H ØGSKOLEN 1 B ERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

Transkript

1 H ØGSKOLEN 1 B ERGEN Avdeling for ingeniørutdanning EKSAMEN 1 KLASSAR DATO FOA 162 Vidaregåande analyse og lineær algebra 06HEAU, 06HEEL, 06H ELK, 06HKOM 3. desember 2007 TAL PA OPPGAVER: TAL pa SIDER: VEDLEGG: HJELPEMIDDEL: TID: MALFORM: FAGLÆRARAR: MERK NADER: 4 3 (inkludert denne sida) 9 sider (Formelsa miing) Enkel kalkulato r 4 TIMAR (kl ) NYNORSK Terje Kristensen LeifErik Otterå Lars Arne Jordanger Ingen (85 752) ( ) (87 113) Hogskolen i Bergen, Postboks 7030, 5020 BERGEN Tlf Fax

2 O ppgåve 1 a ) Gitt matrisene A = [~ i] og i) Rekn ut determinan tane ti l matrisene A og B. ii) Ha r A og B inverse mat riser? iii) Fin n de n inverse matrisa ti l A (dersom ho finst ). b) For h-a verdier av t har følgjande likn igssystem O, 1 eller uendeleg mange løysinga r. X l t X2-2 t X I 4 X t c) La C vere matrisa c =[ ~ ~ ] i) Rekn ut eigenverdiane og eigenvektorane til C. ii) F inn ei matrise P og ei diagona lmatrise D slik at p -Iep = D. Hi) Finn es. d) Ved rekkereduksjon kan vi vise at matrisa er rek keekvivalent til i) Kva er rangen til mat risa D? ii ) Kva er dimensjonen t il rekkerommet, scylercmmet og null rommet til D? iii) Finn basisar for dei t re romma i punkt ii) el Undersøk om vektorene b l = [1, 4, l ], b, = [5,0, l ) og b, = [9, 6, 2J er lineært uavhengige. O p pgåve 2 a) Undersøk om rekkje ne konvergerer eller divergerer 00 l 00 3 Cl '"' (ii) '"' -,-;--= I : Vii ;2, n(ln n)' b} Finn konvergensområdet til potensrekkja. f '1=1 {_ l t 2nx n c} Finn taylorrekkja til ln{l - 2x 3 } 0111 a = O (maclaur inre kkja). 2

3 3 Oppgåve 3 a) Ein isobar er ei kurve som går gje nnom a lle punkt med same lufttryk P (x, y). Vi lar z = P(x, y}, der z cr gitt implisitt "ed 2x' + (y - o)' ~ 2z'. Skisser isobarane for z = O, z = 2 og.:: = 4. b) Ei flate er representert ved funksjonen z = f (x, y) = ~. J + 2x 2 - (y - 1)2, Undersøk om funksjonen har nokon lokale maksimums-, minimum s- eller sadelpu nkt. Finn koordinatane til desse punkta. c) Vi har gitt differenslikninga In - 2 X n _ 1 = 5n, n ~ 1. Loys liknin ga for init ialverdien IO = 3. d) Vis ved induksjon at nil > n! for n ~ 2. O p p gåve 4 G itt den period iske funksjonen ') = {-2 - T. Sx < O ( ) f ( ) f (x. f x +2T. ~ x 2 O::;x <7I" a) Teikn grafen til funksjonen, og vis at f (x } er ein odde funksjon. b) Finn Iourierrekka til f (x }. c) Finn summen av rekka un der ved å bruke fourierrekka til f (x }. 00 (_ l)n+1 L (2n - l ) n=l

4 Vektoralgebra l. Binære operasjoner. a) Skalarprodukt mell om to vektorer: a b = lallblcoso dere er vinkelen me llom vektorene. (0 :$e :S: n ) Når a :::: a li +a 2 j+a}k og b=b 1i + b 2j+ b 3 k. får vi a - b :::: Gl bl + a 2 ~ + Q3!J.y, b) Vektorprodukt mellom a og h, a x b har lengde: lallblsin8 og ret ning slik at a, b. a x b danner er hoyresystcm. j k a x b e al a l 0 3 I; b 2 '" c) Vektorp rojeksjonen aven vektor a normalt inn på en linje som er para llell med enhetsvektoren u cr gitt ved pro.iu3 = (a -u) u. 2. Linj er og plan i rommet Et punkt P ligger på en rett linje gjennom Po med retning gitt ved u hvis og bare hvis ~ - OP =0!'o+ r u. Et punkt P(x.y. z) ligger i planet som går gje nno m ~ J ( X",y", : " j og som har ~ normalvektor N = Ai + Bj + Ck hvis og bare hvis P..JP N = O. Pla nets likning cr altså A(x -.r, + B(y - )'0) + C(z - =0) :::: O

