Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe."

Transkript

1 Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det finnes et element e S slik at e a = a e = a for hvert a S 3. for alle a, b, c S, a (b c) =(a b) c 4. for hvert element a S finnes et entydig element b S slik at a b = b a = e Hvis, i tilleg, operasjon er kommutativ, dvs a b = b a, da kalles (S, ) kommutativ eller abelsk gruppe. Hvis (S, ) er en gruppe og S er en endelig mengde da kalles (S, ) en endelig gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 34 Siden (Z n, + n ) er en gruppe, additiv invers alltid eksisterer, d.v.s., vi kan trekke fra elementer i Z n. For eksempel, (a b)modn =(a +( b)) mod n =(a +(n b)) mod n. Vi beregner (11 18) mod 31 som (11 + ( 18)) mod 31 = (11 + (31 18)) mod 31 = ( ) mod 31 = 24 mod 31 På den andre siden kunne vi også haberegnet (11 18) mod 31 = ( 7) mod 31 = (31 7) mod 31 = 24 mod november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35 Eksempel: ikke gruppe Fra tabellen som presenterer operasjoner i (Z 7, 7) kan vi se at 0 ikke har noe invers element siden 0 7 a = a 7 0=06= Derfor kan vi konkludere at (Z 7, 7) ikkeergruppe. På samme grunnlagg kan vi si at (Z, ), (Q, ) og(r, ) ikke er grupper. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 36 Z n betegner mengden av alle elementer fra Z n som er innbyrdes primiske til n : Z n = {[a] n [a] n Z n og gcd (a, n) =1} F.eks.: Z 7 = {1, 2,...,6}, Z 12 = {1, 5, 7, 11}og Z p = {1, 2,...,p 1} hvor p er et primtall. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe. Gruppen (Z n, ) kallesenmultiplikativ gruppe modulo n. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 37

2 Eksempel: multiplikativ gruppe Euler s φ-funksjon Følgende tabell beskriver multiplikasjon i multiplikativ gruppe ³ Z 12, Systemet (Z n, n) er en endelig gruppe. Antall elementer i (Z n, n) er lik antall elementer i mengden {1, 2,...,n 1} som er innbyrdes primiske med n. Vi kan observere at Z p = p 1hvisp er et primtall. Generelt skal vi skrive at Z n = φ (n), hvor φ (n) betegner antall positive helltall som er mindre enn n og som er innbyrdes primiske med n. Derfor φ (p) =p 1, hvis p er et primtall. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk november 2005 c Vladimir Oleshchuk 39 Eksempel: Euler s φ-funksjon Eksempel: Shift Siffer Slik φ (n) funksjonen kalles Euler s φ-funksjon og er definert for alle helltall n 1, dvs φ : Z + Z + Euler s φ-funksjon defineres for hvert helltall n 1 slik at φ (n) erlik antall positive helltall som er mindre enn n og som er innbyrdes primiske med n. Eksempler av φ (n) forn =1, 2, 3,...,15: φ (1) = 1 φ (2) = 1 φ (3) = 2 φ (4) = 2 φ (5) = 4 φ (6) = 2 φ (7) = 6 φ (8) = 4 φ (9) = 6 φ (10) = 4 φ (11) = 10 φ (12) = 4 φ (13) = 12 φ (14) = 6 φ (15) = 8 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 40 Eksempel 6 Shift Siffer. La oss definere Shift Siffer over Z 26 (siden den engelske alfabetet har 26 bokstaver). Krypteringsfunksjonen skal være Dekrypteringsfunksjonen blir e K (x) =x + K mod 26,x Z 26 d K (y) =y K mod 26,y Z 26 Det er enkelt åseatd K (e K (x)) = x for hver x Z 26. For å kryptere engelsk tekst skal vi først definere en korespondanse mellom bokstaver og tall fra Z 26. For K=3 cypher kalles Ceasar Cypher og ble brukt av Julius Ceasar. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 41

