Fra UiO sine websider (med tentativt antall poeng):

Transkript

1 Generelle ting Fra UiO sine websider (med tentativt antall poeng): A Framifrå, >90%, >207 p: Framifrå prestasjon som skil seg klart ut. Kandidaten syner særs god vurderingsevne og stor grad av sjølvstende. B Mykje god, 79-90%, p: Mykje god prestasjon. Kandidaten syner mykje god vurderingsevne og sjølvstende. C God, 66-78%, p: Jamt god prestasjon som er tilfredsstillande på dei fleste områda. Kandidaten syner god vurderingsevne og sjølvstende på dei viktigaste områda. D Nokså god, 53-65%, p: Akseptabel prestasjon med nokre vesentlege manglar. Kandidaten syner ein viss grad av vurderingsevne og sjølvstende. E Tilstrekkeleg, 40-52%, p: Prestasjonen tilfredsstiller minimumskrava, men heller ikkje meir. Kandidaten syner lita vurderingsevne og lite sjølvstende. F Ikkje greidd, <40%, <92 p: Prestasjon som ikkje tilfredsstiller dei faglege minimumskrava. Kandidaten syner både manglande vurderingsevne og sjølvstende. Oppgave Poeng Språk Figurer Layout Poeng Totalt kan man få 230 poeng, dvs alt under 92 poeng er stryk (de som stryker kan be om en muntlig konteeksamen om prosjektoppgaven). Hvis dere føler at en besvarelse er særlig bra og går utover det som forventes, gir gjerne bonuspoeng. 1

2 Oppgave 1 OBS: Enheter! Jeg skrev 500 g! Men hvis jeg da skal bruke SI enheter må jeg så klart bruke m = 0.5 i programmet mitt! import numpy as np import matplotlib. pyplot as plt def diffeq ( y, m, k ): _y = np. zeros ( y. size ) _y [0] = y [1] _y [1] = - k/m*y [0] return _y def rk4 ( y, dt, m, k ): d1 = diffeq ( y, m, k ) yhalf1 = y + d1* dt /2. d2 = diffeq ( yhalf1, m, k ) yhalf2 = y + d2* dt /2. d3 = diffeq ( yhalf2, m, k ) yend = y + d3* dt d4 = diffeq ( yend, m, k ) tm = 1./6.*( d1 + 2.* d2 + 2.* d3 + d4 ) return y + tm* dt def solveeom ( t0, tmax, dt, y0, m, k ): N = np.int ( ( tmax - t0 )/dt ) ts = np. zeros ( N ) ts [0] = t0 sol = np. zeros ( ( N, y0. size ) ) sol [0] = y0 for t in range ( 1, N ): ts[t] = ts[t -1] + dt sol [t] = rk4 ( sol [t -1], dt, m, k ) return ( ts, sol ) # time step dt = 1e -2 # initial position, velocity in m, m/ s y0 = np. array ( [1.0, 0.0] ) # mass in kg m = 0.5 # stiffness in N/ m k = 1. # solve differential equation ts, sol = solveeom ( 0, 10, dt, y0, m, k ) # plot in phase space plt. figure () plt. plot ( sol [:,0], sol [:,1], o, ms =2, alpha =.1, c= black ) plt. xlabel ( x [m] ) plt. ylabel ( v [m/s] ) 2

3 For en fri harmonisk oscillator med hvilke som helst initialbetingelsene x(0) = x 0 og v(0) = v 0 er x(t) = A 0 cos(ω 0 t + ϕ) ẋ(t) = A 0 ω 0 sin(ω 0 t + ϕ) ω 2 0 = k/m A 2 0 = x v2 0 ω0 2 tan ϕ = v 0 ω 0 x 0 (L.1) (L.2) (L.3) (L.4) (L.5) Total energien er summen av den kinetiske og potensielle energien slik at E = 1 2 kx(t) mẋ(t)2 (L.6) = 1 2 k (A 0 cos(ω 0 t + ϕ)) m ( A 0ω 0 sin(ω 0 t + ϕ)) 2 (L.7) = 1 ( ) 2 ka2 0 cos 2 (ω 0 t + ϕ) + sin 2 (ω 0 t + ϕ) (L.8) = 1 2 ka2 0 = const. (L.9) eller x(t) 2 A 2 0 x(t) 2 a 2 + ẋ(t)2 ω 2 0 A2 0 = 1 (L.10) + ẋ(t)2 b 2 = 1 (L.11) 3

