FOA193 Differensiall igninger og databehandling : 06HETK, 06HMAM, 06HMMT, 06HMPR. : Enkel kalkulator : BOKMÅL

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "FOA193 Differensiall igninger og databehandling : 06HETK, 06HMAM, 06HMMT, 06HMPR. : Enkel kalkulator : 09.00-13.00 BOKMÅL"

Transkript

1 H ØGSKOLEN I B ERGEN Avdeling for ingeniørutdanning EKSAMEN KLASSER FOA193 Differensiall igninger og databehandling : 06HETK, 06HMAM, 06HMMT, 06HMPR DATO : 3. desember 007 ANTALL OPPGAVER ANTALL SIDER VEDLEGG HJELPEMIDDEL TID MÅLFORM : FAGLÆ RERE : 5 : 4 (inkludert denne siden) : Formelliste og tabeller : Enkel kalkulator : BOKMÅL : Hans Birger Drange : Aasmund Kvamme Høgskolen i Bergen, Postboks 7030, 500 BERGEN Tlf Fax

2 FOA desember HETKIMAM/MMT/MPR Oppgave 1 Gitt f : R R ved at f( x, y, z) = x + yl - Z + (j) x 3, Vi er i første del av oppgaven interessert i en fla te p som inne holder punktet (l, 1, 3) og so m er en niv åflate til f. a) Regn ut / (1, 1,3) og sett opp lignin gen for flaten p. b) Regn så u t grad! ('Vj) og benytt den til å finne en enhetsnormalvektor til flaten p i p unktet (1, 1, 3). Velg d en vektoren som har positiv z-kom ponent. Nå er vi interessert i å finn e ut om f har ekstremalverdier. c) Sett opp ligningene du trenger for å finn e stasj onære p un kt. Løs di sse. I dette tilfellet har f bare ett stasjonært p unkt. d ) Finn Hesse-matrisen til f og undersøk om f har ekstrema lverd i. Oppgave Funksjonen f er periodisk med period e 4. Videre vet vi om f a t f(t) = 4 ~ /' når le [-, J aj Regn ut f (5) og f (7). Finn d eretter en formel for f(t ) når / E [, 6]. b) Tegn grafen til f for in tervallet [- 6, 6]. Forklar så hvorfor vi kan vite at fourier-re kken til / ikke innholdet noen sinusledd. c) Still opp et en klest m ulig integral som gir fourier-koeffisientene til / (for Il = 1,, 3, _..). Ved hjelp av Mathead fikk vi dette u ttrykket for koeffisientene an: 3 sin(n o) - 3 n o cos(no) 3 ] -1\.n Forenkl an, n = 1,, 3,... og reg n selv ut ao. d ) Vi ser her på den lineæ re inhomogene differensiallignin gen X" + 5x' + 6x = / (t ) (1) der / er den periodi ske fu nksjonen ovenfor. Da vet vi at (1) har en p eriod isk løsning som vi kaller 11. Finn de to første led dene i fourier-rek ken til h, Du kan her om d u vil benytte at: Xl = O,048 -cos (.yt ) +0,106 ' sin (~ t ) er løs ning av X " + 5x' + 6x = cos (~ t) ()

3 FOA desember HETKIMAM/MMT/MPR O p pgave 3 Følgende ikke-lineære differensialligning beskriver et ikke-lineært sv ingesystem der x (t ) er uts laget (fra likevekt x = O) ved tiden t. x" + 4x (1 _:) = O a) Sett y = x' og overfør ligni ng (3) til et di fferensialligningssystern for x og y på formen (3) x' ~ f (x, y) y' ~ g(x, y) (4) b) Figuren vise r faseplankurvene fo r løsningene x(t), y(t ) med e t punkt merket av på en av de lukkete ku rvene. Det er også tegnet inn piler so m viser hvilken retning kurvene gjennomløpes av x(t ), yrt). Forklar ut fra d ifferensialligningene (4) hvorfor pil retningen er riktig akkurat for det tidspunktet når løsn ingen passerer det avmerkete p unktet. Vi oppgir at ligningene for faseplan kurvene er ) 1. ( X y + x 1-8 = C, c = konstant (5) c) Vi studerer nå videre bevegelsen på den fasekurven hvor punkte t er merket av. Det er en luk ket ku rve og derfor sva rer den til en periodisk svingning. Forklar ut fra kurven hvorfor y = Onår utslaget x for systemet har sin største verdi. Regn så ut denne maksimalverdien når du får oppgitt at C =,666 d ) Vi betrakter så sam me system, men nå med et dempningsledd. Lign ingen ser nå slik ut: x" +3x' +4x (1 -:) = O Beskriv kort hvordan faseplanku rven for en løsnin g av (6) gå r set t i forhold til faseplanku rvene for det opprinnelige udempete systemet. Vi forutsetter da at den løsni ngen av (6) som vi studerer, passerer punktet avmerket p å figuren ved et visst tidspunkt. (6) 3

