True False. Q(0, 1, 2) yq(0, y, y) x yq(x, y, 10) x yq(x, y, x + x) y xq(x, y, x + x) x y Q(x, y, x + x) y x Q(x, y, x + x) x y zq(x, y, z)

Transkript

1 BOKMÅL-MNF130 Kand.nr:... Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I BERGEN Eksamen i emnet MNF130 - Diskrete Strukturer Onsdag 8. juni 2005, kl , dvs 5 timer. Skriv ditt kanidatnr øverst på hver side og besvar alle oppgavene på den angitte plass. Legg ved ekstra-ark kun dersom nødvendig. Ingen hjelpemidler tillatt. Oppgavesettet består av 10 oppgaver. Oppgave 1. La diskursuniverset være heltallene, og la Q(a, b, c) være utsagnet a + b c. Angi sannhetsverdien for hver av de kvantifiserte utsagnene under ved å sette kryss i kolonnen for True=Sann eller False=Usann. Q(0, 1, 2) yq(0, y, y) x yq(x, y, 10) x yq(x, y, x + x) y xq(x, y, x + x) x y Q(x, y, x + x) y x Q(x, y, x + x) x y zq(x, y, z) x y zq(x, y, z) x y zq(x, y, z) True False

2 Oppgave 2. a) Er proposisjonene A og B logisk ekvivalente? Gi et bevis for ditt svar. A : (p q) r B : p (q r) b) Er proposisjonene C og D logisk ekvivalente? Gi et bevis for ditt svar. C : p ( p q) D : (p q) q

3 8 A C 6 3 B Oppgave 3. Figuren over viser et Venn-diagram for 3 mengder A, B og C. Tallene fra 1 til 8 i figuren angir unike områder som tilsammen partisjonerer diskursuniverset, dvs områdene er parvis ikke-overlappende og deres union er hele universet. I tabellen under skal du for hver rekke angi en sum av områder fra Venn-diagrammet som tilsammen skal tilsvare det gitte mengdeteoretiske uttrykk over A,B og C. For første rekken er svaret gitt, dvs komplementet til B tilsvarer områdene Mengdeteoretisk uttrykk Tilsvarende områder i Venn-diagrammet B C C B (A B) (B C) {x : x A (x B x C)} {x : x (A B C) (A B C)} A B C (A B) (B C) (C A)

4 Oppgave 4. Teoremet under er ikke riktig. Forklar hva som er feil i beviset : Teorem: Hvis n er et positivt heltall, så har vi for alle positive heltall a og b, at a og b er like hvis det største av de er lik n. Bevis: La P (n) betegne påstanden gitt i teoremet. Vi viser P (n) v.h.a. induksjon. Induksjonsbasis: P (1) er opplagt riktig. Induksjonssteg: Anta P (n). La a og b være positive heltall, og anta at a er det største av disse, og at a = n + 1. Det største av tallene a 1 og b 1 er dermed n, og det følger av induksjonshypotesen at a 1 = b 1. Dermed er også a = b, og vi har bevist påstanden P (n + 1).

5 Oppgave 5. Vi skal jobbe med antall n-kombinasjoner av en 2n-mengde, benevnt C(2n, n) eller ( 2n n ) i læreboken. a) Skriv C(2n, n) som en brøk. b) Vis ved induksjon at C(2n, n) 2 2n for alle n.

6 Oppgave 6. I en gruppe på 6 personer, der hvert par enten er venner eller fiender, finnes det 3 personer hvor enten alle er venner med hverandre eller alle er fiender med hverandre. Bevis utsagnet eller gi et moteksempel.

7 Oppgave 7. La R betegne relasjonen {(x, y) : x < y} definert på alle heltall. a) Er R refleksiv? b) Er R transitiv? c) Er R symmetrisk? d) Er R antisymmetrisk? e) Anta at R er definert over A = {1, 2, 3, 4}. Finn null-én matrisen (binær matrisen) som definerer relasjonen, og bruk den til å definere R 2. Hvilke elementer har R 2?

8 Oppgave 8. I denne oppgaven ser vi på den partielle ordningen (poset) definert på mengden ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, ) hvor x y betyr 2x y a) Tegn Hassediagrammet. b) Finn alle maksimale elementer og angi om det finnes et største element. c) Finn alle øvre grenser (upper bounds) av {2, 3}, og angi om {2, 3} har en minste øvre grense (least upper bound). d) Hva mener vi med et gitter (lattice)? Er den partielt ordnete mengden gitt i denne oppgaven et gitter?

9 Oppgave 9. En gruppe på n studenter deltar i en sjakkturnering der alle skal spille nøyaktig ett parti mot hver av de andre. Vinneren av partiet får ett poeng, mens taperen får null poeng. Ender partiet med remis (uavgjort), kåres spilleren med de svarte brikkene til vinner, og får således poenget. Rekkefølgen som partiene skal spilles i avgjøres med loddtrekning. Bare ett parti spilles om gangen. a) Er det mulig at det på et punkt i turneringen ikke finnes to spillere som har samlet like mange poeng? Gi et eksempel, eller bevis at det er umulig. Forklar eventuelt hvilket prinsipp som ligger til grunn for beviset. b) Er det mulig at det på et punkt i turneringen ikke finnes to spillere som har spilt like mange parti? Gi et eksempel, eller bevis at det er umulig. Forklar eventuelt hvilket prinsipp som ligger til grunn for beviset.

10 Oppgave 10. Gi produksjonene P for en grammatikk G = (V, T, S, P ) med vokabular V = {0, 1, S, A, B}, med terminaler T = {0, 1}, og startsymbol S slik at grammatikken genererer mengden av strenger. {0 m 1 n 0 n : n 0 m 1} Antonella Zanna Munthe-Kaas Dag Haugland