EKSAMEN I FOA 193 Differensiallignin ger og databehandling : 06HETK, 06HMAM, 06HMMT, 06HMPR. : 3. desember 2007

Transkript

1 HØGSKOLEN I B ERGEN Avdeing for ingeniørutdanning EKSAMEN I FOA 193 Differensiaignin ger og databehanding KLASSA R DATO : 06HETK, 06HMAM, 06HMMT, 06HMPR : 3. desember 2007 TAL pa OPPGAVE R TAL pa SIDER VEDLEGG HJELPEMIDD EL TID MALFORM: FAGLÆRARAR : 5 : 4 (inkudert denne sida) : Formeiste og tabear : Enke kakuator : NYNORSK : Hans Birger Drange : Aasmund Kvamme Høgskoen i Bergen, Postboks 7030, 5020 BERGEN Tf Fax

2 FOA d esember HETKIMAMMMTIM PR Oppgåve 1 Gitt f: RJ _ R ved at f (x, y, z} ~ x 2 +1 _ Z2+ (j) xx. Vieri førstedeavoppgåvainteresscrt i ei fate p som innched punktet (1, 1, 3) og som er ei nivåfa te ti f. a) Rekn ut 1(1. 1, 3) og se opp ikn inga for fata p. b) Rekn så ut grad! (V'f) og bru k den ti å finne cin einingsnormavektor ti fata p i punktet (,, 3). Ve de n vek toren som ha r positiv a-komponent. No er vi interessert i å finne ut om f ha r ekstrema verd ia r, c) Se opp ikningane du treng for å finne stasjonære punkt. Løys disse. I dette tifeet harf berre eitt stasjonæ rt punkt. d) Finn -esse-matrisa ti f og undersøk om f har ckstremaverdi. O p pgåve 2 Funksjonen f er periodisk med periode 4. Vida re veit vi om f at f ( I ) ~ 4-12 når t E 1-2, 21 a) Rekn ut f (5) og f(7). Finn så ein forme for f( ) når I E [2, 61 b) Teikn grafen ti f for intervaet [-6, 6]. Forkar så kvifor vi kan vite at fourier-re kkja ti f ikke inneh ed nokon sinusedd. c) Sti opp eit enkast mogeg int egra som gjev fou rier-kocffisientane tif (for n = 1, 2, 3,...). Ved hjep av Ma thcad fekk vi dette uttrykket for koeffisientanc a: 32.sin(1Tn) T.ncos(1T n) TT -n Skriv uttrykket a' ti =, 2, 3,... så enke t som råd, og rekn sjøv ut 0 0. d) Vi ser her på den ineære inhomogene differensiaikninga x" + 5x' + 6x ~ f (t ) (1) der f er den periodiske funksjonen ovanfor. Då veit vi at (1) har ei periodisk øysing som vi kaer h, Finn d ei to første edda i fourier-rekkja ti å. Du kan her om du vi bruke at: XI = 0,048 cos (qt) + 0, 106 sin (~ t) er ei oys ing av X" + 5x' + 6x = cos (i t) (2) 2

3 FOA desember HETKIMAMIMMTMPR Oppgåve 3 Føgjande ikkjc-incære d ifferensiaikning beskrive r eit ikkje- ineært svingesystem der x(t ) er utsaget (frå ikevekt x = O) ved tida t. (3) a) Set Y= x' og overfør iknin g (3) ti ei t d ifferensiaikningssystem for x og y på forma x' = f (x. y) y' = g( x. y) (4) b) Figuren viser fasepankurvene for øysingene x(t ), y(t ) med et punkt merka av på ei av dei ukka ku rvene. Det er også teikna inn pier som viser i kva retning kurvene vert gjennomøpt av x (t ). y(t ). Forkar ut frå differens iaikningane (4) kvifor pi retninga er riktig akku rat for det tidspunktet når øysinga passerer det avmerka punktet. Vi oppgir at ikningane for fasepankurvene er ( X') Zy' +2x' 1-8 = c. c = ko nstan t (5) c) Vi studerer nå den fasekurva der p unktet er merka av. Det er ei ukka kurve, og d ifor svarer den ti ei periodisk svinging. Forka r ut frå kurva kvi for y = Onår utsa get x for systemet ha r sin største verdi. Rekn så ut denne maksimaverd ien når d u får oppgitt at C = 2, 666. d) Vi se r så på d et sa me systemet, men no med eit demp mgsedd. Likninga ser no sik ut: x" +3x' +.Jx(1- :2) = O Forkar kort koreis fasepanku rva for ei øysing av (6) går sett i forhod ti fasep ankurvene for det o pprinneige udempa systemet. Vi gå r då ut frå at den øysinga av (6) som vi studerer, passerer punktet avmerka på figuren ved ei t visst tidspunkt. (6) 3

