Egenskaper til relasjoner på en mengde A.

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Egenskaper til relasjoner på en mengde A."

Transkript

1 Egenskaper til relasjoner på en mengde A. Refleksivitet Relasjonen er refleksiv hvis (a, a) R for alle a A. Vi kan se det ut fra: 1) Grafen: R er refleksiv hvis alle punktene i grafen har en sløyfe. 2) Matrisen: R er refleksiv hvis hoved-diagonalen kun inneholder 1 ere. Symmetri Relasjonen R er symmetrisk hvis det for alle a, b A slik at (a, b) R, så (b, a) R. Vi kan se det ut fra: 1) Grafen: R er symmetrisk hvis der det går en pil/kant mellom to punkter også går en pil motsatt vei mellom punktene. 2) Matrisen: R er symmetrisk hvis M R er en symmetrisk matrise. Husk: En matrise M er symmetrisk hvis M = M T Antisymmetri En relasjon R på en mengde A er antisymmetrisk hvis det for alle a, b A er slik at (a, b) R så er (b, a) R. Vi kan se det ut fra: 1) Grafen: R er antisymmetrisk hvis alle piler/kanter i grafen går kun én vei. 2) Matrisen: Hvis det står 1 et sted utenfor hoved-diagonalen, må det stå 0 på motsatt side speilet om hoved-diagonalen. Transitivitet En relasjon R på en mengde A er transitiv hvis det for alle (a, b) R og (b, c) R, er slik at også (a, c) R. Dette kalles også for «trekantregelen». 1

2 Dette betyr at hvis det går en pil/kant fra a til b og det går en pil/kant fra b til c, så går det også en pil/kant fra a til c. Hvis det går piler/kanter begge veier mellom to punkter må begge punktene ha «sløyfer» for at relasjonen skal være transitiv: Ekvivalensrelasjoner En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Partielle ordninger En relasjon R på en mengde A er en Partiell ordning hvis den er refleksiv, anti-symmetrisk og transitiv. Kombinasjoner av relasjoner En relasjon R på A er en delmengde av AxA. La R og S være to relasjoner på A. Da vil også R S, R S, R S, S R og R S være relasjoner på A. La M R og M S være matrisene til henholdsvis R og S. Da har vi at M R S = M R M S M R S = M R M S Sammensetningen av to relasjoner La R og S være to relasjoner på A. Sammensetningen av R og S betegnes som 2

3 S R = {(a, c) a A, c A slik at det finnes en b A der (a, b) R og (b, c) S} La M R og M S være matrisene til henholdsvis R og S. Da gjelder M S R = M R M S (NB! Legg merke til rekkefølgen av S og R) Eksempel La A = {1, 2, 3}. Relasjonene R og S på A er definert som R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)} S = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 3)} S R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), ( 3, 2)} En vei (eng. path) i en relasjonsgraf Eksempel La A = {a, b, c, d, e } og relasjonen R på A gitt ved R = {(a, b), (a, d), (b, a), (b, c), (b, e), (c, d), (d, e)} 3

4 Det går en vei fra et punkt til et annet punkt hvis det er mulig å gå fra det første til det andre punktet ved å følge kantene I pilens retning. Veien består av endepunktene (start/slutt) og de punktene vi passerer. Veiens lengde er antall kanter. Spørsmål 1 Hvor mange veier finnes det fra a til e? 1) a, b, e 2) a, d, e 3) a, b, a, d, e osv. Spørsmål 2 Hvilke par (x, y) er det som har en vei fra x til y med lengde 2? Svar: (a, a), (a, c), (a, e), (b, b), (b, d) og (c, e). Vi kan også finne dette ved hjelp av et matriseprodukt: Vi finner at Det går en vei fra x til y hvis det står 1 på plassen til (x, y) i matrisen. 4

5 Generell regel: La M R [n] = M R M R M R M R Da vil det finnes en vei med lengde n fra x til y hvis det står 1 på plassen til (x, y) i matrisen M R [n]. Utvidelser av relasjoner - tillukninger Hvis en relasjon R på en mengde A ikke er refleksiv, symmetrisk eller transitiv, kan den utvides til å bli henholdsvis refleksiv, symmetrisk eller transitiv ved å legge til nødvendige verdipar for å oppnå egenskapen. 1) Den minste mulige utvidelsen som gjør relasjonen R refleksiv kalles den refleksive tillukningen. Den blir refleksiv ved å ta med de parene som mangler, dvs. parene med lik første og andrekoordinat, f.eks. (a, a), (b, b), (c, c) osv. 2) Den minste mulige utvidelsen som gjør relasjonen R symmetrisk kalles den symmetriske tillukningen. Den blir symmetrisk ved å ta med de parene som mangler, dvs. hvis paret (a, b) R, må man legge til (b, a) (hvis paret ikke allerede er med). 3) Den minste mulige utvidelsen som gjør relasjonen R transitiv kalles den transitive tillukningen. Den blir transitiv ved å ta med de parene som mangler, dvs. hvis parene (a, b) R og (b, c) R, må man legge til paret (hvis paret ikke allerede er med). 5