4 FOA desember HETKIMAMlMMTlMPR Oppgave 4 Et vanlig begrep i signalteori er «h vit støy» - små unøyaktigheter som kommer på toppen av et ellers regulært signa l. Vi skal i denne oppgaven late som om den hvite stoyen er et tilfeldig, uniformt fordelt tal mellom - Q og Q. Vi kan dermed bruke funksjonen rnd(x ) i Mathead: «m d(x ) returns a uni formly distributed random number between Oa nd.r.» a) Lag en fun ksjon i Mathcad som genererer et tilfeldig tall mellom -Q og Q. Inndata til funksjonen ska l ve re a, utdata ska l være det tilfeldige tallet. b) Du skal så lage el program som genererer n tilfeldige tall mellom - Q og Q. Du behøver ikke sa m le dem i en lis te, men programmet skal finne gje11lloms1littet av de n tallene. Innd ata til programmet skal vere n og a, og utdata skal være gjennom sni ttet. c) Du skal så lage et nytt program, som også lager n tilfeldige tall mellom - o og o. Dette p rogrammet skal finne det største (i absoluttverdi) tilfeld ige tallet blant de 11. Dv s. det tallet so m har størst absoluttverdi (ligger lengst vekk fra O). Oppgave 5 Sett opp kommandoene du trenger for å løse disse ligningene i Mathead. a) x' + yl - xy = Oog x + y = 1. b) x' = O,5x - r. y og y' = 0,3x Y+ 0,4y med init ialvcrdiene x(o) = 100, y (O) ~ 50.

5 Funksjoner I. Elementær e regneregler og funksjoner : a) b) a".a.l' =au Y (ub)j =a-t.bj 0-,,= _1_ (!!.)J= 0" 00 = 1 (U' jy= ax -y, 'all ' b r :. x loh u ~ b <=> x ~ log b = a ln a c) ln y = X <=> Y = ex a X = b <=> x = log b = lob a X = e x1na Q Ina A d) In(AB) = ln A + ln B, In- =!n A - ln B In A" = u ln A B e) sm x + cos-' x = I sm x l tan x =- cotx = - cosx tan x l) sin(x ±y) = sinxcos y ± cosxsiny, cos(x ± y ) = cosxcosy +" sin x sin)' g) h) sinx = sinxcosx tan x + tan y!an(x ±y) = :-== = = ' I + tanx. tan j- COS X = COS x- sm x = cosx- I = I'" - L s m - x i) j ) I COS li COS v = - (cose + V) + cos(u - v). I (.. ) sm u cosv e r- sm(u+v)+ sm(u - v).. I ( smusm v = - COS(u - v) - cos(li + v» k) defi nisjon : e' +e-. e' - e-' cosh(x) slilh(x) "", cos b? x _ sinh x = l. Derivasjon og integrasjon, generelle r egler: a) (ku )'=ku'. (uv)' =u' v+ u v', (u lv)' =(u'.v-u v')lv' b) :fx f(g(x))= f'(g ' X )).g (X) ='!!u '~~, u =g(x) (kjemeregcl) c) (derive rt av invers funksjon) d) «: dx f f (t )dl = f(x ) a c)

