EKSAME. FOA 162 Videregående analyse og lineær algebra 06HE U 06HEEL 06HELK 06HKO 3. desember 2007 KLASSER O TO

Transkript

1 HØGSKOLE I B ERGE vdeling for ingeniørutdanning EKSAME KLASSER O TO I FOA 162 Videregående analyse og lineær algebra 06HE U 06HEEL 06HELK 06HKO 3. desember 2007 A ALL OPPGAVER: TALL SIDER: EOLEGG: HJELPE IDDEL: TID: LFO F GLÆRERE: MERKNADER: 4 3 (inkludert denne siden) 9 sider FormelsamIing Enkel kalkulator 4 TIMER kl ) BO L Terje Kristensen LeifErik Otterå Lars Arne Jordange r Ingen ) (87 113) H g koien i Bergen Po tboks 7030, -0_0 BERGE! Tl f F x

2 Oppgave 1 a) Gi tt matrisene A =[~~ ] og B=[Hn i) Regn ut determinantene til matrisene A og B. ii) Har A og B inverse matriser? iii) Finn den inverse matrisen til A (dersom den eksisterer). b) For hvilke verdier av t har følgende lignigssystem O, l eller uend elig ma nge løsni nger. 't l t X 2-2 t X I 4X2 = 6 - t c) La C være mat risen i) Regn ut egenverdiene og egenvektorene til C. ii) Fi nn en matrise P og en cliagonalma trisc D slik at p - lo? = D. iii) Fi nn C 5. d) Ved rekkereduksjon kan vi vise at matrisen er rekkeekvivalent til 1OO-1] O O 1 l [ E= O 1 O O O O O i) Hva er rangen til mat risen D? ii) Hva er dimensjonen til rekkerommet, scylerc rnmet og nullrommet til D? iii) Finn basiser for de tre rommene i punkt H) e} Undersok om vektorene b. = [1, 4, l J, b, = 15,O, 1J og b, = [9, 6, 2] er lineært uavhengige. Oppgave 2 a) Undersøk om rekkene konvergerer eller d ivergerer ec l co 3.) "" ii) "" --"-::-,,, I ~ 3 +.,;n ~ n (lnn)' b) Finn kcnvergensområdet til poten srekken. f=(-1 } n2~n n = l c} Fi nn taylorrekken til ln(l - 2x 3 ) om a = O (macla ur inrc kken). O 2

3 3 Oppgave 3 a) En isobar er en kurve som går gjennom alle punkt med same lufttryk P (x, y). Vi lar : = P (x, y), der : er gitt implisitt "ed 2x' + (y - : )' = 2z'. Skisser isobarene for z = 0, Z = 2 og z = 4. b) En flate er representert "ed funksjonen : = f (x, y ) = x" + 2x' - (y - I)'. Undersø k om funksjonen har noen lokale maksimums-, minimums- eller sade lpun kt. Fi nn disse punktenes koordinater. c) Vi har gitt differenslignin gen :l:'n - 2X n _l = 5n, n 2: 1. Løs ligningen for initi alverd ien Xo = 3. d) Vis ved induksjon at n" > n! for n ~ 2. O ppgave 4 Gitt den periodiske funksjonen f (x) = { - 2 -". $ x < O f (x + 2".) = f {x ) 2 O ~ x < 1i' a ) Tegn grafen til funksjonen, og vis at f{x} er en odde funksjon. b) Fi nn fourierrekken til f (x ). c) F inn summen av rekken under ved å benytte fourierrckken til f (x ). :L (2n - l).. : 1 cc (_ 1)"+1

4 Vekto ralgebra l. Binære operasjoner. a) Skalarp rodukt me llom to vektorer: a -b = ~ li b lcos8 der O er vinke len mel lom vek torene. (O S as n) Når a = a.i+ tj 2 j+ o} k og b =bli + ~ j + b} k. ta r vi a. b = a1bl + a2~ + tl3~ b} Vektorprodukt mellom a og b, 3 X b har lengde: lallbjsin8 og retning slik al a, b. a x b danner er hoyresystem. c) Vektorprojeksjonen av en vektor a normalt inn på en linje som er parallell med enhctsvektoren u er gitt ved proj g 3 «{a -u} u. 2. Linjer og plan i rommet El punk t r ligge r på en rett linje gjennom Po med ret ning gitt ved u hvis og bare hvi s OP - = Po+ - / U. Et punkt P( x. y,z) ligger i planet som gå r gjen nom p o {.'I'".y".:,, ) og som har -> normalvektor N = Ai + 8j + Ck hvis og bare hvis PoP N = O. Planets likning er altså A(x - x o ) + B(y - Yo) + C (z - =0) = O

