Sklrfelt og kvntefluktusjoner I forrige sett v notter regnet vi ut kvntefluktusjonene i tensorperturbsjonen h. Sklrfeltet φ spilte d bre en pssiv rolle ved å drive universets ekspnsjon. Nå skl vi regne på kvntefluktusjonene i sklrfeltet. D oppstår en kompliksjon ved t disse fluktusjonene fungerer som kilde til de sklre perturbsjonene i metrikken, Ψ og Φ. Vi må finne ut hvordn vi skl håndtere denne situsjonen. Strtegien vår vil være: Sette opp ligningen som beskriver tidsutviklingen v en Fouriermode v sklrfeltperturbsjon δφ. Vi tr hensyn til t Φ og Ψ kn være forskjellige fr null. Vise t Ψ og Φ er neglisjerbre for de tidsrommene vi er interesserte i. Finne en bevrt størrelse som inneholder både δφ og Ψ. Vise t i inflsjonsfsen er denne proporsjonl med δφ, mens den etter inflsjon er proporsjonl med Ψ. Regne ut fluktusjonene δφ, oversette disse til fluktusjoner i Ψ etter inflsjon. Bevegelsesligning for sklrfeltperturbsjoner Bevegelsesligningen for det uperturberte sklrfeltet fnt vi fr ν = -komponenten v T µ ν:µ =. Nå bruker vi denne betingelsen igjen, men med den perturberte energi-impulstensoren. Husk t vi bre skl regne til første orden i perturbsjonene. Ligningen vi tr utgngspunkt i er T µ,µ + Γα αµ T α Γα µ T µ α =. Vi vil i det følgende også benytte oss v t Φ Ψ, som vi fnt i diskusjonen v initilbetingelsene. Tidligere regnet vi ut Christoffelsymbolene, og for klrhetens skyld gjengir jeg resulttene her (i Fourierrommet): Γ = Ψ, Γ i = Γ i = ik i Ψ Γ ij = δ ij 2 (H + 4HΨ Ψ, ) Γ i = iki 2 Ψ Γ i j = Γ i j = δ ij (H Ψ, ) Vi skriver ut ligningen i litt mer detlj: Γ i jk = iψ(δ ij k k + δ ik k j δ jk k i ). δt, + ik i δt i + Γ µ µ T + Γ µ iµ T i Γ µt µ Γi µt µ i =.
Ledd for ledd finner vi: Γ µ µ T = (Γ + Γ i i)t = [Ψ, + i δ ii (H Ψ, )]T = (Ψ, + 3H 3Ψ, = 2Ψ, + 3H. Γ µ iµ T i = (Γ i + j Γ j ij )T i = [ik i Ψ + j ( iψ)(δ ji k j + δ jj k i δ ij k j )]T i = (ik i Ψ 3ik i Ψ)T i = 2ik iψt i. Γ µ T µ = Γ T Γ i T i = Ψ, T ik i ΨT i. Γ i µ T µ i = Γ i T i Γi j T j i = iki 2 ΨT i ij δ ij (H Ψ, )T j i = iki 2 ΨT i (H Ψ, )T i i. Siden vi bre skl regne til første orden, må vi sette inn nullteordensutrykket for energi-impulstensoren i lle ledd der det forekommer en fktor Ψ. Det gir oss Nå er = δt + ik i δt i + 3HδT 2Ψ, T () 2ik i ΨT ()i Ψ, T () ik i ΨT ()i iki () ΨT 2 i HδTi i + Ψ ()i i. T () i = g ν Ψ (),ν Ψ(),i =, siden ψ () bre er en funksjon v tiden, og T ()i = g i g (ψ (), )2 + g i siden g i =. Dermed forenkler ligningen seg til [ 2 (φ(), )2 V (φ () ) ] =, δt + ik i δt i + 3HδT HδT i i = 3Ψ, T () Ψ, T ()i i. Siden T ()µ ν er energi-impulstensoren for en perfekt væske hr vi t T () og T ()i i = i T ()i i = i p = 3p. Dermed: δt + ik i δt i + 3HδT HδT i i = 3(ρ + p) Ψ. 2 = ρ