3 For eksempel, kan være som følgende: A 0, B 1,...,Z 25. Dette er gitt i tabelen: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Hvis K = 12 svarer ordet MATEMATIKK til og den krypterte teksten med K = 12 blir som tilsvarer ordet YMFQYMFUWW. Eksempel 7 Affine Siffer Eksempel: Affine Siffer Vi definerer såkalt Affine Siffer over Z 26. Krypteringsfunksjonen blir e K (x) =(ax + b)mod26, a,b Z 26 og dekryptering betyr å finne x fra y ax + b (mod 26). Det betyr at vi bør kunne finne løsningen av en slik ligning eller ax y b (mod 26). Vi skal se at en slik løsning finnes hvis gcd (a, 26) = november 2005 c Vladimir Oleshchuk november 2005 c Vladimir Oleshchuk 43 Teorem 12 Kongruens ax b (mod n) har en entydig løsningen for hver b Z n hvis og bare hvis gcd(a, n) =1. Definition 3 Anta at a Z n. Multiplikativ invers til a, betegnes med ³ a 1 mod n,ogeretelementa 1 Z n slik at aa 1 a 1 a 1(modn). Beregning av multiplikativ invers i Z n Eksempel 8 Hvordan kan vi fine multiplikativ invers? Hvis gcd(a, b) =1,så ax + by =1.Fra For eksempel, 5 1 mod 13 = 8 fordi 5 8 1(mod13). Da kan vi definere divisjon i Z n som a/b a b 1 (mod n). og følger at (ax + by)modb =1modb (ax + by)modb = ax mod b + by mod b = ax mod b ax mod b =1modb 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 44 Derfor x = a 1. Vi kan finne slik x ved hjelp av utvidet-euclid. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 45

4 Oppgave 1 Beregn 28 1 mod 75. Ved hjelp av utvidet Euklides algoritmen skal vi finne x, y slike at gcd(28, 75) = 28x +75y =1. a b ba/bc d x y Vi har at gcd(28, 75) = 28 ( 8) =1. Derfor 28 1 mod 75 = 8mod75=(75 8) mod 75 = 67. Kinesisk restledd teorem: introduksjon Ca. a.d.100, ble løsningen av følgende problemet ble beskrevet av kinesisk matematiker Sun-Tsû: Finn heltall x som gir rester 2, 3 og 2 når x deles med 3, 5 og 7 tilsvarende. Formelt skal vi finne x slik at x 2(mod3) x 3(mod5) x 2(mod7) En av mulige løsninger er x =23, og, generelt, x = k, k Z. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk november 2005 c Vladimir Oleshchuk 47 Generell formulering: Kinesisk restledd teorem Ideen: Anta at n 1,n 2,...,n t er parvis innbyrdes primiske tall, d.v.s. gcd(n i,n j )= 1når i 6= j. Anta at a 1,a 2,...,a t er heltall. Vi skal betrakte følgende system av kongruenser: x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ). x a t (mod n t ) 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 48 Kinesisk restledd teoremet sier at det finnes unik løsning modulo n = n 1 n 2... n t. Vi skal studere funksjon π : Z n Z n1 Z n2... Z nt som defineres på følgende måte: π (x) =(x mod n 1,...xmod n t ) Observasjon: Hvis x er en løsning så π (x) =(a 1,a 2,...,a t ) Eksempel 9 Anta at t =2,n 1 =4,n 2 =3, og n =12. Da funksjonen π skal være som følgende: π(0) = (0, 0) π(1) = (1, 1) π (2) = (2, 2) π (3) = (3, 0) π(4) = (0, 1) π(5) = (1, 2) π (6) = (2, 0) π (7) = (3, 1) π(8) = (0, 2) π(9) = (1, 0) π (10) = (2, 1) π (11) = (3, 2) 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 49