6 f) Jkg(x Jdx = k$g{., Jdx (k er en konstant) g) Jf (g (X,)-g '(x )dx = Jf (u)dll deretter u=g(x) h) f U(X)v'(x )d, = u(x),",x) - f,",x )u'(x)dx b c b i) Jf ( x )dx= Jf (x )dx + Jf (x )dx a, 3. Der-ivasjon og integ r asj on, spesielle regler: lex) l'(x ) x, rx' I [n lxl e' [ - x e' a' a ln a cosh(x) sinh(x} sinh(x ) cosh(x ) sinx cos:c <ah -smx [ tan x - - = I + lanjx cos' x [ [ cot x:-- - sin l x tanx A rctan x A rcsin x I l + x l I,Il- x' l A r CCO$ X - JI_ x l ex) JI(x)d< x " l x" når n...- i --+ C n+l l - ln lx l +C x, e + C e a' cosh(x) sinh(;() cosx sinx l COSI x I a' - + C In a sinh(x } + C cosh(x ) + C sinx + C -cosx + C ran x e C _col x + C = I _ + C s i n ~ x tan x l I + x Arctan x -ec I Jl- X l A rcsin x e C sin l x --- x I sm. x+ C cos! x '::'+..!.sin.'c + C 4 tan' x tan x - x + C... Fu nksjoner diverse: a) Taylorpoly nomet av grad n til en funksjon fi punktet a er defin ert slik: L J k-o k! " ""(a ) (x -a)' b) Midd elverdien til/ over intervallet [a,b] erdefincrt slik: h ~ a l f(x )d'f

7 c) I'Hopitais regel : dersom 1) funksjonenef og g har grenseverdi Oi a, og ) lim f'(x) ~ L så blir lim J (x ) = L. ~ " g '(x).-" g(x) Iler kan vi også ha a = 00 eller a = -CX! Ellers gjelder regelen og så hvis K ---) 00 eller g ~ -oo. 5. Diverse form lcr: a) For en kurve på formen, ( X(I),Y(I», kan stigningstall et skrives y'(t) x '(t) b) c) Retningsderivert: (t,:),(cosa, sina) = Zcosa+Zsin a (a+b)" = ~ (; Ja ' b "-' med (;J "f n (n-l ) ( n -~... (n-k+ l) n! kl In - kl ' d) Vol um av rotasjonslege me ved dreining om x-aksen: rtrj (x )dx (flate A mellom x-aske og graf roteres 360 grader om x-aksen) e) Areal mellom kurver kan regnes slik: rh(x)dx. hvor h(x) = avstanden mellom kurvene. t) cosi nussetningen: sinusproporsjonen: c =a + b -ahcos(c) sin(a) sin(b) sin(c) -a-=-b-=-cg) cos forskjøvet 11 / til høyre gir sin: cos(x-lt/) = sin(x ) h) liten tabell for sinus og cosinus: x sin x cosx O" O O I n I!...j3 30" " 6 rt!...,fi!...,fi " rt!...j3 I " -" I O 180" rt O -I

8 6. Numeriske metod er a) Rektan gel- (midtpunkt-) formel: steglengde h. h fj (x)dx ~ h.(y, + y, y"), y, = J (a +(k -1)") a b) Trapesformelen: steglengde h. I I f J (x)dx ~ h '(" y, +"y" + y, + y, y,,_, ), y, ~ f(a+kh) " c) Simpsons formel : ff( x ) dx ~ y(yo+ h 4y,+y, y"_,+ y"), Y. ~J(a+kh) " d) Newtons metod e: Velg x, slik at!(x,) -= O La Hvis limxn = a n_= så er /(0 ) = O f (x,._r) 1'(x_ l ), n : 1,,... c) Eulers m et od e for losning av differensialligningen :i: = I (x,y): xo=a, yo =b og x,,=xn_l+h,yn=yn_i+ /(xn_pyn_l) h. n= I, Komplekse tall a) No rmal-fonn: : = x + ty, Her er x = Re(z) (realdelen) og y = Im(z) (imaginærdelen) b) Z ~ x - iy (konjugert), I z l = ~ x + / (modul) c) Avstanden fra fra zi til z : lz -zll d) Polar I Eksponensiell fonn: z =reio der r =j =1og 8 =arg: e) Eulers forme l: / 0= cos8 +isin8 f) De Moivrcs formel : (cosb+isin8)"=cosno+ i sinno