5 2 Lineær algebra, matriser: I. Matrisemultiplikasjon A = (aij) fil x P - matrise og B=(bij ) p x n - matrise. p AD= C = (cij) der Cij= L ajj;b kj i = 1.2..,111, j = 1.2. o" 4"=1. n 2. Regneregler for matriser A og 8 er mat riser. k ogp er ree lle (ell er komplekse ) konsta nter al A(BC) = (AB)C b) Den kommutative lov AB = BA gjelder ikke generelt for matrisemultipl ikasjon. (selv om produktene er de finert). c) (A+ B )C~ AC + BC d) q A + Bl ~ CA + CB e) A A - I = A-I A = I (definisjon av A -I ) l) (AB)- ' = B-' A- 1 g) (AB{ = B T A T h ) (A T )- ' = ( A- 1 { i) (ka)b ~ k(abl ~ A(kB) j l k(a + B) ~ ka + kb kl (k+p )A ~ ka + pa 5. Adjungert matrise Dersom A er en n x n -matr ise og ( it. er ko faktoren ril {'ik C II C"... C = ~l ~ (~~ 2 ::: [ C III C:!" O " C.,] C~! fo r den adjungerte matr isen lil A. C~ A. så ka lles matrisen: 6. Invers matrise For en ikke- singu lær n x n -matrise A gjelder at: A-I = I ~ I ' C ' C er adjungert ti l A.

6 3 7. Egenverdier, egenvektore r Anta al A er en vilkårlig n x 11 - matrise. Dersom del fins et tall A slik at Ax = I.X for en scylematrlse x ;e. o, så kalles i. for en egen verd i til A. og x kalles en tilh ore nde egenvektor. Egenverdien e finnes av liknin gen la- All= O. 8. Diagonalisering Når A har n lineært uavhengige egenv ektorer finnes en ikke-singulær matrise X sl ik at X- IAX = D er en diagonalmatrise med egenverd iene på diag onalen. 9. Regn eregler for determinanter a) En determ inant skifter fortegn hvis 10 rekker ( ko lonner) bytter plass. b) En felles faktor i en rekke elle r kolonne kan sette s utenfor. c) En determ inant er additiv i hver av sine rekker og kolonner. Altså dersom en rekke eller kolonn e er en sum med to ledd. kan determinanten spaltes opp. f.eks: ~ h e = «] ed +. +Cl ~ hl I" (~ d ) En rekke (ko lonne) ganget med et tall kan adderes til en vilkårlig annen rekke (ko lonne), uten at determinan ten forandrer verd i. e) En determinant ka n utvikles etler en vilkårl ig rekke eller kolonne. Dersom A og B er n x Il - mat riser, så gjelder videre: l) IAI=IATI g) IABi=IAI'IBi h) IAI:,t; O <=) A er ikke-singu lær i) IA - ll =I ~1

7 Lineær algebra, vektor rom: I. Lineær avhengighet. Vektore ne VI i ;: l, o n kalles lineæ rt avhengige hvis og bare hvi s ligningen : XI V I X n Vn =: O med ukjen te x, E R med i = n ha r losning de r ikke alle.r, er O. 2. Lin eæ r tra nsformasjon. Når en basis er valgt, kan en lineær transform f representeres ved en matrise M hvor søy lene bes tår av komponentene til basisvektorenes bilder under r. Da kan w «f(v) regnes ut ved matrisem uhiplikasjon slik: ~ = My. hvo r w og y.er søy lema triser som representerer vektorene w og v. 3. Aflin transfor masjon. En affln transformasjon F er gitt ved al: F( Pl' F(Al+ J ( APl hvor f er en lineær transformasj on og A og P er punkter. Diskret matematikk I. Differenslikninger av 2. orden Likningen au" +2+ bu"... + CII" =0. der a, b, c er konstanter. ((#0), har den generelle losningen: a) U. =API +BP2 ~ hvis ap 2+ bp + c =O har to uli ke reelle roller P log P2 - b) v, = (A+ Bn) p" hvis ap2+bp+c=o har dobbelrotcn P c) un = r n( A cosns + 8 sinn9 ) hvis ap2 +hp+ c =O har komplek se rotter a ± ip Her cr r = 1a + i pl og 9=arg(a + ip) 2. Logik k a) Dobbel negasjon: -.-.p co p

8 5 b) Kommutat ive tover: (p v q ) c> (q v p). (p 1\ q ) c> (q 1\ fl) c) Assosiative lover: [(p v q) v rl ee (p v (q v r )]. [(p 1\ q ) 1\ r I <::::> { p 1\ (q Ar» d) Distrfbutivc lover: [( p v (q /\ r» cc [(p v 'I ) 1\ (p V r». 1( 1' 1\ (ti v r)) e> (P 1\ li ) v ( p 1\ r)] e}de Morgans lover: -.(p v q ) cc- (-.p 1\ - q ). -i.. p 1\ q) <::::> ( - p v -{Il 3. Mengdelære aj Kommutative lover: AuB= BuA. A nb=bna bl Assosiative lovert (A u S) u e = A u(r v e ), (A n B) n C = A n CB n e ) c) Distrtbutivc lever: A n ( B vc) ~ (A n B) v (A rv C). A v ( Bn C) = ( A v B) n (A v e) d ) Id entitetslovene: A u ø= A, A n U = A. U er grunnmengden - - = e) Komplementærlovene: A v A = U. Ari A = ø. A = A. U er grunnmengden t) de Morgan's JOHr: A v B := An B. A fl B = Av il