4 som beskriver altid (uansett hvilken x 0 eller v 0 ) en ellipse med sentrum (0, 0), store halvakse a = A 0 og lite halvakse b = A 0 ω 0. Når banen i faserommet krysser x aksen, skifter hastigheten fortegn, dvs. at hastigheten skifter fra den ene til den andre retningen. Hvis krysningen ikke er loddrett, betyr det at posisjonen samtidig øker (eller minke) bestandig (selv om hastigheten skifter fortegn). Det går ikke og derfor er krysningen av x aksen altid loddrett. Når banen krysser y aksen skifter posisjonen fortegn - det betyr at kraften også skifter fortegn siden F = kx. Når kraften peker i motsatt retning, må hastigheten går fra å øke til å minke (eller fra å minke til å øke) - derfor er også den krysningen loddrett. Hastigheten kan ikke fortsette å øke (eller minke) hvis kraften nå peker i motsatt retning. Vinkelen α(t) mellom x aksen og systemets posisjon (x(t), v(t)) i faserommet er tan α(t) = v(t) x(t) = A 0ω 0 sin(ω 0 t + ϕ) A 0 cos(ω 0 t + ϕ) (L.12) (L.13) = ω 0 tan(ω 0 t + ϕ) (L.14) = ω 0 tan( ω 0 t ϕ) (L.15) α(t) = arctan(ω 0 tan( ω 0 t ϕ)) (L.16) 4

5 slik at dα(t) dt = ω0 2 tan2 ( ω 0 t ϕ) ω 1 0 tan 2 ( ω 0 t ϕ) ( ω 0) (L.17) ω 2 0 = tan 2 (ω 0 t + ϕ)(1 + ω0 2 tan2 (ω 0 t + ϕ)). (L.18) Siden dette uttrykket altid er negativt, minker α(t) hele tida og det betyr at banen altid dreier seg med klokken, uansett kvilken x 0 eller v 0. 5

6 Oppgave 2 import numpy as np import matplotlib. pyplot as plt def diffeq ( y, m, k, b ): _y = np. zeros ( y. size ) _y [0] = y [1] _y [1] = - k/m*y [0] - b/m*y [1] return _y def rk4 ( y, dt, m, k, b ): d1 = diffeq ( y, m, k, b ) yhalf1 = y + d1* dt /2. d2 = diffeq ( yhalf1, m, k, b ) yhalf2 = y + d2* dt /2. d3 = diffeq ( yhalf2, m, k, b ) yend = y + d3* dt d4 = diffeq ( yend, m, k, b ) tm = 1./6.*( d1 + 2.* d2 + 2.* d3 + d4 ) return y + tm* dt def solveeom ( t0, tmax, dt, y0, m, k, b ): N = np.int ( ( tmax - t0 )/dt ) ts = np. zeros ( N ) ts [0] = t0 sol = np. zeros ( ( N, y0. size ) ) sol [0] = y0 for t in range ( 1, N ): ts[t] = ts[t -1] + dt sol [t] = rk4 ( sol [t -1], dt, m, k, b ) return ( ts, sol ) # time step dt = 1e -2 # initial position, velocity in m, m/ s y0 = np. array ( [1.0, 0.0] ) # mass in kg m = 0.5 # stiffness in N/ m k = 1. # friction constant in kg/ s b = 0.1 # solver differential equation ts, sol = solveeom ( 0, 50, dt, y0, m, k, b ) # plot in phase space plt. figure () plt. plot ( sol [:,0], sol [:,1], o, ms =2, alpha =.1, c= black ) plt. xlabel ( x [m] ) plt. ylabel ( v [m/s] ) 6

