Emnenavn: Matematikk for IT. Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide

Transkript

1 EKSAMEN Emnekode: ITF75 Dato: 4. desember 6 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Emnenavn: Matematikk for IT Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide Kalkulator er ikke tillatt. Om eksamensoppgaven og poengberegning: Oppgavesettet består av 7 sider inklusiv denne forsiden og to sider med vedlegg. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavesettet består av oppgaver med totalt 5 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle like mye. Der det er mulig skal du: Vise utregninger og hvordan du kommer fram til svarene. egrunne dine svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål. Sensurfrist:. januar 7 Karakterene er tilgjengelige for studenter på Studentweb senest virkedager etter oppgitt sensurfrist.

2 Oppgave Gitt tre mengder, A, og C som vist i venndiagrammene nedenfor. Angi de gråfargede mengdene ved hjelp av mengdeoperatorer som snitt og union). Disse to spørsmålene teller som én deloppgave til sammen). i) A C ii) A C Oppgave Mengdedifferanse kan defineres slik: A A enytt dette sammen med lovene på vedlagte ark til å vise at A A ruk kun én lov i hver trinn, og angi for hvert trinn hvilken lov du bruker. ITF75 Matematikk for IT, desember 6 Side av 7

3 Oppgave 3 Konverter det binære tallet til det heksadesimale tallsystemet altså tallsystemet med grunntall 6). Oppgave 4 enytt sannhetstabeller til å undersøke om følgende utsagn er logisk ekvivalente: p q) i) q p q) p q ii) ) Oppgave 5 ruk induksjonsbevis til å vise at følgende gjelder for alle n Z = {,, 3, }: n 3n ) 4 7 3n ) Oppgave 6 Gitt en funksjon f : A. Anta at f er injektiv, men ikke nødvendigvis surjektiv. Hvilke av følgende påstander er da korrekte. egrunn svaret. i) ii) iii) iv) v) A A A A A Oppgave 7 Lag en endelig tilstandsmaskin med binær inngang og utgang som gir -er ut når inndatasymbolet den leser er likt det foregående inndatasymbolet, og -er ut ellers. For eksempel skal inndatastrengen gi følgende ut:. ITF75 Matematikk for IT, desember 6 Side 3 av 7

4 Oppgave 8 Gitt en rettet graf G = V, E) med nodemengde V { a, b, c, d, e} Kantmengden er gitt av følgende nabomatrise: M a) Tegn den rettede grafen, G. b) Vi kan betrakte kantmengden, E, som en relasjon på mengden V. i. egrunn om denne relasjonen er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og/eller transitiv. ii. enytt dette til å avgjøre om relasjonen er en ekvivalensrelasjon, en delvis ordning eller ingen av delene. Oppgave 9 a) Finn den generelle allmenne) løsningen av følgende differensligning: y n yn 8yn b) Finn den generelle løsningen av følgende differensligning: yn yn 8yn n Oppgave Gitt en grammatikk med startsymbol s, hvor mengden av ikke-avslutningssymboler er N = {s, t, u} og mengden av avslutningssymboler er T = {, }. Grammatikken har følgende produksjonsregler: s tu u t t t Er denne grammatikken kontekstfri, regulær eller ingen av delene? egrunn svaret. ITF75 Matematikk for IT, desember 6 Side 4 av 7

5 Oppgave Nedenfor er grafene G V, ) og G V, ) tegnet. E E a 3 c b e d 4 5 f 6 G V, ) G V, ) E E a) Er G V, ) en eulergraf? egrunn svaret, og finn i så fall en eulersyklus. E b) Er G og G isomorfe? egrunn svaret. Dersom de er isomorfe må du også angi en isomorfi f : V V. Dersom de ikke er isomorfe må du forklare hvorfor de ikke er det. Oppgave En turingmaskin er definert ved følgende fem-tupler:. s,, s,, R). s,, s,, R) 3. s,, s,, R) 4. s,, s,, R) 5. s,, s,, L) Anta nå at vi kjører turingmaskinen med en tape som ved oppstart ser slik ut: i) Angi hvordan tapen ser ut etter kjøringen altså hvilke symboler som står i de ulike cellene). ii) Angi også hvilken av tilstandene turingmaskinen er i etter kjøringen. ITF75 Matematikk for IT, desember 6 Side 5 av 7

6 Eksakte trigonometriske verdier for noen vinkler ITF75 Matematikk for IT, desember 6 Side 6 av 7

7 CFH,.9.4 Lover for logikk og mengder Lov Logikk Mengder. Assosiative lover p q) r p q r) A ) C = A C) p q) r p q r) A ) C = A C). Kommutative lover p q q p A = A p q q p A = A 3.Distributive lover p q r) p q) p r) A C) = A ) A C) p q r) p q) p r) A C) = A ) A C) 4. De Morgans lover p q) p q A A p q) p q A A 5. Idempotenslover p p p A A = A p p p A A = A 6.Absorpsjonslover p p q) p A A ) = A p p q) p A A ) = A 7. Dobbel negasjon / Involusjonslov p) p A A 8. Inverslover p p S A A U p p F A A 9. Identitetslover p S p A U A p F p A A. Dominanslover p F F A = p S S A U = U. Implikasjon p q p q. Kontrapositive p q q p utsagn Inklusjons- og eksklusjonsprinsippet A C = A + + C A A C C + A C ITF75 Matematikk for IT, desember 6 Side 7 av 7