4 FOA desember HETKIMAMMMTMPR Oppgåve 4 Eit vanig omgrep innen signateori er «kvit støy» - små unøyakti gheter som kjem på toppen av eit eers regu ært signal Vi ska i de nne oppg åva ate som om den kvite støyen er eit tifedig, uniformt fordet ta meom - Q og Q. Vi kan dermed bruke funksj onen rnd(x ) i Ma th ead: «rnd( x) retu ms a uniformy d istributed random number bctween Oand.r.» a) ag ei n funksjon i Ma thead som genererer ei t tifedig ta me om - Q og Q. Inndat a ti funksjonen ska vere a, u tda ta ska vere det tifed ige taet. b Du ska så age eit program som genererer n tifed ige ta meom -Q og Q. Du treng ikkje sa me taa i ei iste, men programmet ska (inne gjennomsnittet av d ei n taa. Innd ata ti programmet ska vere n og a, og utdata ska vere gjennomsnittet. c) Du ska så age et nytt p rogram, som også ager ti tifedige ta meom -Q og a. Dette progra mmet ska finne det største ei absou ttverd i) tifedige taet bant dci ti. Dvs. det ta et som har størst absou ttverd i (igg engst vekk frå O). Oppgåve 5 Set opp kommandoa ne d u treng for å øyse d isse ikningane i Mathead. a) x2 +i' - 2xy ~ Oog x + y ~ 1. b) x' = O, 25x - x y og y' = 0,3x y + 0,4y med initiaverdiane x(o) = 100, y (O) ~ 50. 4

5 Funksjoner I. Eem entære regnereger og fun ksjon er: a) b) c) d) o) a ;..a 1' = a }1;+Y (ab )Z= O T -b" a-x= ("-)'< = as 00 = I (ax)y = a J"Y, ' a A ' b r :, x b nb a = ee x e og b= a n a x x nb I In j-e x ec y e e a = b c:>x=og h = - a X= e x na a n a A In(AB)= n A +nb, In B ~ n A - n B InA' =una - 2 ' sm x + cos- x = 1 sinx tan x = - cosx cotx = - tan x f) sin(x ±y) = sinx cosy ± cos x siny, cos( x ± y) = cos x cos y z sinx siny g) sin2x = 2si nxcosx COS2X=COS2 x -sm_ 2 X = 2 cost ' x -. = 1-1- _sn- ' x h) tan( x ±y ) == an x ± any I x tan x tany i) j) I cosi cosv == - (cos( u + V) + cos(u - vj} 2 _ ( sm(u+v)+sm(u -v» 2 SO i COS V = - smusm v = - (co s(u - v) - COS(u + v» 2 k) definisjon: e' - e" sinh(x) =, cosh" x - sinh 2 x == Der-iva sjon og integra sjo n, gener ee r eger: a) (ku)'=ku', (uv)'=u'-v+ u-v', (u / v )' =(u'-v -u-v')/ v 2 b) :fx [(g(x» =['(gm)' g'(x)='fu-: ' u =g(x) (kjemerege) c) der y= [ -'(x) ri» (derivert av invers fun ksjon) d) d X dx J[ (t )dt = [(x ) a c)