7 Banen beskriver en sneileform som ender opp i origo (hvis integrasjonstiden er langt nok). Krysingen av x aksen er fortsatt loddrett, siden argumentasjonen ift fortegnskiftet av hastigheten er fortsatt gyldig. Man ser tydelig (særlig når man bruker høyere verdier for b, t.ex. 0.6, at krysningen av y aksen ikke er loddrett lenger. Krysningen av y aksen er ikke loddrett siden kraften er annerledes: F = bẋ kx. La os se på situasjonen hvor x(t) er maximal positiv, dvs. x(t) > 0 og ẋ(t) = 0. Kraften aksellererer loddet, men dempningen bremser farten. Siden fjærkraften minker med minkende x, men bẋ øker, er F = 0 før x = 0, dvs. at hastigheten minker allerede før fjærkraften skifter fortegn pga dempningen. (0, 0) er en attraktor siden uansett hvilke initialbetingelsene man velger, banen i faserommet kommer til å ende opp i origo (hvis integrasjonstiden er langt nok). Siden attraktoren er et punkt, har den dimensjon null. Kurven i Oppgave 1 er ikke en attraktor siden kurven er forskjellig for forskjellige initialbetingelsene. 7

8 Oppgave 3 Løsningen er summen av løsningen x h (t) av den homogene ligningen mẍ + kx(t) = 0 og en partikulær løsning x p (t). For x h (t) gør vi følgende ansats: x h (t) = A h cos(ω 0 t) + B h sin(ω 0 t) (L.19) med ω 2 0 = k/m. Ansatsen for den partikulære løsningen er x p (t) = A p cos(ω D t) + B p sin(ω D t) (L.20) slik at den fullstendige løsningen er x(t) = A h cos(ω 0 t) + B h sin(ω 0 t) + A p cos(ω D t) + B p sin(ω D t) (L.21) og ẋ(t) = A h ω 0 sin(ω 0 t) + B h ω 0 cos(ω 0 t) A p ω D sin(ω D t) + B p ω D cos(ω D t). (L.22) Siden x(0) = 2 m og ẋ(0) = 0 m/s er A h + A p = 2 og B h ω 0 + B p ω D = 0. Hvis x p (t) skal løse diff ligningen må gjelder mẍ(t) + kx(t) = F D cos(ω D t) (L.23) mωd(a 2 p cos(ω D t) + B p sin(ω D t))+ (L.24) k(a p cos(ω D t) + B p sin(ω D t)) = F D cos(ω D t) (L.25) (ka p mω 2 DA p F D ) cos(ω D t) + (B p mω 2 DB p ) sin(ω D t) = 0. (L.26) Siden cos(ω D t) og sin(ω D t) er lineært uavhengige funksjoner kan den ligningen bare tilfredestilles hvis ka p mω 2 DA p F D = 0 B p mω 2 DB p = 0. (L.27) (L.28) Vi ser at B p = 0 og dermed B h = 0. Videre er A p = F D /(m(ω 2 0 ω2 D )). 8

9 Dermed er løsningen eller x(t) = ( 2 ) F D F D m(ω0 2 ω2 D ) cos(ω 0 t) + m(ω0 2 ω2 D ) cos(ω Dt) ( ) ( ) F D x(t) = 2 cos(ω 0 t) 2 m(ω0 2 ω2 D ) sin ωd ω 0 ωd + ω 0 t sin t 2 2 (L.29) (L.30) Et produkt av to sinus funksjoner lager beating. 9

10 Oppgave 4 import numpy as np import matplotlib. pyplot as plt def diffeq ( y, m, k, FD, omegad ): _y = np. zeros ( y. size ) _y [0] = y [1] _y [1] = - k/m*y [0] + FD/m*np.cos ( y [2] ) _y [2] = omegad return _y def rk4 ( y, dt, m, k, FD, omegad ): d1 = diffeq ( y, m, k, FD, omegad ) yhalf1 = y + d1* dt /2. d2 = diffeq ( yhalf1, m, k, FD, omegad ) yhalf2 = y + d2* dt /2. d3 = diffeq ( yhalf2, m, k, FD, omegad ) yend = y + d3* dt d4 = diffeq ( yend, m, k, FD, omegad ) tm = 1./6.*( d1 + 2.* d2 + 2.* d3 + d4 ) return y + tm* dt def solveeom ( t0, tmax, dt, y0, m, k, FD, omegad ): N = np.int ( ( tmax - t0 )/dt ) ts = np. zeros ( N ) ts [0] = t0 sol = np. zeros ( ( N, y0. size ) ) sol [0] = y0 for t in range ( 1, N ): ts[t] = ts[t -1] + dt sol [t] = rk4 ( sol [t -1], dt, m, k, FD, omegad ) return ( ts, sol ) # time step dt = 1e -2 # initial position, velocity, driver phase in m, m/s, rfd y0 = np. array ( [2.0, 0.0, 0.0] ) # mass in kg m = 0.5 # stiffness in N/ m k = 1. # oscillator frequency omega0 = np. sqrt (k/m) # ratio omegad / omega0 rat = 13./8. # rat = 2./( np. sqrt (5) -1.) # driving amplitude FD = 0.7 # driving freqquency omegad = rat * omega0 # solve differential equation 10

