Figur 1: Skisse av den ene armen til en sentrifuge; kjerne i beholder. dp = ρω 2 Z 2 1. rdr; = 1 2 ρω2 (r 2 2 r2 1):

Transkript

1 Skisse til løsning Eksamen i Reservoarteknikk 3. september, 999 Oppgave Figur : Skisse av den ene armen til en sentrifuge; kjerne i beholder. a Akselerasjonen er ω r. Kraftbidraget df fra masse dm i volumelement Adr er df = ρω radr, med A lik fluidtverrsnittet i prøven, ikke tverrsnittet av prøven. Dermed blir dp = df=a = ρω rdr og Z dp = ρω Z rdr; p p = ρω (r r : b La indeks l betegne luft og w vann. Vann antas å være fuktende fase og dermed er p l p w inne i kjernen; og p l må, for alle r der det er luft i kjernen, være i likevekt med lufttrykket i beholderen utenfor kjernen. For lufttrykket i beholderen har en da og for vannet inne i kjernen p l p l = ρ l ω (r r ( p w p w = ρ wω (r r : (

2 Vi trekker ( fra (, bruker p c = 0, og får og p l p w = = (ρ w ρ l ω (r r ; = ρω (r r ; (3 og, dersom en ser på kapillartrykket i en avstand r fra omdreiningsaksen, c Midlere vannmetning w i prøven er definert ved Z w = r S w (rdr: r r Fra (3 og (4 får en p c (r= ρω (r r : (4 p c (r = r r r ; r og p c (r =0, p c (r =. Dermed blir, med f = r =r, og løst med hensyn på r, og differensiert, s r = og innsatt i uttrykket for S w får vi, r r p c(r (r r =r s p c(r ( f ; dr = r ( f p c(r = ( f dp c w = r ( f (r r = ( f ( f = + f Z pc Z 0 Z pc S w (p c 0 S w (p c S w (p c p c(r = ( f dp c ; p c(r = dp c ; p c(r ( f ( f = dp c : Og når f = r =r tilnærmet settes lik.0, får en Z w = pc S w (p c dp c ; S w = Z S w ( = S w = 0 0 S w (p c dp c ; d d ( S w :

3 d La oss regne i SI-systemet med r = 0:0446 m, r = 0:0938 m, ω = π RPM=60 rad/s, ρ = 090 kg/m 3. Fra spørsmål b har en at = (RPM 090(π 60 (0:0938 0:0446 Pa = 4: (RPM kpa: Vi kan da sette sammen måledata og tolkede data i Tabell. Verdier av S w kan finnes RPM w w S w Tabell : Sentrifugedata og tolkede verdier. ved å plotte kurven w vs., trekke tangenter til kurven og beregne stigningsforholdet til tangenten. Dette kan estimeres ved å bruke vinkelkoeffisient til kordens korden gjennom det to nabopunktene til det med RPM-verdi på 00: 40:0 88:8 S w = 86:9 37:0 = 0:34; slik at et kapillartrykk på 97.0 kpa får en ved en vannmetning på Oppgave a Dersom en produserer gasskappen først vil oljen ekspandere opp i gasskappen og danne en oljeinvadert sone. Når oljen deretter produseres vil residuelle oljemetning S or i oljeinvadert sone bli liggende igjen. Siden S or kan være , kan et stort volum olje gå tapt på denne måten. Verdien av S or er den metning hvor k ro blir null. I tillegg vil en redusere reservoarenergien mer ved å produsere gassen først. b Utledning av materialbalanseligningen: A: Ekspansjon av olje, rb: NB o NB oi, B: Ekspansjon av frigjort, oppløst gass, rb: (NR si NR s B g, C: Ekspansjon av gasskappe, rb: GB g GB gi = GB gi (B g =B gi, med G = mnb oi =B gi, D: Produksjonen i rb er lik summen av Olje: N p B o, Fri gass: (N p R p N p R s B g, R p = G p =N p. Settes nå produksjonen lik ekspansjonen, blir D = A+B+C og vi får oppgitt formel. Her har vi neglisjert ekspansjon av vann og bergart siden gass er tilstede fra starten i reservoaret og kompressibiliteten av gass er en faktor 00 større enn for vann og bergart. 3