5 2 Lineær algebra, matriser: I. Matrisemultiplikasjon A = (aij) ni x P - matrise og B=(b ij ) P x fl - matrise. p AH= C = (Ci} ) der C!J= L(likbkj ' i = j = n 11.=\ 2. Regneregler for matriser A og B er matriser, k ogp er reelle (eller komplekse) konstanter al A(BC) - (ABlC b) Den kommutative 10\1 AH = nagjelder ikke generelt for matrisemultiplikasj on, (se lv om produktene er definert). c) (A + BlC - AC + BC d) C(A + B) ~ CA + CB e) AA- 1 =A- 1A =::I (dc fmisjon av A:") l) (ABl- 1 = B-1A- 1 gl (AB)' = B T A T hl (A Tr l = ( A- 1 { i) (kalb = k(ab) = A(kB) j ) k ) k( A + B) = ka + kb (k+p )A= ka + p A 5. Adj ungert matrise Dersom A er en fl x n -matrise og e jk er kofaktoren til {lj k A. så kalles matrise n: C.,] C~ 2 for den adjungerte matrisen til A. CM 6. Invers matrise For en ikke-singulær n x n -matrise A gjelder at: A-I = 1 ~I ' C ' C er adjunge rt til A.

6 3 7. Egenverdier, egenve kto rer Anta at A er en vilkårlig n x n - matrise. Dersom det fins et tall A slik at Ax = AX for en søy lem atrise x "* O, så ka lles t. for en egenverdi til A, og x kalles en tilhørende egenvektor. Egenverdiene finnes av likningen la- A.Ij=O. 8. Diagonalisering Når A har n lineært uavheng ige egenvekto rer finnes en ikke-s ingulær matrise X slik at X- IAX = D er en d iagonalmatrise med egenve rdiene på diagon alen. 9. Regneregler for determinanter a) En determinant skifter fort egn hvis to rekker ( kolo nner) bytter plass. b) En felles faktor i en rekke eller kolonne kan settes utenfor. c) En determinant er additiv i hver av sine rekker og kolonner. A ltså dersom en rekke eller kolonne er en sum med to ledd, kan determinanten spaltes opp,. Ia b +Cl = la bl la cl f.eks: d e + J Id e + d.t1 d) En rekke (kolo nne) ganget med et tall kan adderes til en vilkårlig annen rekke (kolonn e), uten at determ inan ten forandrer verdi. e) En determinant kan utvik les ette r cn vilkårlig rekke ell er ko lonne. Dersom A og B er n x n - matrise r. så gje lder videre : I) IAHATI g) h) IABj=IAIIIlI IAI:t: O c> Aer ikke-singulær i) IA- I I =I~ 1

7 Lineær algebra, vektor rom: I. Lineær avheng ighet. Vektorene Vi i = I..., n kalles lineært avhengige hvis og bare hvis ligningen : Xl VI X nv, = O med ukjente x, e R med i = I.... n ha r løsning der ikke alle.r, er O. 2. Lineær transformasj on. Når en basis er valgt. kan en lineær transform f representeres ved en matrise ål hvor søy lene består av komponentene til bastsvektorenes bilder und er f. Da kan w = «v) regnes ut ved matrisemult iplikasjon slik: scylematriser som representerer vektorene w og v. ~ = My. hvor w og y.er 3. Am n transforma sjon. En affin transformasjon F er gin ved at: F{ P} = F{ A}+ I {AP} hvor f er en lineær transformasjon og A og P er punkter. Diskret matematikk I. Differenslikninger av 2. orden Likningen all".~ + bu".1 +ClI" = 0. der Cl, b, c er konstanter. (trio). har den generel le lesningen: a) ". = AP I + Bp~ hvis ap2+bp +c: =O har to ulike reelle rotter Pl og 1'2" b) u. = (A + Bn)p hvis ap=+ bp+c = O har dobbelroten p c) "n =r"(acosn6+ BsinnS} hvis llp2t bp +c=o har kornpleksc roner c x rls Her er r=1a + ipl og e ~ argto + ip } 2. Logikk a) Dobbel negasjon:..,-.p c> p

8 5 bl Kommutative IOHr : (p v q ) c:::> (q v p l. (p I\ q ) cc (q /\ p) c) Assosia tive lovert [(p v q) v rj cc Ip v ( lf v r)~ [(p /\ q ) 1\ r Jc>lp J\ (Cf I\ r )) d) Distributive lovert [(p v (q A r )]ee [(p v q) A (p V r)). [ ( p A ( q V r») cc [(P A q ) V ( p A r») e) de Morgans JOH r :...,(p v q) ec (...,p 1\ --(I ~ -{ p 1\ q } ee (...,pv -Lf) 3. Mengdelære a) Kommutativelovert A u B= BuA. A n B = 8 na bj Assosia tive lover: (A u B) uc =Av( Bv(). ( A n 8 )n(' = An ( 8 n C) c) Distributive lover: Ari (8 v e ) = (A rv Hlv(A n Cl Au( Bn Cl = ( Au B),..., ( A ue) d) Identitets lonne : A v (J = A. A n U = A. li er grunnmengden - - = e) Komplementærlovene: A v A = U. A fl A = O. A = A. U er grur mmengden f) de Morga n' s tover: A ub = A n 8. A n B = A u B