Nå ville det være veldig prktisk om vi kunne se bort i fr Ψ. Hvis vi skl kunne gjøre det, så må høyresiden være mindre enn hvert enkelt ledd på venstresiden. Og slik er det fktisk. Vi kn vise det for det første leddet på høyresiden. Altså: min påstnd er t Ψ δt p + ρ. L oss t utgngspunkt i en ligning vi utledet tidligere: ( ) k 2 Φ + 3ȧ Φ Ψȧ = 4πG 2 δt. Vi setter inn ȧ/ = H og Φ = Ψ. Det gir k 2 Ψ + 3H( Ψ + HΨ) = 4πG 2 δt. Moder som er i ferd med å krysse horisonten er spesielt interessnte, fordi etter t de hr gjort det kn ikke kusle prosesser påvirke dem. For slike moder gjelder k H, og d er k 2 Ψ 2 H 2 Ψ. For t ligningen over skl være oppfylt må vi d h t 2 H 2 Ψ G 2 δt, dvs. Ψ GδT H 2. Men fr Friedmnnligningene hr vi t H 2 Gρ, så Ψ δt ρ = p + ρ ( ) δt. ρ p + ρ Dodelson innfører slow-roll-prmeteren ǫ ved ǫ = d dt H = Ḣ H 2, og denne er liten mens inflsjon pågår. Nå hr vi t [ d dt H = dh H 2 dt = H 2 ( d 2 dt = 3 8πGρ [ 8πGρ 3 ) 2 + ] 4πG (ρ + 3p) 3 = + 3(ρ + p) (ρ + 3p) =, 2ρ 2ρ der jeg hr brukt Friedmnnligningene flittig. Dette gir oss t ρ + p ρ = 2 3 ǫ, ] d 2 dt 2 3
og dermed ( ) δt Ψ ǫ δt p + ρ p + ρ, fordi ǫ, ihvertfll så lenge inflsjon pågår. Tilsvrende kn mn vise t høyresiden er neglisjerbr i forhold til de øvrige leddene på venstresiden (merk t dette ikke ligger noen politiske føringer på denne fremgngsmåten. Du kn godt skrive opp ligningen speilvendt og vise t leddene på høyresiden dominerer venstresiden, dersom du føler deg mer komfortbel med det.) Det som gjenstår nå er å regne ut førsteordensperturbsjonen i energiimpulstensoren når vi hr φ( x, t) = φ () (t) + δφ( x, t). Vi finner t [ ] T i = g iν φ,ν φ, g i 2 gµν φ,µ φ,ν + V (φ) = 2 δ iνφ,ν φ, = 2 φ,iφ, = 3 δφ,iφ () iki φ () δφ, der jeg i siste overgng hr gått over i Fourierrommet. Videre: [ ] T = g ν φ,ν φ, g 2 gµν φ,µ φ,ν + V (φ) slik t Til slutt: 3 = (φ, ) 2 2 gµν φ,µ φ,ν V (φ) = (φ, ) 2 + 2 (φ,) 2 2 2 φ,iφ,i V (φ) = 2 (φ(), + δφ,) 2 2 2 δφ,iδφ,i V (φ () + δφ) = 2 (φ(), )2 φ (), δφ, V (φ () ) V (φ () )δφ = 2 (φ(), )2 V (φ () ) φ (), δφ, V δφ, δt = φ(), δφ, V φ δφ = () δφ V δφ. T i j 2 [ ] = g iν φ,ν φ,j gj i 2 gµν φ,µ φ,ν + V (φ) [ ] = g ii φ,i φ,j gj i 2 gµν φ,µ φ,ν + V (φ). Det første leddet ser vi vil være v ndre orden i perturbsjonene. Dessuten er gj i = δ ij, så [ Tj i = δ ij 2 φ,φ, + ] 2 2 φ,iφ,i + V (φ) 4
