GLATTING AV DØDELIGHETSRATER SOM ER BASERT PA DATA FRA EN TOARSPERIODE. Tor Haldorsen INNHOLD

Transkript

1 IO 74/ ktber 1974 GLATTING AV DØDELIGHETSRATER SOM ER BASERT PA DATA FRA EN TOARSPERIODE av Tr Haldrsen INNHOLD Side Tabellregister 2 Figurregister 2 1. Innledning 3 2. Mdell g teretisk bakgrunn 3 3. Knstruksjn g prøving av glidende gjennmsnitt Valg av metde Estimater fr de laveste aldrer Estimater fr de høyeste aldrer 16 Referanser 21 Ikke fr ffentliggjøring. Dette ntat er et arbeidsdkument g kan siteres eller refereres bare etter spesiell tillatelse i hvert enkelt tilfelle. Synspunkter g knklusjner kan ikke uten videre tas sm uttrykk fr Statistisk Sentralbyrås ppfatning.

2 TABELLREGISTER 3.5 Krrelasjnskeffisienter mellm estimatrene g g varians fr ulike metder 6.1 Estimater fr variansen til råratene fr menn Rårater fr kvinner Prmille Gjennmsnittlig antall gjenstående leveår ved alderen n beregnet ved tre ulike metder med data fra Side 173 FIGURREGISTER 3.1 Rårater fr menn glattetmed tre uveide gjennmsnitt. Prmille Rårater fr menn glattet med et femleddet glidende gjennmsnitt sm bevarer 2. g 3. gradsplynmer. Prmille 3.3 Rårater fr menn glattet med et 21-ledds glidende gjennmsnitt sm bevarer 2. g 3. gradsplynmer. Prmille Rårater fr menn glattet med Spencers 21-leddsfrmel Prmille Rårater fr menn i tre t-årsperider. Prmille Rårater fr de eldste aldersklassene med data fra Prmille e 19 Side 8

3 1. INNLEDNING Når en regner ut dodelighetsrater fr ulike aldersklasser g setter ratene inn i et diagram med alder langs den vannrette akse, vil kurven sm kan trekkes, bli ujamn g hakket. En frestiller seg at den "virkelige" dødeligheten ville blitt avbildet i en glatt kurve, g en betrakter derfr de utregnede rater sm råestimater fr den "virkelige" dødeligheten g bruker dem til å knstruere estimater sm gir en glattere kurve. Byrået beregner dodelighetstabeller på grunnlag av data m levende g dode i fem-årsperider. De rater sm beregnes av dette materialet gir såpass regelmessige kurver at en fr de fleste aldrer kan nøye seg med en meget mild frm fr glatting. Fr bedre a folge med i dodelighetsutviklingen vil en nå prdusere dodelighetstabeller basert på data fra t-årsperider. Fr at kurvene skal bli rimelig glatte med data fra en t-årsperide, vil en trenge en annen glattingsmetde enn den sm brukes på data fra femårs perider. I dette ntat redegjores fr arbeidet med å finne fram til en slik glattingsmetde. Vi begrenset ss til A se på metder sm bygger på glidende gjennmsnitt. Om disse sier Sverdrup (1973) s. 344: "Det er dette faktum at det glidende gjennmsnitt er så rbust verfr à priri spesifikasjner sm gjør det så anvendelig i praksis. I så henseende står de glidende gjennmsnitt i klasse med ikke-parametriske metder." I kapittel 2 gir vi teretisk bakgrunn fr knstruksjn av nen glidende gjennmsnitt, mens kapittel 3 g 4 er kmmentarer til en empirisk utproving av disse g nen andre tradisjnelt brukte glidende gjennmsnitt. I kapittel 5 g 6 gir vi frslag til losning av en del spesielle prblemér i glattingen av ratene fr de laveste g hoyeste aldersklassene. 2. MODELL OG TEORETISK BAKGRUNN Anta at råratene er realisasjner av stkastiske variable X fr t t=1,..., 15. La være den "virkelige" dodelighet fr alder t g anta at X -ene er t uavhengige med EX = E t, g var X = a 2 t.