9 6 Rekker I. elementære følger og rekker Aritmetisk rekke ll,, -u l + ( n - l) d d er rekkens differens Summen 3\' de n første leddene a.. Cl.. i en aritmetisk rekke.~.. =---n 2 Geometrisk rekke. ledd numme r n le..-. li" = 1I k er rekkens kvotient 1 Summen av de n første leddene i en "I( le " - I) geometrisk rekke.\'" = k - I Gje lder for k ;t l. Hvis k:= l er,\'" = flal Rcntesrenteforme len Verdien K il om n år av et belnl K = K (1+...Lr (sluuverd ien) " Il 100 Ku i dag Nåverd i 2. Konvergens av rekke a) Forhold skriteriet: K o - K Ve rdien K CJ i da g svarer til et belop K,. i dag 100 (I + L r La ')u" være en rekke slik at lim1"". '1 eksisterer og k = lim!1l'hi1" -- Il...,., li" "-+"- " n Da. er rekken konve rge nt hvis le < I og di vergen t hvis le > I. b) Sammenligningskriteriet: La LU" væ re en positiv rekk e. Da gjelder at I) hvis Un s a n og L Un er kon vergent. så er også L u" konvergent. 2) hvis " 'I ;=: an og L an er divergent. så er og så L u" divergent. 3. al bl Taylorrekker /," (a ) Taylorrekken til funk sjonenfi pu nktet a er: L (x _ alt ho k! Maciaurinrekken til en funk sjon er taylorrekken i punk tet O.

10 7 c) Spesielle potensrekker eller maclau rinrekker: ~ l t;x k ;:: 1+ x + x 2+ x = l - x - I -c x < J (geometrisk rekke). L k x- 2+3 ~ (_ l) hl.l* x2 x3 - = ln(l +x) for - i <x $ i '.1 i:(-i)' x", _, (2k)! X Z x" = cosx 21 4T ni ~ ( ml lt. ( I + x) = ~ kr' gjelder for -L c x c l, (med m postivt heltall bryter rekken av) ( *=0 1111_ 11I<11I - I) ( m - 2 )...(m - k + I) ( "'" _ k r k!. or l

11 8 4. Fourierrekker a} Periodiske funksjone r La f (l) være en periodi sk funksjon med periode 7: Fourier-rekken til! er en rekke på form en 00 +:t(a"cosvkil / ) + b" s in(tk1l/», der w = 2'l og koeffi sientene er gin ved _I T I 11'2., rr: ''u = T f 1 (1)dl a, =i f I (t )cos(",,, ldl. n = TI:! - 1 il., 1 ' 2 h" =f J j (t)sin(ij(!}f ) dt, n = I,). bl Konve rgen s av Fourier-rekke Fou rier-rekken til f(/ } kon'vergerer moi "'(1) hvor J.((t) i punkter derf er kontinuer lig, (I)=[I 2"( ff (1+) + (1- )).. d' k.. I punkter der j har sprang IS.onunuuet. c) Funk sjon er de finert på [O. L] = Cosinusre. kk c: s l(t ) = " L.Un COS(-l} n" der I L Sinusrekke: n= 1 L 2 L ao = - ft(t) dl a, = - ft (l ) C O S (~ t )dl. L o L o L n = I. hil =- ff (l) s in ( ~ 1) d'.i1= t. Il L dl l 2 3 s 6 Spesie lle integ raler cos ar x sinw: X COSlJ.wx l = - -, - + f a- a f l sin ( L"( xcosax.rstn zrrc l" =- -,- - a a 2 ' d: 2 Sl nær. x cosax x Sln ux x cos ar r = - - -, - T a a a f,. l., cos al" 2 xsinal" x sm al'( l' =_--,- +, J x 2 cosal" a a- a , + f ' d 6 cosax 6 x sm al' 3 x cosax x sm a l" x ccsarør e > f a a u" Cl 2 3 r. d 6 sm al' x cosa r 3 x sm al' x cosal' x smal' r = a a Cl a

12 9 Funksjoner av flere variable l. 2.deriver!-!es! Klassifisering av stasjonære punkter for funk sj onen[ (x,y) For et stasj onært punkt (a,b) med 0 2 / 0 2 / A = -2(a,b), B = - - (a,b), Bx BxBy har vi følgend e: f har isolert minimum i (a.h) når 0.>0 og A > O f ha r iso lert maksimum i (a.b) når 0.>0 og A < O f har sadelpunkt i (a,h) når o. < O