5 Ideen (fort.) Anta at n = n 1 n 2... n t,hvorn 1,n 2,...,n t er innbyrdes primiske tall.vi skal se på sammenheng a (a 1,a 2,...,a t ), hvor a Z n, a i Z ni og a i = a mod n i, i =1, 2,...,t. Vi kan beregne (a 1,a 2,...,a t )fraa ved hjelp av t divisjoner. Å løse systemet av kongruenser betyr å finne a fra (a 1,a 2,..., a t ). Vi skal definere m i og y i for i =1, 2,...,t på følgende måte: m i = n/n i, d.v.s. m i =(n 1 n 2 n t ) /n i = n 1 n 2 n i 1 n i+1 n t, Derfor m j 0(modn i ),j6= i og gcd (m i,n i )=1. y i = m 1 i mod n i hvor invers eksisterer siden gcd (m i,n i )=1. Lett åseat m i y i 1(modn i )og m j y j 0(modn i ),j6= i 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk november 2005 c Vladimir Oleshchuk 51 Vi velger a som Fra forrige har at a (a 1 m 1 y 1 + a 2 m 2 y a t m t y t )modn Vi skal vise at slik a er løsningen for systemet av kongruenser som betyr at a a i mod n i for alle i =1, 2,...,t. Siden n i n,harviat Derfor hvis så hvis a b mod n, så a b mod n i a (a 1 m 1 y 1 + a 2 m 2 y a t m t y t )modn, a (a 1 m 1 y 1 + a 2 m 2 y a t m t y t )modn i. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 52 a i m i y i a i (mod n i )og a j m j y j 0(modn i )hvisj 6= i. Derfor har vi at a (a 1 m 1 y 1 + a 2 m 2 y a t m t y t )(modn i ) a i m i y i (mod n i ) a i (mod n i ) Siden det er sant for alle i =1, 2,...,t,daa er løsningen av systemet av ligninger. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 53

6 For åbeviseatπ : Z n Z n1 Z n2... Z nt er bijektiv skal vi vise at π er både injektiv og surjektiv. Ved å gi formulen for å beregne a viser vi kan finne verdi av a for alle elementer Z n1 Z n2... Z nt som betyr at π er en surjektiv funksjon. Teorem 13 Anta at n 1,n 2,...,n t er positive positive innbyrdes primiske tall og la a 1,a 2,...,a t være heltall. Systemet av t kongruenser x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ). x a t (mod n t ) Men siden n = Z n = Z n1 Z n2... Z nt = n 1 n 2... n t da π også er injektiv og, derfor, bijektiv. Den inverse funksjonen til π er π 1 (a 1,a 2,...,a t )=(a 1 m 1 y 1 + a 2 m 2 y a t m t y t )modn tx ³ = a k m k m 1 k mod n k mod n k=1 har en unik løsning x modulo n = n 1 n 2... n t som er lik tx ³ x = a k m k m 1 k mod n k mod n k=1 hvor m i = n/n i for i =1, 2,...,t. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk november 2005 c Vladimir Oleshchuk 55 Eksempel 10 Anta at t =3, n 1 =5,n 2 =7,n 3 =8. Vi skal løse følgende systemet: x 3(mod5) x 4(mod7) x 6(mod8) Først finer vi at n =280, m 1 =56, m 2 =40, m 3 =35og m 1 1 mod n 1 =56 1 mod 5 = 1 mod 5 = 1 m 1 2 mod n 2 =40 1 mod 7 = 3 mod 7 = 3 m 1 3 mod n 3 =35 1 mod 8 = 3 mod 8 = 3 ³ x =(3 m 1 m 1 1 mod 5 ³ +4 m 2 m 1 2 mod 7 ³ +6 m 3 m 1 3 mod 8 )mod280 = (mod 280) 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 56 = (mod 280) = 1278 (mod 280) =158. Vi kan se at 158 er løsningen: 158 3(mod5) 158 4(mod7) 158 6(mod8) 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 57