4 Vi Ønsker estimere t -ene på grunnlag av X-ene g begrenser ss tildse på estimatrer av frmenf=zrx, der vektene r 't v t+y - -a ' r -a+1' r b er knstanter uavhengig av t. Slike estimatrer kalles glidende gjennmsnitt. Til a estimere t, bruker vi altså en veld sum av a+b+1 bservasjner. Fruten X t brukes bservasjnene fra a aldersgrupper fr t g b aldersgrupper etter t. Vi betegner de ulike glidende gjennmsnitt ved vektene i gjennmsnittet, (r, r r, -a -a+1, rbl, ). Når a=b r b g r_ v =r v fr v=1,..., a kan vi nye ss med a -skrive (r_ a, r_ a+1, r,...), idet leddene til hoyre fr r da er gitt. Tallet a+b+1 angir det glidende gjennmsnitts lengde g (a,b) bestemmer plasseringen. Hvis a=b så sier vi at gjennmsnittet er sentrert. Hvis a=b g r =r v -Y er gjennmsnittet symmetrisk. fr v=1,..., a, Vårt prblem er a bestemme a, b g r v -ene på en hensiktsmessig måte. Det er vanlig i statistisk estimering å kreve at estimatrer er frventnings-, rette. I var situasjn vil det være a frlange at rr-] t. = t Siden vi har antatt at EX t = F er dette det samme sm å kreve 't b (2.1) r v t+v Hvis vi visste atla på en av kurvene i en kjent klasse, kan vi av ligning (2.1) utlede eksakte krav til r-ene fr at estimatren skal være frventningsrett. Nå er det ikke gitt at "virkelig" dodelighet lar seg uttrykke ved hjelp av en spesiell klasse funksjner, men vi har et strt empirisk materiale sm kan gi grunnlag fr frslag til gde tilnærminger. Vi vil se på en klasse tilnærmingskurver g kreve at estimatrene er frventningsrette hvis -ene ligger på en av kurvene i denne klassen. De krav t vi satte til klassen av tilnærmingskurver, var at kurvene skulle gi en brukbar tilnærming g at den var lett å arbeide med. Sm klasse tilnærmingskurver valgte vi de sm er slik at a+b+1 på hverandrefolgende punkter ligger på en annengradskurve. Merk at vi ikke krever at hele {C }15 ligger på en annengradskurve. Med denne klasse t t= kurver er kravet sm ligning (2.1) setter til r-ene ekvivalent med b E r = 1 g y=-a b (2.2) E = g v=-a 2 -r = O. v=-a y v

