Oppgave Iterasjonen ser ut til å konvergere sakte mot null som er det eneste fikspunktet for sin x.

Transkript

1 Oppgave a) x d 1.0 x := 1.0 (1) for n from 1 by 1 to 20 do x d sin x end do x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := (2) Iterasjonen ser ut til å konvergere sakte mot null som er det eneste fikspunktet for sin x.

2 d) Det er klart at f x = 0 hvis og bare hvis x 2 C 2 x = x, altså hvis og bare hvis x 2 K 2 x = 0. f har derfor akkurat to fikspunkter, nemlig x = 0 og x = 2. Vi starter med midtpunktet mellom dem og ser hva som skjer: x d 1.0 x := 1.0 (3) for n from 1 to 20 do x d x2 C 2$x end do x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x :=

3 x := x := x := x := x := () Iterasjonen ser ut til å konvergere mot null. Hva om vi prøver med en x O 2: x d 5.0 x := 5.0 (5) for n from 1 to 20 do x d x2 C 2$x end do x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x :=

4 x := x := x := x := x := (6) Det ser ut til å blåse opp til uendelig. Vi prøver litt nærmere x = 2 : x d 2.1 x := 2.1 (7) for n from 1 to 20 do x d x2 C 2$x end do x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x :=

5 x := x := x := x := x := x := (8) Hva om vi starter med x bittelitte granne mindre enn 2: x d x := (9) for n from 1 to 20 do x d x2 C 2$x end do x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x :=

6 x := x := x := x := x := (10) Iterasjonen avtar. Antakelig går den mot null igjen. Vi prøver litt lenger. Ved ikke å gi x en ny startverdi, blir startverdien den verdien den allerede har, nemlig den siste verdien i listen vi nettopp fikk. for n from 1 to 20 do x d x2 C 2$x end do x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x :=

7 Det går nok mot null, ja. x := x := x := x := x := (11) Oppgave (i) Vi har brukt x som et tall, så det er best vi bruker unassign på x: unassign 'x' plot 2$sin x K x, x =KPi..Pi

8 3 2 1 Kp K 3 p K p 2 K p K1 0 p p 2 x 3 p p K2 K3 Det ser ut til at funksjonen har nullpunkter for x = 0 og x zg 11 p 16.

9 (ii) Vi skal plotte to grafer i samme koordinatsystem, nemlig grafen til y = x K 2$sin x K x 2$cos x K 1 og grafen til y = x. Det kan vi gjøre ved bruk av kommandoen display Men det finnes også en raskere måte: de to funksjonene settes i en hakeparentes, adskilt med et komma i en plot-kommando: plot x K 2$sin x K x 2$cos x K 1, x, x =KPi..Pi

10 8 6 2 Kp K 3 p K p 2 K p K2 0 p p 2 x 3 p p K K6 De tre punktene vi fant i (i) er de tre skjæringspunktene mellom de to grafene på denne figuren. Hvorfor? (iii)

11 plot diff x K 2$sin x K x 2$cos x K 1, x, x =KPi..Pi Kp K 3 p K p 2 K p K10 0 p p 2 x 3 p p K20 K30 K0 K50 K60 Ikke bare ser det ut til at de deriverte av F x er lik null i de tre punktene, men den deriverte er ganske nær null i nærheten av fikspunktene også. Men la oss plotte grafen til F' x i små omegner om fikspunktene:

12 plot diff x K 2$sin x K x 2$cos x K 1, x, x =K K0.010 K x K K K K plot diff x K 2$sin x K x 2$cos x K 1, x, x = 11$ Pi 16 K $ Pi 16 C 0.5

13 K0.1 9 p p 32 5 p 8 21 p p 16 x 23 p 32 3 p 25 p p p 32 K0.2 K0.3 K0. plot diff x K 2$sin x K x 2$cos x K 1, x, x =K11$ Pi 16 11$ Pi K 0.5..K 16 C 0.5

14 K 27 p 32 K 25 p 32 K 23 p 32 x K 21 p 32 K 9 p 16 0 K0.1 K0.2 K0.3 K0. (iv) U = a K p, a C p være en symmetrisk omegn om fikspunktet α der F' x er kontinuerlig med F' x! 1 for alle x 2 U. La x 2 U. Siden F' x er kontinuerlig i U finnes det en (positiv) konstant K! 1 slik at F' c % K for alle c med avstand % x K a til α.