7 Følgende teoremet kan brukes for å konstruere mer effektive algoritmer for modulær aritmetikk. Korolar 5 Hvis n 1,n 2,..., n t er positive parvis innbyrdes primiske tall og n = n 1 n 2... n t,så for alle heltall x og a Teorem 14 Anta at n 1,n 2,..., n t er positive parvis innbyrdes primiske tall, n = n 1 n 2... n t og la a 1,a 2,...,a t være helletall. Det finnes en-til-en relasjon a (a 1,a 2,...,a t ), hvor a Z n og a i Z ni og a i = a mod n i for i =1, 2,...,t.Hvis hvis og bare hvis x a (mod n i ),i=1, 2,...,t x a (mod n) a (a 1,a 2,...,a t ) b (b 1,b 2,...,b t ) så (a + b)modn ((a 1 + b 1 )modn 1,...,(a t + b t )modn t ) (a b)modn ((a 1 b 1 )modn 1,...,(a t b t )modn t ) (a b)modn ((a 1 b 1 )modn 1,..., (a t b t )modn t ) 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 58 Proof. Hvis x a (mod n i ),i =1, 2,...,t,så, fra kinesisk restledd teoremetfølgeratdetfinnes unik løsningen modulo n. Fraandresidedet er enkelt åseata er løsningen for systemet av kongruenser. Derfor x = a mod n. Hvis x a (mod n), så x = n j+a.derforx mod n i =(n j + a)modn i = n j mod n i + a mod n i = a mod n i. Eller x a (mod n i ). 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 59 Euler phi-funksjon Euler phi-funksjon. Euler s φ-funksjon defineres for hvert helltall n 1 slik at φ (n) betegner antall positive helltall som er mindre enn n og som er relativt primtall med n. Eksempel 11 La oss beregne φ (n) for n =1, 2, 3,...,15: φ (1) = 1 φ (2) = 1 φ (3) = 2 φ (4) = 2 φ (5) = 4 φ (6) = 2 φ (7) = 6 φ (8) = 4 φ (9) = 6 φ (10) = 4 φ (11) = 10 φ (12) = 4 φ (13) = 12 φ (14) = 6 φ (15) = 8 Hvis p er et primtall, så φ (p) =p 1. Teorem 15 Hvis n = pq er sammensatt tall og p og q er to primtall, så φ (n) =(p 1) (q 1). 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 60 Euler phi-funksjon. Proof. La oss beregne antall tall i mengde S = {1, 2,...,pq 1} som er relativt prim med n. Siden p og q er primtall, da tall som ikke er relativt prim til n deles med enten p eller q. TallfraS som deles med p er følgende: S p = {p, 2p, 3p,..., (q 1)p} Tall fra S som deles med q er følgende: S q = {q, 2q, 3q,...,(p 1)q} Derfor antall tall som er mindre enn n og er relativt prim med n er lik: S S p S q =(pq 1) (q 1) (p 1) = pq 1 q +1 p +1 = pq p q +1=(p 1) (q 1) 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 61

8 Euler phi-funksjon. Euler phi-funksjon. Eksempel 12 Finn φ(143). Generelt: Siden 143 = 11 13, da φ(143) = φ (11) φ (13) = = 120. Teorem 16 Hvis p er et primtall og k > 0, så φ ³ p k = p k p k 1 = p k 1 (p 1). Proof. Vi skal beregne tall i mengde S = n 1, 2,...,p k 1 o som er mindre enn p k og er ikke relativt prim med p k. Dette er tall fra mengde S 0 = n p, 2p,..., ³ p k 1 1 p o.derforφ ³ p k = S S 0 = ³ p k 1 ³ p k 1 1 = p k p k 1. Teorem 18 For vilkårlig positiv heltall n φ (n) =n Q Ã 1 1! p n p hvor multiplikasjon går over alle primtalls divisorer p av n. Teorem 17 Hvis n, m er slike at gcd(n, m) =1,så φ (nm) =φ (n) φ (m). 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk november 2005 c Vladimir Oleshchuk 63 Potensering elementer modulo n. Potensering elementer modulo n. Potensering elementer modulo n. Eksempel 14 Følgende tabell beskriver multiplikasjon i Z 15 : Z n = {a Z n gcd(a, n) =1}. Eksempel 13 Z 11 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, Z 15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}. Vi kan observere at 0 / Z n,n>1 fordi gcd(0,n)=n. Z p = {1, 2,..., p 1} for hvert primtall p. Z n = φ (n) Fra tabellen kan vi si at hver tall fra her multiplikativ invers (siden 1 fins i hver rad i tabellen). Den andre konklusjon er at Z 15 er lukket under multiplikasjon modulo n. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk november 2005 c Vladimir Oleshchuk 65