slik t [ = δ ij ] 2 (φ(), )2 φ (), δφ(), + V (φ() ) + V δφ = δ ij [ 2 (φ(), )2 V ] + δ ij (φ (), δφ, V δφ), ( δtj i = δ ij [φ (), δφ, V φ δφ] = δ () ) δφ ij V δφ. D blir ligningen vår ( ) ( η + 3H φ () δφ ) 2 V δφ +ik iiki 3 φ () δφ H i Vi skriver ut lle leddene: = φ δφ 3 φ δφ 3 + 2 ȧ φ 4 δφ V φδφ V δφ 3H φ δφ 2 3HV δφ k2 φδφ 3 3H φ δφ 2 + 3HV, δφ og etter multipliksjon med 3 gir dette eller (bruker ȧ/ = H = φ δφ φ δφ + 2ȧ φ δφ 2 V φδφ 2 V δφ 3H φ δφ k 2 φδφ 3H φ δφ, φ δφ + δφ( φ 4H φ 2 V ) + δφ( 2 V φ k 2 φ) =. 2 ( φ δ () ) δφ ij V δφ =. Mn kn vise t dersom slow-roll-betingelsene er oppfylt, så er 2 V k 2, så dette leddet kn neglisjeres. Videre hr vi fr nullteordensligningen t som gir og dermed får vi t og endelig φ + 2H φ + 2 V =, φ 4H φ 2 V = 2H φ, φδ φ 2H φδ φ k 2 φδφ =, δ φ + 2Hδ φ + k 2 δφ =. Som en test på din helse kn du smmenligne denne ligningen med ligningen for tensorperturbsjonene: ḧ + 2Hḣ + k2 h =. 2 5
Dersom du ikke ser t disse ligningene er identiske, bør du oppsøke lege. At de er identiske betyr t kvntiseringen og beregningen v styrkespekteret blir nøyktig mken. Den eneste forskjellen er normliseringen v h, som gir en fktor 6πG i forskjell. Dermed får vi P δ φ = H2 2k 3. Nå hr vi vist t grvitsjonspotensilet Ψ = Φ er neglisjerbrt i inflsjonsfsen. Dette hr vi så brukt til å beregne spekteret v kvntefluktusjoner i sklrfeltet φ. Men vi er ennå ikke helt i mål, for vi må finne ut hv som skjer med disse fluktusjonene når inflsjonsfsen er over. Dersom fluktusjonene også blir borte er vi ikke kommet noe lenger i vårt forsøk på å generere initilbetingelsene for tetthetsfluktusjoner og temperturnisotropier. Heldigvis er ikke verden så slem. Helt umotivert innfører vi nå størrelsen ζ = ik iδt i H k 2 (ρ + p) Ψ. For moder som er innenfor horisonten eller kkurt hr forltt den er Ψ neglisjerbr. Videre er ρ + p = ( φ (),) 2 () φ = 2, og D får vi t T i [ ] = g ν φ,ν φ,i gi 2 gµν φ,µ φ,ν + V (φ) = g φ (), ik φ iδφ = () ik i δφ. φ () ik iδφ ( ik i ζ = ( k 2 φ() = k2 φ() δφh (k φ () ) 2 = Hδφ φ (). ) 2 ) H Med ndre ord: rundt tiden d en mode med bølgetll k krysser horisonten er ζ bestemt v sklrfeltet φ. To spørsmål gjenstår: hv skjer med ζ etter inflsjon, og hvorfor skylle vi bry oss om det? For å få til den riktige drmtiske stigningen begynner jeg med det første spørsmålet. Vi befinner oss i epoken d 6