5 plynmer En sier fte at metder sm tilfredsstiller disse krav bevarer annengradseller slipper ethvert annengradsplynm uendret igjennm. Hvis b en metde tilfredsstiller E v 3.r v = i tillegg til ligningene i (2.2), v=-a vil den bevare tredjegradsplynmer. Dette er spesielt tilfelle med symmetriske gjennmsnitt sm tilfredsstiller (2.2). Selv m a g b er gitt, vil det være flere metder sm slipper ethvert annengradsplynm uendret igjennm. Fr å kunne velge blant disse ser vi på estimatrenes varians. Siden vi har antatt at X t_-ene er uavhengige 2b 2 ghar den samme varians, a 2,så blir var ( ) = var (E rx ) =u E r. 't v=-a v t + N)v=-a v Vi søker en metde sm gir en glattere kurve enn X t -ene gir, g dette kan vi ppnå ved a finne en metde sm demper de tilfeldige variasjnene i b 2 X-ene. Fr at dette skal skje ma metden være slik at summen, E r v, er v=-a mindre enn 1, g vi sker de metder der summen er så liten sm mulig. b 2 E r gir uttrykk fr et glidende gjennmsnitts variansreduserende evne, =-av dess mindre summen er, dess storre er den variansreduserende evnen. Den variansreduserende evne til et glidende gjennmsnitt gir et indirekte mål fr glattheten til kurvene sm metden gir. Siden ikke ne direkte mål peker seg naturlig ut, bruker vi det glidende gjennmsnitts variansreduserende evne sm kriterium til å velge blant de metder sm bevarer annengradsplynmer. 3. KON8TRUKSJN OG PROVING AV GLIDENDE GJENNOMSNITT La n stå fr lengden av det glidende gjennmsnitt. Fr hvert mulig verdipar (n,a), når n = 5, 7,..., 21 g a = n-1, n-2,..., n/2-1/2, fant vi det glidende gjennmsnitt sm hadde storst variansreduserende evne av dem sm tilfredsstilte (2.2). Dette gav ss 63 ulike glidende gjennmsnitt. Tlv av disse ble valgt ut til videre proving. Da vi var interesserte i a undersøke hvrdan egenskapene til de glidende gjennmsnitt avhenger av lengden, hadde vi blant de tlv, sentrerte glidende gjennmsnitt av lengdene 5, 7,..., 21. Det er nodvendig med en empirisk undersøkelse av egenskapene til H tlv glidende gjennmsnittene av flere grunner:

6 (1) Vi vet at de har gunstige egenskaper hvis den "virkelige" dodelighetskurve er en 2.-grads evt. 3. gradskurve sett aq-b+1 aldrer m gangen. Men den "virkelige" dodelighetskurve er hoyst tilnærmet en slik kurve. (2) Det er ikke gitt at den metde sm har storst variansreduserende evne, gir den kurve sm er glattest g best etter ptisk bedømming. Vi ville gså prove fire uveide glidende gjennmsnitt g fire glidende gjennmsnitt sm erfaringsmessig har vist seg egnet til glatting av dodelighetskurver. De fire sistnevnte vil vi kalle "aktualfrmler" når de mtales. Vi hadde således tjue frmler til videre proving. Vi anvendte disse på råratene fr menn g fr kvinner fr hver av de tre 2-årsperidene , g Vi kunne dermed bservere hvrdan hver av metdene virket på seks ulike sett rårater. En del av resultatene ble tegnet inn i diagram sammen med råratene fr nærmere undersøkelse. I Byråets beregninger til dodelighetstabeller basert på data m døde fra 5-årsperider, bruker en det glidende gjennmsnitt (1/3, 1/3, 1/3) fr å glatte ratene fr aldrsklassene f..m. 2 år t..m. 94 år. Dette er et 3-leddet uveid gjennmsnitt, g det kunne tenkes at et 5, 7 eller 9-leddet uveid gjennmsnitt ville gi gde resultater på 2-årsdata. Det gjr de imidlertid ikke. Uveide gjennmsnitt slipper forstegradsplynmer (rette linjer), men ikke annengradsplynmer, uendret igjennm. Den "virkelige" dodelighetskurven kan med en viss rimelighet sies å være en rett linje når man ser på tre aldrer m gangen, men når syv eller ni aldrer sees under ett, ma,en i hvert fall ha et annengradsplynm sm tilnærmingskurve. Figur 3.1 viser ulike uveide glidende gjennmsnitt anvendt på rårater. Vi ma altså bruke glidende gjennmsnitt sm i hvert fall slipper annengradsplynmer uendret igjennm. Når slike anvendes på råratene, avsløres et annet prblem. Metder sm bruker fr å få bservasjner m gangen, vil gi estimater sm følger råratene fr gdt, dvs. de eliminerer fr lite av det vi ma kunne anta er tilfeldige variasjner i råratene. Dette frhldet er illustrert i figur 3.2. Det glidende gjennmsnitt sm der er anvendt, er (-...). Dette har størst variansreduserende evne blant de med a=2 g a+b+1 ---; 5 sm slipper annengradsplynm uendret igjennm. Siden r-2=r2 g r1 =r l' vil det gså slippe tredjegradsplynmer - uendret igjennm.