11 ts, sol = solveeom ( 0, 200, dt, y0, m, k, FD, omegad ) # plot in phase space plt. figure () plt. plot ( sol [:,0], sol [:,1], o, ms =2, alpha =.1, c= black ) plt. xlabel ( x [m] ) plt. ylabel ( v [m/s] ) # analytisk A_p = FD /(m*( omega0 **2 - omegad **2) ) A_h = y0 [0] - A_p xh = A_h *np.cos ( omega0 *ts) xp = A_p *np.cos ( omegad *ts) plt. figure () plt. plot (ts, sol [:,0], ts, (xh+xp) ) plt. xlim (0,50) 11

12 For ω D = 13/8ω 0 er bevegelsen periodisk, siden systemet beskrives i faserommet gjennom en lukket bane. Det betyr at etterhvert er posisjonsog hastighetsverdiene lik noe de har vært før, og siden systemet konserverer energi, kan systemet bare gjenta samme bevegelsen som før. For ω D = 2/( 5 1)ω 0 er systemet ikke periodisk, det kommer aldrig tilbake til posisjons- og hastighetsverdier fra før. Grunnet er at forhold ω 0 /ω D i dette tilfelle er et reellt tall, ikke et rasjonalt tall som det var i den førrige eksempelen. Dette kan forklares gjennom å se på betingelse for periodisiteten: x(t) = x(t + T ) t (L.31) hvor T er et eller annet tidsintervall. Hvis vi ser på den analytiske løsningen ser vi at vi kan bare få et periodisk bevegelse hvis cos(ω 0 t) = cos(ω 0 (t + T )) samtidig som (L.32) cos(ω D t) = cos(ω D (t + T )) (L.33) og dermed må begge ω 0 T og ω D T være lik en heltallig multiplum av 2π ω 0 T = N2π (L.34) ω D T = M2π med N, M I. (L.35) Ser vi på forholdet finner vi en annen måte å uttrykke periodisitetsbetingelsen på ω 0 ω D = N M. (L.36) Her ser vi med en gang at vi ikke kan få periodisk bevegelser hvis forholdet ω 0 /ω D er et reellt tal siden den kan vi ikke skriver som en brøk av to heltall. 12

13 Oppgave 5 import numpy as np import matplotlib. pyplot as plt def diffeq ( y, m, k, b, FD, omegad ): _y = np. zeros ( y. size ) _y [0] = y [1] _y [1] = - k/m*y [0] - b/m*y [1] + FD/m*np.cos ( y [2] ) _y [2] = omegad return _y def rk4 ( y, dt, m, k, b, FD, omegad ): d1 = diffeq ( y, m, k, b, FD, omegad ) yhalf1 = y + d1* dt /2. d2 = diffeq ( yhalf1, m, k, b, FD, omegad ) yhalf2 = y + d2* dt /2. d3 = diffeq ( yhalf2, m, k, b, FD, omegad ) yend = y + d3* dt d4 = diffeq ( yend, m, k, b, FD, omegad ) tm = 1./6.*( d1 + 2.* d2 + 2.* d3 + d4 ) return y + tm* dt def solveeom ( t0, tmax, dt, y0, m, k, b, FD, omegad ): N = np.int ( ( tmax - t0 )/dt ) ts = np. zeros ( N ) ts [0] = t0 sol = np. zeros ( ( N, y0. size ) ) sol [0] = y0 for t in range ( 1, N ): ts[t] = ts[t -1] + dt sol [t] = rk4 ( sol [t -1], dt, m, k, b, FD, omegad ) return ( ts, sol ) # time step dt = 1e -2 # initial position, velocity, driver phase in m, m/s, rad y0 = np. array ( [1.0, 0.0, 0.0] ) # mass in kg m = 0.5 # stiffness in N/ m k = 1. # friction constant in kg/ s b = 0.1 # oscillator frequency omega0 = np. sqrt (k/m) # driving amplitude FD = 0.7 # driving freqquency omegad = 2./( np. sqrt (5) -1.)* omega0 # solve differential equation ts, sol = solveeom ( 0, 100, dt, y0, m, k, b, FD, omegad ) 13

