8
Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene ved ntiderivsjon og ved hjelp v vrielskifte, ved delrøkoppsplting med lineære nevnere og ved delvis integrsjon tolke det estemte integrlet i modeller v prktiske situsjoner og ruke det til å eregne reler v plne områder og volumer v omdreiningslegemer formulere en mtemtisk modell ved hjelp v sentrle funksjoner på grunnlg v oserverte dt, ereide modellen og drøfte resultt og frmgngsmåte
. Antiderivert En il kjører på en rett vei med jevn frt. Idet ilen er 5 m fori et målepunkt, øker den frten. Etter t sekunder er frten målt i meter per sekund gitt ved v(t) = 2t + 5, t [, ] Vi skl finne vstnden s(t) i meter fr målepunktet etter t sekunder. Ettersom ilen er 5 m fr målepunktet ved t =, er s() = 5. Fr R vet vi t sʹ(t) = v(t). Dermed må sʹ(t) = 2t + 5 Vi må finne et funksjonsuttrkk som hr 2t + 5 som derivert. Et mulig uttrkk er for d er s(t) = t 2 + 5t sʹ(t) = (t 2 )ʹ + (5t)ʹ = 2t + 5 Den deriverte er riktig, men når s(t) = t 2 + 5t, er s() =. Det stemmer ikke. Også uttrkket s(t) = t 2 + 5t + 5 hr riktig derivert. Dette uttrkket gir verdien s() = 5. Dette uttrkket for s(t) er d det riktige. Legg merke til t hvis C er en konstnt (et fst tll), hr uttrkket s(t) = t 2 + 5t + C derivert lik sʹ(t) = 2t + 5.? Oppgve. En il kjører på en rett veistrekning og psserer et målepunkt ved tidspunktet t =. Bilen hr d frten 6 m/s. Etter t sekunder hr ilen kselersjonen (t) =,48t + 2,4, t [, 5] målt i m/s 2. ) Finn et uttrkk for frten v(t) etter t sekunder. ) Finn frten etter 5 s. c) Finn et uttrkk for strekningen s(t) som er tilkelgt på t sekunder. d) Hvor lngt er ilen kommet etter 5 s? Sinus R2 > Integrlregning
En funksjon f er gitt ved t f() = 2 + 4 + 5 Funksjonen F gitt ved F() = + 2 2 + 5 hr derivert Fʹ() = 2 + 4 + 5 Dermed er Fʹ() = f(). Å finne funksjonsuttrkket for en funksjon når vi kjenner funksjonsuttrkket for den deriverte, kller vi ntiderivsjon. Vi sier t funksjonen F er en ntiderivert til f dersom Fʹ() = f(). L funksjonen G være gitt ved G() = F() + 7 = + 2 2 + 5 + 7 Den deriverte er Gʹ() = 2 + 4 + 5 Dermed er Gʹ() = f(), og G er en ntiderivert til f. L C være en konstnt. Funksjonen G gitt ved G() = F() + C = + 2 2 + 5 + C hr f som derivert. G er dermed en ntiderivert til f for lle verdier v konstnten C. På slutten v delkpittelet viser vi t lle de ntideriverte til f kn skrives på denne måten. L F være en ntiderivert til funksjonen f. Enhver ntiderivert til f hr d et funksjonsuttrkk v tpen F() + C der C er en konstnt. Hvis vi klrer å finne én funksjon F som hr f som derivert, kn vi dermed finne lle. EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved f() = 6 2 + 4 ) Finn funksjonsuttrkkene til lle de ntideriverte til f. ) Finn den ntideriverte G til f som er slik t G() =.
Løsning: ) Funksjonen F gitt ved F() = 2 + 2 2 hr f() som derivert fordi Fʹ() = 2 2 + 2 2 = 6 2 + 4 = f() Alle de ntideriverte til f hr d funksjonsuttrkk v tpen 2 + 2 2 + C der C er en konstnt. ) Når G er en ntiderivert til f, er G gitt ved G() = 2 + 2 2 + C der C er en konstnt. Krvet G() = gir denne likningen: G() = 2 + 2 2 + C = 2 + 2 + C = + C = C = Den ntideriverte som oppfller krvet, er G() = 2 + 2 2? Oppgve. Finn funksjonsuttrkket til lle de ntideriverte til funksjonen f når ) f() = 4 2 ) f() = 2 + 4 c) f() = 2 d) f() = 4 6 + Oppgve.2 Funksjonen f er gitt ved f() = 8 + 2 2 + + Finn en ntiderivert F som er slik t F( ) = 2. Oppgve. Bruk derivsjonsregler fr R til å finne funksjonsuttrkket til lle de ntideriverte til f når ) f() = e ) f() =, > c) f() = 2 d) f() = + 2 2 Sinus R2 > Integrlregning
Bevis for t lle ntideriverte er v tpen F() + C Nå skl vi finne lle funksjonene H som er slik t Hʹ() = Ettersom Hʹ() = for lle, må grfen til H h en horisontl tngent i lle punkter. H må i tillegg være deriverr i lle punkter, og H er derfor en kontinuerlig funksjon. Grfen er d smmenhengende. En smmenhengende grf med horisontl tngent i lle punkter må være ei horisontl linje. Det gir t H() = C, der C er en konstnt. C H Vi hr nå vist t dersom Hʹ() = for lle, så er H() = C. Det omvendte er også riktig: Dersom H() = C, så er Hʹ() =. Vi hr evist t Hʹ() = H() = C Vi skl nå ruke dette resulttet til å finne lle de ntideriverte til en funksjon f hvis vi kjenner én v dem. L F være en ntiderivert til funksjonen f slik t Fʹ() = f(). L nå G være en nnen ntiderivert til f slik t Gʹ() = f(). Vi setter D er H() = G() F() Hʹ() = Gʹ() Fʹ() = f() f() = Men ettersom Hʹ() =, fins det en konstnt C slik t H() = C. Dermed er G() F() = C G() = F() + C Alle de ntideriverte til f er dermed på formen F() + C, der F er en tilfeldig vlgt ntiderivert til f og C er en konstnt.