7 7 /t r 4 r - 4 L

8 8 Figur 3,2, Rarater fr menn $ gl4tet med et fem4ddet glidende gjennmsnitt sm bevarer 2. g 3. gradsplynmer. Prcmille DOdelighet 1,5 1- Rtirater Glattet kurve 1,,5 ---r > 3 Alder

9 Av de tlv glidende gjennmsnitt vi knstruerte ser det gså ut sm de med mange (17-21) ledd gir frtegninger. I figur 3.3 gjengir vi resul- 1 tatet av å anvende det glidende gjennmsnitt -Jaw (-171, -76, 9, 84, 149, 24, 249, 284, 39, 324, 329,...) på et sett rårater. Det har storst variansreduserende evne blant de med a+b+1=21 g a=1 sm slipper annengradsplymer uendret igjennm. Det synes sm dette glidende gjennmsnitt gir en utflating av kurvei sm vi mener ikke er reell. Det fins en rek,ke glidende gjennmsnitt sm har vært anvendt til a glatte dodelighetskurver. Av disse provde vi folgende fire: Spencers 17 ledds-frmel: (-, 6, 19, 23, 3, 31,...), Spencers 21-ledds-frmel: 1 e 35, - 3,, - 5,, 18, 33, 47, 57, 6, Wlhuses frmel: 1 e 125 v "., - 2,, 3, 7, 21, 24, 25, Karups frmel: 1, -9, -8,, 21, 53, 87, 114, 125, De gav glatte kurver uten vesentlig frtegning. I figur 3. 4 har s vi tegnet inn resultatet av å anvende Spencers 21-leddsfrmel på de samme rårater sm vi glattet ved en annen 21-leddsfrmel i figur 3.3. Spencers 21-leddsfrmel bar minst variansreduserende evne, men vi hlder det fr sikkert at den gir den riktigste g kanskje gså den glatteste kurve.

10 ' Lr, r -

11 11 J

12 12 vi sammenlixnet.cgs a de andre tre "aktuarfrmlene" med de sentrerte av samme lengde sm hadde storst variansrpduserende evne, g vj, fant at de tre ''akti.,larfrmlene" gav Oe glatteste.kurver. Dette viser at glattheten pa den glattede kurve ikke bare kan avhenge av hvilken demiring av de tilfeldige variasjner vi får fr den enkel_te alder. En kan gsa si at glattheen vil avhenge av hvilken sammenheng det er mellm estimatene fr aldrer sm er nær hverandre. En slik sammenheng kan f.eks. males ved krrelasjnskeffisienten mellm g estima trene en metde gir fr aldrene t g t+s. StOr$t betydning fr glattheten har det at Xeffirsienten er str frs1. I tabell 3.5 finner en krrelasjnskeffisientene fr 41ike s fr de fire "aktuarfrmlene" g fr de fire g1i4ende gjennmsnitt dp ble sammenliknet med. Vi ser 4t "axtuarfrmlene" har storre krrelasjnskeffisient fr flt1 de sm dp sammenliknes med. Det kan være frklaringen på at de ir b, glattere kurver. Et felles trekk ved n aktuarfrmlene" er at krrelasjns-, 1.effisienten, avtar raskt nar s Oker, g det kan være årsak til at de gir mindre utflating av tpper På dodelighets'kurven enn de glidende gjennmsnitt 4e sammenliknes med.

