vinkelen mellom de to sidene i treknten. Ettersom sin 35 > sin 33 er dermed FI > FII. Treknt I hr størst rel. c FI 3, 4,8 sin 35 4, 4 FII 3, 4,8 sin 33 4, Aschehoug www.lokus.no Side 35 v 57
Oppgve 6.03 Løsninger sin v er definert som ndrekoordinten til skjæringspunktet P mellom vinkeleinet og enhetssirkelen. Altså er sin v 0,9. cosv er definert som førstekoordinten til skjæringspunktet P mellom vinkeleinet og enhetssirkelen. Altså er cosv 0,40. sin v er ndrekoordinten til punktet. Altså er sin v t. cosv er førstekoordinten til punktet. Altså er cosv s. Oppgve 6.04 Arelet v treknten er lik hlve produktet v de to sidene og sinus til den mellomliggende vinkelen. F 5,8 8, sin 53, 8,8 Arelet v treknten er 8,8 m. F 0,0,0 sin 45,5 4,8 Arelet v treknten er 4,8 cm. F 0,0,0 sin34,5 4,8 Arelet v treknten er 4,8 cm. Oppgve 6.05 Tomt er stt smmen v to treknter, som vist på figuren. Arelet v treknt ABC: F 35,4 0,4 sin06 347, Arelet v treknt ADC: F 7, 38,9 sin85 55, Smlet rel: 347, m + 55, m 87, m 87 m Arelet v tomt er 87 m. Oppgve 6.06 Både sin v og cosv er mellom 0 og. Vinkelen er derfor i intervllet 0, 90. v cos 0,559 56, 0 sin v er positiv og cosv er negtiv. Vinkelen er derfor i intervllet 90,80. v cos ( 0,89) 46, 0 c Vi vet t sin v sin ( 80 v). Når v > 90 er derfor v 80 sin 0, 784 8, 4. Aschehoug www.lokus.no Side 36 v 57
Oppgve 6.07 c Treknten ADC er rettvinklet. D er CD tn DAC AD CD tn 3 m CD m tn 3 CD 3, m Lengden v CD er 3, m. Siden treknten er rettvinklet, er relet gitt ved CD AD 3, m m 45,4 m 45 m Arelet v treknt ADC er 45 m. Vi finner lengden v AC fr pytgorssetningen på treknten ADC. AC AD + CD + 3, m 5,67 m Arelet v treknt ABC: AB AC sin BAC 6 5, 67 sin 3 08,8 Arelet v hele området: 45,4 m + 08,8 m 54,4 m Antll trær: 54,4 8 9 Det vokser 8 trær på området. Oppgve 6.08 Løsninger Arelet v treknt I: F I 3,9 3, 0 sin38 Arelet v treknt II: F II 3,9 3, 0 sin 40 sin38 sin 80 38 sin 4. Vi vet t ( ) Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Derfor er sin 4 > sin 40. Dette etyr t FI > FII. Treknt I hr ltså størst rel. FI 3,9 3, 0 sin38 3,9 FII 3,9 3, 0 sin 40 3,8 Aschehoug www.lokus.no Side 37 v 57
Oppgve 6.09 Vi finner først lengden v AC ved hjelp v sinus, og deretter lengden v AB fr pytgorssetningen. BC sin A AC 3 6 3 AC AC 6 3 3 ( ) AB AC BC 6 3 44 08 36 6 Arelet v treknten er dermed AB BC 6 6 3 8 3. Oppgve 6.0 Arelet v treknten er gitt ved F AB AC sin A Det gir likningen 0 8 0 sin A 0 40 sin A sin A 0,5 Likningen hr to løsninger: A sin 0,5 A 80 sin 0,5 A 30 A 80 30 A 30 A 50 Oppgve 6. Arelet v området er gitt ved 3 sin v+ 3 4 sin v+ 4 5 sin v 3sin v+ 6sin v+ 0sin v 9sin v Arelet skl være 6,5. Det gir likningen 9sinv 6,5. 6,5 sin v 9 6,5 v sin 0 9 Aschehoug www.lokus.no Side 38 v 57
