EKSAMEN. Emne: Emnekode: Matematikk for IT ITF Dato: Eksamenstid: til desember Hjelpemidler: Faglærer:

Transkript

1 EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 05 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: til 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian F Heide Eksamensoppgaven: Oppgavesettet består av 7 sider inklusiv denne forsiden og et vedlegg på én side. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavesettet består av 5 oppgaver. Ved sensur vil alle de 5 oppgavene telle like mye med unntak av oppgave 9 som teller som to oppgaver. I oppgaver med delspørsmål, vil krevende og mer omfattende delspørsmål kunne telle mer enn enkle delspørsmål. Der det er mulig skal du: vise utregninger og hvordan du kommer fram til svarene begrunne dine svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål Sensurdato: Torsdag 4. januar 06 Karakterene er tilgjengelige for studenter på studentweb senest virkedager etter oppgitt sensurfrist. Følg instruksjoner gitt på: Eksamen i Matematikk for IT, desember 05 Side av 7

2 Oppgave Anta at universet i denne oppgaven er alle katter i verden. Følgende predikater er definert: Hx): x har hale Mx): x fanger mus enytt disse predikatene sammen med kvantorer og ) til å uttrykke følgende: a) Det finnes minst en katt som ikke har hale. b) Alle katter som ikke har hale fanger mus. Oppgave a) Konverter binærtallet til heksadesimalt. b) Konverter desimaltallet 47 til binært. Oppgave 3 a) enytt venndiagram til å vise at. b) ruk resultatet i oppgave a, altså at, sammen med lovene på vedlagte ark til å vise at kan forenkles til ) A. ruk kun én lov i hvert trinn og angi hvilken lov du bruker. Oppgave 4 ruk sannhetstabeller til å undersøke om følgende sammensatte utsagn er en tautologi: p q) p r) Eksamen i Matematikk for IT, desember 05 Side av 7

3 Oppgave 5 Du skal bevise utsagnet Hvis 3n + er et partall, så er n et oddetall. a) Hva er det kontrapositive utsagnet til det gitte utsagnet. b) ruk kontrapositivt bevis til å bevise utsagnet «Hvis 3n + er et partall, så er n et oddetall». Oppgave 6 ruk induksjonsbevis til å vise at følgende gjelder for alle n Z = {,, 3, }: 3 n n ) n n Oppgave 7 Ved IT-studiet ved en høgskole, var det 67 studenter som tok eksamen i minst ett av fagene matematikk, programmering og databaser. 56 studenter tok eksamen i matematikk, 55 tok eksamen i programmering, mens 53 tok eksamen i databaser. 46 tok eksamen i både matematikk og programmering. Det var like mange som tok eksamen i både matematikk og databaser som dem som tok eksamen i både programmering og databaser. 39 studenter tok eksamen i alle tre fagene. Hvor mange tok eksamen i både matematikk og databaser? Oppgave 8 På hvor mange måter er det mulig å lage en komite som består av tre jenter og tre gutter i en skoleklasse med jenter og 4 gutter? Siden kalkulator ikke er tillatt på denne eksamen, trenger du ikke å regne ut svaret, men bare sette opp hvordan det skal regnes ut og forkorte brøken du får mest mulig.) Eksamen i Matematikk for IT, desember 05 Side 3 av 7

4 Oppgave 9 teller som to oppgaver) a) Finn den generelle allmenne) løsningen til følgende differensligning: y n 4yn 4yn 0 b) Finn den generelle allmenne) løsningen til følgende differensligning: y n 4yn 4yn 9n Merk at venstre side av denne differensligningen er lik venstre side av ligningen i spørsmål a. 6 c) Finn konstantene som inngår i løsningen til oppgave b når startbetingelsene er y 0 4 og y 7, og skriv opp den løsningen du da får. Oppgave 0 En bitstreng sies å ha like paritet dersom antall -ere i bitstrengen er et partall. Konstruer en endelig automat tilstandsmaskin uten utgang) som gjenkjenner alle ikke-tomme strenger som har like paritet. Husk at 0 regnes som et partall. Oppgave Relasjonen R på mengden A = { a, b, c, d} er gitt ved R = {a, a), a, b), a, c), b, a), b, b), b, d), c, a), c, c), c, d), d, b), d, c), d, d)} a) Hvilke av egenskapene refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og transitiv har denne relasjonen? egrunn svaret for hver av egenskapene. b) enytt disse egenskapene til å begrunne om relasjonen er en ekvivalensrelasjon, en delvis ordning, en totalordning eller ingen av delene. Eksamen i Matematikk for IT, desember 05 Side 4 av 7

5 Oppgave a) Gitt en relasjon fra en mengde A til en mengde. Forklar hvilke krav må stilles til denne relasjonen for at den skal være en funksjon. Forklar også hva som skal til for at funksjonen skal være injektiv og surjektiv. b) Gitt to mengder A og, og en funksjon f :. Anta at f er surjektiv, men ikke nødvendigvis injektiv. Hvilke av følgende påstander er da korrekte. egrunn svaret. i) ii) iii) iv) v) Oppgave 3 Nedenfor er grafene G V, ) og G V, ) tegnet. E E a b e 5 c d 3 4 G V, ) G V, ) E E Er G og G isomorfe? egrunn svaret. Dersom de er isomorfe må du også angi en isomorfi f : V V. Dersom de ikke er isomorfe må du forklare hvorfor de ikke er det. Eksamen i Matematikk for IT, desember 05 Side 5 av 7

6 Oppgave 4 En grammatikk er gitt ved følgende mengder og produksjonsregler: N = { s, t, u} T = { a, b} i) ii) iii) iv) s at at u u at t b Er dette en kontekstfri grammatikk, en regulær grammatikk eller ingen av delene? Svaret må begrunnes. Oppgave 5 Gitt matrisene og Finn matriseproduktene A og A dersom de eksisterer. Eksamen i Matematikk for IT, desember 05 Side 6 av 7

7 CFH,.09.4 Lover for logikk og mengder Lov Logikk Mengder. Assosiative lover p q) r p q r) ) C = C) p q) r p q r) ) C = C). Kommutative lover p q q p = A p q q p = A 3.Distributive lover p q r) p q) p r) C) = ) C) p q r) p q) p r) C) = ) C) 4. De Morgans lover p q) p q p q) p q 5. Idempotenslover p p p A = A p p p A = A 6.Absorpsjonslover p p q) p ) = A p p q) p ) = A 7. Dobbel negasjon / Involusjonslov p) p A 8. Inverslover p p S U p p F 9. Identitetslover p S p U A p F p A 0. Dominanslover p F F = p S S U = U. Implikasjon p q p q. Kontrapositive p q q p utsagn Inklusjons- og eksklusjonsprinsippet C = A + + C C C + C Eksamen i Matematikk for IT, desember 05 Side 7 av 7