15 Videre følger det av sekantteoremet (side 133) at det finnes en c med avstand % x K a til α, slik at Det betyr at F x K F a = F x K a % K x K a. Det vil si, F(x) har mindre avstand til α enn x har. Derfor må (av samme grunn) F + F x K a % K F x K a % K 2 x K a og så videre. Siden K n / 0 når n/n, må F n x /a. F x K F a x K a = F' c. (v) Vi ser først på fikspunktet nær 11$Pi 16 c d evalf 11$Pi 16 c d subs x = c, x K c d evalf % 2$sin x K x 2$cos x K 1 c := K c := sin K cos K 1 c := c d evalf subs x = c, x K 2$sin x K x 2$cos x K 1 (Vi bruker subs istedenfor å sette x lik verdien. Derved slipper vi å bruke unassign('x') etterpå.) c := c d evalf subs x = c, x K 2$sin x K x 2$cos x K 1 c := a z er derfor en bedre approksimasjon til dette fikspunktet. På grunn av symmetrien er også α zk en bedre approksimasjon til fikspunktet nær K 11$Pi. 16 (12) (13) (1) (15) (16)

16 For a = 0 kan vi se hva som skjer om vi starter med x = 0.5 c d 0.5 c d evalf subs x = c, x K 2$sin x K x 2$cos x K 1 c d evalf subs x = c, x K 2$sin x K x 2$cos x K 1 c d evalf subs x = c, x K 2$sin x K x 2$cos x K 1 Det gikk veldig fort mot null. c := 0.5 c := K c := c := K (17) (18) (19) (20) Oppgave a) (i). unassign 'x' (ii) F d x/x K x2 K x C 3 2 x K F := x/x K x2 K x C 3 2 x K (21)

17 plot x 2 K x C 3, x =K K x K1 Det er lett å kontrollere at de to nullpunktene til f (som vi skal finne ved Newtons metode) er x = 1 og x = 3. (iii)

18 diff F x, x solve % = 1, x 2 x 2 K x C 3 2 x K 2 2 K I, 2 C I (22) (23) Likningen har altså bare komplekse røtter. F' x = 1 kan derfor ikke inntreffe for noen reell x. solve 2 x 2 K x C 3 2 x K 2 =K1, x 2 C 1 3 3, 2 K (2) plot 2 x 2 K x C 3 2 x K 2, x = 0..

19 x K50 K100 K150 K200 Det er klart at F' x er kontinuerlig for alle x s 2, og at f x bare har de to fikspunktene 1 og 3. Jeg foreslår derfor intervalletne KN, 2K 3 og 2 C 3 3 3, 3. Som en liten kontroll ser jeg hva som skjer om jeg starter med x = 50: (jeg skriver 50.0 for jeg vil ikke ha eksakte svar, jeg vil ha svar på desimalform!)

20 x d 50. x := 50. (25) for n from 1 to 20 do x d x K x2 K x C 3 2 x K end do x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := (26) Det ser bra ut. Og starter jeg med x =K50, får jeg også svar som forventet: x dk50.0 x := K50.0 (27)

21 for n from 1 to 20 do x d x K x2 K x C 3 2 x K end do x := K x := K x := K x := K x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := (28) Oppgave b)

22 unassign 'x' plot x 3 K 8 x 2 K x C 1, x, x =K K0. K x K0.5 K1 Det er klart at y = x i alle punktene på den blå linjen, og at y = f x i alle punktene på den røde kurven. I skjæringspunktene holder begge disse to likhetene. Det vil si, y = f x = x.

23 (ii) diff x 3 K 8 x 2 Kx C 1, x 3 x 2 K 16 x K 1 (29) plot %, x =K K0. K x K2 K K6 K8

24 Kurven viser at begge fikspunktene er frastøtende.