Oppgve 6. Summen v vinklene i treknten skl være 80. Altså er C 80 5 80 75. Her er AC og AB c 45. Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene B og C. c sin B sin C 45 sin80 sin 75 sin80 45 sin 75 46 Lengden v siden AC er 46. Oppgve 6.3 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin A sin B 5,0 cm sin 4 sin 8 sin 4 5,0 cm 35,6 cm sin 8 Lengden v siden BC er 35,6 cm. Vinkelsummen i treknten er 80. Altså er C 80 4 8 0. c sin C sin B c 5,0 cm sin0 sin 8 sin0 c 5,0 cm 50,0 cm sin 8 Lengden v siden AB er 50,0 cm. Oppgve 6.4 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene B og C. c sin B sin C 6,0 0, 4 0,8 0, 4 6,0 6,0 3 0,8 Lengden v siden AC er 3. Aschehoug www.lokus.no Side 39 v 57
Oppgve 6.5 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin A sin C c sin A sin5 3,3 5, 3,3 sin A sin5 5, sin A 0,530 A sin 0,530 3 Dermed er B 80 3 5 3. c sin B sin C 5, sin 3 sin5 sin 3 5,, 4 sin5 Lengden v siden AC er,4. Oppgve 6.6 Vi hr oppgitt to sider i treknten, og den motstående vinkelen til den lengste v de to sidene. Vinkelen er dessuten større enn 90. D er det re én treknt som psser til opplysningene. Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin A c sin C sin30, 6, 4 6,, 4 C sin sin30, 6 6, C 35,53 35,5 Dermed er B 80 30,6 35,53 3,87 3,9. Til slutt finner vi ved å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A 6, sin3,87 sin30, 6 sin3,87 6, 5, sin30, 6 Aschehoug www.lokus.no Side 40 v 57
Oppgve 6.7 Vi strter med å tegne siden AB. Så tegner vi vinkel A, der lengden v det venstre vinkeleinet er ukjent. Så tegner vi en sirkel med sentrum i punktet B og rdius 8,5 cm. D ser vi t sirkelen skjærer vinkeleinet fr vinkel A i to punkter, C og C. Dette etyr t det er to treknter som stemmer med opplysningene, én med den spisse vinkelen C og én med den stumpe vinkelen C. Vi legger også merke til t høyden fr B på AC er den smme i de to trekntene. Derfor er sin C sin C. Vi må strte med å finne de ukjente vinklene. Først ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin A c sin C sin 50 0, 0 8,5 Som vi vet fr oppgve hr likningen to løsninger: 0,0 0,0 C sin sin 50 C 80 sin sin 50 8,5 8,5 C 64,3 C 5, 68 Treknt I: C 64,3 64,3 B 80 50 64,3 65, 68 65, 7 sin B sin A 8,5 cm sin 65,68 sin 50 sin 65,68 8,5 cm 0, cm sin 50 Lengden v siden AC er 0, cm. Treknt II: C 5, 68 5, 7 B 80 50 5, 68 4,3 4,3 sin B sin A 8,5 cm sin4,3 sin 50 sin4,3 8,5 cm,7 cm sin 50 Lengden v siden AC er,7 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 57
Oppgve 6.8 Vi setter den ukjente siden lik cm. Cosinussetningen gir 3,3 + 4,5 3,3 4,5 cos4,7 8,965 ± 8,965 3, 0 Den ukjente siden i treknten hr lengden 3,0 cm. Oppgve 6.9 Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A. 6 7 + 0 7 0 cos A 36 49 40 cos A 40 cos A 49 36 3 cos A 40 3 A cos 36,8 40 Så ruker vi cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel B. 7 6 + 0 6 0 cos B 49 36 0 cos B 0 cos B 36 49 87 cos B 0 87 B cos 43,53 0 Til slutt finner vi vinkel C: C 80 36,8 43,53 00,9 Vinklene i treknten er 36,, 43,5 og 00,3. Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A. 4,5 6,0 + 7,5 6,0 7,5 cos A 90 cos A 7 7 A cos 36,87 90 Så ruker vi cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel B. 6,0 4,5 + 7,5 4,5 7,5 cosb 67,5 cos B 40,5 40,5 B cos 53,3 67,5 Dermed er C 80 36,87 53,3 90. Vinklene i treknten er 36,9, 53, og 90. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 57
Oppgve 6.0 Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A. BC AB + AC AB AC cos A BC BC 3 4 + 4 4 6 + 4 BC 8 BC ± 8 BC 8 4 4 Lengden v siden BC er. Oppgve 6. Cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel B gir AC, 0 + 9,5, 0 9,5 cos89 AC 806,956 AC ± 806,956 AC 8, 407 Digonlen AC hr lengden 8,4 m. c Cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel D gir AC,5 + 8,0,5 8,0 cos D 806,956 830, 5 80 cos D 80 cos D 3, 94 3, 94 D cos 88,35 88, 4 80 Firknten er stt smmen v de to trekntene ABC og ACD. Treknt ABC: F,0 9,5 sin89 04,7 Treknt ACD: F,5 8,0 sin88,35 0,4 Smlet rel: 04,7 m + 0,4 m 407, m Arelet v firknten er 407 m. Aschehoug www.lokus.no Side 43 v 57
Oppgve 6. c d Vi ruker sinussetningen.,9 sin 3 sin 5 sin 3,9 sin 5 3, 6 Vi ruker sinussetningen. sin sin 53, 4 5,, 4 sin sin 53 5, sin 0,3758 sin 0,3758, Vi ruker cosinussetningen. 3, 6 + 3, 0 3, 6 3, 0 cos3 33, 74 ± 33, 74 5,8 Vi ruker cosinussetningen. 6,0 3,0 + 5,0 3,0 5,0 cos 36 34 30 cos 30 cos 34 36 cos 30 cos 30 93,8 Aschehoug www.lokus.no Side 44 v 57
Oppgve 6.3 Vinkelsummen i treknten er 80. Altså er C 80 45 60 75. Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A 5,9 sin 60 sin 45 sin 60 5,9 7, sin 45 Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. c sin C sin A c 5,9 sin 75 sin 45 sin 75 c 5,9 8, sin 45 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin A c sin C sin 30,7 6, 8,36 6, sin C sin 30,7 8,36 6, C sin sin 30, 7, 9,3 8,36 Dermed er B 80 30, 7, 9 7, 0 7, 0. Til slutt finner vi ved å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A 8,36 sin7, 0 sin 30, 7 sin7, 0 8,36 3, sin 30,7 Aschehoug www.lokus.no Side 45 v 57
c Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A sin B sin 60 9 0 9 B sin sin 60 5, 5, 0 Dermed er C 80 60 5, 68, 79 68,8. Til slutt finner vi c ved å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. c sin C sin A c 0 sin 68,79 sin 60 sin 68,79 c 0 0,8 sin 60 d Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkelen A. + c c cos A 5 + 6 5 6 cos 0 5 + 36 60 cos 0,49, Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin 0 5,49 5 B sin sin 0 5, 73 5, 7,49 Dermed er C 80 0 5, 73 07, 7 07,3. e Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkelen A. 5,6 3,8 + 6,8 3,8 6,8 cos A 3,8 6,8 cos A 3,8 + 6,8 5,6 3,8 + 6,8 5,6 cos A 3,8 6,8 3,8 + 6,8 5,6 A cos 55, 44 55, 4 3,8 6,8 Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin 55, 44 3,8 5, 6 3,8 B sin sin 55, 44 33,97 34, 0 5,6 Dermed er C 80 55, 44 33,97 90,59 90, 6. Aschehoug www.lokus.no Side 46 v 57