6 t) fkg(x)d< =k fg(., )dx (k er en konstant) g) f f (g (x».g '( x )dx = Jf (u)du deretter u=g(x) h) f/(x )v'(x )dx = u(x)v(x ) - f v(x)u'(x)dx c i) Jf ( x )dx = Jf (x )dx + Jf ( x )dx.., 3. Derivasjon og integrasjon, spesie e reger: / (x) /'(x) x [nx e' rx [ -., e',., a' an a cosh(x ) sinh(x) sm x COSJ: sinh(x) cosh{x) cosx - sinx, tanx --, - ==' I + tan x cos x cot x = - - ran x A rcran x A resio x A rcccsx - sin} x + X '/1- x' -,/1- x' /(x) f/ (x)dr.., x ~ nar n$-1 _x_ + C a + - In x +C x e' a' cosh(x) sinh(x) cos J: I!' +C a' - + C na sinh(x) + C CQsh(x) + C stn x e C sm x -cosx +C cos! x sin) x + X I,/1- x' tan x e C -c cot x e C = I _+ C tan x A rctan x + C A rcsn x e C sin! x x. 2 C --- sm x. 2 4 cos! x tan 1 x '::'+ 1.sin2 x + C 2 4 tanx- x + C 4. Funksjo ner diverse: a) Tayorpoynomet av grad n ti en funksjo n f i punktet a er defin ert sik: L" ''''(a) j. (x-a )' 1'=0 k! b) Middeverdien ti / over intervaet [a.b) er defi nert sik: b ~ a.c [ (x)"x

7 c) I' Hopitas rege : dersom ) funk sjonenef og g har grenseverdi Oi a, og 2) im j'(x ) = L, så bir im f (x) = L. x """," a g'(x) X--H' g(x) Her kan vi også ha a = co g ex:>. eer a = - co. Eers gjeder regeen også hvis g --7 co dier 5. Diverse form er: a) b) For en kurve på formen, ( X(),y(t», kan stigningstaet skrives R etnmgs deri cn vert: (fu' aaf( ay) cosa, sinzz). = a axcosa+ af aysma y'{t) x '(I) c) (a +b)" =~ (; )a 'b"- ' med (;) d:f n (n - I ) ( n - ~! ( n- k + ) n! k! (n -k)! d) Voum av rotasjonsegeme ved dreining om x-aksen: rfj 2( x )<1x (fate A meom x-aske og graf roteres 360 grade r om x-aksen) c) Area meom kurver kan regnes sik:.ch(x )dx. hvor h (x) = avsta nden meom kurvene. t) cosinussetningen: sinusproporsjonen: sin( A) s;n( 8) sin(c) - a- =- b- =- c- g) cos forskjøvet n / 2 ti høyre gir sin: cos(x- JT / 2) = sin(x) h) iten tabe for sinus og cos inus: x sm x cos x O" O O rr I 30" - - ~ J " rt ~.fi ~.fi rt 1J3 I I 60" - -, " n - 2 I O rt O - I

8 6. Nume riske metoder a) Rektange- (mi dtpu nkt-} form e: steg engde h., h Jf (x)dx ~ h ( y, + y, y. ), y, ~ f (a +(2k- ) i ) o b) T'rapes for me en: stegengde h., I I f!(x )dx ~ h (i Y. +i y. + y, + y, y._,), y, = fra +kh) c) Simpso ns forme:, h Jf (x )dx se T (yo+4 y, +2y, y._, + y.), y, = f(a+kh) d) Newtons metode: Veg x, sik at f(xo) "" O La n = 1, 2... Hvis Iimx ; = C "_00 så cr f( a) = O c) Euers metode for øsning av differensia igninge n ::: = [ (x,y): xo = a, yo =b og x.. = Xn-I +h, y.. =Y" _I +[(x.._1, Y.._I) h, n = I, Kompekse ta a) Norma-form: Z = x w iy, Her er x = Re( z) (readeen) og y = Im(z) (imaginærdeen) b) z = x - iy {konjugert), Iz =Jx 2 + ( modu ) c) Av standen fra fraa r ti Z2: IZ 2 - zd d) Poar I Eksponensie form: z =re i O der r =I z og B = arg r e) Euers forme: e io = cos B + isin B ) De Moivres forme : (coso + i sin f) n = cos nb+ isinno

