Termodynamikk og statistisk fysikk Oblig 3

Transkript

1 FYS160 Termodyamikk og statistisk fysikk Oblig 3 Sidre Raem Bilde 19. september 015

2 Oppgave ikevekt i et spisystem a Fi multiplisitete til e krystall med atomer og vakaser. Svar: Jeg tolker oppgave som at krystalle har atomplasser hvor av disse er vakaser. Dette vil da bli å fordele vakaser utover atomplasser Ω ad, = =. Svar: b Fi etropie S = S,, V S =k lω =k l c Fi e tilærmig til etropie ute fakulteter år og 1. Svar: Utregig ligger som Vedlegg 1: ] S k l d Fi et uttrykk for temperature Svar: Vet at 1 T = E. Setter E = ε,v og bruker E = E. 1 T = E = k l = k l = k ε = k ε T = ε k l l l ] E ] 1 ε ] + 1 ] 1 ] 1 1 E ε e Fi et uttrykk for atall vakaser gitt temperatur T. Diskuter om dette er e uktuerede verdi i dette systemet. Svar: Skriver om formele fra d til å uttrykke. ] l 1 = ε kt ] l = ε kt + 1 = exp = exp ] ε kt + 1 ε kt + 1 ] Fuksjoe er e tilærmig for atall vakaser ved e temperatur T. Selve tilærmige øker kraftig med temperature og stabiliserer ved e maksimal kosetrasjo. Det reelle atallet vil kue uktuere om e verdi gitt av tilærmige me avviket vil derimot være smått. f Hvor mage vakaser er det i grese hvor T = 0? Svar: Ved T 0 vil = exp ε kt + 1] 0

3 g Om vi atar at ε = 1eV. Plot kosetrasjoe av vakaser som e fuksjo av temperatur T. Svar: Programkode: de = 1; % ev maxt = ; %K = 1; k = E -5; % ev /K T = lispace 0, maxt, maxt +1; = zeros maxt +1,1; for t = T ed t +1= * exp - de / k * t -1; plot T, ; xlabel ' Temperature, T K ] ' ylabel ' Vacacies, 1/ ] ' prit ' OB3 plot ', ' - dpg ' Programkode: de = 1.0; % ev maxt = 1000; %K = 1; k = E -5; % ev /K T = lispace 0, maxt, maxt +1; = zeros maxt +1,1; for t = T ed t +1= * de ^/ k * t ^... plot T, ; * exp - de / k * t +1; xlabel ' Temperature, T K ] ' ylabel ' Heat capacity C, J / K ] ' prit ' OB3_C_plot ', ' - dpg ' h Ata << et uttrykk for varmekapasitete som e fuksjo av T. Plot varmekapasitete opp mot T = 0 til T = 1000 for dette systemet. Svar: Varmekapasitete er gitt ved U C V = = U T,V T = ε exp ε ] T kt 1 ε = ε kt exp ε ] kt 1 = ε kt exp ε ] kt 1 i I e ekte krystall vil det være ere bidrag til etropi. Vakaser er é mulighet. E ae er itetstitielle atomer og gittervibrasjoer. Diskuter hvorda disse bidrar til etropi og varmekapasitete til e krystall. Svar: Alle defekter i e krystall vil bidra til økt etropi da disse ka plasseres på så mage måter. På samme måte som vakaser koster eergi, vil de este iterstitielle atomer også ha e eergikostad. Disse vil derfor bidra på likede måte som vakaser me de har ofte mage ere mulige kogurasjoer. Det krever gjere litt eergi for at defektee skal ytte seg, som vil si e god varmekapasitet. Gitter-

4 vibrasjoer vil lettere kue eksiteres og overføres og vil redusere varmekapasitete i fohold til bidraget fra defekter. Oppgave Mikro- og makrotilstader for polymerer a Fi et uttrykk for multiplisitete til e makrotilstad gitt og R, hvor R er atallet segmeter som peker til høyre. Svar: Med et polymer med segmeter ka R segmeter rettet til høyre fordeles på Ω, R = R plasser. b Fi uttrykt ved og R. Svar: Da R segmeter gir e legde til høyre R = R vil også de resterede R gi = R gi e legde til vestre. Totalt blir dette: = R = R R = R c Fi etropie S som e fuksjo av og. Svar: Først ka R uttrykkes ved og, R = +. Deretter ka dette settes i i utrykket for multiplisitet Svar: Ω, R = R R = + = Ω, = S, =k l Ω, ] =k l d For det édimesjoale systemet er arbeidet gjort av e ekster kraft F på molekylet år molekylet er strukket e legde d lik W = F d. Vis at de termodyamiske idetitete for dette systemet er T ds = de F d. ds = du+ dv + d U,V V U, U,V Ved å ata at og V er kostat, sitter vi igje med uttrykket ds = 1 T du T ds =du = Q Fra tidligere vet vi at de = Q + W og kombiert med tidligerer resultater får vi de =T ds + F d T ds =de F d

5 e Bruk de termodyamiske idetitete til å e et uttrykk for krafte F som e partiellderivert av etropie. Fi strekkkrafte F uttrykt ved, T, og for systemet. Svar: Utregig ligger som Vedlegg. Får de partiellderiverte F = T U,V som leder til F ] l + f Vis at Hookes lov gjelder for, vis at F er proporsjoal med. Svar: Hookes lov: F = ξd F ] l + l 1 ] l 1 + ] l 1 ] l 1 + ] = kt h Om du holder e slapp strikk og plutselig strekker de, vil du forvete at temperature øker eller miker? Svar: Ved å se på du = Q + W og atar at utstrekige går så fort at sysyemet ikke får utvekslet varme, får vi: du =T ds + F d du =0 + F d du = kt d Itegreres dette fra 0 til 1 er edrige U = 1 0 T som vil si at de termiske eergie øker om strikke strekkes. Om ma så lar det skje varmeutvekslig vil strikke ha høyere termisk eergi e omgivelsee gitt likevekt ved begyelse, strikke får derfor høyere temperatur. Ved samme formel vil de termiske eergie syke om strikke slippes tilbake, og de får lavere temperatur. g Diskuter hvorda F varierer med T, gir dette meig? Svar: Krafte F ser ut til å øke proporsjoalt med temperature T. Dette virket rart, me ved å strekke e strikk på 5 C opp mot 18 stemte dette.

6 Vedlegg 1 - Utregig til deloppgave 03 c S =k l ] l ] l ] =k l ] l ] + l ] + =k l ] l 1 ] l ] =k l ] l ] + l 1 ] l ] Setter l 1 ] =.. og vet, som gir l 1 ] = k l ] l ] l ] =k l ] l ] + l ] + l ] =k l ] l ] + ] =k l + 1 Atar at er så lite at de ka eglisjeres, det samme med 1, og sitter igje med. =k l ]

7 Vedlegg - Utregig til deloppgave 04 e T T ds =de F d de = F d de F = T d ds d ds d Om vi atar kostat total eergi E fås F = T U,V = T k R R k = T ] k l + R R R = T k l ] R l R ] + R R l R ] + R R = T k l ] R l R ] R l R ] R = T k l ] l R ] + R l R ] R l R ] R + l R ] + R R + l R ] l R ] 1 R l R] l R ] l ] l + ] l ] l l + ] ] + l l R R l R ] R R ] + l l ] l ] l + ] + l ] l l ] l + ] ] +