H ØGSKOLEN I B ERGEN Avdeling for inge niørutda nning

Transkript

1 H ØGSKOLEN B ERGEN Avdeing for inge niørutda nning EKSAM EN VDEREGÅE NDE ANALYSE OG LNEÆR ALGEBRA FAGKO DE KLASSE DATO FOA63 (10studiepoeng) ALLE 30. november 2007 ANTALL OPPGA VER ANTALL SDER VEDL EGG HJELPEMDLER TD MÅLFORM SENSOR(ER) FAGLÆRER OPPGA VENE ER KONTROLLERT AV MERKNADER 6 3 ink. forside FORMELSAML NG (14 sider) Enke ka kuator 4 TMER (k ) Bokmå Ami r M. Hashemi (877 15) Hans Birger Drange (87699) Ved sensurering tees ae oppgavedeene ikt. Ved å bare gi korrekt sva r, får man ingen poeng. Fremgangsmåten må tas med Postboks 7030, 5020 Bergen. Tf , Fax Besc ksadr.: Nygårdsgt. 112, Bergen

2 Oppgav e Ar k av2 a) Undersøk hvike rekker som konvergerer: i)f.-;-...1 n +3 ii ) <-)"_ n= v;, Hi) Avgjør om rekken i a ii) er betin get konvergent ee r absoutt konverge nt. b) Finn konvergensradien og konvergensområdet for potensrekken t 2: x"...1 n c) Finn en potensrekke om x = Osom gjengir funk sjonen: f (x)= e.. - _ x Oppgave 2 a) Bestem apjacetransform asjonen ti funksjonene: i) rJ + cos 7r H) e- 31 cos 2r U( ) er heaviside funksjonen. b) Bestem den inverse apacetransforrnen (L-) ti føgende funksjoner: i) -.!... 2_ S 5+ 1 "") _" 1 e - s' c) Løs føgende sta rtverdipro bem ved hj ep av Lapace-trans formnasjo n: y'+ 2 5y~ 0; y (O) =, /(0)=2 O ppgave 3 La f være en funksjon på R 2 sik: z = f (x,y ) = 4x' +8y' - 4xy' + a) Bestem grad ientvektoren 'i. Finn så igningen for tangentpanet ti grafen ti f i punktet ( - 1, 9). b) Finn og kassifiser stasjonære (kritiske) punkter. Oppgave 4 Gitt den periodiske funksjonen: f (x )=x f (x+ 4)=f(x) a) Angi perioden ti f, skisser grafen ti f i intervaet - 6 S x ::::; 6 og angi eventuee symmetriegenskap ti grafe n. b) Bestem fourierkoe ffisientene og sen opp fourierrekken ti f. Hva konverge rer fourierrekken mot når x = 19?

3 Oppgave 5 Ark 2 a "2 a) Løs differensigningen : 0"+2-5a". 1+ 4a" = O, der n =1, 2, 3,. b) Vis ved induksjon at 7" - 2" er deeig med 5 for n =, 2,3,'". Oppgave 6 [ OO2] B = ~ O O 12 0 a) Finn AD, AT, Ab dersom de er definene. b) Finn determinantene deta og detb. Hva mein er vi med den inve rse ti en matrise? For hvi ke ve rdier av konstanten a har matrisen A en invers? Undersøk om vektorene: v, =m,v, =m'v, =mer ineæ rt uavhengige? Kan disse brukes som basis? Begrunn svaret. c) Finn A " når a = O. d) Finn ut for hvike verdier av konstantene a og r igningssystemet Ax = b der x = [::] har: i) entydi g øsning ii) ube stem t øsning Hi) ingen øsning Grunngi svaret og vis nødvendige me om regninger. e) Finn øsningene av systemet i d) når a = Oog r = 1. t) Hva men es med egenverdi og egenvektor for en kvadratisk matrise? Finn egenverdiene og de tihørende eigenvektorene for matrise n C. Bruk resutatet ti å aga ei matrise M og en diagonamatrise D sik at