13 cti 13 N N N Q) t.) X X X cn c",) cn Lt Cr),.. 1,-4 4 r-1.. s., td CA r-4 r-4 G\,c) LI"),,---, -I- (-I a,,.../- Lf.) p-4 ç:::) Q (), r.... v. r, O,.D Q p CD Q I I I I I I Ce) r-4 r-4 - CN (NI c c "-AQ CD P c,-; Lf) CT\ SD C, rn v.-a C. C7' N-r-4 er),--4 Ln r., C? ri-1 C, cn1 CDCJ " " " " " "...., CD C) I I I Lr) cn r...1 Cn CO NI C'') r-- t-71 r - 4 CD r-4 Q CN s,....,., C. 4j CD CD C7,) C) I C) "--1 NI r -1 CI I-4 *,.,..,1' CP, C1. N-... NI.. Cil N-r -, r.-i rs, LI) V),,---.4 C) N CV Cf),--4., '% 4-,..,-..., CD CD CD CD ',.. C> CO Cs,,--4 CO cr) P--I , :NI...t..":r In Cf).. et, s. a. Q O c7 a-) p r---1.1" rr") CD CO V") f.-.1 N LI -),,\...O..... t" C) e--4 N- C) CO r-- CT.-.4C.-7.1" -..7r p--i... CN1...t \O r-4 C) 1 C-') Cf) Ln N.. N- CO CO r--. CO CO CO.. ".,.. " O P CD cl) Ci> rs. CO,/- I--; -... C.') V) fn ç»1 > C > an c-, Q C) cp C)..) CI) t+.4 `.1; 4.-i ^..., "j Cfl 4..1 '-j,...--,..4 '-' te.-(r-.-4,. ) al C.) a) 7.) C) Ci i-4 1:-.4 ).-1 -,-t C.)...4,--i 4...; ()),--i 4.) ) p-4 4-) (I) Ci,..., E r. r..,-4 C.) f.'4 E I Ç., c) -,-.4EC)'- i.., u) e_,,--4 (;) r-1 cf).-, (N (CC--. r4 i --4 (.1) ri) c4-4 (1) fl,-..._ Cf: (J) f.".::: ',..4 "ZI," ',") r'ci CO!,-1 ',C) r.,) C.) '::::, (f) 'tt r:: Q "C) f.:: (..) (2) ci tri c.) '.1 (;) c) (.-3,--4,--i '.1 r-4 r4 i:-. " r-1 ', 4 O.) 1 I O) I 1 4 r, CO M. ON =1 p, r-4 cd V),^ 4 >,= =4 r.-4 ' v) c.,,i >

14 14 4. VALG AV METODE Valget av glattingsfrmel blant dem vi betrakter, ma bli et frsøk pa å finne den gylne middelvei. En ma finne en frmel sm er av en viss lengde, slik at den ikke følger tilfeldighetene fr gdt, samtidig sm den ikke er så lang at den "retter ut" reelle variasjner i dødelighetskurven. Vi valgte det 9-leddete sentrerte glidende gjennmsnitt sm har størst variansreduserende evne blant dem av sin lengde g plassering sm slipper annengradsplynmer 'uendret igjennm. Siden dette er symmetrisk, vil det gså bevare tredjegradsplynmer. Frmelen vi bruker er - (-21, 14, 39, , 59,...). Denne frmelen vil bli brukt fr aldrene 5,6..., 87 g 88 år. Senere skal vi finne egne frmler fr de yngste g eldste aldersklassene. Penne frmel gir kurver sm er mtrent like glatte sm de en får av 5-årsdata når en bruker 3-leddet gjennmsnitt. Hvis de raratene vi skulle glatte hadde vært mer uregelmessige, ville vi antakelig ha fretruket a bruke en av de fire "aktuarfrmlene". Vi trr at bilgisk sett er det intet sm skulle gi brå uregelmessigheter i. "vi,rkelig" dodelighet, men det kan være ssiale frhld sm bevirker slike. Et slikt frhld mener vi gjør seg gjeldende fr 18-ange menn. Disse har, når en ser på råratene fr peridene , g en markert hoyere dodelighet enn aldersgruppene ved siden ay. Av figur 4.1 kan vi se at dette frhld er typisk fr alle de tre peridene, g da antar vi at det ikke kan ber på tilfeldigbeter. En frklaring kan være 18-årsgrensen fr førerkrt fr bil. Det viste seg vanskelig å bevare dette frhld ved de glattings metdene vi anvendte. Samtlige metder frskjøv tppunktet på kurven mt aldersklassene 2-21 år g gav en verdi fr l8-åringer sm antakelig er fr lav. Valget av glattingsfrmel ble delvis bestemt ved at den freslåtte frmel er blant dem sm gir en tilfredsstillende glatt kurve, g sm gir minst frtegning av det nevnte frhld. En bor være ppmerksm på at det nevnte hpp i dødeligheten er på Q,2-Q,3 prmille, g tilsvarer bare 6-9 dode persner i et årskull.