.2 Uestemt integrl Vi ruker smolet f()d om funksjonsuttrkket til lle de ntideriverte til en funksjon f. Vi skriver for eksempel t (2 + )d = 2 + + C fordi vi kn skrive lle de ntideriverte til 2 + som 2 + + C. Smolet er et integrltegn. Uttrkket f()d kller vi et uestemt integrl, og funksjonsuttrkket f() kller vi integrnden. Vi sier t integrlet er uestemt fordi det inneholder en uestemt konstnt C. Å integrere f vil si å finne de ntideriverte til f. Smolet d i f()d kn virke unødvendig, men skrivemåten er prktisk lnt nnet når vi skifter vriel i et integrl. Det lærer vi om i kpittel 7. EKSEMPEL Finn de uestemte integrlene. ) (4 + 6)d ) (6t 2 4t + )dt Løsning: ) Vi skl finne lle funksjonene som hr 4 + 6 som derivert. (4 + 6)d = 2 2 + 6 + C ) Vi skl finne de ntideriverte til 6t 2 4t +. (6t 2 4t + )dt = 2t 2t 2 + t + C? Oppgve.2 Regn ut de uestemte integrlene. ) (6 + 5)d ) 4 d c) ( 2 + 4 + )d d) ( 2 5 + 6)d 4 Sinus R2 > Integrlregning
Fr R vet vi t for lle reelle tll r er ( r )ʹ = r r. Dersom r, lir d ( r + r + ) ʹ = r + (r + )ʹ = Dermed hr vi vist denne integrsjonsregelen: r + (r + ) r + = r r d = r + r + + C, r Dersom r =, lir integrlet r d = d = d Dette integrlet estemmer vi i kpittel.. Formelen ovenfor gir lnt nnet disse integrsjonsreglene: d = 2 2 + C 2 d = + C d = 4 4 + C Integrsjonsregelen ovenfor gjelder også når eksponenten r er et negtivt tll eller en røk. Husk t og t = m n = n m der m og n er hele tll og n >. Spesielt er n = n. EKSEMPEL Finn de uestemte integrlene. ) 5 d ) d Løsning: ) 5 d = ) d = d = c) d = d = 5 + 5 + + C = 6 6 + C + + + C = + + + C = 4 c) d 2 2 + C = 2 2 + C + C = 4 + C 5
Vi deriverer en sum v funksjoner ledd for ledd og kn derfor også integrere en sum v funksjoner ledd for ledd slik denne regelen viser: Dersom Fʹ() = f() og Gʹ() = g(), er ( f() + g())d = F() + G() + C der, og C er konstnter. Når vi nå skl evise regelen, er det nok å derivere F() + G() og se om vi får integrnden: ( F() + G())ʹ = Fʹ() + Gʹ() = f() + g() Regelen er ltså riktig. Regelen gjelder også for en sum med mer enn to ledd. EKSEMPEL Finn de uestemte integrlene. ) 6 2 d ) ( + 2 + 5)d c) ( 2 + + 2 ) d Løsning: ) 6 2 d = 6 + C = 2 + C ) ( + 2 + 5)d = 4 4 + + 5 2 2 + C = 4 4 + + 5 2 2 + C c) ( 2 + + 2 ) d = (2 + + 2 )d = 2 2 2 + + + C = 2 + + C 6 Sinus R2 > Integrlregning
EKSEMPEL En il kjører på en rett veistrekning. Etter t sekunder hr den kseler sjonen (t) =,2t +, t [, 5] målt i meter per sekund i ndre (m/s 2 ). Finn frtsøkningen i meter per sekund i denne perioden. Løsning: Ettersom den deriverte v frt er kselersjon, er frt en ntiderivert til kselersjon. Dermed er frten i meter per sekund v(t) = (t)dt v(t) = (,2t + )dt =,t 2 + t + C Vi hr ikke opplsninger nok til å finne konstnten C, men vi kn likevel finne frtsøkningen. Den er v(5) v() = (, 5 2 + 5 + C) ( + + C) = 2,5 + 5 + C C = 2,5 Frten øker med 2,5 m/s.? Oppgve.2 Regn ut de uestemte integrlene. ) ( t t ) 2 dt ) ( 2 2 ) d Oppgve.22 Etter t sekunder hr en il frten v(t) = 2 +,8t, t [, ] målt i meter per sekund. Hvor lngt kjører ilen på de ti sekundene? c) ( 2t 5 t 2 ) 5 dt d) 2 d Oppgve.2 ) Finn f() når f ʹ() = 4 2 og f() = 2. ) Finn f() når f ʹ() = 6 2 + 5 og grfen til f skjærer ndreksen i punktet 2. c) Finn f() når f ʺ() = 2 6 og grfen hr et unnpunkt i (, ). 7
. Integrlet d I dette kpittelet skl vi integrere funksjonen f() = Funksjonen hr denne grfen: 5 5 4 2 4 2 2 4 5 2 4 5 f Fr R vet vi t ln er definert når >, og t (ln )ʹ = For positive verdier v er derfor d = ln + C For negtive verdier v er tllet positivt, og d er ln( ) definert. Vi deriverer ln( ) ved hjelp v kjerneregelen. (ln( ))ʹ = ( )ʹ = ( ) = For negtive verdier v er dermed d = ln( ) + C De to uttrkkene for d kn vi kominere til ett ved hjelp v soluttverditegnet, fordi = når er positiv = når er negtiv 8 Sinus R2 > Integrlregning
d = ln + C EKSEMPEL Finn de uestemte integrlene. ) ( 6 + 4 ) d ) ( 2 + + + 2 2 ) d Løsning: ) ( 6 + 4 ) d = ( 6 + 4 ) d = 2 + 4 ln + C ) ( 2 + + + 2 2 ) d = ( 2 + + + 2 2 ) d = 2 + + ln + 2 + C = 2 + + ln 2 + C? Oppgve. Finn de uestemte integrlene. ) d ) ( 2 + 2 ) d c) ( 6 2 2 + Oppgve. Finn de uestemte integrlene. ) + d ) 22 + 2 d + ) 2 d Oppgve.2 Finn de uestemte integrlene. ) + d ) 2 + d Oppgve. L være et positivt tll. ) Deriver uttrkket ln ) Finn det uestemte integrlet ln d 9
.4 Integrsjon v eksponentilfunksjoner Fr R vet vi t funksjonen f() = e er lik sin egen deriverte. (e )ʹ = e Det gir denne integrsjonsformelen: e d = e + C EKSEMPEL Regn ut det uestemte integrlet (4 + 2e )d Løsning: (4 + 2e )d = 2 2 + 2e + C Nå skl vi finne e k d, der k er en konstnt. Vi ruker kjerneregelen og deriverer e k. (e k )ʹ = e k (k)ʹ = e k k = k e k Hvis k, lir ( k ek ) ʹ = k (ek )ʹ = k k ek = e k Vi hr funnet en ntiderivert til e k, og dermed kn vi integrere e k. e k d = k ek + C, k EKSEMPEL Regn ut integrlene. ) e d ) 2e,5 d c) (2e 2 + 2e 2 )d 2 Sinus R2 > Integrlregning