9 Potensering elementer modulo n. Teorem 19 (Euler) For hvert heltall n>1 kryptosystemet (Rivest, Shamir, Adleman) for alle a Z n. a φ(n) 1(modn) Teorem 20 (Fermat)Hvis p er et primtall, så for alle a Z p. a p 1 1(modp) Det siste teoremet anvendes til alle elementer fra Z p untatt 0, siden 0 / Z p. Men for alle a Z p har vi at a p a (mod p). 1. Velg to store random primtall p og q. 2. Beregn n = p q. 3. Velg mindre odde tall a somerrelativtprimtilφ (n), hvor φ (n) = (p 1) (q 1). 4. Beregn b som multiplikativ invers til a modulo φ(n), i.e. b a 1 mod φ (n). 5. Legg fram (a, n) som offentlig nøkkel. 6. Behold (b, n) som hemmelig nøkkel. 7. Kryptering funksjon defineres som e K (x) =x a (mod n) 8. dekrypteringsfunksjon defineres som d K (y) =y b (mod n) 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk november 2005 c Vladimir Oleshchuk 67 La oss verifisere at kryptering og dekryptering er to inverse funksjoner. Derfor x ab x (mod p) forallex Z p. e K (d K (x)) = d K (e K (x)) = x ab mod n Siden ab 1(modφ (n)), da ab = kφ (n)+1=k (p 1) (q 1) + 1. Hvis x 6 0(mod p), så x mod p er fra Z p og På samme måte kan vi vise at x ab x (mod q) for alle x Z q. Vi har fått at ( x ab x(mod p) x ab x(mod q) x ab x kφ(n)+1 (mod p) x k(p 1)(q 1) x (mod p) x ³ x (p 1) k(q 1) (mod p) x (1) k(q 1) (mod n) x (mod p) Hvis x 0(mod p), så x ab x(mod p). eller som er ekvivalent ( x ab 1 1(mod p) x ab 1 1(mod q) Etter at vi betegner x ab 1 som y for vi ( y 1(mod p) y 1(mod q) 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk november 2005 c Vladimir Oleshchuk 69

10 Siden p og q er primtall da systemet har unik løsningen Eksempel 15 Anta at bruker A velger p = 101 og q =113. eller y 1modn x ab x(mod n) Da og n = pq = φ (n) = = = Velger a som deles ikke med 2, 5 eller 7. Anta at A velger a = Ved hjelp av Utvidet Euklides algoritmen finner vi at b = a 1 = 6597 mod november 2005 c Vladimir Oleshchuk november 2005 c Vladimir Oleshchuk 71 Apubliserer n = og a =3533. Nå hvisbrukerb vil sende tall 9726 til A han beregner mod = 5761 og sender Når A mottar 5761, da han dekrypterer det på følgendmåte: mod = november 2005 c Vladimir Oleshchuk 72

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 ) For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s

Detaljer

Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og

Detaljer

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors)

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.

Detaljer

KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER

KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette

Detaljer

Oversikt over kryptografi

Oversikt over kryptografi Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen

Detaljer

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0 Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,

Detaljer

OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI

OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI S. O. SMALØ Abstract. I dette notatet, som skal inngå som pensum i etterog viderutdanningskurs i datasikkerhet, vil vi gi en kort innføring i oentlig-nøkkel-kryptogra med illustrasjoner

Detaljer

Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.

Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den

Detaljer

Oversikt over det kinesiske restteoremet

Oversikt over det kinesiske restteoremet Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?

Detaljer

Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger

Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver

Detaljer

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen... Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

Forelesning 24 mandag den 10. november

Forelesning 24 mandag den 10. november Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av

Detaljer

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet

Detaljer

Kryptogra og elliptiske kurver

Kryptogra og elliptiske kurver Kryptogra og elliptiske kurver Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo Gjesteforelesning, 7. november 2007 Eivind Eriksen (Høgskolen i Oslo) Kryptogra og elliptiske kurver 1 / 23 Plan: 1 Generelt om kryptogra

Detaljer

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen

Detaljer

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til

Detaljer

3.1. Formodninger om primtall.

3.1. Formodninger om primtall. 15 Mai 2000 Kap 3.1 Formodninger om primtall 1 3.1. Formodninger om primtall. (3.1.1) Mersenne, Godbach og primtallstvillinger. Vi skal her forklare noen av de mest kjente formodningene om primtall. (3.1.2)

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG

KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA440 LØSNINGSFORSLAG Oppgave Sannhetsverditabell for det logiske utsagnet ( (p q) ) ( q r

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Eksamen MAT H Løsninger

Eksamen MAT H Løsninger Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F

Detaljer

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = = 10 =

Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = = 10 = Eksamen. desember 205 Eksamenstid 4 timar IR2072 Diskret Matematikk Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve.......................................................................................

Detaljer

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ). Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker

Detaljer

KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004.

KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004. KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004 av Hans Engenes 18. august 2004 2 Innhold 1 Tallteori 3 1.1 Innledning...............................

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:

Detaljer

Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = 5 4 3 2 1 = 10 = 520 519

Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = 5 4 3 2 1 = 10 = 520 519 Eksamen 2. desember 2014 Eksamenstid 4 timar IR201712 Diskret Matematikk Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1.......................................................................................

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

Heltallsdivisjon og rest div og mod

Heltallsdivisjon og rest div og mod Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b

Detaljer

KODER I KLASSEROMMET

KODER I KLASSEROMMET KODER I KLASSEROMMET Kristian Ranestad 28.02.2001 Dette heftet er utarbeidet til klasseromsprosjektet ved Matematisk institutt, UiO. I dette prosjektet inngår det halvdags kurs for lærere i forskjellige

Detaljer

Modulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.

Modulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m. Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)

Detaljer

1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p)

1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) . Oppgave. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q). Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) 3. Avgjør om følgende utsagn er sant i universet

Detaljer

Repetisjonsforelesning - INF1080

Repetisjonsforelesning - INF1080 Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en

Detaljer

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan

Detaljer

Kryptografi, del 2. Aslak Bakke Buan, Ole Enge

Kryptografi, del 2. Aslak Bakke Buan, Ole Enge Aslak Bakke Buan, Ole Enge Kryptografi, del 2 Offentlig-nøkkel kryptografi Anta du vil handle på internett og blir bedt om å oppgi kredittkortnummeret ditt. Du stoler kanskje på at nettstedet du vil handle

Detaljer

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og

Detaljer

ECC i akademia vs. industrien

ECC i akademia vs. industrien Conax AS 2007 RSA ECC Utbredelse Kampen mellom ECC og RSA har pågått lenge. I akademia går ECC av som vinner, mens i industrien er det fortsatt RSA som gjelder. RSA RSA ECC Utbredelse I 1977 publiserte

Detaljer

Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015

Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015 Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen

Detaljer

Kryptering Kongruensregning Kongruensregning i kryptering Litteratur. Hemmelige koder. Kristian Ranestad. 9. Mars 2006

Kryptering Kongruensregning Kongruensregning i kryptering Litteratur. Hemmelige koder. Kristian Ranestad. 9. Mars 2006 i kryptering 9. Mars 2006 i kryptering i kryptering i kryptering En hemmelig melding Kari sender til Ole den hemmelige meldingen: J MPWF V siden responsen er litt treg prøver hun påny med: U EVOL I Nå