inflsjon nettopp vr unngjort. Universet vr d strålingsdominert, og energiimpulstensoren vr d dominert v fotonene. Vi hr d t T ν µ d 3 p P µ P ν = 2 (2π) 3 f( x, p, t), P der jeg tidligere hr vist t vi kn bruke de uperturberte uttrykkene for lle de kinemtiske størrelsene som inngår. D hr vi t Ti d 3 p P P i = 2 (2π) 3 P f d 3 p = 2 (2π) 3 pˆp if. Vi husker t den perturberte fordelingsfunksjonen for fotonene er f = f () p f() p Θ. Førsteordensperturbsjonen til energi-impulstensoren blir d δti d 3 p = 2 (2π) 3 pˆp ip f() p Θ, og d får vi t ik i δti = 2ki(2π) = 4πk ( i) 2 = 8πkΘ ( 4) = 4kΘ 2 4π = 4kΘ 2 = 4kρ r Θ. Smtidig er ρ + p = 4ρ r /3, så dµˆk iˆp i Θ dp f () (2π) 3 p p4 dµ {[p 2 µθ 4 f () ] 4 d 3 p (2π) 3 pf() dpp 2 (2π) 3 pf() dpp 2 (2π) 3 pf() ζ = 4kρ rθ H 4 3 ρ Ψ = 3HΘ Ψ. rk 2 k } dp (2π) 3 p3 f () For å komme helt i mål, må vi reltere dipolen til Ψ. L oss se på ligningene for hstighetene v og v b : v + ȧ v = ikψ v b + ȧ v b = ikψ + τ R [v b + 3iΘ ]. 7
Under diskusjonen v initilbetingelser fnt vi t Φ og Ψ til å begynne med er konstnte. Videre er vi i den strålingsdominerte fsen der η og ȧ/ = /η = H. D får vi t v + v = ikψ = konstnt, η dvs. η v + v = d (ηv) = ikψ. dη For η = bør vi h v =, og siden Ψ er konstnt kn vi lett integrere opp denne ligningen: ηv == ikψ 2 η2, slik t v = ikψ 2 η = ikψ 2H. I de tidligste fsene spres fotonene hyppig på bryonene, og d er τ stor. Til å begynne med vil derfor leddet proporsjonlt med τ dominere i ligningen for v b. Det vil føre til t v b øker rskt til å begynne med, men bre inntil uttrykket i prentesen etter τ/r blir lik null. D er v b = 3iΘ, og når dette hr skjedd vil v b følge smme ligning som v. Vi hr derfor t v = v b = 3iΘ, og følgelig Det gir endelig ζ = 3H k Θ = kψ 6H. k 6H Ψ Ψ = 3 2 Ψ. Dermed hr vi vist t ζ = Hδφ/ φ () for en mode som er i ferd med å krysse horisonten i inflsjonsfsen, og t ζ = 3Ψ/2 etter inflsjon. Dersom vi nå kn vise t ζ er en bevrt størrelse, dvs. t den hr smme verdi før og etter inflsjon, så kn vi reltere Ψ = Φ til sklrfeltfluktusjonene δφ. Å vise t ζ er bevrt innebærer litt rbeid, men det er vi jo vnt til. Vi strter med ligningen vi utledet tidligere: δt + ik iδt i + 3HδT HδT i i = 3(p + ρ) Ψ. Det er først og fremst store moder (dvs moder der k/h ) vi er interesserte i. Ser vi først på δt i = iki 3 φδφ, så hr vi t ik i δt i = k2 3 φδφ k 2, og d kn dette leddet neglisjeres. Dermed blir ligningen δt + 3HδT HδT i i = 3(p + ρ) Ψ. 8
Vi må få inn ζ på en eller nnen måte, og det kn vi gjøre ved å reltere den til Ψ. Vi fnt tidligere t ζ = 3Ψ/2 etter inflsjon, men nå trenger vi imidlertid et uttrykk som er gyldig for lle tider siden vi skl vise t ζ er bevrt. Vi får imidlertid lov til å nt t vi ser på store skler. Grvitsjonspotensilet Ψ inngår som et v leddene i ζ, så vi er godt i gng. Jeg skl nå vise t det ndre leddet kn forenkles til ik i δti H k 2 = 3 δt. For å vise dette trenger vi et pr ligninger. Den ene hr vi sett før, k 2 Φ + 3ȧ ( ) φ Ψȧ = 4πG 