Løsning: ) e d = e + C ) 2e,5 d = 2,5 e,5 + C = 4 e,5 + C c) (2e 2 + 2e 2 )d = 2 2 e2 + 2 2 e 2 + C = e 2 e 2 + C? Oppgve.4 Regn ut de uestemte integrlene. ) 2e d ) (6 e )d c) (4e 2 + 9e )d d) (e + e )d L være et positivt tll. Fr R vet vi t uttrkket hr den deriverte ( )ʹ = ln = ln Hvis, er konstnten ln. D er Uttrkket ( ln ) ʹ = ln ( )ʹ = ln ln = ln er dermed en ntiderivert til. Det gir denne regelen: d = ln + C, > og EKSEMPEL Regn ut integrlene. ) d ) 5,5 d c) (2 + 2 )d Løsning: ) d = ln + C ) 5,5 d = 5 c) (2 + 2 )d = 2 + ln,5 5,5 + C = ln,5,5 + C ln 2 2 + C 2
? Oppgve.4 Regn ut de uestemte integrlene. ) ( 2 )d ) (2 )d c) (ln 2 2 + ln )d Oppgve.42 Finn integrlene. ) (54 e,8 )d ) (2 8,5 )d Oppgve.4 ) Deriver uttrkket e 2. ) Finn integrlet e 2 d.5 Bestemt integrl som grense for en sum Vi tegner grfen til funksjonen gitt ved f() = 2 A 2 4 5 f 6 7 På figuren hr vi skrvert et fltestkke som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = 6 og grfen til funksjonen f. Vi ønsker å finne relet A v dette fltestkket. Vi deler først intervllet [, 6] i fem like deler og tegner fem rektngler som går fr -ksen og opp til grfen. Arelet v de fem rektnglene er en grov tilnærming til relet A. 2 2 4 5 6 7 f 22 Sinus R2 > Integrlregning
Hvert rektngel hr redden, der = 6 = 5 = 5 5 Høden v rektnglene lir f(), f(2), f(), f(4) og f(5). Summen S 5 v relene v de fem rektnglene lir S 5 = f() + f(2) + f() + f(4) + f(5) = + 2 + + 4 + 5 8,8 På figuren nedenfor hr vi delt intervllet [, 6] i ti like store deler og tegnet rektngler som når opp til grfen. 2 2 4 5 6 7 f Arelet v disse ti rektnglene gir en edre tilnærming til relet A under grfen til f. Hvert rektngel får redden, der = 6 = 5 =,5 Høden v rektnglene lir f(), f(,5), f(2) osv. Rektngelet lengst til høre hr høden f(5,5). Arelet S v de ti rektnglene er S = f() + f(,5) + f(2) +... + f(5,5) =,5 +,5,5 + 2,5 +... + 5,5,5 8,76 Hvis vi deler området i n rektngler, lir redden v hvert rektngel = 6 n = 5 n L være den minste -verdien i det første rektngelet, 2 den minste -verdien i det ndre rektngelet, osv. Arelet S n v de n rektnglene lir d S n = f( ) + f( 2 ) + f( ) +... + f( n ) Vi kn ruke en dtmskin eller lommeregneren til å regne ut denne summen for store verdier v n. Hvis vi deler opp området i 5 rektngler, får vi S 5 9,6 Hvis vi ruker, eller rektngler, får vi S 9,9 S 9, S 9, Det ser ut som relet nærmer seg 9,. 2
Når n, nærmer S n seg en grenseverdi som vi kller det estemte integrlet til f. Vi skriver 6 f()d = lim S n n Tllene og 6 kller vi integrsjonsgrensene. Tllet er nedre integrsjonsgrense, og 6 er øvre integrsjonsgrense. Denne grenseverdien er smtidig lik relet A mellom -ksen og grfen til f fr linj = til linj = 6. Etter utregningen forn er 6 f()d = 9,? Oppgve.5 Tegn grfen til funksjonen gitt ved f() = 2, [, 5] ) Skrver det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til f. ) Finn en tilnærmingsverdi for relet A ved regning. Bruk åtte rektngler. Nå skl vi definere det estemte integrlet for en funksjon f som er kontinuerlig i intervllet [, ]. Vi ser først på en funksjon f som er positiv i intervllet [, ]. Vi skl finne relet A v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til f. Se figuren til venstre nedenfor. f f A Først deler vi intervllet [, ] i n like store deler som vist til høre ovenfor. 24 Sinus R2 > Integrlregning
Bredden v hver del er = n Over hver del tegner vi et rektngel slik t det øvre venstre hjørnet i rektngelet erører grfen. L være den minste -verdien i det første rektngelet, 2 den minste -verdien i det ndre rektngelet, osv. D er f( ) høden i det første rektngelet, f( 2 ) høden i det ndre rektngelet, osv. Summen S n v relene til de n rektnglene lir d S n = f( ) + f( 2 ) + f( ) +... + f( n ) Det estemte integrlet til f fr til definerer vi på denne måten: f()d = lim S n n Tllene og er integrsjonsgrensene. Hvis f er positiv i intervllet [, ], er det estemte integrlet relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til f. Hvis f ikke er positiv i intervllet [, ], definerer vi det estemte integrlet nøktig på den smme måten. Men nå lir integrlet ikke lik relet, for funksjonsverdien er ikke lik høden i rektnglene. Vi tegner grfen til en funksjon som er negtiv i intervllet. f Høden i et rektngel er et positivt tll. Funksjonsverdien er her et negtivt tll som i tllverdi lir lik høden. Når vi regner ut summen S n ovenfor, får vi relet v rektnglene med negtivt fortegn. Dermed lir også grenseverdien lim n S n relet mellom -ksen og grfen med negtivt fortegn. f()d. Men denne grenseverdien er det estemte integrlet 25