Detaljer

Forelesning 20 mandag den 27. oktober

Forelesning 20 mandag den 27. oktober Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel 5.10.1. La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1

Detaljer

Koder. Kristian Ranestad. 8. Mars 2005

Koder. Kristian Ranestad. 8. Mars 2005 i kryptering 8. Mars 2005 i kryptering i kryptering i kryptering En hemmelig melding Kari sender til Ole den hemmelige meldingen: J MPWF V siden responsen er litt treg prøver hun påny med: U EVOL I Nå

Detaljer

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik: Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Navn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643

Navn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643 Navn og referenser 1 GRUNNFORSKNING SKAL IKKE VÆRE NYTTIG. ET EKSEMPEL OM PRIMTALL Blackeberg, Kungsholmen, Spånga, Åsö, Norra R. 20-22-23 mars 2001, 19-21 mars 2002 grunnforskning nytte anvendelser offentlig

Detaljer

MAT Notat om RSA-kryptografi

MAT Notat om RSA-kryptografi MAT4000 - Notat om RSA-kryptografi Erik Bédos Vår 2008 Abstract Dette notatet er et tillegg til heftet i elementær tallteori. Det omhandler anvendelser av tallteorien i kryptografi, med spesiell vekt på

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 LØSNINGSFORSLAG SIF55 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 8. desember 22 Oppgave a) Vi vil ha 77x (mod 3), så vi trenger en

Detaljer

Kommentarer til Eksamen IM005 - V02

Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple

Detaljer

FASIT/LF FOR EKSAMEN TMA4140, H07

FASIT/LF FOR EKSAMEN TMA4140, H07 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 FASIT/LF FOR EKSAMEN TMA440, H07 Oppgave (0%) Benytt matematisk induksjon til å vise at for alle heltall n. n i i!

Detaljer

KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994

KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994 KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Repetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen

Repetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 11. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 20:38) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 10

MAT Grublegruppen Notat 10 MAT1100 - Grublegruppen Notat 10 Jørgen O. Lye Ringer Vi fortsetter i et lynkurs i algebraiske dyr. Først ut er ringer. En ring A (også kalt R) er en abelsk gruppe med addisjon + som operasjon. I tillegg

Detaljer

Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning.

Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se http://www.cs.hioa.no/~evav/dm/emner/modulo1.pdf Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = 7358. Tverrsummen til a er

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 3. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-03 15:00) MAT1030 Diskret

Detaljer

MAT1030 Forelesning 14

MAT1030 Forelesning 14 MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Dag Normann - 3. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-03 15:01) Kapittel 6: Funksjoner Injektive funksjoner Igår begynte vi på kapitlet om funksjoner f : X Y, og

Detaljer

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 25. februar 2008 Opphenting Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner.

Detaljer

MAT1030 Forelesning 14

MAT1030 Forelesning 14 MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Roger Antonsen - 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) Kapittel 6: Funksjoner Surjektive funksjoner Den neste gruppen av funksjoner vi skal se på er

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

H ØGSKOLEN I B ERGEN Avdeling for inge niørutdanning

H ØGSKOLEN I B ERGEN Avdeling for inge niørutdanning H ØGSKOLEN I B ERGEN Avdeling for inge niørutdanning BOKMAL EKSAMEN I KLASSE DATO FOA 154 - DISK RET MATEMATIKK I DATA 18. DESEMBER 2007 ANTALL OPPGAVER ANTALL SIDER VEDLEGG 4 7 med vedlegg Fonnelsamling

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030

Detaljer

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe Forord Dette heftet i tallteori er tilpasset Matematisk institutts nettbaserte kurs i tallteori og baserer seg i stor grad på Erik Alfsen og Tom Lindstrøms kompendium i tallteori for MA 115/215. Heftet

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2016

Matematikk for IT, høsten 2016 Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Injektive og surjektive funksjoner