9 6 Rekker l. elem entæ re folger og rekker Aritmetisk rekke a" = a J + (n - I )J d er rekkens differens Summen av de n første leddene a. + 0 " i en ari tmetisk rekke s.. = 2 " Geometrisk rekke. ledd num mer n a" = 0 k- ' k er rekkens kvotient 1 Summen av de n første leddene i en a,(k -I) geometrisk rekke s, = Gje lder for k Hvis k=1 er k-i S " = lia. Rentesrenteformelen Verdie n K li om n år av et belo K. = (sluttverd ien) K,(I +...Lr 100 Ku i dag Nåve rdi 2. Konvergens av rekke a) Forholdskritcriet: Kli :: K. Verdien Kft i dag svarer til e l (1+ " ) beløp K.. i dag 100 La L u" være en rekke slik at lim I Un~ 1 1 eksisterer og k = limiun+ll. n...'" /I " n... r; li" Da. er rekken konvergent hvis k < I og divergent hvis k > I. b) Sammenligningskriteriet: La ~:U " være en positiv rekke. Da gje lder at I) hvis 11,, 5:a" og 2:>" er konvergent, så er også ~>n konvergent. 2) hvis ti" ;::: 0" og 2>11 er di vergent. så er også LU" divergent. 3. aj b) Taylorrekker ~ jl. I(O) Taylorrekken til funksjonenji punktet li er: ') I (x _ a) f::d k. Maclaurinrekken til en funksjon er taylo rrekken i punktet O.

10 7 c) Spesielle potensrekker e ller r nacl aurlnrekker: ~ I I x l< = 1+ x+ x 2 + x 3+" '=_ I _ - I < x < I. (geometrisk rekke). 1< =0 x a; ( _ l}t +lxk x2 x 3 L k x = ln(l + x ) for - I < x:::; 1 'o, r:s:> x k x 2x3 L -k' = 1+x +- Z = e 1< =0 i:(-i)'x" " k =O (2k + I)! m ~ ( m l k (1+ x ) = LJ k F' gjelder for - I < x < I. ( med 11/ postiv t heltall bryter rekken av) m) ( k ) 1< =0 m(m - l)( m-2)...(m -k +l) (ml k!. o ) = l

11 8 ~. Fourierrekker a) Period iske funksjo ner La j(/)være en periodisk funksjon med periode T. Fourier-rek ken till er en rekke på forme n r, ~) a... COS( /XIl/) +b" sin(rol/». der ro = ~ og koeffi sientene er gitt ved... T I rr: 2.,-;1 a"=t Jj (/ )co s(/xo/ )dl. 11 = o=r J1(l)dl T /'! b. =T f [(/) ' 10(""") dl.,,= TI'! b) Konvergens av Fourier-rekke Four ier-rekken til f(l) konvergere r mo l s(l) hvor J f {l) i punkter derf er kontinuerlig Sel ) = l ~ (f (t + )+ [ (1-» i punkter derf har sprangdlskon tinultet. c) Funksjo ner definert på [O. L} C' kk ( ) " ( li1t ) der osmusrex.e: Sl I = øu + ~an cos T t I L, L ao = - J/ (I ) d l a" = ~ J f ( I) C O S (~ f )(11. Lo L o L Sinusrekke: s2(l ) :::; f b n sin( l11t 1) der.. ~ I l. 2 t.,, = hil = - J/ (1) sint 1111 I) Jf. fl == Lo L d) I 2 J 5 Spesielle integraler cos a r xsinax xcoscm Ix = f <I a. ~- sin a r x cos al: f.r sm axax =--2-- a a d 2 smal: 2 x cos ar x sm a r x cosat::r = ,+ f a a- a f 2 d: 2 cos ær 2xsinal" x sm a l" l" = , a a - x 2 cosar a f 3 d 6coscrr 6 x sin (lr J X2C OSfLT x 3 sinax x cosax r = - --" ::! + a fl fl <I.., " '\ 3 d 6 sm a l" 6 X CO S{ LT Jx-smu-r x "cosal" 6 fxslnal"l"=- - -"- + 3"" :::! - a a u ti

12 9 Funksjoner av fl ere variable I. 2.derivert-test Klassifise ring av stasjonære punkter for funksjonenj (.r,y) For et stasjonært punkt (a. bt med a' J a'j A = -::-T(a.b). B = - - (a.b ). OX axoy har vi følgende: f har isolert minimum i (o,b ) når.il>o og A > O f har isolert maksimum i (a,b ) når ~> O og A < O f har sadelpunkt i (o,b) når t.. < O