6 Eksempel på transitiv tillukning av en relasjon. La A = {a, b, c, d} og R = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, c), (c, b), (c, c)} Vi foretar en transitiv tillukning ved å legge til verdiparene (a, c) og (b, b). Formel La M R være matrisen til R. Anta at M R er en nxn-matrise. Da vil matrisen M R M R M R [3].. M R [n] være matrisen til den transitive tillukningen til R. Begrunnelse: M R inneholder de parene (x, y) der det går en vei med lengde 2 fra x til y, dvs. slik: men der (x, y) er med: 6

7 Derfor M R M R. inneholder parene (x, y) der det går en vei med lengde 3 fra x til y, dvs. slik: M R [3] men da må vi ha med og dermed: Med andre ord må (x, y) være med. Derfor M R M R M R [3] osv. 7

Relasjoner - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2017

Relasjoner - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2017 Relasjoner Utdrag fra avsnitt 9.1, 9.3, 9.4 og 9.5 i læreboka 9.1 - Relasjoner 9.3 - Operasjoner på relasjoner 9.4 - Utvidelser av relasjoner - tillukninger 9.5 - Ekvivalensrelasjoner og ekvivalensklasser

Detaljer

Først litt repetisjon

Først litt repetisjon Først litt repetisjon En relasjon er en mengde av verdipar, der første koordinaten a er fra mengden A og andrekoordinaten b er fra mengden B. Verdiparet beskriver en forbindelse (en relasjon) fra a til

Detaljer

Relasjoner - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015

Relasjoner - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015 Relasjoner Utdrag fra avsnitt 9.1, 9.3, 9.4 og 9.5 i læreboka 9.1 - Relasjoner 9.3 - Operasjoner på relasjoner 9.4 - Utvidelser av relasjoner - tillukninger 9.5 - Ekvivalensrelasjoner og ekvivalensklasser

Detaljer

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk

Detaljer

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk

Detaljer

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0 Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0

Detaljer

LO118D Forelesning 5 (DM)

LO118D Forelesning 5 (DM) LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en

Detaljer

Relasjoner. Ekvivalensrelasjoner. En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden. La R være en relasjon på en mengde A.

Relasjoner. Ekvivalensrelasjoner. En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden. La R være en relasjon på en mengde A. Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis ( a, a) R for alle a A. R er symmetrisk hvis ( a, b) R, så er (

Detaljer

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)} Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a,

Detaljer

Løsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk. Høsten 2018

Løsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk. Høsten 2018 Løsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk Oppgave 1. ( 9 3 ) = 9 8 7 3 2 1 = 3 4 7 = 84 Høsten 2018 {1, 5, 9}, {1, 6, 8}, {2, 4, 9}, { 2, 5, 8}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}, {3, 5, 7},

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2016

Matematikk for IT, høsten 2016 Matematikk for IT, høsten 2016 Oblig Løsningsforslag 16. september 2016 2.4.1 a) {(0, 1), (0, 2), (1, 2)} b) {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} c) {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (2, 0)} d) {(0, 0), (1, 0), (1,

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst 2014. Oppgave 1 er med kommentarer En funksjon f : R R er en polynomfunksjon hvis f kan defineres som f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n hvor n 0 og a 0,..., a n er reelle

Detaljer

Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017

Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017 Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk 29. november 2017 Oppgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 teller likt. For å få full score må man vise hvordan man har kommet frem til svarene (ved f. eks. figurer eller

Detaljer

MAT1030 Plenumsregning 9

MAT1030 Plenumsregning 9 MAT1030 Plenumsregning 9 Ukeoppgaver Mathias Barra - 13. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-17 09:35) Oppgave 5.18 Avgjør om følgende relasjoner refleksive, irrefleksive, symmetriske, antisymmetriske eller

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 3: MENGDELÆRE, RELASJONER, FUNKSJONER Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 26. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-05 12:55) Repetisjon

Detaljer

Repetisjon INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 3: MENGDELÆRE, RELASJONER, FUNKSJONER. Mengder. Multimengder og tupler.