4 Funksjoner. Eementære funksjoner: a) b) c) ny=x<=>y=e x n( AB)= n A+ n B, -,, sin.ce cos x e a = b co x eog b = nb a na n A = na - n B B sm x tan x e r-r-rcosx n A" =una C01x = - tan x c) sin(x ±y) = sinx cosy ± cosxsiny, cos(x ±y) = ccs.rcosy z sin x sin y d) e) sin2x = 2sin xcos x tan.\" + an y tan( x ±y ) = 1+ tan x. tany cos2 x = cos' x - sm-' x = 2' cos x - 1 = 1-2sm -' x ) g) cosucosv = - (cos(u+ V) + cosre-. v» 2-1( ) sm u cosv= - sm( u+ v)+ sm(u - v) ( ) smusm v = - COS(U- V) - co S(u + v) 2 2, Derivasjon og integrasjon: a) 1 j( g(x») = f'( g ( X ) - g ' ( X ) ~ '!fu -:, u = g(x ) (kjeme rege) b) dr-(x) v = - - der y=f (x) dx f'(y) (derive rt av invers funksjon) c) d/(x ) de) dx f j (t)d=j(u(x») -u'(x)=j(u(x )) - ':: (c er en konstam) " d) f (g (x) + h(x»dx = f g(x)dx + f h(x )dx e) f kg(x)dx = k f g( x )dx (k er en konstant} ) f [ (g (X)-g'(x)d<= f [ (u)du deretter u = g(x) g) f U( X)v'(X)dx = u(x)\(x) - j.' X)u'(X)dx

5 2 h) f(x) x' nx e' Q' sin x ccs x tan x '(x) rx'- - x e' a"no COH -sinx \ COx=-- tan x - sin x A rctan s A resin x A rccosr \,_ = J+ tan 2 x cos x \ + x 2 \ ~ - Jj:"}' n» f f (x )dx x nårn1/:-! x" ' --+C n + \ \ - x n x +C e' e"+ C cosx, sin x cos 1 x \ sin z x \ + X \ 11:7 sin x -ec - cos x + C tan x + C - CO X + C = - - ' - + C tan x Arctan x -ec A rcsinx + C X, sin X ---sin2x+c 2 4 cos! X X \ sin2x + C 2 4 tan' x tan x HC

6 3 Vektoragebra. Binære operasjoner. a) Skaarprodukt meom to vektorer: a -b = abjcose der e er vinke en meom vekto rene, (O S f S. x) Når a = a,i+ G1j + ojk og b=b i +b 2j +b j k tar vi a - b = Gib! +o2bz + a3~ b) Vektorprodukt meom a og b, a x b har engde: absin8 og retning sik at a, b, a x b danner er høyresystem. j k a )( b = a j 0 2 a j,. b, b, c) Vektorprojeksjonen aven vektor a normat inn på en inje som er parae med enhetsvektoren u er gitt ved proj.a = {a- u) u. 2. Linjer og pa n i ro mmet Et - punkt - P igger på en rett inje gjennom Po med retn ing gitt ved u hvis og bare hvis or s or.-,«. Et punkt P(xy,z) igger i panet som går gjennom Po(xo.yo,zo) og som har -+ normavektor N = Ai + Bj + Ck hvis og bare hvis PoP N = 0. Panets ikning er atså A(x -x, ) + B(y- y, ) +C(z - z, ) = O