9 Differensiaigninger. I. Li neære homogene differensiaikninger av 2. orden Differensiaikningen ay" + by' + cy ::: O. der a,b og c er (reee) konstanter og a t O, har den generee øsningen a) b) hvis GA? + b.:i + c = O har to uike reee røtt er ri og r2 hvis ai!.2 + b). + c = O har dobberoten r c) y = e ux (Acospx + Bsinpx) hvis a}? + b +c = O har kom pekse røtter a ± ip 2. Lineære inhomogene differen siaikninger. ay" + hy ' + 'J' ~ g( x) Løsning: y (x) = hex) + y p(x ) der yp(x) er en fritt vagt øsning av ikn ingen mens Yh(x) cr en passende øsning av den tihørende homog ene ikningen. Lineær agebra I. Ve ktorregning a) Skaurprodukt meom to vekto rer: a.b =abcos8 dere er vinkeen me om vektorene, (0.$e.$ n) Når a = o]i+ a 2j + a)k og b=b1i +b1j+b;;k, får vi a b= a,b1 + a2~ +a 3 b:j b) Vekto rprodukt meom ve kto rene a = a1i + Q2j + Q3k og b=~ i + b2 j + h3k j a x b = a (12 (13 med engde k b, h, '" a x bh a[bsino c) No rma projcksjonen av vektor a = ai + a1j +03k inn på inje definert ved b = ~i + b:j + b3k e r gitt ved proj ba= ( a. b )b b b 2. Linj er og pa n i rommet Koord inate r ti et punkt P(x,y. z) på en rett inje gj ennom Po( xo.yo,zo) med -, - retningsvektor u er gin ved OP = OPo+/ U.

10 Et punkt P(x,y,z) igger i panet som går gjennom po(xo. yo,z, ) og som har -> norma vektor N = Ai+ Bj+Ck dersom PoP N= O og bare da. Panets ikn ing er atså A(x - x o } + B(y - Y o) + C(z - zo) = O 2 3. Matrisemutipikasjon A = [a ij ] m x p - matrise og B=bijJ p x n matrise. p AB= C = [cijj der Cj= I Gikbkj i = 1.2, ",m, j = 1,2,...,n k =! 4. Regnereger for matriser Å og 8 er matriser, k ogp er reee (eer kompekse) kon stanter a) b) c) d) e) I) g) h) i) j) k) (ka)b = k(ab) = A(kB ) A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC C(A + I) = C A + CI k(a + I) = ka + ki (k+p)a~ ka + p A AA - I = A-'A = I Skrives ka B Skrives ABC Merk at for matrisemu itip!ikasjon gjeder ikke den kom muta tive ov. atså AB = 8 A gjeder normat sen ikke. (Af' = I- IA- I (AI{ = I T A T (A T)- I = ( A- 1 { 5. Invers matrise (kofaktorfonn) Anta A er en ikke -singuær n x n -matrise. C I I C 2 J Da er A - I = e 12 C 22 det A der ei k er kofaktoren ti aj k A. 6. Egenve rd ier, egenvektorer Anta at A er en vikårig n x n - matrise. Dersom en vektor x ~ Otifredsst ier ikningen Ax = AX. er ). en egenver-di ti A og x en tihørende egenvektor, Egenverdier finne s av ikningen det(a - AI) = O

11 7. Diagon ai sering 3 Når A har n ineært uavhengige egenvektorer finnes en ikke - singuær matrise X sik at X- IAX = D er en diagonamatrise med egenverdiene på diagonaen. 8. Regnereger for d eterminanter A og B n x n - matriser b) Determinanten skifter fortegn hvis to rekker ( koonner ) bytter pass. c) Dersom rekkene (koonnene) er ineært avhengig e er determinanten = O d) En fees faktor i en rekke eer koonne kan settes utenfor. e) En determinant kan utvikes etter en vikårig rekke eer koonne. f) En determinant cr additiv i hver av sine rekker og koonner. Atså dersom en rekke eer koonne er en sum med to edd, kan determi nanten spates opp, f.eks ~ : : ~ ~ ~ :1+ I~ ~ g) Ti en rekke (koonne) kan adde res en konstan t mutipisert med en annen rekke (koonne) uten at determinanten fora ndrer verdi. h) Determinanten ti en trianguær matrise er ik produktet av eementene på hoveddiagonaen. - I i) de (A B) ~ det A, de B detf A )~ - det A k) det A ':F- O ee- A ikke-s inguær