14 # plot in phase space plt. figure () plt. plot ( sol [:,0], sol [:,1], o, ms =2, alpha =.1, c= black ) plt. xlabel ( x [m] ) plt. ylabel ( v [m/s] ) Vi ser igjen en attraktor, men denne gangen er det ikke et punkt men en kurve, dvs. noe endimensjonal. Det er en attraktor siden vi lander på samme kurve uansett hvilke initialbetingelsene vi prøver. Det fordi vi vet at den analytiske løsningen er x(t) = A 0 e γt sin(ω 0 t + ϕ 0 ) + A 1 cos(ω D t + ϕ 1 ), (L.37) hvor det første leddet går mot 0 når t ; etter lang tid er bare det andre leddet igjen som er igjen av samme type løsning som vi hadde i Oppgave 1), bare at svingningsfrekvensen ikke er ω 0 men ω D. Og vi vet at denne typen løsning beskriver en ellipse i faserommet. 14

15 Oppgave 6 import numpy as np import matplotlib. pyplot as plt def diffeq ( y, k, b, R, g ): _y = np. zeros ( y. size ) _y [0] = y [1] _y [1] = - k/y [2]* y [0] - (b + R)/y [2]* y [1] + g _y [2] = R return _y def rk4 ( y, dt, k, b, R, g ): d1 = diffeq ( y, k, b, R, g ) yhalf1 = y + d1* dt /2. d2 = diffeq ( yhalf1, k, b, R, g ) yhalf2 = y + d2* dt /2. d3 = diffeq ( yhalf2, k, b, R, g ) yend = y + d3* dt d4 = diffeq ( yend, k, b, R, g ) tm = 1./6.*( d1 + 2.* d2 + 2.* d3 + d4 ) return y + tm* dt def solveeom ( t0, tmax, dt, y0, k, b, R, g ): N = np.int ( ( tmax - t0 )/dt ) ts = np. zeros ( N ) ts [0] = t0 sol = np. zeros ( ( N, y0. size ) ) sol [0] = y0 for t in range ( 1, N ): sol [t] = rk4 ( sol [t -1], dt, k, b, R, g ) ts[t] = ts[t -1] + dt return ( ts, sol ) # time step dt = 1e -4 # initial position, velocity, mass in m, m/s, kg y0 = np. array ( [0.001, 0.001, ] ) # stiffness in N/ m k = # friction in kg/ s b = # gravity acceleration in m/ s **2 g = 9.81 # mass loading rate R = # solve differential equation ts, sol = solveeom ( 0, 3, dt, y0, k, b, R, g ) # plot in phase space plt. figure () plt. plot ( sol [:,0], sol [:,1], o, ms =2, alpha =.1, c= black ) 15

16 plt. xlabel ( x [m] ) plt. ylabel ( v m/s ) Vi ser at dråpen først oscillerer, men at utslaget blir mindre pga dempning dvs friksjon mellom vannet og kranen. Vi ser også at svingningsfrekvensen blir mindre, pga den økende massen (ω0 2 = k/m). Når oscillasjonene er dempet bort, beveger seg dråpen som blir bare tyngere og tyngere nedover. Etter tre sekunder er dråpen 3,5 cm lang, som er lengre enn alle dråper jeg har sett i mitt liv - derfor syns jeg at beskrivelsen er ikke realistisk. 16