7 Lineær agebra, matriser:. Matrisemutipikasjon A = (aij) m x p - matrise og B=(bij} p x n - matrise. p AH= C = (cij) der Cy= aikbkj' i = 1,2,..,m, j = 1,2,...,n k=1 2. Regnereger for matriser A og B er matriser, k og p er reee (eer kompekse) konstanter a) A(BC) = (AB)C b) Den kommutative ov AH = BA gjeder ikke generet for matrisemut ipikasjon, (sev om produktene er de finert). c) (A + )C = AC + ic d) C(A + B) = CA + CB c) AA- ' =A-'A= [ (defnisjo n av A' ") f) (A B)-'= B- ' A - 1 g) (A B{ = B T A T h) (A T) - =(A-' { i) (ka )B ~ k(a B) ~ A (kb ) j) k(a + B) ~ ka +kb k) (k+p)a ~ ka + p A 5. Adj u ngert matrise Dersom A er en n x n -matri se og Cjk er kofaktoren ti ajk i A, så kaes matrisen: C.,] ::: C~2 for den adjungerte matrisen ti A.... Cnn 6. nvers matrise For en ikke-singuær n x n -matrise A gjeder at: A-, = ~ - Adj A, Adj A er adjungert ti A.

8 5 7. Egenverdier, egenvektorer Anta at A er en vikårig n x n - matrise. Dersom det fins et ta A. sik at Ax = AX for en søyernatrise x *- O, så ka es A. for en egenverdi ti A, og x kaes en tihørende egenvektor. Egenverdiene finnes av iknin gen A- A= O. 8. Diagonai sering Når A har n ineært uavhengige egenvektorer finnes en ikke-sing uær matrise X sik at X- AX = D er en diagonamatrise med egenverdiene på diagonaen. 9. Regnereger for determinan ter a) En determ inant skifter fortegn hvis to rekker ( koonner ) bytter pass. b) En fees faktor i en rekke eer koonne kan settes utenfor. c) En determinant er additiv i hver av sine rekk er og koonner. At så dersom en rekke eer koonne er en sum med to edd, kan determinanten spates opp, d) En rekke (koonne) ganget med et ta kan adderes ti en vikårig annen rekke (koonne), uten at determinanten forand rer verdi. e) En determin ant kan ut vikes etter en vikårig rekke eer koonne. Dersom A og B er n x n - matri ser, så gjeder videre: f) AHAT g) h) AB = AB A+- O (:::) Aer ikke-singuær i A- = ~

9 6 Lineær a gebra, vektor rom:. Lineær avhengighe t. Vektorene Vi i = 1, O," n kaes ineært avhengige hvis og bare hvis igningen: X V X nvn = O, med ukjente Xi E R med i =, o n har øsnin g der ikke ae.r, er O. 2. Lineær transfo r masjon. Når en basis er vagt, kan en ineær transform f representeres ved en matrise \1 hvor søyene består av komponentene ti basisvekt oren es bider under f. Da kan w = f(v) regnes ut ved matrisemutipikasjon sik: søyematriser so m representerer vektorene w og v. ~ = My, hvor w og y""cr 3. Affin tra nsformasjon. En affin transformasjon F er gitt ved at: F(P) = F (A )+{AP) hvor f er en ineær transformasjon og A og P er punkter. Diskret matematikk. Differen si kn inger av 2. orden Likningen au'h2+hu n + +cu n = 0, der a, b, c er konstanter, (aj:o), har den generee øsningen: a) U,, =AP"+ BP2" hvis ap2+ bp + c= O har to uike reee røtter Pog P Z ' b) u" =(A +Bn)p" hvis ap2+bp+ c =O har dobberoten P c) Un::: r"(a cos no + BsinnB) hvis ap2+ bp +c = O har kompekse røtter a ± ip H e r e r r = a + i~ og O= arg(a + ip) 2. Logikk a) Dobbe negasjon: -,-,p cc p