15 15 Figur 4.1. Rårater fr menn i tre t-årsperider. Prmille ,1 1,,9,8 c. rf.1.2 2, 15 I ) T- > 25 Alder 1, ,,9, Alder 1,5 1,4 1, ,,9, 15 I> 2 25 Alder

16 16 5, ESTIMATER FOR DE LAVESTE ALDRER Med den frmelen vi valgte, kan vi gi glattede estimater fr aldrene ned t..m. 5 år når vi har råestimater fr aldrene 1, 2,... (-åringer bar spesiell høy dodelighet g vi ser brt fra denne aldersklassen). Vi vil gså glatte ratene fr aldrene 2, 3 g 4 år g ma finne en metde fr dette. Fruten a gi en rimelig glatting av ratene ma metden være slik at vi får en jam vergang mellm ratene fr 4- g 5-åringer, sm er funnet ved hver sin frmel Fr de tre aldrene brukte vi det glidende gjennmsnitt 1 (126, 92, 63, 39, 2, 6, -3, -7, -6) sm har storst variansreduserende evne blant dem med sin plassering sm bevarer annengradsplynmer. Krrelasjnskeffisienten mellm estimatrene vi nytter fr 4- g 5-åringer blir,818. Denne er str nk sammenliknet med,685 fr aldrer ved siden av hverandre med frmelen fr 2, 3 g 4 åringer, g,814 fr frmelem fr 5, 6,.. åringer, UtprOving på materialet gav ingen hpp eller uregelmessigheter mellm estimatene fr 4- g 5-åringer. 6. ESTIMATER FOR DE HØYESTE ALDRER Ved glatting av ratene fr de eldste aldersklassene har vi et annet prblem. Vi har i beregningene til nå antatt at variansen til rårater sm inngår i beregningene, har vært den samme. Denne antakelsen blir helt urealistisk når vi f.eks. ser på aldrene Hvis vi ser på råratene sm estimat fr suksessansynligheten i en binmisk situasjn, kan vi av data fra fr menn finne estimater fr variansene til råratene. Disse er satt pp i tabell 6.1.

17 17 Tabell 6.1. Estimater fr variansen til råratene fr menn Alder Estimert varians Alder Estimert varians Aider Estimert varians 8 år3x16 9 år 35x1-6 1 år 5x it 4x1 91 II 11 ti 82 it 5x16 83 ff 6x1Q it 7x16 92 it 71x tt 93 tf 113x tf 94 ff 16x if - 246x1-6 85,, 9N16 95 It 15 ff 86 ii 12x16 96 it 399x ti 15x16 97 tt 596x If 2x16 98 it 985x ii 26x x1-6 29x x1 112x x x1-4 4x1 Når frhldet mellm variansene til råestimatene er sm i tabell 6.1, vil de glattingsmetder vi har sett på til nå, være mindre egnet. Fr aldrene 88, 93 g 98 år knstruerte vi derfr, under frutsetning av at frhldet mellm variansene til rarat'ene er sm i tabell 6,1, fr ulike lengder g plasseringer de glidende gjennmsnitt sm har storst variansreduserende evne blant dem sm bevarer annengradsplynmer. Vi anvendte nen av disse på de seks sett rårater vi hadde, g de gav tilfredsstillende resultater, brtsett fra nen ujamne estimater fr de eldste aldrer på data fr kvinner fra årene Disse uregelmessighetene er lette å frstå når en ser på råratene vi provde å glatte. Tabell 6.2. Rårater fr kvinner Prmille Alder DOdssannsynlighet Alder DOdssannsynlighet 95 år år 11 ff tt tt O