Oppgve 6.4 Treknten ACD er rettvinklet. Vi ruker derfor pytgorssetningen. AC + Lengden v siden AC er 5,0.,0 9,0 5,0 Vi ruker sinussetningen. sin B sin ACB AC AB sin B sin 66,7 5,0 4,0 5,0 B sin sin 66, 7 79, 75 79,8 4,0 c BAC 80 66, 7 79, 75 33,55 Arelet v treknt ACD:,0 9,0 54,0 Arelet v treknt ABC: 4,0 5,0 sin 33,55 58,0 Arelet v firknten ABCD er dermed 54,0 + 58,0. Oppgve 6.5 Vi finner vstnden fr Dueøy til Kråkeøy ved hjelp v cosinussetningen. 600 + 950 600 950 cos 40 600 + 950 600 950 cos 40 58 Avstnden fr Dueøy til Kråkeøy er 58 m. Omkretsen v treknten er dermed 950 m + 58 m + 600 m 4808 m 4,8 km Båtturen er på 4,8 km. Aschehoug www.lokus.no Side 47 v 57
Oppgve 6.6 Treknten ABC er rettvinklet. Vi ruker derfor pytgorssetningen. AC Lengden v digonlen AC er 7,4. 8,0 3,0 7,4 7,4 BC cos B AB 3, 0 cos B 8,0 3, 0 B cos 67,98 68, 0 8,0 Vi finner vinkelen D fr cosinussetningen. AC DC + DA DC DA cos D 7,4 3,5 5,5 3,5 5,5 cos 38,5 cos D,56 D +,56 38,5 cos 09, 04 09, 0 D c BAC 80 90 67,98, 0 Vi finner CAD fr sinussetningen. sin CAD sin D CD AC sin CAD sin09, 04 3,5 7, 4 3,5 CAD sin sin09, 04 6, 48 7,4 Dermed er A BAC + CAD, 0 + 6, 48 48,50 48,5 C 360 ( A+ B+ D) 360 (48,50 + 67,98 + 09, 04 ) 34, 48 34,5 Oppgve 6.7 Sinussetningen på treknten BDC gir sin BDC sin B BC DC sin BDC sin 78 4,3 5, 0 4,3 BDC sin sin 78 57, 7 57 5,0 ADC og BDC er supplementvinkler. Altså er ADC 80 57,7,73. Arelet v treknten ADC er dermed gitt ved F 7,5 5, 0 sin, 73 5,8 6 Aschehoug www.lokus.no Side 48 v 57
Oppgve 6.8 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin6, 0 5,5,5 5,5 C sin sin6, 0 37,33,5 B 80 6, 0 37,33 6, 67 Arelet v treknten er dermed F 5,5,5 sin6,67 5,5 Løsninger Det finnes to forskjellige treknter som egge stemmer med de tre opplysningene som er gitt om treknten. I den ene treknten er vinkel B stump (og vinkel C spiss), og i den ndre er vinkel B spiss (og vinkel C stump). Vi må derfor vite om B > 90 eller B < 90 for å kunne regne ut relet v treknten. Oppgve 6.9 Vi ser v figuren t det er to treknter som stemmer med opplysningene, én der vinkel C er spiss og én der vinkel C er stump. Vi finner vinkel C fr sinussetningen. sin C sin 5 4,3 3,9 4,3 4,3 C sin sin 5 C 80 sin sin 5 3,9 3,9 C 58,97 C, 03 Treknt I: C 58,97 59 B 80 5 58,97 70, 03 70 3,9 sin 70,03 sin 5 sin 70,03 3,9 4, 7 sin 5 Treknt II: C, 03 B 80 5, 03 7,97 8, 0 3,9 sin 7,97 sin 5 sin 7,97 3,9 0, 70 sin 5 Treknt I: F 4,3 3,9 sin70,03 7,9 Treknt II: F 4,3 3,9 sin7,97, Aschehoug www.lokus.no Side 49 v 57