10 7 b) Ko mm uta tive ove r: (p v q) <:=> (q vp), (P A q) <:=> (q A p ) c) Ass osiative over: [(p v q) v rj ee [p v ( q v r )1 [(P A q ) A r J <:=> [p A (q A r )] d} Distributive over: [( p v (q A r )] co [( p v q) A (pv r)], [( p A ( q v r )Jee [(P A q ) V ( p A r )1 e) de Morgans over : ~(p v qvc» (~p A ~ ), -{P A q) <:=> ( ~p v~) 3. Mengdeære a) Kommutative over: A U B = Bu A, A ro. B = B rv A b) Assosiative over: (A v B) v C ~ A v (B v C), (A " B) " C = A,,( B " c) c) Distributive over: A " (B v C )~ (A" B)v(A " C), A v ( B" C) = (A v B) " (A v C) d) dentitetsovene: A u ø = A, A n U = A. U er grunnmengden e) Kompementærovene: A u A= U, A () A= ø, A= A, U er grunnmengden f) de \.organ's over: A u B = An B, A {"\B =Au B

11 8 Rekker. eementære føger og rekker Aritmetisk rekke a" = a,+(n- )d d er rekkens diffe rens Summen av de n første eddene a +0" i en aritme tisk rekke S = n 2 Geometrisk rekke, edd munmer n Uf = 0. k"-' k er rekkens kvotient Summen av de n første eddene i en a,(k " -) geometrisk rekke S = Gjeder for k ':j; 1. Hv is k= er " k - sit = na Rentesrente forme en Verdien K, om n år av et beøp (suttverdien) K =K (+Lr " o 100 Ko i dag Nåve rdi 2. Konvergens av rekke a) Forhodskriterie t: K o = K " Verdien K, i dag svarer ti et (+Lr beøp K " i dag 100 La L Un være en rekke sik at im Un+eksisterer og k = imun+!.,,_... Un,,_00 Un Da. er rekken konvergent hvis k < og divergent hvis k >. b) Sammen ignings krite riet: La L v«være en positiv rekke. Da gjeder at ) hvis Un ::; a n og L a n er konvergent, så er også L Un konvergent. 2) hvis un ~ a n og L an er divergent, så er også L Un divergent. 3. a) b) Tayorrekker ~ f" >(a) Tayorrekken ti funksjonenji punktet a er:)' (x -a)k f;o k! Mac1aurinrekken ti en funksjon er tay orrekken i punktet O.

12 9 c) Spe siee potensrekker eer macaurinrekker: txk= 1 +x+x2+x3 + " '= ~x - <x<. (geometrisk rekke). f:;o.., (- t+ 1 x k x 2 x 3 t; k x-t+3- = n( +x) for - 1< x$ 1 -k = + x + - Z' v ~ x* x 2 x 3 ~ k=o e f (-)' x" o., (Zk) ' m~ (m) k { e x) = L. k f gjeder for -d c x c, ( m) k ) *=0 m(m- )(m-z)... (m - k+ 1) k ( m), O) = (med ni postivt heta bryter rekken av)

13 10 4. Fourierrekker a) Periodiske funksjo ner La f (t) være en periodisk funksjon med periode T. Fourier-rekken ti er en rekke på formen 00+f (ancos(nw)+ b n sin(nø». der O) = 21t n_ T og koeffisientene er gitt ved T! 2 T! ao= T f (t)d an = T f(/}cos(nmt}d, n = T J2 -T/2 2 T/2 bn = T f(t}sm(nw/} d, n = 1.2,... - T12 b) Konvergens av Fourier-rekke Four ier-rekken ti f et) konvergerer mot s(t) hvor fet) i punkter derf er kontinuer ig " (/ ) = { 2"(/(1+ ) + f(r-» i punkter de rf har sprangdiskontinuitet. c} Funksjoner definen på [O, L 00 Cosinusrekke: s(t) =ao+ L a n co s (~ t ) der """ L 1 L 2 L ao = - f (/ ) d an = - f (t ) cos( mt )d. L O L O L L n = 1,2... b n = ~ fi ( )sin(~t) dt ; n» L o L d) Spesiee integraer..j_ cos ax xsinax X COSQXtu = a a. d: sinax x cosax xsmax r 2 a a f 2 2.s., 2 sm ax 2 xcosax x smax x cos zrnzx = a a a f 2 d: 2 eos ax 2 xsin ax x cosax x Sn OX x = a a ~- 6 eosax 6 X Sin GX 3 x cosax x smax x cos emx = a a a a ~ 6 smax 6 x cosax 3 x smax x CQsax x smørzæ = a a a a