17 Oppgave 7 import numpy as np import matplotlib. pyplot as plt def diffeq ( y, k, b, R, g ): _y = np. zeros ( y. size ) _y [0] = y [1] _y [1] = - k/y [2]* y [0] - (b + R)/y [2]* y [1] + g _y [2] = R return _y def rk4 ( y, dt, k, b, R, g ): d1 = diffeq ( y, k, b, R, g ) yhalf1 = y + d1* dt /2. d2 = diffeq ( yhalf1, k, b, R, g ) yhalf2 = y + d2* dt /2. d3 = diffeq ( yhalf2, k, b, R, g ) yend = y + d3* dt d4 = diffeq ( yend, k, b, R, g ) tm = 1./6.*( d1 + 2.* d2 + 2.* d3 + d4 ) return y + tm* dt def solveeom ( t0, tmax, dt, y0, k, b, R, g, xc, alpha, rho ): N = np.int ( ( tmax - t0 )/dt ) ts = np. zeros ( N ) ts [0] = t0 sol = np. zeros ( ( N, y0. size ) ) sol [0] = y0 td = np. zeros ( N ) dtd = np. zeros ( N ) dcnt = 0 for t in range ( 1, N ): ts[t] = ts[t -1] + dt sol [t] = rk4 ( sol [t -1], dt, k, b, R, g ) if sol [t,0] > xc: dm = alpha * sol [t,1]* sol [t,2] if dm >= sol [t,2]: # don t set to 0 here, otherwise you will get a # division by 0 error in you integration dm = sol [t,2] - 1e -5 dx = ( 3* dm **4/( 4* np.pi*rho * sol [t,2]**3 ) ) **(1/3) sol [t,0] -= dx sol [t,2] -= dm td[ dcnt ] = ts[t] if dcnt > 0: dtd [ dcnt ] = td[ dcnt ] - td[dcnt -1] dcnt += 1 td = td [0: dcnt ] dtd = dtd [0: dcnt ] return ( ts, sol, td, dtd ) # time step 17

18 dt = 1e -4 # initial position, velocity, mass in m, m/s, kg y0 = np. array ( [0.001, 0.001, ] ) # stiffness in N/ m k = # friction in kg/ s b = # gravity acceleration in m/ s **2 g = 9.81 # threshold in m xc = # propotionality parameter in s/ m alpha = 50. # density of water in kg/ m **3 rho = # rate of mass filling in kg/ s R = # solve differential equation ts, sol, td, dtd = solveeom ( 0, 20, dt, y0, k, b, R, g, xc, alpha, rho ) # plot in phase space plt. figure () plt. plot ( sol [:,0], sol [:,1], o, ms =2, alpha =.1, c= black ) plt. xlabel ( x [m] ) plt. ylabel ( v m/s ) # plot drip times plt. figure () plt. plot ( td [1:], dtd [1:], o, ms =2, c= black ) print (np. mean ( dtd [ -20:]) ) Vi ser at systemet oppfører seg som forventet: når dråpen beveger seg forbi terskelen, faller en del av massen av og resten beveger seg oppover pga 18

19 den tilbakeforende kraften. Etter en innsvingningsfasen blir bevegelsen periodisk (helt analog til løsningen i Oppgave 5). Siden bevgelsen er periodisk er også tiden mellom to dråper konstant (etter innsvingningsfasen). Kurven som systemet legger seg på etterhvert er igjen en attraktor - selv om vi forandrer initialbetingelsene lander systemet tilbake på samme kurve (som i Oppgave 5). Det som alle tre systemer har til felles er friksjonskraften. Den dissipative kraften gjør at det finnes en attraktor i systemet som alle baner i faserommet strebe etter, uavhengig av initialbetingelsene. Her og i Oppgave 5) får vi en attraktor som er en kurve siden etterhvert kommer systemet til en tilstand hvor den påtrykte kraften kanselleres av friksjonskraften (i Oppgave 7 er masseøkningen den påtrykte kraften). Vi ser også at tiden mellom to dråper er detsamme for forskjellige initialbetingelsene. Dette er noe man kanskje kjenner igjen fra sitt eget hus eller sin egen leilighet - når kranen drypper er det vanligvis veldig periodisk - men gjennom å forandre masseøkningsraten (åpne kranen litt mer) kan man pushe systemet i kaoset. 19