9 Differensialligninger. I. Lineære homogene di fferensiallikninger av. orden Ditferensiallikningen ay" + by' + cy = O. der a.b og c er (reelle) konstanter og a,#u. har den gene relle løsningen a) b) hvis a ;;'? + b}w+ C = O har to ulike reelle røtter ri og r - hvis aj'? + b}. + c:::: O har dob belroten r c) y= eux (Acos {Jx + B sin{lx) hvis a.j. +b)' + C= O har komplekse rotter a± ip. Li neære inhomogene differensiallikninger. ay" + by' + <J'= g( x) Løsning: y(x)::::yii(x) + y p(x) der y p(x ) er en frin valgt løsning av likningen mens Yh( x) er en passende løsning av den tilhørende homogene likningen. Lineær algebra I. aj Vektorregning Skalarprodukt mellom to vektorer: a.b :::: lallblcosoder O er vinke len mellom vektorene, (O.s; OS n} Når a :::: il1i+o:!;j + 03k og b=b1i + b j + b)k tar vi a. b :::: Glbl + {.I ~ + (1 ] h 3 b) Vektorprodukt mellom vektorene a :::: aji +Qj + Q3k og b = bl i + ~j + h3k ~kj a x b = a, a j med lengde b, b c) Normalprojeksjonen av vektor a = a 1i +a j+a 3 k inn på linje definert ved b = b li + bj + ~k ( a.b) er gitt ved projb3 = - - b b b. Linjer og plan i rommet Koordinater til et punkt P(x,y, z) på en rett linje gje nnom Po(xo,y o,zo) med retningsvektor u er gitt ved 6 j> = 6h + 1u.

10 Et punkt P(x, y, z) ligger i planet som går gjennom Po(xo, yo,z,,) og som har -> normalvektor N = Ai + Bj + Ck dersom PoP N = O og bare da. Planets likning er altså A(x - x o) + B(y - Yo) + C (z - zo) = O 3. Matrisemultiplikasjon A = [aij ] m x p - matrise og B= [bijj p x n - matrise. p AR= C = [ei} ] der eij= L aikh kj' i = 1,, _,,m, j == 1,,...,n k =l 4. Regne regler for matriser A og B er matriser, k ogp er reelle (eller komplekse) kon stanter a) b) c) d) e) I) g) h) i) j) k) (ka )B ~ k(a B) ~ A(kB) A(BC) ~ (AB)C (A + B)C ~ AC + BC C(A + B) ~ CA + CB k(a + B) ~ ka + kb ( k+p)a~ ka + pa AA- I ~ A - IA ~ [ Skrives kar Skrives ABC Merk at for matrisem ultiplikasjon gjelder ikke den kommutative lov. altså A R = BA gjelder normalt sett ikke. (AB f l ~ B- IA - I (All)' ~ BTAT (ATfl ~ ( A-Il 5. In vers ma trise (ko faktorform) Anta A er en ikke-singulær n x n -matrisc. C n C 1 Da er A - I = I ('1 (' det A der ej k er kofaktoren til Uj k A. Cl" C" 6. Egenverdier, egenvektorer Anta at A er en vilkårlig n x n - matrise. Dersom en vektor x =to Otilfred sstiller likningen Ax = I.X, er )~ en egenverdi til A og x en tilhørende egenvekto r. Egenverdi er finne s av likningen det{a - Ål) = O

11 7. Diagon a lisering 3 Når A har n lineært uavhengige egenvektorer finnes en ikke- singulær matrise X slik at X- IAX = O er en diagonalmatrise med egenverdiene på diago nalen. 8. Regneregler for determinanter A og B n x n - matriser a) dc1 A =del AT b) Determinanten skifter fortegn hvis to rekker ( ko lonner ) bytter plass. c) Dersom rekkene (ko lonnene) er lineæ rt avhengige er determinanten = O d) En felles faktor i en rekke eller kolonne kan settes utenfor. c) En determinant kan utvikles etter en vilkårlig rekke eller kolonne. l) En determinant er additiv i hver av sine rekker og kolonner. Altså dersom en rekke eller kolonne er en sum med to ledd. kan de terminante n spaltes opp, ja b + cl la bl la cl f.cks: Id e + 11 = Id e + d.t1 g) Ti l en rekke (kolo nne) kan adderes en konstant multiplisert med en ~ rekke (kolonne) uten at determinanten forandrer verdi. h) i) k) Determinanten til en triangulær matrise er lik produktet av elementene på hoveddiagonalcn. - I I det (A Il) ~ det A, det Il dct( A ) = - det A det A '* O cc A ikke-sing ulær