14 11 Funksjoner av fere variabe. 2.derivert-test Kassifisering av stasjonære punkter for funksjonenj(x,y) For et stasjonært punkt (a.b) med har vi føgende: f har isoert minimumi (a,b) når.6.>0 oga > O f har isoert maksimum i (a, b) når.6.>0 og A<O f har sadepunkt i (a,b) når e <O

15 12 Lapacetransformasjoner. Gene ree transformasjonsreger L{f(t) } = F(s) = f f (tv " d De finisjon o L{af () + bg ()} ~ al{f()} + bl{g ()} a,b kon stanter Linearitet 11 L{f(k)} = ~ F(i), F (s) = L{f()} Ska aendring Va L{f'()} - sl{f()} - fro) Transform av derivert Vb L{f"()} ~ s'l{f()}-sf(o}- ['(O) Ve L{ft"' ()} = s"l{f(t )} - S " - 1frO) - s'-'['(o) ['"-" (0), Transform sv Vd L f f (u)du} = - L{f ( )} integra o S V V L("f( )} = (-)" :."" L{f()}, n ~ 1,2, 3,... L(e"' f ( )} = F (s - a) der F (s ) = L{f(t)} Derivert av transform s-fo rskyv ning Va L{f(1- a)u(t - a) } = e:" L{f()}, a > O -fo rskyvn ing aternativ Vb L{f(t)u(t - a) } ~ e - ~ L{f(1 + a)}, a > O t-fosky vning atemati v2 Vc L-' {e?" F(s) } = f (t - a)u(1- a) der f () = C (F(s)} og a > O mutipikasjon med eksoonen sia V11a, L{U " gx)} = L{f(t)}L{g {)} der U *g)() ~ f f (u)g(1- u)du Konvousjon o V11b U * g )() = C ' {Ltf(t),Ltg(t) 1

16 13 2. Spesiee transfo rmasjoner Tabe2a 10 F(, ), u() """7 3 n n!.1'"..1 4.a,,-a 5 a sinh a s 2 _ s cosh a s2 _ sinw! '" s2 +w 2 s 8 cos tot s2 +w 2. - as 9 u(t -a} (1 - a) -øs e Ta be 2b nvers tabe F(5) c '{F(5)1 = JU) n n = 1.2, n ' S (n - )! a' - - e 4 s + a n e a n' n = 1.2,3.. 5 (s +a) --. (n - -.! (-a, -6') a"b 6 (5 +a)(5 +b)' b-a s (b - 6, -a) a"b - - e - a f! 7 (5 + a)( 5+b)' b -a - sin cæ 8 s2 + (02., 5 9 s2 + OJ cos c». h sm a 5 - o o o cosh a ~ (sinw - OJ COSM ) 12 (,2 +.,2)2 2., 5 - sin en 13 (s2 +.,2)2 2., s2. - (sma)( + W COS ttj) 14 (,2 +.,2)2 2., 53 cos (:J[ - - (JJ( sineat 15 (52 +.,2)2 2 as u{ - a ) 5 17 as 5( 1 a) e

17 14 Funksjoner av fere variabe 1. 2.derivert-test Kassifisering av stasjo nære punkter for funksjonenj(x,y) For et stasjonært punkt (a,b) med,jf,jf,jf 2 A = - 2 (a,b), B = - (a b' C = - 2 (a, b1 a =AC -B å< å<iy ' h Oy har vi føgende: f har isoert minimum i (a,b) når a>o og A >O f har isoertmaksimum i (a,b) nåra>o og A < O f har sadepunkt i (a,b) når a <O