L A være relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til funksjonen f. Dersom fltestkket ligger over -ksen, er A = f()d. Dersom fltestkket ligger under -ksen, er A = f()d.? Oppgve.5 Funksjonen f er gitt ved f() = ln ) Tegn grfen til f for, ]. ) Skrver det fltestkket som er vgrenset v -ksen, grfen til f, linj = og linj = 2. c) Finn en tilnærmingsverdi for relet v fltestkket. Bruk ti rektngler. d) Hv lir etter dette Oppgve.52 Funksjonen f er gitt ved 2 ln d tilnærmet lik? f() = 4 2 ) Tegn grfen til f for [, ]. ) Skrver det fltestkket F som er vgrenset v -ksen og grfen til f. c) Finn en tilnærmingsverdi for integrlet 2 2 ( 4 2 ) d ved regning. Bruk åtte rektngler. d) Finn en tilnærmingsverdi for relet v fltestkket F. Det estemte integrlet kn vi også finne ved hjelp v digitle hjelpemidler. Her viser vi hvordn vi finner integrlet 6 d ved hjelp v lommeregneren. På nettsidene til Sinus R2 finner du frmgngsmåten for noen ndre digitle hjelpemidler. Se for øvrig utregningene på side 2 24. 26 Sinus R2 > Integrlregning
ON CASIO Metode Vi velger GRAPH på ikonmenen og legger inn funksjonen Y = X. Deretter velger vi vindu estemt v t [, 6] og [, ]. Her ør -intervllet være det smme som grensene til integrlet. Vi trkker så på EXIT, velger DRAW og får tegnet grfen. Nå trkker vi på G-Solv og på F6. Vi velger d ved å trkke på F. Lommeregneren spør nå etter den nedre integrsjons grensen. Mrkøren står i punktet =. Vi godtr det ved å trkke på EXE. Nå spør lommeregneren etter den øvre integrsjonsgrensen. Vi ruker piltstene og fltter mrkøren til punktet = 6. Når vi så trkker på EXE, lir fltestkket skrvert, og vi får frm svret som vist på denne figuren: TEXAS Metode Vi trkker Y= og legger inn funksjonen Y = (X). Deretter velger vi et vindu estemt v t [, 7] og [, ]. Vi trkker så på GRAPH og får tegnet grfen. Deretter trkker vi på CALC og velger 7 : f()d. Lomme regneren spør nå etter den nedre integrsjons grensen. Vi tster etterfulgt v ENTER. Så spør lomme regneren etter den øvre integrsjonsgrensen. Vi tster 6 etterfulgt v ENTER. Nå lir fltestkket skrvert, og vi får frm svret som vist på denne figuren: Integrlet er 9,. Metode 2 Vi velger RUN på ikonmenen og trkker på OPTN. Nå velger vi CALC og d. Vi fullfører uttrkket slik denne figuren viser: Integrlet er 9,. Metode 2 Vi går til regneskjermen og trkker på MATH. Her velger vi 9:fnInt(. Så fullfører vi uttrkket slik denne figuren viser: Vi får svret 9, når vi trkker på ENTER. OFF Vi får svret 9, når vi trkker på EXE. 27
EKSEMPEL L funksjonen f være gitt ved f() = 2 4 + ) Tegn grfen til f. ) Bruk lommeregneren til å regne ut relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen og grfen. Løsning: ) Grfen ser slik ut: 5 4 2 2 4 5 f ) Fltestkket ligger under -ksen mellom = og =. Vi ruker lommeregneren og finner det estemte integrlet. ( 2 4 + )d =, Ettersom fltestkket er under -ksen, er relet A = ( 2 4 + )d =,? Oppgve.5 Bruk digitle hjelpemidler og finn relet v det området som er vgrenset v -ksen, linj = og grfen til funksjonen f() = 2 Oppgve.54 Bruk digitle hjelpemidler og finn relet v det området som er vgrenset v -ksen og grfen til funksjonen f() = 2 2 28 Sinus R2 > Integrlregning
.6 Bestemt integrl og ntiderivsjon På slutten v dette delkpittelet skl vi vise t når vi kjenner en ntiderivert til en funksjon, kn vi finne det estemte integrlet på denne måten: L F være en ntiderivert til f. D er f()d = F() F() EKSEMPEL Finn det estemte integrlet. ) ( 2 + )d ) ( 2 4 + )d Løsning: ) Vi må finne en ntiderivert til f() = 2 +. Vi velger F() = + Vi trenger ikke h med noen konstnt C, for vi skl re h én ntiderivert til f. D er F() = + = 4 F() = + = Dermed er ( 2 + )d = F() F() = 4 = 4 = ) Først finner vi en ntiderivert til funksjonen f() = 2 4 +. Vi velger F() = 2 2 + D er F() = 2 2 + = 9 8 + 9 = F() = 2 2 + = 2 + = 4 29
Dermed er ( 2 4 + )d = F() F() = 4 = 4 Dette stemmer godt med lommeregnerverdien på side 28. For differnsen F() F() ruker vi en egen skrivemåte. Vi skriver [ F () ] = F() F() Med denne skrivemåten regner vi ut estemte integrler slik: L F være en ntiderivert til funksjonen f. D er f()d = [ F () ] = F() F() Integrlet ( 2 4)d kn vi d finne på denne måten: ( 2 4)d = [ 4 ] = ( 4 ) ( 4 ) = 5 ( ) = 8 Uttrkket mellom hkeprentesene er en ntiderivert til uttrkket 2 4.! Når vi regner ut estemte integrler, trenger vi ikke tenke på om grfen ligger over eller under -ksen. Det er re når vi skl finne et rel, t vi trenger å tenke på det. EKSEMPEL Regn ut (2 e ) d. Løsning: (2 e ) d = [ 2 e ] = ( 2 e ) ( 2 e ) = ( e) ( ) = e + = 4 e Sinus R2 > Integrlregning