12 Fourierrekker 1. Periodiske funksjoner La f(1) være en period isk funksjon med periode T. Fourier-rekken ti/ cr en rekke på formen L (a" cos(nø r)+b" sin(nw» n :c 2n ca = T og koeffi sientene er gitt ved T u o = ~ fj (t ) d o?t u, = i- fj (t )cos(noj}d, n= I,2,... o T b; =i fj(, )sin(noj' ) d, n =1,2,... o Koeffisientene tas også ved å integrere over ethvert annet interva av engde T, dvs en periode. 2. Funksjoner definert på [O, L rt kosinusrekken ti f er da: L a,. cos(nør) hvor (J) = - L n=1 I. L «o = - f J (t ) d 2 f nn u" = - J(I)eos(- 1 )d, L o L o L,., og sinusrekken er: i: ansin(nut), hvor ca = ~? I. a, = -=- f J (I)sin(n"" )d n = 1,2,3... L o 3. Konvergens av Fourier-rekke fourier-rekke n ti f(t) kon ve rgerer mot og og n =.::!... J /(1) i punkter derf er kontinuerig ~ (f (t + ) + / (1 -» i punkter derf har sprangdiskontinuitct. -I. Spe siee ubes temte integraer Jx cosaxdx cos ax, + u- a x sina'

13 f f f dx sinax xcosax xsm ax =--,-- a- a.,. 2 d _ 2 smax? xcosax x - smax x cosax x a ~ a a 2 dx x 2 _? coscr 2 x sina.x cos ar x sm ax a~ a a f 3 dx 6 cosax 6 x sin ax..,x 2cosa x x 3s inax x cosax = ) 2 + a aj a a 2 3 f 3 i: 6 sm ax 6xcosax.., x smax x cos ax x smax :t' ~ +.) 2 a a J a a 5 Funksjoner av fere varia be I. 2.derivcrt-tcst Kassifisering av stasjonære punkter for funksjonen f(x,y) For et stasjonært punkt (a,b) med fff fff fff,,1 = -, (a,b), B =--(a,b ), C= -c-'f(a,b), 1=AC-Seå " d:iy W har vi føgende: f har iso ert ekstremapunkt i (a,b) når.a.>o f har sadepunkt i (a,b) når 6 < O 2. Hesse-matrisen a) for ftx.y) er definert sik: r; /'0] f n b) for I (x,y,z) er definert sik: Y' I yy y. [ I~ f -y 1= Max/mi n-kriterium for stasjonære punkter for funk sjonen/ved hj e p a v Hesse-matrisen. Et stasjonært punkt er ) et isoert ekstremapunkt dersom ae egenverdiene har samme forteg n

14 2) ikke et ekstremapunkt dersom ingen egen verdi er er Oog det fins egenverdier med begge fortegn. 6 3) hvis det fins en egenverdi som er 0, så kan ikke ege nfverdiene aene avgjøre om punktet er ekstremapunkt.

15 Kommandoar i Mathead Likningar Sys tem av ikningar: G iven sk riv ikninga{ne) her øys ing :«Find ( ) Differensiaikningar Given sk riv ikninga her øys ing := Odcso vere) Syste m av differe nsiaikninga r: øysi ng := rkfixed(startverdia r,start. sutt, tidssteg, ikningsystcm) Programmering han ding if ogi sk utsagn for rcjevariabc E handing interva whie ogisk utsag n handing rcturn variabe handin g o n crror og isk utsagn brcak contin uc