Termodynamikk og statistisk fysikk Oblig 7

Transkript

1 FYS2160 Termodynamikk og statistisk fysikk Oblig 7 Sindre Rannem Bilden 4. november 2015

2 Oppgave Fase likevekt i en van der Waals system a) is at trykket, p(n,, T ), til van der Waals gassen er p = NkT Svar: Har F og vet at p = ( ) F og får ( ) F p = = NkT b) is at trykket til van der Waals gassen kan skrives som c) Plott trykket ˆp som funksjon av ˆ i området 0.4 til 20 for ˆT = 1.15, 1.0 og = np. linspace (0.4,20,1000) T = [0.85, 1.0, 1.15] def P(,T): return (8* T )/(3* -1) -3.0/ **2 plt. plot (,P(,t),\ label = T=%g %t) plt. xlabel ( $\ hat {}$ ) plt. xlim (0.4,5), plt. ylim (0,3) plt. legend () 8 ˆT 3 ˆ 1 3ˆ Svar: Setter inn p p c, ˆ = c og ˆT = T T c, der p c = a, 27b 2 c = 2Nb og kt c = 8a 27b. p = NkT ˆp a 8a 27b 2 = N ˆT 27b 3Nb ˆ 9N 2 b 2 ˆ ˆp a 27b 2 = ˆT 8a 27b 2 (3 ˆ 1) a 9b 2 ˆ 8 ˆT 3 ˆ 1 3ˆ

3 d) is at trykket også kan uttrykkes ved tettheten istedenfor volum: 8ˆρ ˆT 3 ˆρ 3ˆρ2 Svar: Introduserer ˆρ = 1ˆ = ρ ρ c, ρ c = 1 3b og setter inn 8 ˆT 3 ˆ 1 3ˆ = 8 ˆT 3 ˆ ˆˆ 3ˆ 8 = ˆT ˆ (3 1ˆ ) 3ˆ = 8 ˆT ˆρ 3 ˆρ 3ˆρ2 e) Plott trykket ˆp som en funksjon av ˆρ i området 0.0 til 2.0 for ˆT = 1.15, 1.0 og rho = np. linspace (0.2,2.0,10000) T = [0.85, 1.0, 1.15] def P(rho,T): return (8* T* rho )/(3 - rho )\ -3.0* rho **2 def ( rho ): return 1.0/ rho def G(rho,P,T): return -3.0* rho -8.0* T*\ np.log (3.0/ rho -1.0)/3.0+ P/ rho plt. plot (rho,p(rho,t),\ label = T=%g %t) plt. xlabel (r $\ hat {\ rho }$ ) plt. xlim (0.2,2), plt. ylim (0,3) f) Basert på plottet i e), ved hvilken temperatur er tettheten blitt en ikke-unik funksjon av trykket? Svar: Set at ˆT = 1.0 gir en relativt flat graf ved ˆρ = 1.0 og at den helt klart er ikkeunik ved ˆT = 0.85, antar at funksjonen er ikke-unik ved ˆT < 1.0. g) Basert på plottet, når blir den isotermiske kompressibiliteten κ = 1 ( ) = 1 ( ) ρ P ρ P blir negativ? Svar: For ˆT = 0.85 er κ negativ mellom ˆρ = 0.6 og ˆρ = 1.5. h) is at Gibbs fri energi til systemet i dimensjonale størrelser er G = NkT ( ) Nb 2aN NkT nq ( Nb) ln + 1 N

4 Svar: et at G vdw = F vdw + p, setter inn uttrykket for p og får G vdw =F vdw + p =F vdw + NkT = NkT Nb NkT ( ln [ nq ( Nb) i) Agrumenter for at Gibbs fri energi kan skrives N ] ) + 1 G = NkT ln [ Nb] an 2 +p +NkT c(t ) Svar: Da F vdw har flere ledd som er uavhengige av kan disse samles i en funksjon kun avhengig T. G vdw blir defor G = NkT ln [ Nb] an 2 +p +NkT c(t ) j) is at Gibbs fri energi per partikkel er ĝ = G/Gc N = 3ˆρ 8 ˆT 3 ln 3ˆρ 1 + ˆpˆρ om man kun tar med ledd avhengig av ˆp eller ˆρ Svar: Setter inn G c = 3kT c /8 og får 2aN 2 G = NkT ln [ Nb] an 2 + p + NkT c(t ) = Nk ˆT T c ln ˆ c Nb an 2 + ˆpp c ˆ c ˆ c G G c N = 8 3 ˆT a8n 2 ln ˆ 3Nb Nb 3kT c ˆ 3N 2 b + ˆp a 27b2 ˆ 27b2 a ĝ = 8 3 ˆT ln ˆ 3Nb Nb 3ˆ + ˆp ˆ = 3ˆρ 8 [ ( )] 3 ˆT 3 ln Nb ˆρ 1 + ˆpˆρ = 3ˆρ 8 ( ) 3 ˆT 3 ln [Nb] + ln ˆρ 1 + ˆpˆρ = 3ˆρ 8 3 ˆT 3 ln ˆρ 1 + ˆpˆρ