2 δt, som kommer fr -komponenten v den perturberte Einsteinligningen. Vi vil trenge en ligning til som kommer fr i-komponenten. Den hr vi ikke regnet ut før, så det betyr en ny runde med indeksgymnstikk. Vi merker oss først t G i = g ν R νi = g G i [ = ( + 2Ψ) R i ] 2 g ir = ( + 2Ψ)R i, og nå vil jubelen ingen ende t, for lt vi trenger å gjøre er å regne ut R i. Vi blir knskje litt deprimerte når vi innser t R i = Γ α i,α Γ α α,i + Γ α βαγ β i Γα βiγ β α, men så blir vi veldig glde når vi kommer på t vi llerede hr regnet ut lle Christoffelsymbolene vi tregner og t det egentlig er veldig gøy med både derivsjon og summsjon. Vi regner ut de enkelte leddene: Γ α i,α = Γ i, + Γj i,j = ik i Ψ, + x j Γj i j = ik i Ψ, + x j δ ji(h + Φ, ) j = ik i Ψ, + ik i Φ,. Γ α α,i = Γ,i + Γj j,i = ik i Ψ, + x i δ jj(h + Φ, ) j = ik i Ψ, + 3ik i Φ,. 9
Γ α βα Γβ i = Γ β Γβ i + Γj βj Γβ i = Γ Γ i + Γ kγ k i + Γ j j Γ i + Γ j kj Γk i = ik k Ψδ ki H + ik i Ψδ jj H + iφ[δ jj k k + δ jk k j δ kj k j ]δ ki H k j k j = ik i HΨ + 3ik i HΨ + iφδ jj k k δ ki H k j = 4ik i HΨ + 3ik i HΦ. Γ α βi Γβ α = Γ βi Γβ + Γj βi Γβ j D får vi Men d blir = Γ i Γ + Γ ki Γk + Γj i Γ j + Γj ki Γk j = ik k 2 Ψδ ki 2 H + ik j Ψδ ij + iφ(δ ij k k + δ jk k i δ ik k j )δ kj H k j k j = ik i HΨ + ik i HΨ + ihφ (δ ij δ kj k k + δ jk δ kj k i δ ik δ kj k j ) k j = 2ik i HΨ + ihφ(k i + 3k i k i ) = 2ik i HΨ 3ik i HΦ. R i = ik i Ψ, + ik i Φ, ik i Ψ, 3ik i Φ, + 4ik i HΨ + 3ik i HΦ 2ik i HΨ 3ik i HΨ = 2ik i Φ, + 2ik i HΨ = 2ik i (Φ, HΨ) ( ) Φ = 2ik i HΨ. G i = ( + 2Ψ)R i = ( + 2Ψ)( 2ik i ) ( ) Φ = 2ik i HΨ = δg i, ( ) Φ HΨ fordi det ikke er noe nullteordens bidrg. Dermed gir δg i = 8πGδT i ( ) Φ 2ik i HΨ = 8πGδTi. Ved å sette inn Φ = Ψ får vi d de to ligningene ( ) k 2 Ψ + 3ȧ Ψ Ψȧ = 4πG 2 δt ( 2ik i / Ψ ) HΨ = 8πGδTi.
Vi multipliserer den ndre ligningen med ik i og summerer over i: ( 2ik i ik i Ψ ) HΨ = 8πGik i δti, som gir ( ) Ψ k 2 + HΨ = 4πGik i δti. Setter vi inn ȧ/ = H i den første ligningen får vi Men den ndre ligningen gir k 2 Ψ 3H( Ψ + HΨ) = 4πG 2 δt. k 2 ( Ψ + HΨ) = 4πGik i δt i, så k 2 Ψ 3H 4πG k 2 ik i δti = 4πG 2 δt. Fordi vi ser på store skler er det første leddet på venstresiden neglisjerbrt. Dermed får vi ik i δti H k 2 ( 3 2 4πG) = 4πG 2 δt, som gir ik i δti H k 2 = 3 δt. På store skler hr vi derfor t som gjør t vi kn skrive Ψ som δt ζ = 3 ρ + p Ψ, δt Ψ = ζ 3 ρ + p. Vi setter dette inn i ligningen vi strtet med: δt + 3HδT HδTi i = 3(ρ + p) [ ζ δt ] 3 ρ + p Dermed = 3(p + ρ) ζ + (p + ρ) = 3(p + ρ) ζ + δt 3HδT HδT i i = 3(p + ρ) ζ + (p + ρ)δt ( δt p + ρ + (p ρ )δt ) p + ρ, (ρ + p).