18 18 Nar (1aLagri1ilhlLagLt blir så -. i.pkett sia act cc fr :1Jret lui, 4q data fr 5.,ifårs'pe'ri(4er ar en fr y hj1p av gi idje regel frtatt Pn skionnsmessig glattin, dvs. en har med utg411 Z;SPunkt raratene trukket pp ea jamat stigende kurve g latt denne ga mt 1,u ndr alderen blir 16 år. Siden vi gjerne ville ha en metde der all glattin kunne fregå matte vi prove i finne en annen frnuftig metde. Vi så pa data fra en lengre peride fr a fiane m ne kunne sies m nivå g frm pa dode1igbetskurven fr de aller eldste aldersklassene. Raestimater ble b e r gbe t p å grun4lag av data fra Disse g j eng i s figur 6.3.

19 19 Figur 6.3. Rårater fr de eldste aldersklassene med data fra Prmille DOdelighet r

20 2 Fr dem ver 1 år er fremdeles datagrunnlaget spinkelt, men det synes klart at dodeligheten ikke frtsetter å stige med alderen i den takt den gjor mellm 95 g 1 år. En kan gjette pa at en har en markert utflating i den virkelige dodelighetskurven fr persner 1 år g eldre. Vi valgte derfrå freta en "preglatting". Fr aldrene 1, 15 setter vi rårate (g glattet rate) lik,45 fr menn g,425 fr kvinner. Så anvendes fr aldrene 89,..., 99 glattingsfrmelen (-.241,.262,.14495,.222,.2259,.18498,.14177,.11743,.8716,.69,.4428). Blant dem med samme plassering sm bevarer annengrad4lynmer har dette glidende gjennmsnitt str variansreduserende evne når variansene til råratene er sm i tabell 6.1. Vi ser at det blir en viss vilkårlighet i bestemmelsen av dodeligheten fr de ver 99 ar. Fr å sikre ss mt at dette ikke skal ha innflytelse på fte brukte indikatrer, sm frventet gjenstaende levetid fr, 1, 2 g 5 åringer, fretk vi nen alternative beregninger av disse. Vi brukte data m dode fra Metdene var: a) skjonnsmessig glatting av ratene fr åringer, der en lar kurven stige jamt til den når 1, fr 16-åringer. b) sm i a) fr åringer g 16-åringer, men med dodsrate,45 fr menn g,425 fr kvinner i aldrene 1-15 år. c) sm i a) fr åringer, men med dodsrate lik 1, fr 1- åringer. Sm en ser av tabell 6.4, er de ulike beregningsmåtene uten innflytelse på de sentrale indikatrene. Tabell 6.4. Gjennmsnittlig antall gjenstående leveår ved alderen n, be-' regnet ved tre ulike metder med data fra n a Glattingsmetde b C Menn Kvinner Menn Kvinner Menn Kvinner 71,9 år ,83 71,9 76,83 71,9 76,83 2 ti. 53,858,28 53,8 58,28 53,8 58, It. 25,32 29,47 25,32 29,47 25,32 29,46 7 ft It ,87 12,83 1,87 12,83 1,87 12,82...,. 3,16 3,59 3,16 3,6 3,14 3, ,21 2,58 2,24 2,6 2,14 2, ,67 2,9 1,78 2,14 1,41 1,6... 1,3 1,64 1,66 1,77,5,5.

21 21 REFERANSE - Sveïdrup, Erling (1973): "Lv g tilfeldigh t", bind 1, 2. utgave. Universitetsfrlaget, Osl.