Repetisjon INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 3: MENGDELÆRE, RELASJONER, FUNKSJONER. Mengder. Multimengder og tupler. INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 3: MENGDELÆRE, RELASJONER, FUNKSJONER Roger Antonsen Repetisjon Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 26. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-05 12:55)

Detaljer

Repetisjonsforelesning - INF1080

Repetisjonsforelesning - INF1080 Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag)

Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag) Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag 1 Grunnleggende mengdelære La A = {0, {0}} og B = {0, {0}, {0, {0}}}. Er følgende påstander sanne eller usanne? 1 {{0}} A 2 0 B 3 A B 4 A B 1 Usann 2 Usann 3 Sann

Detaljer

MAT1030 Forelesning 12

MAT1030 Forelesning 12 MAT1030 Forelesning 12 Relasjoner Dag Normann - 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) Kapittel 5: Relasjoner Repetisjon En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på 5 sider.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave

Detaljer

Kapittel 5: Relasjoner

Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1. Onsdag 18. september Løsningsforslag

Matematikk for IT. Prøve 1. Onsdag 18. september Løsningsforslag Matematikk for IT Prøve 1 Onsdag 18. september 2013 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Er 26 11 (mod 3)? Begrunn svaret. Dette spørsmålet betyr: Gir 26 : 3 samme rest som 11 : 3? Vi ser at 26 : 3 gir rest 2,

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen høst 2016

Løsningsforslag til eksamen høst 2016 Løsningsforslag til eksamen høst 2016 Hver oppgave tildeles maksimalt 10 poeng. Høyeste poengsum er 100 Karaterer: 90 A 75 B < 90 60 C < 75 50 D < 60 0 E < 50 F < 40 Oppgave 1 a) 3 poeng Ingen av de tre

Detaljer

Ukeoppgaver fra kapittel 5 & 6, mm T F T F 2 F T T F 3 F T T F 4 F F F T

Ukeoppgaver fra kapittel 5 & 6, mm T F T F 2 F T T F 3 F T T F 4 F F F T Plenumsregning 7 Ukeoppgaver fra kapittel 5 & 6, mm. Roger Antonsen - 28. februar 2008 Oppgave 5.16 La R være relasjonen på {a, b, c, d} definert av følgende matrise. (a) Tegn den grafiske representasjonen

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 7: Ukeoppgaver fra kapittel 5 & 6, mm. Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 28. februar 2008 Oppgave 5.16 La R være relasjonen på {a, b, c,

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015 Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 17. september 2015 Løsningsforslag 22. september 2015 Oppgave 1 Gitt følgende mengder A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2} og C = {0, 3, 6, 9} Universet er U = {0, 1, 2,

Detaljer

TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016

TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 016 Seksjon 5 4 a) Ved å observere at 18 4 + 7, 19 3 4 + 7, 0 4 5 og 1 3 7 så ser vi at P(18),

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B =

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Oppgave 1 a) Sett opp en sannhetsverditabell(truth table) for det logiske uttrykket

Detaljer

MAT1030 Forelesning 11

MAT1030 Forelesning 11 MAT1030 Forelesning 11 Relasjoner Roger Antonsen - 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner Binære relasjoner Definisjon. La A være en mengde. En binær relasjon på A er

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret

Detaljer

Kapittel 5: Relasjoner

Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) MAT1030 Diskret

Detaljer

i Dato:

i Dato: c:- høgskolen i oslo I Emne I EmnlekOde: I FagligvelIeder: Diskret matematikk FO 019A UJfUttersrud raruppe( r): i Dato: - I Eksamenstid: 12.12.2005 9-14 I Eksam-ensopp gavenbestår av: I Antall sid~nkl

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 18. september Løsningsforslag

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 18. september Løsningsforslag 23.09.2014 Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 18. september 2014 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Gitt tallet BD 16. Konvertér dette tallet til titallsystemet. Siden B 16 = 11 10 og D 16 = 13 10 blir dette

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF Logiske metoder for informatikk Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Ingen Tillatte

Detaljer

Før vi begynner. Kapittel 5: Relasjoner og funksjoner. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt om obligen og studentengasjementet

Før vi begynner. Kapittel 5: Relasjoner og funksjoner. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt om obligen og studentengasjementet MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner og litt funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Før vi begynner 3. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-04 01:00) MAT1030

Detaljer

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting Forelesning 13 Dag Normann - 25. februar 2008 Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner. Vi definerte hva vi mener med partielle ordninger og med totale ordninger. Deretter snakket

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 25. februar 2008 Opphenting Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner.