slik t 3(p + ρ) ζ [ = δt 3H (p + ρ) p + ρ [ = δt 3H + ( ρ ρ + p + p ] HδT i i )] HδT i i. Siden ρ og p er uperturbert trykk og uperturbert energitetthet oppfyller de dvs. Dette setter vi inn: 3(ρ + p) ζ ρ = δt = δt = 3H(ρ + p), ρ ρ + p = 3H. ( 3H 3H + ρ + p p ρ + p HδT i i. ) p HδTi i Og endelig får vi et uttrykk for ζ/ på stor skl: [ ζ = 3(ρ + p) 2 = 3(ρ + p) 2 H(ρ + p)δt i i δt ( ρ 3 δt i i p δt Høyresiden v denne ligningen er proporsjonl med δt i i 3 + p ρ δt. ] p ). I det uperturberte tilfellet er T i i /3 = p og T = ρ, så δρ = δt og δp = δt i i /3. Dermed kn vi skrive uttrykket over som δp δρ p ρ =, for dibtiske perturbsjoner (pr. def.) Det er denne type perturbsjoner som er mest interessnte kosmologisk sett. Dermed hr vi vist t på store skler og for dibtiske perturbsjoner er ζ =, og dermed er ζ en bevrt størrelse. L oss håpe t det vr verdt bryet å vise dette. 2
Og det vr det! Nå er det nemlig plnkekjøring å finne styrkespekteret v fluktusjoner i Ψ. Siden ζ er bevrt må vi h ( ) 3 2 Ψ Hδφ etter =. φ () slik t D må vi også h Ψ etter = 2 3 H ( δφ φ () ) k=h k=h ( ) 2 P Ψ (k) = 4 H P 9 φ () δφ(k = H) ( ) 2 ( = 4 ) H H 2 9 φ () 2k 3 k=h ( ) 2 2 H 2 = 9k 3. φ () k=h Fr definisjonen v slow-rollprmeteren ǫ hr vi ǫ = d ( ) = Ḣ dt H H 2.. Vi hr også ρ ( ) 2 φ = 3H(ρ + p) = 3H (), som er ekvivlent med ( ) ρ 2 η = 3H φ (), og med H ρ η = 3H2 ( φ () ) 2 ( ) 2 φ = 8πGρ (), der vi hr brukt Friedmnnligningen H 2 = 8πGρ/3. Dette kn vi skrive som Men vi kn også skrive 8πG( φ () ) 2 = 2 H ρ ρ η = H ρ ρ η. ρ ρ η = 8πG 3H 2 3H 2 η 8πG = H 2 H2 = 2HḢ H 2 3 = 2Ḣ H.
I tillegg hr vi Det kn vi sette inn over og få slik t Ḣ H = ǫh. 8πG( φ () ) 2 = 2ǫ 2 H 2, 4πG( φ () ) 2 = ǫ 2 H 2. Dette kn vi sette inn i uttrykket for P Ψ : P Ψ (k) = P Φ (k) = 8πG 9k 3 Brødrene Dl og spektrlindeksene ( ) H 2 ǫ. H=k Vi hr nå vist t dersom en inflsjonsfse drevet v et sklrfelt virkelig fnt sted i det tidlige univers, så vil en nødvendig konsekvens v dette være t det lges grvitsjonsbølger (dvs. tensorperturbsjoner, h) og fluktusjoner i grvitsjonspotensilet Φ. De siste fluktusjonene fungerer, hr vi sett, som en kilde til tetthetsperturbsjoner og temperturnisotropier. Med ndre ord: dersom inflsjon fnt sted, så hr vi nå i grove trekk forklrt hvordn vi ble til. Muligens en omstendelig forklring, men jeg vil tro t mnge foreldre fktisk ville foretrekke å fortelle denne historien når deres brn spør om hvordn de ble til. Dette kurset hr, slik jeg ser det, et stort potensile til å bli en hit blnt blyge småbrnsforeldre. Det store spørsmålet er selvfølgelig om inflsjon virkelig fnt sted. Vi så i AST422 t inflsjon løser noen vnskelige problemer i Big Bng-modeller, og nå hr vi sett t vi som en bonus kn få lget tetthetsfluktusjoner. Men t inflsjon er fint betyr ikke t det er snt. I troskp mot de vitenskpelige ideler vi er stt til å forvlte må vi finne en empirisk test for dette scenriet. Den eneste måten å gjøre det på er å måle egenskpene til perturbsjonene som inflsjon genererer, med ndre ord bestemme (illefll delvis) P Φ (k) og P h (k) ved hjelp v observsjoner. Som dere vil få se senere i kurset er ikke det så helt