12 4 Fourierrekker l. Periodiske funk sjoner La f(t)være en period isk funksjon med periode T. Fo urier-rekken til/cr en rekke på formen ~ L(an cos(nw() +bnsin(nw/» n",l 1r W = T og koeffi sientene er gitt ved ao l r = T fi(t) dl o ' " " = T fi(t)co s(nlljl )dl, n = 1,,... o T b; =; ff(t)sin(nlljl ) dl, n=1,,... o Koeffisientene tas også ved å integrere over ethve rt annet intervall av lengde T, dv s en periode.. Funksjoner dcfincn på [O,L] kosinusrekken til f er da: LOncos(nmt) I t. I. nn "o = - f I (l ) dl a" = fi (l )cos(- I )dr, 1. L 0 og sinusrekken cr: f a; sin(nlot ), hvor aj = Z og "-,? I. Q " =.::. j f (l ) sin(nlui )dl n = 1.,3... L o 3. Konvergens av Fourier-rekke "-, Fourier-rekken til f{t) konvergerer mot rr hvor (l) = L og n =: 1... fet) i punkter derf er kontin uerl ig { ~(f (t +) + 1(/-» i punkter derf har sprangdiskontin uitct. -l. Spe sielle ubestemte integra ler f cos ax xsinax XCOS axl Ix = ---+ a "

13 . d: sin a:c xcosax x sm c x x =--,-- a- a.,. dx _ sm nr? xensax x - smax x cosax a a a J J J dx cosax xsinax x sm ax = 3 + a a J3 x eosax a. 3. d: 6 cos ax 6 x smax "' x cosax x smax x cosax x = ) + a a J a a J 3 dx 6 sin ax 6 x cos al'... x sin ax x 3 cosax x slo ax = ' a aj a a 5 Funksjoner av flere variable I..derivert-test Klassifisering av stasjonære punkter for funksjonenj (x,y) For et stasjonært punkt (a, b) med? j?j?j, A= -, ( a.b), 8= - - (a,b ), C=-,(a,b), 6 =AC-B- ",- "'0' 0'- har vi følgende : f har isolert ekstremalpunkt i (a,b) når.6>0 f har sadelpunkt i (a, b) når 6 < O. Hesse-matrisen a) for I(x,y) er definert slik: [ In I'Y] 1" I". Ix, IX)' Ir- ] b) for j(x,y,z) er definert slik:!'" f", Ir. [ I," h y l " Max/min-kriterium for stasjonære punkter for funksjonen/ve d hje lp av Hesse-m atrisen. Et stasjo nært punkt er 1) et isolert e kstremalpunkt dersom alle egenverdiene har samme fortegn

14 ) ikke et ekstremalpunkt dersom ingen egenverdie r er Oog det fins egenverdier med begge fortegn. 6 3) hvis det fins en egenverdi som er O. så kan ikke egen(verdiene alene avgjøre om punktet er ekstremalpunkt.