Detaljer

Forelesning 11. Relasjoner. Dag Normann februar Oppsummering. Relasjoner. Relasjoner. Relasjoner

Forelesning 11. Relasjoner. Dag Normann februar Oppsummering. Relasjoner. Relasjoner. Relasjoner Forelesning 11 Dag Normann - 18. februar 2008 Oppsummering Vi har gjort oss ferdige med innføringen av Boolesk mengdelære. Bruk av Venn-diagrammer er et av læringsmålene i dette emnet. Vi så kort på digital

Detaljer

Eksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301)

Eksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Steffen Junge (73 59 17 73 / 94 16 27 27) Eksamen i Elementær Diskret Matematikk -

Detaljer

MAT1030 Forelesning 13

MAT1030 Forelesning 13 MAT1030 Forelesning 13 Funksjoner Roger Antonsen - 4. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:57) Kapittel 6: Funksjoner Opphenting Forrige forelesning snakket vi veldig grundig om relasjoner Vi snakket

Detaljer

En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha.

En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha. Forelesning 12 Relasjoner, Dag Normann - 20. februar 2008 Oppsummering En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Relasjoner. Relasjoner. Forelesning 11: Relasjoner

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Relasjoner. Relasjoner. Forelesning 11: Relasjoner Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 11: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 18. februar 2008 Vi har gjort oss ferdige med innføringen av Boolesk mengdelære.

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 13: Funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 4. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:57) Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Ekvivalensrelasjoner. Oppsummering. Definisjon. Merk

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Ekvivalensrelasjoner. Oppsummering. Definisjon. Merk Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 12: Relasjoner, Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. februar 2008 En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 8: Ukeoppgaver Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 6. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 19:11) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p,

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Forelesningsnotat i Diskret matematikk tirsdag 1. november Pascals trekant. Legg merke til møsteret! Det gir oss Pascals identitet:

Forelesningsnotat i Diskret matematikk tirsdag 1. november Pascals trekant. Legg merke til møsteret! Det gir oss Pascals identitet: Pascals trekant Legg merke til møsteret! Det gir oss Pascals identitet: ( n + 1 k ) = ( n k 1 ) + (n k ) 1 Sjekk med tabellen! La n = 5, og k = 4: ( 5 + 1 2 ) = (6 2 ) = (5 1 ) + (5 2 ) Det stemmer! 15

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 13: Funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 4. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:57) MAT1030 Diskret

Detaljer

LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA

LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Haaken A. Moe 92650655 Bokmål LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA4140 2008 Oppgave 1 (10%)

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Løsningsforslag Øving 7 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008

Løsningsforslag Øving 7 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 Løsningsforslag Øving 7 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 008 3-1-9 prosedyre palindromsjekk (a 1, a,..., a n : streng) svar :=sann for i := 1 to n/ if a i a n+1 i then svar :=usann {svaret er sant hvis

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Innledning La U være mengden

Detaljer

EKSAMEN. Emne: Emnekode: Matematikk for IT ITF Dato: Eksamenstid: til desember Hjelpemidler: Faglærer:

EKSAMEN. Emne: Emnekode: Matematikk for IT ITF Dato: Eksamenstid: til desember Hjelpemidler: Faglærer: EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 05 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: 09.00 til 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Høgskolen i Agder. Institutt for matematiske fag EKSAMEN

Høgskolen i Agder. Institutt for matematiske fag EKSAMEN Høgskolen i Agder Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA1040 Matematikk for IT-studenter Mandag 5. mai 2003, kl. 09 00 13 00 Alle trykte og skrevne hjelpemidler er tillatt. Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

MAT1030 Forelesning 13

MAT1030 Forelesning 13 MAT1030 Forelesning 13 Funksjoner Dag Normann - 2. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-02 14:15) Kapittel 6: Funksjoner Forrige uke Forrige forelesning snakket vi om relasjoner. Vi snakket om ekvivalensrelasjoner

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1 Løsningsforslag. Fredag 23. september september Oppgave 1

Matematikk for IT. Prøve 1 Løsningsforslag. Fredag 23. september september Oppgave 1 Matematikk for IT Prøve 1 Løsningsforslag Fredag 23. september 2016 23. september 2016 Oppgave 1 Er 29 17 (mod 4)? Begrunn svaret. Dette kan vi lettest sjekke ved å se om 4 deler 29 17. 29 17 = 12. Vi

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 25. november 2011 Tid for eksamen: 14:45 16:45 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)

