Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er

Transkript

1 Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet ((a, b)) av S med a b. La være en binær operasjon på S og la H S. Undermengden H er lukket under hvis a, b H også har a b H. I dette tilfellet er den binære operasjonen på H gitt ved å restriktere til H kalt den induserte operasjonen av på H. En binær operasjon på en mengde S er kommutativ hvis og bare hvis a b = b a a, b S. En binær operasjon på en mengde S er assosiativ hvis (a b) c = a (b c) a, b, c S. Teorem - Assosiativitet av komposisjon: f (g h) = (f g) h. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er Seksjon 3 - Isomorfe binære structurer La < S, > og < S, > være binære algebraiske strukturer. En isomorfi av S med S er en bijektiv funksjon φ : S S s.a. φ(x y) = φ(x) φ(y) x, y S homomorfiegenskap. La < S, > være en binær struktur. Et element e S er et identitetselement for hvis e s = s = s e s S Teorem - Unikhet av Identitetselementet: En binær struktur < S, > har på det meste ett identitetselement. Dvs. hvis det finnes et identitetselemet så er dette unikt. Anta < S, > her et identitetselement e for. Hvis φ : S S er en isomorfisme av < S, > med < S, >, så er φ(e) et identitetselement for på S. Seksjon 4 - Grupper En gruppe < G, > er et sett G lukket under en binær operasjon, s.a. de følgende aksiomene er tilfredsstilt: 1

2 G 1 a, b, c G har vi: (a b) c = a (b c) Assosiativitet av. G 2 e G s.a. x G har vi: e x = x e = x Identitetselement e for. G 3 a G a G s.a.: a a = a a = e Invers a av a. En gruppe G er abelsk hvis dens binære operasjon er kommutativ. Gitt < G, >, gjelder den høyre og venstre kanselleringsloven i G. dvs. a b = a c b = c og b a = c a b = c. og y i G. Gitt < G, >. a, b G vil de lineære ligningene a x = b og y a = b ha unike løsninger x I en gruppe G så!e G s.a. e x = x e = x x G og a G!a G s.a. a a = a a = e. Dvs identitetselementet og inversen av hvert elt. er unik. Korrolar: a, b G har vi (a b) = b a Seksjon 5 - Undergrupper Ordenen G til G er antall elt i G. Hvis et undersett H G er lukket under den binære operasjonen på G og hvis H med den induserte operasjonen på G sel er en gruppe, da er H en undergruppe av G. Dette betegnes med H G. G er en uekte undergruppe av seg selv. Alle ande undergrupper er ekte undergrupper av G. undergrupper e er den trivielle undergruppen. Alle andre undergrupper kalles ikke-trivielle. En undermengde H av en gruppe G er en undergruppe av G hviss: 1. H er lukket under den binære operasjonen på G. 2. Id. elt. e G er også i H. 3. a H a 1 H La a G. Da er H = {a n n Z} en undergruppe av G og er den minste undergruppen av G som inneholder a, dvs. enhver undergruppe som inneholder a må også inneholde H. La a G. Da er undergruppa {a n n Z} G kalt den sykliske undergruppa av G generert av a. Notasjon < a >. Et elt a G genererer G og er en generator for G hvis < a >= G. En gruppe G er syklisk hvis det finnes et elt a G som genererer G. Seksjon 6 - Sykliske grupper Enhver syklisk gruppe er abelsk. 2