15 Kommandoar i Mathead Likningar System av likningar: Gi ven skriv likninga{ne) her løysing := Find(.) DIfferensiallikningar Giv en skriv likninga her lcysing :e. Odcsc lvet s} System av diffe rensiallikningar: loysing := rkfixed( stan verd iar, stan, slutt, ridssteg, likningsystcm) Programmering hand ling if log isk utsagn fo r tcllevar tabc t e intervall hand ling wbile logisk utsagn handl ing retum variabel hand ling on error log isk utsagn brcak continue

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

EKSAMEN I FOA 193 Differensiallignin ger og databehandling : 06HETK, 06HMAM, 06HMMT, 06HMPR. : 3. desember 2007

EKSAMEN I FOA 193 Differensiallignin ger og databehandling : 06HETK, 06HMAM, 06HMMT, 06HMPR. : 3. desember 2007 HØGSKOLEN I B ERGEN Avdeing for ingeniørutdanning EKSAMEN I FOA 193 Differensiaignin ger og databehanding KLASSA R DATO : 06HETK, 06HMAM, 06HMMT, 06HMPR : 3. desember 2007 TAL pa OPPGAVE R TAL pa SIDER

Detaljer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare

Detaljer

Eksamen R2 høsten 2014 løsning

Eksamen R2 høsten 2014 løsning Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

FOA 191 EKSAMEN I KLASSE. Undervannsteknologistudiet DATO

FOA 191 EKSAMEN I KLASSE. Undervannsteknologistudiet DATO H ØGSKOLEN I B ERGEN Avdeling for ingeniørutdanning EKSAMEN I KLASSE DATO FOA 191 Undervannsteknologistudiet 18.12.07 ANTALL OPPGAVER ANTALL SIDER VEDLEGG HJELPEMIDLER TID MÅLFORM SENSOR FAGLÆRER MERKNADER

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning EKSAMEN I FOA94 Differensialligninger KLASSAR : 08HETK, 08HMAM, 08HMMT, 08HMPR, 08HUVT DATO : 0. desember 200 ANTALL OPPGAVER 3 ANTALL SIDER 3 VEDLEGG

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)

Detaljer

Løs likningssystemet ved å få totalmatrisen på redusert trappeform

Løs likningssystemet ved å få totalmatrisen på redusert trappeform Emne: IRF 10014 Matematikk 1. Lærer: Øystein Holje og Kent Ryne Grupper: Diverse. Dato: 04.1.015 Tid: 9.00 13.00. Antall oppgavesider:. Antall vedleggsider: 3, formelark. Sensurfrist: Hjelpemidler: Godkjent

Detaljer

Eksamen R2, Våren 2011 Løsning

Eksamen R2, Våren 2011 Løsning R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +

Detaljer

Eksamen R2 høst 2011, løsning

Eksamen R2 høst 2011, løsning Eksamen R høst 0, løsning Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene f e ) Bruker produktregelen for derivasjon, uv uv uv f e e e e ) g sin Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u sinu Vi har

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Eksamen R2, Høst 2012, løsning

Eksamen R2, Høst 2012, løsning Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen

Detaljer

Eksamen R2 Høsten 2013 Løsning

Eksamen R2 Høsten 2013 Løsning Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen

Detaljer

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1. Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Eksamen R2, Våren 2009

Eksamen R2, Våren 2009 Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g

Detaljer

Løsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.

Løsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye. Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller

Detaljer

Heldagsprøve R

Heldagsprøve R Heldagsprøve R - 7.04. Løsningsskisser Versjon 03.05. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) Deriver funksjonene: ) fx x ln x ) gx 3 cos4x 3) hx ax ln x ) Produktregel: f x x ln x x x x ln x x x ln x ) Kjerneregel:

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) ii) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) Sidan både teljar og nemnar

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.

Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene. Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)

Detaljer

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001 Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()

Detaljer

R2 Eksamen V

R2 Eksamen V R V011 R Eksamen V011-1.05.011 Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) 1) Kjerneregel: fx sin u, u x f x cosu 4 cosx ) Produktregel (og kjerneregel på cosx): g x x cosx x sin x xcosx x sin x ) Kjerneregel:

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

Eksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N

Eksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) ii) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) ( x + ) dx x x dx+ x dx x +

Detaljer

Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark

Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

Optimal kontrollteori

Optimal kontrollteori Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

UDIRs eksempeloppgave høsten 2008

UDIRs eksempeloppgave høsten 2008 UDIRs eksempeloppgave høsten 008 Løsningsskisser Del Oppgave f x cos3x x sin3x 3 cos3x 6x sin3x fx 3u, u e 4x (Produktregel og kjerneregel på cos3x.) u e 4x 4 (Kjerneregel enda en gang...) d) f x 6uu 6u4e

Detaljer

LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001

LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF500 0. august 00 Oppgave 5 +6 ( 4 +6)0 dvs. at vi har en rot 0 og 4 røtter av

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.