Detaljer

TMA4140 Diskret matematikk Høst 2011 Løsningsforslag Øving 7

TMA4140 Diskret matematikk Høst 2011 Løsningsforslag Øving 7 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av?? TMA4140 Diskret matematikk Høst 011 Løsningsforslag Øving 7 7-1-10 a) Beløpet etter n 1 år ganges med 1.09 for å

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 2. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-02 14:14) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Kapittel 5: Relasjoner

Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 23. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-23 14:33) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG KONT 07, TMA4140

LØSNINGSFORSLAG KONT 07, TMA4140 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG KONT 07, TMA4140 Oppgave 1 (10%) Utsagnet ( ( (p q)) r ) ( q p ) får sannhetstabellen: p q r (p

Detaljer

Løsningsforslag oblig. innlevering 1

Løsningsforslag oblig. innlevering 1 Løsningsforslag oblig. innlevering 1 IN1150 Logiske metoder Høsten 2017 Oppgave 1 - Mengdelære (10 poeng) a) Ut fra opplysningene under, angi hvilke mengder A og B er. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2,

Detaljer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) En graf er en samling punkter (noder) og kanter mellom punktene (eng. nodes, vertex, edge). En graf kalles rettet hvis kantene har en retning og urettet hvis kantene

Detaljer

Løsningsforslag. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:

Løsningsforslag. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer: Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 7. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To -ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det

Detaljer

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}.

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon Martin Giese - 23. januar 2008 1 Mengdelære 1.1 Mengder Mengder Definisjon 1.1. En mengde er en endelig eller uendelig samling objekter der innbyrdes rekkefølge og

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200

Detaljer

MAT1030 Forelesning 23

MAT1030 Forelesning 23 MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk

Eksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA414 Diskret matematikk Faglig kontakt under eksamen: Christian Skau Tlf: 97 96 5 57 Eksamensdato: 15. desember 217 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. september 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. september 2014 Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 29. september 2014 Oppgave 1. La K være et tredimensjonalt konvekst polyeder. La K være mengden av hjørner, K mengden av kanter, og F K mengden av sideflater. To 3-dimensjonale

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til

Detaljer

Forelesningsnotat i Diskret matematikk 27. september 2018

Forelesningsnotat i Diskret matematikk 27. september 2018 Kvadratiske matriser Hvis en matrise A er kvadratisk kan den multipliseres med seg selv. Vi skriver vanligvis A 2 istedenfor AA, A 3 istedenfor AAA, osv. Spesielt er A 1 = A. Enhetsmatriser, også kalt

Detaljer

Matematikk for IT Eksamen. Løsningsforslag

Matematikk for IT Eksamen. Løsningsforslag HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk for IT Eksamen 4. januar 2019 Løsningsforslag Christian F. Heide January 10, 2019 OPPGAVE 1 En spørreundersøkelse blant en gruppe studenter

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 0:, Induksjon Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 23. januar 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 23.01.2008 2 / 47 1

Detaljer

Cr) Høgskoleni østfold

Cr) Høgskoleni østfold Cr) Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: ITF10705Matematikk for IT Dato:Eksamenstid: 15. desember 2015 09.00 til 13.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke

Detaljer

True False. Q(0, 1, 2) yq(0, y, y) x yq(x, y, 10) x yq(x, y, x + x) y xq(x, y, x + x) x y Q(x, y, x + x) y x Q(x, y, x + x) x y zq(x, y, z)

True False. Q(0, 1, 2) yq(0, y, y) x yq(x, y, 10) x yq(x, y, x + x) y xq(x, y, x + x) x y Q(x, y, x + x) y x Q(x, y, x + x) x y zq(x, y, z) BOKMÅL-MNF130 Kand.nr:... Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I BERGEN Eksamen i emnet MNF130 - Diskrete Strukturer Onsdag 8. juni 2005, kl. 09-14, dvs 5 timer. Skriv ditt kanidatnr

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. november 2012 Tid for eksamen: 13:00 16:00 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)

Detaljer

EKSAMEN. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:

EKSAMEN. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer: EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 7. desember 0 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den

Detaljer

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik: Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles

Detaljer

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik: Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles

Detaljer

Del-hele relasjonen har disse tre egenskapene, og vi tar den som fundamental.

Del-hele relasjonen har disse tre egenskapene, og vi tar den som fundamental. Mereologi FIL4100 Mereologi er en formell teori om del-hele relasjonen. Del-hele relasjonen < er en refleksiv, antisymmetrisk og transitiv relasjon (en såkalt partiell ordning). NB, Simons starter med

Detaljer