Oppgve 6.30 Vi finner først vinkel B ved hjelp v cosinussetningen. AC AB + BC AB BC cos B 6,5,0 + 5,5,0 5,5 cos,0 + 5,5 6,5 cos B, 0 5, 5,0 + 5,5 6,5 B cos 5, 73, 0 5, 5 Arelet v treknten er dermed gitt ved F AB BC sin B,0 5,5 sin 5,73 3, BDC 80 ADC 80 0 60 DCB 80 60 5, 73 94, 7 Vi finner lengden v BD fr sinussetningen. BD BC sin DCB sin BDC BD 5,5 sin 94,7 sin 60 sin 94,7 BD 5,5 6,3 sin 60 Lengden v BD er 6,3. Oppgve 6.3 Treknten ACD er rettvinklet. Vi finner derfor AC fr pytgorssetningen. AC 4,8 + 4, m 6,38 m Dermed kn vi finne vinkel B fr cosinussetningen. 6,38 4,5 + 3,8 4,5 3,8 cos B 4,5 + 3,8 6,38 B cos 00,3 4,5 3,8 Arelet v treknt ACD: 4,8 4, 0,08 Arelet v treknt ABC: 4,5 3,8 sin00,3 8,4 Arelet v golvet er dermed 0,08 m + 8,4 m 8,5 m. B Aschehoug www.lokus.no Side 50 v 57
Oppgve 6.3 Vi finner først lengden v digonlen AC fr cosinussetningen. AC,6 +,7,6,7 cos0,5 9,97 Så finner vi vinkel B fr sinussetningen, og husker d t vinkel B er stump. sin B sin BAC AC BC sin B sin 0,6 9,97 8, 4 9,97 B 80 sin sin 0, 6 3, 3 8, 4 Dermed er ACB 80 0, 6 3, 3 36,7. Arelet v treknt ABC: AC BC sin ACB 9,97 8, 4 sin 36,7 49,50 Arelet v treknt ACD: DC DA sin D,6,7 sin0,5 69,04 Arelet v firknten er dermed 49,50 + 69,04 8,54 9. Oppgve 6.33 Vi finner først lengden v AC fr cosinussetningen. AC + Så finner vi ACB fr sinussetningen. sin ACB sin0 05 m 84,97 m 05 3 05 3 cos0 m 84,97 m 05 ACB sin sin0 33, 73 84,97 Dermed er ACD 35 33, 73 0, 7. Til slutt finner vi lengden v AD fr cosinussetningen. AD 84,97 + 95 84,97 95 cos0, 7 m 94 m Oppgve 6.34 Vi finner lengden v BC fr sinussetningen. BC AC sin A sin B BC 6 6 3 3 4 6 4 6 4 6 BC 6 8 3 3 3 3 Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 57
Oppgve 6.35 Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A. BC AB + AC AB AC cos A BC BC 6+ 4 64 3 36 + 6 3 BC 0 BC ± 0 BC 0 4 5 4 5 5 Lengden v BC er 5 cm. Oppgve 6.36 Vinklene u og A er supplementvinkler, siden u+ A 80. D er sin u sin A og cosu cos A. Fr pytgorssetningen på treknten ACD er + h h Dessuten er cosu cosu cos A der vi i siste linje hr rukt cosu cos A. Pytgorssetningen på treknten DBC gir dermed ( c+ ) + h ( c+ ) + c + + c + + + c c + + ( cos ) c c A + cos c c A Kpitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgve motstående ktet til A 8 sin A 0, 8 hypotenus 00 hosliggende ktet til A 96 cos A 0,96 hypotenus 00 Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 57
Oppgve Den hosliggende kteten til vinkelen v hr lengden 4. Vi ruker definisjonen v tngens og finner den motstående kteten. motstående ktet til v tn v hosliggende ktet til v 4 Ettersom tn v 3 4 gir dette likningen 3 4 4 3 Den motstående kteten hr lengden 3. Vi finner hypotenusen fr pytgorssetningen. h 4 + 3 h h 6 + 9 5 h ± 5 h 5 Hypotenusen hr lengden 5. Oppgve 3 c hosliggende ktet til A 4 cos A hypotenus 5 Hvis den hosliggende kteten til vinkelen A hr lengden 4 og hypotenusen hr lengden 5, vil dette stemme med cos A 4 5. Fr pytgorssetningen er 5 4 + 5 6 ± 9 3 Dermed er motstående ktet til A 3 tn v hosliggende ktet til A 4 Vi ruker formlikhet. 8 4 5 4 85 40 4 0 Hvis AB hr lengden 8, hr AC lengden 0. Aschehoug www.lokus.no Side 53 v 57