Detaljer

R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri

R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri R - Funksjoner, integrasjon og trigonometri Løsningsskisser Del I - Uten hjelpemidler Oppgave 1 Regn ut integralene: a) x cosx dx b) x x 3x dx c) ex cose x dx a) Delvis integrasjon: x cosx dx x sin x sin

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Eksamen R2 vår 2012, løsning

Eksamen R2 vår 2012, løsning Eksamen R vår 0, løsning Oppgave ( poeng) a) Deriver funksjonene ) f sin Bruker kjerneregelen på uttrykket sin der Vi har da guu sinu u cosu cos f cos 6cos ) g sin Vi bruker produktregelen for derivasjon.

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 3.05.20 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening

R2 kapittel 8 Eksamenstrening R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i boka Uten hjelpemidler Oppgave E a F (4) = f (4) = 4 4 b f x x [ F x ] F F ( ) Oppgave E5 ( )d = ( ) = (4) () = 6 = 7 Grafen til f ligger over x-aksen

Detaljer

Eksamen R2, Våren 2015, løsning

Eksamen R2, Våren 2015, løsning Eksamen R, Våren 05, løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f () =- 3cos f =- 3 - sin

Detaljer

R2 Eksamen høsten 2014 ( )

R2 Eksamen høsten 2014 ( ) R Eksamen høsten 0 (8..) Løsningsskisser Versjon:.05.6 (Rettet feil i del i oppgave ) Del I - Uten hjelpemidler Oppgave a) Kjerneregel: f x cosu, u x f x 6 sin x b) Produktregel: g x 5e x sin x 5e x cos

Detaljer

9 + 4 (kan bli endringer)

9 + 4 (kan bli endringer) Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 29. april 25 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) 2x 3 4/x dx b) c) 2 5

Detaljer

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng

Detaljer

Eksamen R2, Høst 2012

Eksamen R2, Høst 2012 Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2 eksamensoppgaver.org 4 oppgave a..i) e x = 7 e x = 7 ( ) 7 ln e x = ln x = ln 7 ln a..ii) ln x ln x = ln x ln x = ln x = x = e a..i) cos x =.8 x [, 6 ] x = arccos(.8) x 6.9 x 6 6.9 x 6.9 x. a..ii) Løserdennemedabc-formelen

Detaljer

Differensialligninger

Differensialligninger Oslo, 30. januar, 2009 (http://folk.uio.no/lindstro/diffoslonyprint.pdf) Vanlige ligninger og differensialligninger En vanlig (algebraisk) ligning uttrykker en sammenheng mellom det ukjente tallet x og

Detaljer

Ubestemt integrasjon.

Ubestemt integrasjon. Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015 Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =

Detaljer

Eksamen R2 høsten 2014

Eksamen R2 høsten 2014 Eksamen R høsten 014 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x b) gx 5e x sinx Oppgave

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

Fasit eksamen i MAT102 4/6 2014

Fasit eksamen i MAT102 4/6 2014 Fasit eksamen i MAT /6. (a Løs ligningssstemene. Svar: i ( x i = 3x + = 7 x + = ( 6, ii x z ii = x + z = 3x + 6 + z = +. er fri. (b Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til ligningssstemet

Detaljer

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,

Detaljer

Formelsamling Kalkulus

Formelsamling Kalkulus Formelsamling Kalkulus Martin Alexander Wilhelmsen December 8, 009 En liten formelsamling for MAT00 ved UiO. Vennligst meld fra om feil til martinaw@student.matnat.uio.no. Dette dokumentet er publisert

Detaljer

MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017

MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs Analyse I Høst 7 9.5. a) Har at + x b arctan b = π + x [arctan x]b (arctan b arctan ) f) La oss først finne en

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi

Institutt for Samfunnsøkonomi Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, VÅR 09

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, VÅR 09 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA000, VÅR 09 Oppgave a) (0%) Løs initialverdiproblemet gitt ved differensialligningen med

Detaljer