enkelt, siden de fleste fluktusjonene vi kn se hr gjennomgått en utvikling siden de kom nyfødt ut v inflsjonsfsen. En nnen kompliksjon er t inflsjon er mer en ide enn en modell: veldig mnge ulike modeller med ett eller flere sklrfelter kn brukes til å lge en inflsjonsfse i det veldig tidlige univers. En vnlig strtegi for å knytte forbindelsen til observsjoner er å prmetrisere fluktusjonsspektrene ved hjelp v to mplituder mplitude A T og δ H, og to såklte spektrlindekser n T og n: ( ) 8πGH 2 nt 3 P h (k) = A T k P Φ (k) = k 3 ( 8πG H 2 ) 9k 3 ǫ k=h k=h 5π ( ) n ( ) 2 k 9k 3 δh 2 Ω m. H D ( = ) 4
Disse definisjonene, spesielt den siste, ser litt tåpelige ut, og inneholder en funksjon som dere først vil lære om i kpittel 7, vekstfunksjonen D. Hv verre er, så finnes det ndre konvensjoner for hvordn mplitudene til de to spektrene skl defineres. Men lt dette blåser vi i nå. Hvis n T = og n = sies spektrene å være sklinvrinte. Det kommer v t d er de dimensjonsløse størrelsene k 3 P h (k) og k 3 P Φ (k) uvhengige v k. Det vi skl gjøre nå er å reltere n T og n til potensilet som infltonet beveger seg i. Vi strter med tensorfluktusjonene. Vi ser t slik t lnp h (k) = lna T + (n T 3)lnk, n T 3 = d lnp h d lnk. Men vi kn også bruke uttrykket for P h som vi beregnet, lnp h (k) = ln(8πg) 3 lnk + 2 lnh, der det her og fr nå v er underforstått t uttrykkene skl regnes ut ved k = H. Deriverer vi, få r vi d lnp h d lnk = 3 + 2d lnh d lnk. D ser vi t vi må h n T = 2 d lnh d lnk. Vi skl nå se t dersom vi ntr slow-rollinflsjon, så kn n T uttrykkes ved slowrollprmetrene. Dodelson bruker en litt uvnlig (for ikke å si veldig idiotisk) definisjon v disse. Jeg vil gå tilbke til definisjonene jeg brukte i AST422: ( V ǫ = 6πG V V η = 8πG V, der V er potensilet til sklrfeltet. Et problem her er t vi llerede hr brukt η til å betegne konform tid. Men jeg orker ikke å tenke ut et nytt nvn (δ-en til Dodelson er fullstendig tullete), og jeg hr ikke tenkt til å bruke konform tid i dette vsnittet unsett, så det burde være mulig å unngå misforståelser. En nnen ting jeg kommer til å gjøre er å betegne den homogene biten v sklrfeltet for φ, ikke φ () som tidligere. L oss først sjekke t vår gode, gmle ǫ stemmer overens med Dodelsons nye, teite ǫ så lenge vi hr slow-roll-inflsjon. Den dumme definisjonen v ǫ vr ǫ = d dt H. Under slow-roll-inflsjon gjelder ligningene ) 2 H 2 8πG 3 V 3H dφ V, dt 5
der V = dv/dφ. Dette kn vi sette inn i det teite uttrykket for ǫ og gjøre det finere: ǫ = dh H 2 dt = 38πG d ( 8πG dt 3 ( ) /2 3 = 8πG V ( 3 = 8πG Men fr den ndre slow-roll-ligningen hr vi t og d får vi ) /2 dv 2V /2 dt ) /2 dφ 2V 3/2 dt V. dφ dt = V 3H, ( ) /2 3 V ǫ = 8πG ( ) /2 3 (V ) 2 = 8πG 6V 3/2 ( V = 6πG V ) 2, 2V 3/2 ( V ) ( 3 8πG 3H ) /2 V /2 og utrykket er blitt slik vi ville h det. Så Dodelsons ǫ er også vår ǫ. Den ndre slow-roll-prmeteren hn bruker, δ, er imidlertid ikke helt den smme som vår η, så den vil jeg ikke snkke mere om. Vi ønsker å derivere med hensyn på lnk, og vi ønsker å gjøre det ved epoken der k = H, dvs. lnk = ln + lnh. Under slow-roll vrierer H lngsomt, og illefll mye lngsommere enn. Derfor tilnærmer vi H med en konstnt og får Slow-roll-ligningen kn skrives som d(ln k) = d(ln) = d ln dt = d dt = Hdt. dt dt 3H dφ dt = V dt = 3 H V dφ, og dermed hr vi t d d(ln k) = d H dt = V d 3H 2 dφ, 6