! Legg merke til smolruken. Mellom og d står det funksjonsuttrkket f() som vi skl integrere. Mellom hkeprentesene [ og ] står en ntideri vert til f(). Når vi deretter setter inn integrsjonsgrensene, ruker vi vnlige prenteser og ikke hkeprenteser. Vi setter lltid inn øvre integrsjonsgrense først. Deretter trekker vi fr det uttrkket vi får når vi setter inn nedre integrsjonsgrense.? Oppgve.6 Tegn grfen til funksjonen f gitt ved f() = +, [, 5] ) Skrver det fltestkket som er vgrenset v -ksen, grfen til f, linj = og linj = 4. ) Regn ut relet A v dette fltestkket ved hjelp v formelen for relet v et trpes. c) Finn relet A ved integrsjon. Oppgve.6 Finn de estemte integrlene ved regning. 2 ) ( 2 + 2)d ) e d 5 e c) 2 d d) d Oppgve.62 Finn ved regning relet v det området som er vgrenset v -ksen, linj = og grfen til funksjonen f() = 2 Oppgve.6 Finn ved regning relet v det området som er vgrenset v -ksen og grfen til funksjonen f() = 2 2 Oppgve.64 Regn ut relet v det området som er vgrenset v grfen til f, -ksen, linj = og linj =. ) f() = e = 2 og = 2 ) f() = 2 + 2 = og = 4 c) f() = = og = d) f() = 2 = 2 og =
Bevis for t f()d = F() F() L f være en kontinuerlig funksjon. I første omgng forutsetter vi t funksjonen er positiv i intervllet [, ]. Det estemte integrlet f()d er d relet A v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til f. Se figuren til venstre nedenfor. f f A A(t) t Vi skl finne relet A. Først ser vi på relet A(t) v det fltestkket som ligger mellom grfen, -ksen, linj = og linj = t. Se figuren til høre ovenfor. Arelet A(t) er vhengig v hvor vi trekker linj = t. Arelet er en funksjon v t. Nå finner vi Aʹ(t) ved hjelp v definisjonen v den deriverte. Aʹ(t) = lim A(t + h) A(t) h h I utledningen forutsetter vi t h >, og t f er voksende nær = t. Vi kn gjøre et tilsvrende resonnement hvis h <, og hvis f er snkende nær = t. Figuren til venstre nedenfor viser de to relene A(t + h) og A(t). A(t) er relet v det fltestkket som er skrvert vertiklt, og A(t + h) er relet v det fltestkket som er skrvert horisontlt. f f(t + h) f(t) h f t t + h t t + h Differnsen A(t + h) A(t) i telleren ovenfor er relet v det fltestkket som er skrvert horisontlt og ikke vertiklt. Dette fltestkket er tegnet på ntt til høre ovenfor. Figuren 2 Sinus R2 > Integrlregning
viser t fltestkket er større enn et rektngel med redde h og høde f(t). Fltestkket er mindre enn et rektngel med redde h og høde f(t + h). Når vi smmenlikner relet v fltestkkene, får vi f(t) h < A(t + h ) A(t) < f(t + h) h Vi dividerer med det positive tllet h i denne doeltulikheten og får A(t + h) A(t) f(t) < < f(t + h) h Nå lr vi h. Funksjonen f er kontinuerlig slik t f(t + h) f(t) når A(t + h) A(t) h. Uttrkket ligger mellom f(t + h) og f(t) og må derfor h også nærme seg f(t) når h. Dermed er lim h A(t + h) A(t) = f(t) h Denne grenseverdien er per definisjon lik Aʹ(t). Dermed hr vi vist t Aʹ(t) = f(t) Utledningen forutsetter t f er voksende nær = t, og t h >. Vi får det smme resulttet om f er snkende, og om h <. Videre hr vi forutstt t f er positiv i intervllet [, ], men formelen Aʹ(t) = f(t) er riktig for lle kontinuerlige funksjoner f. Funksjonen A(t) er en ntiderivert til f(t). Hvis F(t) er en nnen ntiderivert til f(t), vet vi fr kpittel. t det fins en konstnt C slik t A(t) = F(t) + C Arelet A() er null, for det er relet v et fltestkke der redden er null. Det ruker vi for å finne C. A() = F() + C = C = F() Dermed er A(t) = F(t) F() Spesielt er A() = F() F() Ettersom A() = f()d, hr vi evist t f()d = F() F().
.7 Integrsjon og rel I kpittel.5 lærte vi å regne ut reler på denne måten: L A være relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til funksjonen f. Dersom fltestkket ligger over -ksen, er A = f()d. Dersom fltestkket ligger under -ksen, er A = f()d. Noen gnger ligger fltestkket delvis over -ksen og delvis under. D må vi dele opp fltestkket i flere deler. EKSEMPEL Finn relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen og grfen til funksjonen gitt ved f() = 6 2 + 8 Løsning: Vi tegner grfen for å se om fltestkket ligger under eller over -ksen: 4 2 2 4 2 4 Vi ser t fltestkket ligger delvis over og delvis under -ksen, og vi må d regne ut relet v hver del for seg. Vi trenger nullpunktene til funksjonen. f() = 6 2 + 8 = ( 2 6 + 8) = = eller 2 6 + 8 = 4 Sinus R2 > Integrlregning
Andregrdsformelen gir =, = 2 eller = 4 2 Arelet v det fltestkket som ligger over -ksen, er A = f()d. 4 Arelet v det fltestkket som ligger under -ksen, er A 2 = f()d. Vi regner ut integrlene. 2 2 4 2 2 f()d = ( 6 2 + 8)d = [ 4 4 2 + 4 2 ] = ( 4 24 2 2 + 4 2 2 ) ( 4 4 2 + 4 2 ) = 4 = 4 4 f()d = ( 6 2 + 8)d = [ 2 4 4 2 + 4 2 ] = ( 4 44 2 4 + 4 4 2 ) ( 4 24 2 2 + 4 2 2 ) = 4 = 4 Dermed er A = 4 og A 2 = ( 4) = 4. Smlet rel lir A = A + A 2 = 4 + 4 = 8 4 Hvis vi regner ut integrlet f()d, får vi svret. Grunnen er t relene over og under -ksen er nøktig like store. 2 4 2? Oppgve.7 Tegn grfen til f og regn ut relet v området mellom -ksen, linj =, linj = og grfen til f. ) f() = e ) f() = 2 Oppgve.7 Funksjonen f er gitt ved f() = 4 ) Finn nullpunktene til f. ) Tegn grfen til f. c) Finn relet v området mellom -ksen og grfen til f. 5