Oppgve 4 Arelet v treknt I: F I 34sin5 6sin5 Arelet v treknt II: F II 3 4 sin50 6 sin50 sin50 sin 80 50 sin 30. Vi vet t ( ) Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Altså er sin 30 > sin 5. Dette etyr t FII > FI. Treknt II hr derfor størst rel. Oppgve 5 Vi finner lengden v BC fr cosinussetningen. BC AB + AC AB AC cos A BC BC BC 7+ 3 73 3 49 + 9 8 30 BC ± 30 Lengden v siden BC er 30. Vi ruker relsetningen med utgngspunkt i vinkelen B. F AB BC sin B 7 5 7 30 sin B 7 5 sin B 7 30 sin B sin B sin B sin B sin B 5 30 5 30 6 6 6 6 6 6 Aschehoug www.lokus.no Side 54 v 57
Del Med hjelpemidler Oppgve 6 c Vi ruker sinus. BC sin A AC BC sin 35 8,6 m BC 8,6 m sin 35 BC 4,93 m 4,9 m Lengden v BC er 4,9 m. C 90 35 55 F AC BC sin C F 8,6 m 4,93 m sin 55 F 7,37 m 7,4 m Arelet v treknten er 7,4 m. Trekntene ABC og DEF hr to vinkler felles. Den siste vinkelen må derfor også være lik, F C. Trekntene er ltså formlike. Forholdet mellom tilsvrende sider er,5, der treknt DEF er størst. Forholdet mellom relene er d,5, 5. Arelet v treknten DEF er dermed Oppgve 7 sin 70 8,0 m 8,0 m sin 70 7,5 m Stigen når 7,5 m opp på veggen. 7,37 m,5 39 m. 7 m sin v 8,0 m 7 v sin 8,0 v 6 Stigen dnner vinkelen 6 med kken. Aschehoug www.lokus.no Side 55 v 57
Oppgve 8 Vi ruker relsetningen med utgngspunkt i vinkel A. F AB AC sin A 6,5 km 4,3 km sin 40 9, 0 km Arelet v lndområdet er 9,0 km. sin 40 4,3 km 4,3 km sin 40,8 km Avstnden fr C til siden AB er,8 km. c Vi finner først lengden v BC fr cosinussetningen. 4,3 6,5 4,3 6,5 cos 40 km 4, 3 km Løsninger BC + Det nturlige nå er å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. Men C er nær 90, og det er vnskelig å se fr figuren om vinkelen er spiss eller stump. Det «tryggeste» er derfor å finne vinkel B først, som vi vet er spiss. sin B sin A AC BC sin B sin 40 4,3 km 4,3 km 4,3 B sin sin 40 40,8 4, 3 Dermed er C 80 40 40,8 99, 99. Oppgve 9 Vi finner først lengden v AC fr cosinussetningen. AC + Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i AD AC sin ACD sin D AD 68,99 sin 40 sin0 sin 40 AD 68,99 47,9 47 sin0 Lengden v siden AD er 47. 5 53 5 53 cos0 68,99 ACD og D 80 30 40 0. Arelet v treknt ABC: AB BC sin B 5 53 sin0 573, 74 Arelet v treknt ACD: AC AD sin CAD 68,99 47,9 sin 30 83,9 Arelet v firknten er dermed 573,74 + 83,9 387,65 390. Aschehoug www.lokus.no Side 56 v 57
Oppgve 0 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og ABD. BD AD sin A sin ABD BD,5 sin 50 sin 5 sin 50 BD,5 4,53 4,5 sin 5 Lengden v siden BD er 4,5. I ADB ruker vi relsetningen med utgngspunkt i ADB 80 50 5 05. FADB AD BD sin ADB,5 4,53 sin05 5, 47 Treknt BCD er rettvinklet. Vi finner derfor lengden v BC fr pytgorssetningen. BC BD CD 4,53 4, 0,3 FBCD BC CD,3 4,0 4, 6 Arelet v firknten ABCD er dermed 5, 47 + 4, 6 9,73 9,7. Aschehoug www.lokus.no Side 57 v 57