og ved å bruke t får vi H 2 = 8πG 3 V d d lnk = V d 8πG V dφ, som ltså gjelder ved epoken der k = H. Siden lnh = 2 lnv +konstnt, finner vi d t På tilsvrende vis finner vi nå n T = d lnv d lnk = V d 8πG V dφ lnv = V V 8πG V V = ( ) V 2 = 2ǫ. 8πG V n 3 = d lnp Φ d lnk = 3 + 2 d lnh d lnk d lnǫ d lnk = 3 2ǫ 2 d d lnk ln V V, der vi i det ndre leddet hr brukt resulttet fr utregningen v n T, og i det tredje leddet hr vi brukt uttrykket for ǫ. Vi kn regne videre på dette leddet: d d lnk ln V V = d 8πG V dφ (lnv lnv ) = V ( V 8πG V V V ) V = V 8πG V + ( ) V 2 8πG V = η + 2ǫ, V der vi i den siste overgngen igjen hr brukt uttrykkene for ǫ og η. Dermed får vi n 4 = 3 2ǫ + 2η 4ǫ = 3 + 2η 6ǫ, eller, om du vil n = + 2η 6ǫ. Siden ǫ og ǫ må være små hvis vi skl h slow-roll-inflsjon, betyr det t vi forventer t spektrene for både sklr-og tensorperturbsjoner skl være nær 7
sklinvrinte. Men dersom sklrfeltet gjør noe interessnt i det hele ttt, vil ǫ og η være forskjellige fr null, så det burde være små vvik fr sklinvrins dersom inflsjon hr noe for seg. Vi hr ltså lært t spektrlindeksene er bestemt v ǫ og η. Disse vhenger v potensilet til sklrfeltet og dets deriverte. Ved å måle både sklr- og tensorperturbsjoner kn vi i prinsippet bestemme A T, δ H, n T og n. Fr n T og n kn vi bestemme ǫ og η. Men går vi tilbke til uttrykkene for P h og P Φ, ser vi t P h P Φ = 9ǫ. Dette forteller oss to ting: for det første t siden vi forventer t ǫ skl være liten, så vil tensormodene h en betydelige lvere mplitude enn sklrmodene. For det ndre ser vi t dersom vi kn måle begge typer moder, så hr vi også en konsistensjekk: spektrlindeksene gir ǫ og η, og d sier teorien t forholdet mellom mplitudene skl være lik 9ǫ. Dette kn vi sjekke mot det målte forholdet A T /δ H. Dersom dette ikke er lik 9ǫ er det noe glt med inflsjon. Dette høres lovende ut, men for å helle litt mlurt i begeret med en gng må jeg si t denne konsistensbetingelsen bre gjelder dersom bre ett sklrfelt hr hovednsvret for inflsjonsfsen. Det kn godt tenkes t mer enn ett felt er involvert (det er fktisk gnske populært for tiden å regne på inflsjonsmodeller med mer enn ett felt), og d går denne konsistensbetingelsen i dss. En nnen og mer prktisk utfordring er t tensormodene er små, og ingen hr sett klre tegn til t de finnes ennå. Det klreste tegnet på t de virkelig finnes får vi om vi ser såklte B-moder i polrissjonen v bkgrunnstrålingen. Dette får dere knskje vite mere om senere. Så er våre lidelser over Melodi: My wy. Synges med stor innlevelse. Og nå er enden her, vi hr beregnet lle spektr. Min venn, det vr vel gøy, personlig er jeg blitt helt hekt. Vi hr slitt og strevet trutt, men så til slutt, hr vi nådd målet. Og d, j d ser vi t lt vr verdt å tåle. For hv er en µ og en derivsjon? En Riccisklr og en kontrksjon? Når pennen er tom og hjernen blør, hever vi hodet og hr godt humør! For til slutt så koker lt ned til slow-roll-prmeeeeeeeetrene! 8