5 k) For ˆT = 0.9 plott ˆp som en funksjon av ˆρ i området 0.2 til 2.0. Plott så ˆ som en funksjon av ˆp for samme data ved å bruke ˆ = 1ˆρ. Plott til slutt ĝ som funksjon av ˆp for det samme datasettet. Kommenter kurven for Gibbs fri energi. rho = np. linspace (0.2,2.0,10000) T = [0.9] def P(rho,T): return (8* T* rho )/(3 - rho )\ -3.0* rho **2 def ( rho ): def return 1.0/ rho G(rho,P,T): return -3.0* rho -8.0* T\ *np.log (3.0/ rho -1.0)/3.0+ P/ rho plt. subplot (3,1,1) plt. plot (rho,p(rho,t),\ b,label = T=%g %t) plt. xlabel (r $\ hat {\ rho }$ ) plt. xlim (0.2,2), plt. ylim (0,3) plt. subplot (3,1,2) plt. plot (P(rho,t),( rho ),\ g,label = T=%g %t) plt. ylabel (r $\ hat {}$, rotation =0) plt. legend ( loc =1) plt. subplot (3,1,3) plt. plot (P(rho,t),G(rho,P(rho,t)\,t), r,label = T=%g %t) plt. ylabel (r $\ hat {g}$, rotation =0) Ser at ĝ er negativ, dette kan forskyves med en konstant uavhengig av ˆρ og ˆp. Det virker som at grafen tilhører to forskjellige funksjoner, dette kan være to forskjellige faser.

6 l) Argumenter for at vi kan finne minimumverdien til Gibbs fri energi ved å se på punktet der ĝ( ˆp( ˆρ)) krysser seg selv. Svar: I punktet hvor ĝ(ˆp(ˆρ)) krysser seg selv vil det sannsynligvis være en faselikevekt og derfor minimal Gibbs fri energi. plt. ylabel (r $\ hat {g}$, rotation =0) m) Finn krysningspunktet i ĝ( ˆp( ˆρ)) og sett inn tilsvarende punkter i ˆρ(ˆp) og ˆ (ˆp). rho = np. linspace (0.2,2.0,100) t = 0.9 def P(rho,T): return (8* T* rho )/(3 - rho )\ -3.0* rho **2 def ( rho ): def return 1.0/ rho G(rho,P,T): return -3.0* rho -8.0* T\ *np.log (3.0/ rho -1.0)/3.0+ P/ rho g = G(rho,P(rho,t),t) p = P(rho,t) RHO = [] for i in range (0, len ( rho )): for j in range (i+1, len ( rho )): if abs (g[i]-g[j ]) <0.01 and \ abs (p[i]-p[j ]) <0.001 and \ abs (i-j) >5: RHO. append ( rho [i]) RHO = RHO [0] RHO2 = rho [ abs (P(RHO,t)-P(rho,t )) <0.0001][: -1] plt. subplot (3,1,1) plt. plot (rho,p(rho,t), b,label = T=%g %t) plt. scatter (RHO2,P(RHO2,t)) plt. plot (RHO2,P(RHO2,t), black ) plt. xlabel (r $\ hat {\ rho }$ ) plt. xlim (0.2,2), plt. ylim (0,3) plt. subplot (3,1,2) plt. plot (P(rho,t),( rho ), g,label = T=%g %t) plt. scatter (P(RHO2,t),1/ RHO2 ) plt. plot (P(RHO2,t),1/ RHO2, black ) plt. ylabel (r $\ hat {}$, rotation =0) plt. legend ( loc =1) plt. subplot (3,1,3) plt. plot (P(rho,t),G(rho,P(rho,t)\,t), r,label = T=%g %t) plt. scatter (P(RHO,t),G(RHO,P(RHO,t),t))

7 n) Hva tror du egentlig skjer mellom de to punktene? Svar: Jeg tror det er faselikevekt, her har man begge fasene i forskjellige komposisjoner. o) Gjør et systematisk studie hvor du ser på linjen mellom de to punktene i ˆp( ˆ ) for ˆT = 1.0 ned til Kommenter. Svar: Ser at skillet mellom de to fasene (punktene) er større ved lavere temperaturer, ved ˆT = 1.0 er de like som vil si ˆT = 1.0 er den kritiske temperaturen.