H ØGSKOLEN I B ERGEN Avdeling for inge niørutdanning

Transkript

1 H ØGSKOLEN I B ERGEN Avdeling for inge niørutdanning BOKMAL EKSAMEN I KLASSE DATO FOA DISK RET MATEMATIKK I DATA 18. DESEMBER 2007 ANTALL OPPGAVER ANTALL SIDER VEDLEGG 4 7 med vedlegg Fonnelsamling HJEL PEMIDLER Enkel kalkulator TID (4 timer) FAGLÆRER Odd Magne 0greid Postboks Bergen. Tlf , Fax Bcsøksadr.: Nygå rdsgt. 112, Bergen

2 Oppgave 1 a) Regn ut matriseprod uktet b) Løs differens likninge n c) Løs differenslikningen d) Bruk Euklids algoritme til å finne største felles divisor for tallene 1008 og 792. e) Hvor mange forskjellige ord er det mulig å lage ved å stokke om på bokstaven e i ordet MAT EMATIKK? f) Bruk matematisk induksjon til å vise at I I I I = " 2 n for alle positive heltall n. g) En grammatikk G ~ (N,T, P,u) er gitt ved N ~ {A, B,u), T = {O}, P = {u --> ADA,A D --> OO,OA --> OOOA, A --> O). Er denne grammatikken i) Kontek stsen sitiv? ii) Kontekstfri? iii) Regulær?

3 Oppgave 2 a) La utsag nene p, a. og r være gitt ved p: Jeg spiser for mye smågodt q: Jeg får hull i tennene t: Solen skinner Skriv opp de sam mensatte utsagnene i) r > q li) ( p M ) => (q M ) b) Undersøk om uttrykkene p z» q og ( p Ar) => (q A r ) er logisk ekvivalente. c) En boolsk funksjon er gitt ved f (p, q, r ) = «pa r) => (q A r )). Skriv opp denne funksjonen på disjunktiv normalform. d) Tegn et Karnaugh diagram for den boolske funksjonen f ( p,q,r ) og bruk dette til å forenkle den boolske funksjonen mest mulig. e) Tegn den logiske kretsen som representerer den foren kled e bool ske funksjonen du fant i d). Oppgave 3 Vi har gitt tre mengder A = {O, I,2,3,4}, B = {O, I,2} og C = {O,3,6,9}. Universalmengden U = {O, 1,2,3,4, 5,6,7,8,9} a) Skriv opp mengdene: i) (A - B)uC ii) (- C)(') A iii) B xc b) La R være en relasjon på A gitt ved xry hvis og bare hvis 2x + y er oddetall. i) Skriv relasjonen som en liste av ordnede par. ii) Representer re lasjonen som en digraf. iii) Represen ter relasjonen på matrise form. c) Er relasjonen R e n ekvivalensrelasjon? Er relasjonen R en funksjon? d) En funksjon f: A --> B er gitt ved f (x )=xmod3 (resten ette r divisjon med tallet 3) Und ersøk om denne funksjonen er injektiv og/elle r surjektiv.

4 Oppgave 4 2 A B 2 c 8 E 3 4 F G D H a) Skriv opp både nabomatrisen (adjacency matrix) og vek tmatrisen for de nne grafen. b) Hva er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at en graf skal være eulersk? Er denne grafen eulersk? Dersom den er eulersk skal du tegne inn en eulersk rute i grafen. c) Er denne grafe n ham iltonsk? Begrunn svaret ditt! Dersom den er hamiltonsk skal du tegne inn en hamiltonsk sykel i grafen. d) Finn et minste utspennende tre for denne grafen og teg n opp det treet du finner. Hva er totalvekten for det minste utspennende treet?

5 FORMELSAMLING FOR FOAl54 1. Mengdelære a) Assosiative lover: Au(BuC)=(A u B)uC An(BnC) =(A n B) n C b) Kommutative lover: A ub ~B ua A nb ~ B n A b) Identitetslover: A uø ~ A A nu=a A u U ~ U A n 0 = 0 c) Idempotente lover: AuA=A A na=a... A n (B u 0 ~ ~ n~ u (A n 0 d) Dist ributive lover: A u ( BnC) = (A u B) n (A u C) e) Komplementlover: Au-A= U -U = ø - ( - A)~ A An - A ~ Ø -0 ~U f) De Morgans lover: -(Au B)=- An - B - (A n B)=- Au - B 20Boolsk a lgebra a) Kommutative love r: p Aq~q Ap p vq = q vp b) Assosiative lover: p A (q A r) = (p A q) Ar p v(q vr)=(p v q) vr o. p A~ V~ -(p A~ V( p A~ c) Distributive lover: p v (q A r ) = (p v q) A (p V r ) d) Idempotente lover: e) Absorpsjonslover: p Ap=p p v p= p p A(pVq)=p p V (p Aq) ~p f) De Morgans lover: (p Aq)" ~ p' <r o' (p vq)" ~ p' rcq'

6 3. Kombinatorikk Binomialk oeffisienten: C(n, k) n! k!(n-k)! An tall muli ge utvalg for å trekke k elementer fra n elementer: Ordnet utvala: Uord net utvalu: Med tilbakelegg ing : n' C(n +k-l.n I) n! Uten tilbakel egging : (n- k )! C(n, k ) Binomialsetningen: (a+hr = I C(n,k)a"-"'b'" Differenslikninger Første ordens lineære likninger med kon stante koeffisienter: Likni ngen Sil = 0 5,,_1+ b, der a og b er kon stanter har løsning gitt ved: a llso+ a" - l b hvis ø se l s" = a - l { so+ nb hvis ø e l And re orde ns homog ene lin eære likninger med konstante koeffisienter: Likningen SIl = as,,_1+b S" ~2 ' der a og b er konstanter har løsning gitt ved: hvis x 2 = ax + b har to ulike ree lle løsninger fj og '2. hvis x 2 = ax + b har en reell løsning r. Lo sningsformelen for andregradslikninger: Løsningene på likningen ax 2 + bx + c = O finnes ved x = -b ± Jb'- 4ac 2a

7 5. Logiske porter L...,..,,-)f--- AND ----) >-- - NAND - D r--- OR ---I~>---- NOT 6. RSA-algoritmen Nøkkelkonstr u ksj on: l. Velg to primtall p og q. 2. Regn ut z~p'q og Ø=(p - I) (q- I) 3. Velg et tall n slik at ged(n,ø) = I 4. Beregn dct unike tallet s som ers!ik at n s mod Ø= l og O<s<ø. 5. Offentlig nøkkel: (z,n). Skjult nøk kel : (z,s). Kryptering og dekryptering: Det ukryptene tallet a skal sendes (0 :5 a < z - 1). l. Krypter tallet med offentlig nøkkel til c = a lt mod z. 2. Dckryptcr meldingen med skjult nøkkel til a = C" mod z, 7. Formelle språk Klassifiser-ing av grammatikker: G= (N,T,P,o:) er en grammatikk og 2 er nullstrengen. I. G kalle s en kontekstsen sitiv grammatikk dersom alle produksjonsregler P er på formen aap -'> aop, hvor a,p E (N v T)', A E N, o E (NvT )' -{J.}. 2. G kalles en kuntekstfr! grammatikk dersom alle produksjonsregler P er på formen hvor Ae N, oe (N ut)". 3. G kalles en regulær grammat ikk dersom alle prod uksjonsregler P er på forme n A ~ a eller A ~ ab eller A ~ )~, hvor A,B e N. aet.