20 Oppgave 8 import numpy as np import matplotlib. pyplot as plt def diffeq ( y, k, b, R, g ): _y = np. zeros ( y. size ) _y [0] = y [1] _y [1] = - k/y [2]* y [0] - (b + R)/y [2]* y [1] + g _y [2] = R return _y def rk4 ( y, dt, k, b, R, g ): d1 = diffeq ( y, k, b, R, g ) yhalf1 = y + d1* dt /2. d2 = diffeq ( yhalf1, k, b, R, g ) yhalf2 = y + d2* dt /2. d3 = diffeq ( yhalf2, k, b, R, g ) yend = y + d3* dt d4 = diffeq ( yend, k, b, R, g ) tm = 1./6.*( d1 + 2.* d2 + 2.* d3 + d4 ) return y + tm* dt def solveeom ( t0, tmax, dt, y0, k, b, R, g, xc, alpha, rho ): N = np.int ( ( tmax - t0 )/dt ) ts = np. zeros ( N ) ts [0] = t0 sol = np. zeros ( ( N, y0. size ) ) sol [0] = y0 td = np. zeros ( N ) dtd = np. zeros ( N ) dcnt = 0 for t in range ( 1, N ): ts[t] = ts[t -1] + dt sol [t] = rk4 ( sol [t -1], dt, k, b, R, g ) if sol [t,0] > xc: _dx = xc - sol [t -1,0] _dt = _dx / sol [t -1,1] ts[t] = ts[t -1] + _dt sol [t] = rk4 ( sol [t -1], _dt, k, b, R, g ) dm = alpha * sol [t,1]* sol [t,2] if dm >= sol [t,2]: # don t set to 0 here, otherwise you will get a # division by 0 error in you integration dm = sol [t,2] - 1e -5 dx = ( 3* dm **4/( 4* np.pi*rho * sol [t,2]**3 ) ) **(1/3) sol [t,0] -= dx sol [t,2] -= dm td[ dcnt ] = ts[t] if dcnt > 0: dtd [ dcnt ] = td[ dcnt ] - td[dcnt -1] dcnt += 1 td = td [0: dcnt ] 20

21 dtd = dtd [0: dcnt ] return ( ts, sol, td, dtd ) # time step dt = 1e -4 # initial position, velocity, mass in m, m/s, kg y0 = np. array ( [0.0, 0.001, ] ) # stiffness in N/ m k = # friction in kg/ s b = # gravity acceleration in m/ s **2 g = 9.81 # threshold in m xc = # propotionality parameter in s/ m alpha = 50. # density of water in kg/ m **3 rho = # number of mass filling rates nr = 1001 # number of drip times nd = 60 # rates of mass filling in kg/ s Rs = np. arange (nr)/(nr -1.) * dtds = np. zeros ( ( nr, nd ) ) for i in range (nr): print (Rs[i]) ts, sol, td, dtd = solveeom ( 0, 20, dt, y0, k, b, Rs[i], g, xc, alpha, rho ) dtds [i,:] = dtd [-nd -1: -1] plt. figure () for i in range (nd): plt. scatter ( Rs *1e3, dtds [:,i], s=1, alpha =.4, c= black ) plt. xlim ((0.625,0.642) ) plt. ylim ((.124,0.131) ) plt. xlabel ( R [g/s] ) plt. ylabel ( period [s] ) 21

22 For Φ = kg/s ser vi ikke kun en dråpetid men plutselig to. Det heter bifurcation eller period doubling. Det er et tegn at systemet beveger seg mot kaos. Avstanden mellom bifurkasjoner blir eksponentiell mindre og forholdet av avstandene mellom bifurcasjonspunkter a n, a n 1, og a n 2 er gitt av den første Feigenbaum konstante a n 1 a n 2 δ = lim (L.38) n a n a n 1 Siden avstaden mellom bifurkasjoner blir mindre of mindre blir det veldig fort veldig mange perioder, till at systemet er fullstendig uperiodisk, eller kaotisk. Fra figuren ser vi at etter en periode av kaos går systemet abrupt tilbake til kun en periode, dvs et ikke-kaotisk system. 22

23 Oppgave 9 23