4 c ffl Ekspandert volum gass, i invadert sone: G(B g B gi,rb ffl Porevolum av invadert sone: Gassvolum av invadert sone delt på gassmetningen i invadert sone, S g = S wc S org, G(B g B gi ; rb S wc S org ffl Initielt porevolum i oljesonen er lik oljevolum delt på oljemetningen S o = S wc : NB oi =( S wc,rb. ffl Oljemetning i oljesone etter produksjon er lik oljevolum delt på porevolum. La oss kalle oljevolumet i rest-oljesonen for V oo og porevolumet for V po. Oljevolum: Volum olje totalt minus oljevolum i invadert sone, V oo =(N N p B o S org G(B g B gi S wc S org ; Porevolum: Porevolum initielt av oljesone minus porevolum av invadert sone, V po = NB G(B oi g B gi : S wc S wc S org ffl Oljemetningen bli da S o = V oo =V po, som oppgitt. d ffl Volum gass i gasskappen, G, er gitt ved G = mnb oi =B gi =(0: :5=0:00 = scf. ffl Porevolum av rest-oljesone, V po, er lik porevolum av opprinnelig oljesone minus porevolum av invadert sone, V po = NB oi S wc G(B g B gi S wc S org = rb: ffl Oljevolum i rest-oljesone, V oo, er lik ikke-produsert oljevolum minus residuell oljevolum i invadert sone, V oo =(N N p B o S org G(B g B gi S wc S org = rb: 4

5 ffl S o = V oo =V po = 0:45. ffl Volum frigjort gass tilbake i rest-oljesonen, V go er gitt ved V go = V po S g = V po ( S o S wc = :30 = rb. Dette kan også finnes direkte på følgende måte: Gassvolumet i oljesonen, V go,er lik volum gass som er kommet ut av løsning minus gass produsert, i rb ved trykk p: V go = NB g (R si R s N p B g (R p R s =(400 0:003 ( :003 (60000= = rb. e Gassvolumet i invadert sone er nå G(B g B gi = rb. V po = NB oi = rb; S wc S o S wc V oo = 6 (N N p B o S org = rb; S o S wc S o = = 0:536: f Gassmetningen i rest-oljesonen er gitt ved S g = S o S wc. For spørsmål d er S g = 0:40 og for e er S g = 0:. Gassproduksjonen fra rest-oljesonen avhenger av det produserende gass-olje forholdet R, R = k g k o µ o B o µ g B g + R s ; og k g =k o øker med gassmetningen S g. Siden gassutviklingen er sterker for d enn e er det realistisk å forvente høyere gassproduksjon i tilfelle d dersom k g =k o som funksjon av S g er lik i de to tilfellene. Oppgave 3 a p 4:65 = QBµ π k 0:00 30:48 h :78 φµ 4:65 cr ln0 log w 30:48 4 0: kt p = QµB ln0 4:65 kh 4π :00 30:48 :78 4:65 30:48 log + log som utregnet gir oppgitt formel. 4 0: S ; φµcr w kt ln0 S ;

6 b Bruker superposisjonsprinsippet og legger sammen trykkfallene som forårsakes av en rate Q som står på fra tid 0 til t + t og en rate Q Q som står på fra tid t til tid t + t: kh (p wf p i 6:6µB = Q k(t + t log φµcrw 3:3+0:87S ( produksjon; k t +(Q Q log φµcrw 3:3+0:87S ( injeksjon; som ordnet gir oppgitt uttrykk. I denne ligningen er det kun p wf og t som varierer. I det oppgitte uttrykk i oppgaven er alle t ene samlet i den siste hakeparentesen og et plott av p wf mot denne parentesen vil derfor gi en rett linje. c Ved å plotte p wf mot log t + t t + Q log( t Q fås en rett linje med stigningsforhold 70 psi per x-akse enhet. Dermed blir k = Q Bµ mh = 6:6 50 :36 0: = 7:65 md: 6