Injektive og surjektive funksjoner Injektive og surjektive funksjoner Christian F. Heide 5. september 07 Dette notatet forklarer begrepene injektive og surjektive funksjoner, og er tenkt brukt som et supplement til avsnitt.5 i boken «Mathem»

Detaljer

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik: Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles

Detaljer

Oppgaver til kapittel 19 - Kryptering og steganografi

Oppgaver til kapittel 19 - Kryptering og steganografi Oppgaver til kapittel 19 - Kryptering og steganografi Oppgave 1 - Cæsars kode (plenum) I symmetrisk kryptering brukes samme nøkkel både for å kryptere og dekryptere. Avhengig av hvordan nøkkelen utformes

Detaljer

= 3 11 = = 6 4 = 1.

= 3 11 = = 6 4 = 1. MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT 1005 Diskret matematikk Dato: Torsdag 27. februar 2014 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget, 1. et., B.

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT 1005 Diskret matematikk Dato: Torsdag 27. februar 2014 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget, 1. et., B. EKSAMENSOPPGAVE Eksame i: MAT 1005 Diskret matematikk Dato: Torsdag 7. februar 014 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Admiistrasjosbygget, 1. et., B.154 Tillatte hjelpemidler: Rottmas tabeller. Godkjete statistiske

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Tallenes hemmeligheter Kapittel Oppgave 5. Nei Oppgave 7. Addisjon og multiplikasjon Oppgave 8. b) Hvis vi ser på hele tall er {1},

Detaljer

LO118D Forelesning 4 (DM)

LO118D Forelesning 4 (DM) LO118D Forelesning 4 (DM) Mer funksjoner + følger 28.08.2007 1 Funksjoner 2 Følger og strenger Funksjoner En funksjon f fra X til Y sies å være en-til-en (injektiv) hvis det for hver y Y er maksimalt én

Detaljer

Il UNIVERSITETET I AGDER

Il UNIVERSITETET I AGDER Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting Forelesning 13 Dag Normann - 25. februar 2008 Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner. Vi definerte hva vi mener med partielle ordninger og med totale ordninger. Deretter snakket

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015 Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 17. september 2015 Løsningsforslag 22. september 2015 Oppgave 1 Gitt følgende mengder A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2} og C = {0, 3, 6, 9} Universet er U = {0, 1, 2,

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................

Detaljer

Søking i strenger. Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen

Søking i strenger. Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen Søking i strenger Vanlige søkealgoritmer (on-line-søk) Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen Indeksering av

Detaljer

Noen tallteoretiske resultater av Fermat

Noen tallteoretiske resultater av Fermat Noen tallteoretiske resultater av Fermat Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo Pierre de Fermat (1601/1607-1665) Fermats lille teorem Fermats rettvinklede teorem Fermats siste teorem Cubum autem in duos

Detaljer

Mengder, relasjoner og funksjoner

Mengder, relasjoner og funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 2. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-02 14:14) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT1030 Forelesning 13

MAT1030 Forelesning 13 MAT1030 Forelesning 13 Funksjoner Dag Normann - 2. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-02 14:15) Kapittel 6: Funksjoner Forrige uke Forrige forelesning snakket vi om relasjoner. Vi snakket om ekvivalensrelasjoner

Detaljer

Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X

Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X Problemløsing Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse Einar Andreas Rødland 199X Innhold 1 Innledning 3 2 Logikk og beviser 3 3 Geometri 5 4 Reductio ad absurdum 7 5 Induksjonsbevis

Detaljer

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.

Detaljer

Forelesning 10 torsdag den 18. september

Forelesning 10 torsdag den 18. september Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se

Detaljer

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Turingmaskiner.

Turingmaskiner. Turingmaskiner http://www.youtube.com/watch?v=e3kelemwfhy http://www.youtube.com/watch?v=cyw2ewoo6c4 Søking i strenger Vanlige søkealgoritmer (on-line-søk) Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt

Detaljer