Noen gnger får vi ruk for å finne relet A v et fltestkke som ligger mellom linj =, linj = og grfene til to funksjoner f og g. g A f Grfen til f ligger her over grfen til g i intervllet [, ]. Begge grfene ligger over -ksen i området. Arelet under grfen til f er f()d Arelet under grfen til g er g()d Arelet A mellom de to grfene er d A = f()d g()d Regnereglene for integrsjon gir A = (f() g())d I denne utledningen forutstte vi t egge grfene lå over -ksen i inter vllet [, ]. Vi kn vise t formelen er riktig selv om grfene helt eller delvis ligger under -ksen. L A være relet v fltestkket som er vgrenset v linj =, linj = og grfene til de to funksjonene f og g. Dersom f() g() når [, ], er A g f A = (f() g())d 6 Sinus R2 > Integrlregning
EKSEMPEL Funksjonene f og g er gitt ved f() = 2 + 4 g() = 2 6 + 7 Finn relet v det fltestkket som er vgrenset v grfene til f og g. Løsning: Først tegner vi grfene til f og g. 5 4 2 A 2 4 5 g 2 f Grfen til f ligger over grfen til g i det ktuelle området. Vi må finne skjæringspunktene mellom grfene ved regning: f() = g() 2 + 4 = 2 6 + 7 2 2 + 8 = 2 5 + 4 = Andregrdsformelen gir = eller = 4. Arelet er 4 A = (f() g())d 4 = (( 2 + 4 ) ( 2 6 + 7))d 4 = ( 2 2 + 8)d = [ 2 + 5 2 8 ] = ( 2 4 + 5 4 2 8 4 ) ( 2 + 5 2 8 ) ( ) = 6 + = 27 = 9 = 6 4 7
? Oppgve.72 Regn ut relet v det fltestkket som er vgrenset v grfen til f og grfen til g når f() = 2 + 8 7 g() = 2 Oppgve.7 Regn ut relet v det fltestkket som er vgrenset v grfen til f og grfen til g når f() = + 2 2 4 g() = Oppgve.74 Regn ut relet v det fltestkket som er vgrenset v grfen til f og grfen til g når f() = g() = 2.8 Integrl og smlet resultt I kpittel.5 rukte vi en sum som tilnærming til et estemt integrl. Noen gnger ruker vi integrlet som en tilnærming til en sum. Det gjør vi når det er vnskelig å finne summen ekskt. EKSEMPEL Mrtin er 47 år gmmel og regner med å reide i 2 år til før hn lir pensjonist. Hn hr en lønnsvtle som gir lønnsøkning. jnur hvert år. Nå tjener hn kr per år, og hn regner med t lønn skl øke med 4 % per år i årene som kommer. Om år er lønn per år L() =,4 Finn smlet inntekt S i de neste 2 årene. 8 Sinus R2 > Integrlregning
Løsning: Smlet lønn lir S = L() + L() +... + L(9) = +,4 +... +,4 9 Ved å regne ut lle verdiene og summere finner vi t smlet inntekt er 8 9 424 kr. Vi kn finne en tilnærmingsverdi for denne summen ved å integrere funksjonen L. Funksjonen hr denne grfen: kr 7 6 5 4 2 L 5 5 2 år Vi hr delt området i 2 deler. Hvert rektngel hr redde lik. Høden v rektngelet er lik lønn per år. Arelet v rektngelet lengst til venstre er lik lønn det første året. Arelet v det neste rektngelet er lik lønn det ndre året, osv. Arelet v de 2 rektnglene lir smlet lønn i peri oden. Men dette relet er omtrent lik relet v flte stkket under grfen til L fr = til = 2. Det relet finner vi ved integrsjon. 2 2 S L()d =,4 d 2 = [ ln,4,4 ] = ln,4,42 ln,4,4 = 9 924 Dette svret er litt høere enn det svret vi fnt ovenfor. Men påstnden om t lønn skl øke med 4 % per år er svært usikker, slik t vi ikke hr ruk for mnge siffer i svret. Mrtin tjener c. 9 millioner kroner i perioden. 9
En edrift hr tilltelse til å slippe ut 48 tonn CO 2 per år. Bedriften får så pålegg om å redusere utslippet. Utslippet i tonn per år år etter 2 skl høst være U() = 48e,25 Vi skl finne smlet lovlig utslipp i perioden 2, 2 og 22. Hvis edriften holder utslippet konstnt i løpet v året og reduserer det. jnur hvert år, lir utslippet disse tre årene slik: I 2: U() = 48 e,25 = 48 I 2: U() = 48 e,25 = 78 I 22: U(2) = 48 e,25 2 = 29 Smlet utslipp i tonn lir d U() + U() + U(2) = 48 + 78 + 29 = 449 Denne summen er relet v rektnglene på figuren til venstre nedenfor. Der hr vi også tegnet grfen til U. 5 5 4 4 2 Sum = 449 U 2 U Sum = 26 2 4 5 år 2 4 5 år Mndighetene godtr ikke denne tolkningen v krvet. De forlnger t utslippet skl reduseres hver måned. I jnur 2 skl utslippet mksimlt være så stort t hvis utslippet fortsetter på smme måten ut året, lir utslippet i 2 U() = 48 Utslippet i jnur 2 kn mksimlt være U() 2 = 48 2 = 4 I ferur 2 kn utslippet være så stort t årsutslippet hdde litt U ( 2 ) = 48 e,25 2 = 47 Utslippet i ferur 2 kn d være U ( 2 ) 2 = 47 2 = 92 4 Sinus R2 > Integrlregning
Fr jnur 2 til desemer 22 hr det gått 5 måneder. Utslippet i den siste måneden kn d mksimlt være U ( 5 2 ) 2 = 25 2 = 9 Smlet utslipp kn d mksimlt være U() 2 + U ( 2 ) 2 +... + U ( 5 2 ) 2 Ved hjelp v lommeregneren kn vi regne ut og summere lle disse leddene. Vi får summen 26. Smlet utslipp lir mksimlt 26 tonn hvis vi forutsetter t utslippet skl reduseres hver måned. På figuren til høre på forrige side hr rektngelet lengst til venstre høden U() og redden. Arelet v rektngelet er dermed U() 2 2, som er utslippet i jnur 2. Arelet v det neste rektngelet er lik utslippet i ferur 2. Smlet utslipp S i perioden lir dermed lik relet v lle de 6 rektnglene. Dette relet er prktisk tlt lik relet under grfen til U. Nå deler vi opp de tre årene i n perioder. D lir lengden v hver periode = n L være det første tidspunktet i periode nr., 2 det første tidspunktet i periode nr. 2, osv. D er smlet utslipp S n i de tre årene S n = U( ) + U( 2 ) +... + U( n ) Nå lr vi n. Ifølge definisjonen v det estemte integrlet nærmer summen seg integrlet U()d. Dersom utslippet lir redusert kontinuerlig i de tre årene, lir dermed smlet utslipp lik S = U()d = 48 e,25 d = [ 48,25 e,25 ] = 9 2 e,25 ( 9 2 e ) = 9 2 9 2 e,75 = = [ 9 2 e,25 ] Smlet utslipp i de tre årene lir d mksimlt tonn CO 2. Det stemmer godt med summen 26 ovenfor. Funksjonen U er en modell for utslippet fr edriften. Ovenfor hr vi tolket denne modellen på tre ulike måter. 4
Den første tolkningen gikk ut på t U() vr lovlig utslipp det første året, t U() vr lovlig utslipp det ndre året osv. Vi regnet d ikke med noen reduksjon i utslippet i løpet v året. D fnt vi smlet utslipp ved å summere tre tll. Den ndre tolkningen gikk ut på t utslippet skulle ned hver måned. D fnt vi smlet utslipp ved å summere 6 tll. Den tredje tolkningen gikk ut på t utslippet skulle reduseres fortløpende i perioden. Vi hr d en kontinuerlig reduksjon, og vi fnt smlet utslipp ved integrsjon. Vi vet ikke hvilken tolkning som er den riktige. Det er ikke slik t den este tolkningen lltid er den som gir vnskeligst mtemtikk. En produksjon eller et forruk etter tidsenheter er f() enheter per tidsenhet. Ved kontinuerlig endring er smlet produksjon eller forruk i perioden fr = til = gitt ved S = f()d EKSEMPEL En edrift slipper ut 4 tonn CO 2 per måned. Bedriften lir pålgt å redusere utslippet med 5 % per måned i årene som kommer. ) Finn ut hvor stort utslippet d er per måned om to år. ) Finn smlet utslipp i de to første årene. 42 Sinus R2 > Integrlregning
Løsning: ) Utslippet etter måneder er U() = 4,95 Om to år (24 måneder) er utslippet U(24) = 4,95 24 = 7 Utslippet om to år er 7 tonn CO 2 per måned. ) Smlet utslipp i de første 24 månedene er 24 S = 24 U()d = 4,95 d = [ 4 = 24 ln,95,95 ] 4 ln,95,9524 4 ln,95,95 = 552 Smlet utslipp de to neste årene er 552 tonn CO 2.? Oppgve.8 En edrift produserer en rtikkel. Etterspørselen er økende, og edriften estemmer seg for å øke produksjonskpsiteten grdvis. Om t uker regner de med å produsere f(t) = 25 e,t enheter per uke. ) Hvor mnge enheter regner edriften med å produsere per uke om ett år? ) Hvor mnge enheter regner edriften med å produsere det første året? c) Hvor mnge enheter produserer edriften i gjennomsnitt per uke dette året? Oppgve.8 I et lnd lir det i dg født 5 rn per år. Stremktene regner med t fødselstllet vil øke med,2 % hvert år i årene som kommer. ) Finn fødselstllet om år. ) Hvor mnge rn lir født i lt de første årene hvis prognosen er riktig? c) Hvor mnge rn lir det født i gjennomsnitt per år i denne perioden? 4
? Oppgve.82 En smårnsfmilie regner med t mtutgiftene i kroner per år om år er gitt ved M() = 5 2 + 4 + 7 Finn de gjennomsnittlige mtutgiftene per år i de neste 2 årene. Oppgve.8 Mrte tjener 24 kr per år og får kr i lønnsøkning hvert år i årene som kommer. Sondre tjener 2 kr per år og får 5 % lønnsøkning per år. Finn ut hvem som tjener mest de neste 25 årene ved å regne ut to estemte integrler..9 Integrsjon og volum Nå skl vi vise hvordn vi kn ruke det estemte integrlet til å finne volumet v en gjenstnd. Vi tegner d gjenstnden smmen med en koordint kse. A() Gjenstnden strekker seg fr = til = som vist på figuren. Vi legger et pln gjennom gjenstnden slik t koordintksen står vinkelrett på plnet. Plnet går gjennom punktet på koordintksen. Alle punktene i plnet hr d smme koordint. Vi lr A() være relet v snittflten mellom plnet og gjenstnden. På slutten v delkpittelet eviser vi denne formelen: Vi plsserer en koordintkse ved en gjenstnd. Gjenstnden strekker seg fr = til = på ksen. Volumet v gjenstnden er d V = A()d der relet A() er som eskrevet ovenfor. 44 Sinus R2 > Integrlregning
Denne formelen ruker vi ofte når vi skl evise volumformler. EKSEMPEL Bevis t volumet V v ei kule med rdius r er gitt ved formelen V = 4 r Løsning: Vi legger koordintksen med origo i sentrum v kul som vist nedenfor. Kul strekker seg d fr = r til = r. r O r r() r Snittflten med koordint lik er en sirkel med rdius r(). Denne rdien kn vi finne ved hjelp v ptgorssetningen. (r()) 2 + 2 = r 2 (r()) 2 = r 2 2 Arelet v snittflten er A() = (r()) 2 = (r 2 2 ) Volumet v kul er r V = A()d = (r 2 2 )d r r = [ r 2 r ] r r = ( ( r ) r ( r ) ) ( r) = ( 2 r + 2 ) r = 4 r 45
Nå skl vi finne volumet v omdreiningsgjenstnder, som er gjenstnder v det slget som vi kn frmstille i en dreieenk. En slik gjenstnd hr en sentrl kse. Alle snittflter som ksen står normlt på, er sirkelflter. Vi kn tenke oss t gjenstnden er litt til på denne måten: Vi hr en funksjon f og ser på det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til f. Dette fltestkket dreier vi 6 om -ksen og får frm gjenstnden på figuren til høre nedenfor. f f() f A() Snittflten med førstekoordint er en sirkel med rdius r = f(). Arelet v snittflten er A() = r 2 = (f()) 2 Volumet v gjenstnden lir V = A()d = (f()) 2 d = (f()) 2 d Et fltestkke er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til en funksjon f. Dersom vi dreier dette fltestkket 6 om -ksen, får vi en omdreiningsgjenstnd med volumet V = (f()) 2 d EKSEMPEL Et fltestkke er vgrenset v -ksen, -ksen, linj = og grfen til funksjonen f() = 2 + Vi dreier fltestkket 6 om -ksen. Finn volumet v den omdreiningsgjenstnden vi d får. 46 Sinus R2 > Integrlregning
Løsning: Først tegner vi fltestkket og omdreiningsgjenstnden. 4 f 4 f 2 2 2 4 2 4 2 2 4 4 Volumet er V = (f()) 2 d = = [ + ] ( 2 + ) 2 d = ( 2 + )d = ( ( + ) ) = (9 + ) = 2 EKSEMPEL Utled formelen for volumet v ei rett kjegle med rdius r og høde h. Løsning: Vi får frm sideflten v ei kjegle når vi dreier et linjestkke gjennom origo 6 om -ksen. For t rdien skl li r, må linjestkket være som på figuren til venstre nedenfor. f f h r h r Stigningstllet til linj er r. Linj er derfor grfen til funksjonen h f() = r h 47
Volumet lir h V = (f()) 2 d = = r2 h 2 [ ] h( r h = r2 h ) 2 d = h r 2 h 2 ( h ) = h 2 2 d = r2 h 2 2 d r 2 h 2 h = r2 h h? Oppgve.9 Et fltestkke er vgrenset v -ksen, -ksen, linj = 2 og grfen til funksjonen f() = + Finn volumet v den gjenstnden vi får når vi dreier fltestkket 6 om -ksen. Oppgve.9 Et fltestkke er vgrenset v -ksen, linj =, linj = 2 og grfen til funksjonen f() = 2 Finn volumet v den gjenstnden vi får når vi dreier fltestkket 6 om -ksen. Oppgve.92 Et fltestkke er vgrenset v -ksen og grfen til funksjonen f() = r 2 2, [ r, r] ) Hv slgs fltestkke er dette? ) Hv slgs gjenstnd får vi når vi dreier dette fltestkket 6 om -ksen? c) Bevis formelen for volumet v ei kule med rdius r. Oppgve.9 Hvis vi tegner lle punktene (, ) som psser i likningen 2 2 + 2 2 = får vi en kurve som vi kller en ellipse. Tllene og er hlvksene i ellipsen. ) Finn volumet v den figuren vi får når vi dreier ellipsen 8 om -ksen. ) Hvordn kn vi ruke dette resulttet til å evise formelen for volumet v ei kule? 48 Sinus R2 > Integrlregning
Bevis for t V = A()d Vi lger en snittflte gjennom gjenstnden slik t koordintksen står vinkelrett på snittflten. Alle punktene på denne snittflten hr d smme koordint. L A() være relet v snittflten med koordint lik som vist på denne figuren: A() Vi deler intervllet [, ] i n like deler og lr i være den minste -verdien i del nr i. Bredden v hver del er. Vi deler så gjenstnden i n deler ved hjelp v snittflter med relet A( ), A( 2 ),..., A( n ). Oppdelingen er som når vi deler et rød i n like tkke rødskiver. Avstnden mellom hver snittflte er. Dersom er liten, lir skive nr. i en romfigur med grunnflte A( i ) og høde. Volumet v skive nr. i er tilnærmet lik A( i ). Summen v disse volumene er S n = A( ) + A( 2 ) +... + A( n ) Denne summen er en tilnærmingsverdi for volumet V v gjenstnden. Nå lr vi n. D nærmer S n seg det riktige volumet V. V = lim n S n Men etter definisjonen v det estemte integrlet er lim S n n = A()d Dermed hr vi evist t volumet V = A()d. 49
SAM MEN DRAG Antiderivert F er en ntiderivert til funksjonen f hvis Fʹ() = f(). Enhver ntiderivert til f hr d funksjonsuttrkket F() + C der C er en konstnt. Uestemt integrl Dersom Fʹ() = f(), er f() d = F() + C En integrsjonsregel Dersom Fʹ() = f() og Gʹ() = g(), er ( f() + g())d = F() + G() + C der, og C er konstnter. Integrsjonsformler r d = r + r + + C når r d = ln + C e d = e + C e k d = k ek + C, k d = ln + C, > og Bestemt integrl Vi deler intervllet [, ] i n like store deler som hver hr redden = n. L være den minste -verdien i den første delen, 2 den minste -verdien i den ndre delen, osv. L S n = f( ) + f( 2 ) + f( ) +... + f( n ) Det estemte integrlet til f fr til er d f()d = lim S n n 5 Sinus R2 > Integrlregning
Bestemt integrl og ntiderivsjon L F være en ntiderivert til f. D er f()d = [ F() ] = F() F() Arelet mellom en grf og -ksen L A være relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til funksjonen f. Dersom fltestkket ligger over -ksen, er A = f()d Dersom fltestkket ligger under -ksen, er A = f()d Arelet mellom to grfer L A være relet v det fltestkket som er vgrenset v linj =, linj = og grfene til funksjonene f og g. Dersom f() g() når [, ], er A = (f() g())d Smlet produksjon eller forruk Hvis produksjonen eller forruket etter tidsenheter er f() enheter per tidsenhet, er smlet produksjon eller forruk i perioden fr = til = gitt ved S = f()d Volumet v en omdreiningsgjenstnd Et fltestkke er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til en funksjon f. Dersom vi dreier dette fltestkket 6 om -ksen, får vi en omdreiningsgjenstnd med volumet V = (f()) 2 d 5