3 Divisjonsalgoritmen for Z: Hvis m er et positivt heltall og n er et hvilket som helst heltall, så! heltall q og r s.a. n = mq + r og 0 r < m. En undergruppe av en suklisk undergruppe er også syklisk. Undergruppene av Z under addisjon er presis gruppene nz under addisjon for n Z. La r, s Z +. Den positive generatoren d av den sykliske gruppa H = {nr + ms n, m Z} under addisjon er den største felles divisor (gcd) av r og s. Vi skriver d = gcd(r, s) La G være en syklisk gruppe med generator a. Hvis G =, så er G isomorf med < Z, + >. Hvis G = n, så er G isomorfisk med < Z n, + n >. La G være syklisk med G = n og generert av a. La b G og la b = a s. Da genererer b en syklisk undergruppe H G med n/d elt., hvor d = gcd(s, n). < a s >=< a t > hviss gcd(s, n) = gcd(t, n). Hvis a er en generator for den endelige sykliske gruppa G av orden n, så er de andre generatorene av G på formen a r, hvor r og n er relativt primiske, dvs. gcd(r, n) = 1. Del II - Permutasjoner, Restklasser og Direkte Produkt Seksjon 8 - Grupper av Permutasjoner En permutasjon av en mengde A er en funksjonφ : A A som er bijektiv. La A være en ikke-tom mengde og la S A være samlingen av alla permutasjonene av A. Da er S A en gruppe under permutasjonsmultiplikasjon. La A være det endelige settet {1, 2,..., n}. Gruppen av alle permutasjonene av A er den symmetriske gruppen på n bokstaver, og er skrvet som S A. La f : A B være en funksjon og la H A. BIldet av H under f er {f(h) h H} og blir skrevet som f[h]. Lemma: La G og G være grupper og la φ : G G være en injeksjon s.a. φ(xy) = φ(x)φ(y) x, y G. Da er φ[g] en undergruppe av G og φ lager en isomorfi av G med φ[g]. Teorem - Ceyley s Enhver gruppe er isomorf med en gruppe av permutasjoner. Def 8.17 Seksjon 9 - Oribitaler, Skykler, og de Alternerende Grupper. La σ være en permutasjon av settet A. Ekvivalensklassene i A determinert av ekvivalensrelasjonen; for a, b, A, la a b hviss b = σ n (a) for en n Z, er orbitalene av σ. En permutasjon σ S er en sykel hvis den er på det meste en orbital som inneholder mer enn ett elt. Lengden av sykelen er antall elt. i dens lengste orbital. 3

4 Enhver permutasjon σ av en endelig mengde er et produkt av disjunkte sykler. En sykel av lengde 2 er en transposisjon. Enhver permutasjon av et endelig set med minst to elt. er et produkt av transposisjoner. Ingen permutasjon i S n kan uttrykkes som både et produkt av et par-antall transposisjoner og et odde-antall transposisjoner. En permutasjon av en endelig mengde er enten partall eller oddetall ettersom den kan uttrykkes som ett par-antall transposisjoner eller odde-antall transposisjoner. Hvis n 2, så vil samlingen av alle partallspermutasjoner av {1, 2, 3,..., n} lage en undergruppe av orden n!/2 av den symmetriske gruppen S n. Undergrupper av S n som inneholder partallspermutasjonene av n bokstaver er den alternerende gruppen A n på n bokstaver. Seksjon 10 - Restklasser og Lagrange teoremet. La H G. La relasjonen L være definer på G ved: a L b hviss a 1 b H, og la R være definert ved ab 1 H. Da er både L og R ekvivalensrelasjoner på G. La H G. Undermengden ah = {ah h H} av G er den venstre restklassen av H som inneholder a. Undermengden Ha = {ha h H} av G er den høyre restklassen av H som inneholder a. For en undergruppe H av en abelsk gruppe G, vil partisjonen av G til venstre restklasser av H og partisjonen til høyre restklasser være de samme. Teorem - Lagranges teorem: La G < og H G, da vil H G. Enhver gruppe av primisk orden er syklisk. Ordenen av et elt. i en endelig grupper deler ordenen av gruppa. La H G. Antallet av venstre restklasser av H i G er indeksen (G : H) av H i G. Anta H, K G s.a. K H G og anta at (H : K) og (G : H) begge er endelige. Da er (G : K) endelig og (G : K) = (G : H)(H : K) Seksjon 11 - Direkte Produkt og Endelig Genererte Abelske Grupper. Det kartesiske produktet av mengder S 1, S 2,..., S n er mengden av alle ordna n-tipler (a 1, a 2,..., a n ), hvor a i S i for i = {1, 2,..., n}. Det kartesiske produktet skrives som enten S 1 S 2... S n eller som ni=1 S i. 4

5 La G 1,..., G n være grupper. For (a 1,..., a n ) og (b 1,..., b n ) i n i=1 G i, definer (a 1,..., a n )(b 1,..., b n ) som elementet (a 1 b 1,..., a n b n ). Da er n i=1 G i en gruppe, den direkte produkt av gruppene G 1, under denne binære operasjonen. Gruppen Z m Z n er syklisk og er isomorf med Z mn hviss gcd(m, n) = 1. Gruppa n i=1 Z mi er syklisk og isomorf med Z m1 m 2 m n hviss alle m i -ene er relativt primiske. La r 1, r 2,..., r n være positive heltall. Deres minste felles multiplum (lcm) er den positive generatoren av den sykliske gruppa av alle felles multipler av r i -ene. Dvs. den sykliske gruppa av alle heltall delelig med enhver r i for i = {1, 2,..., n}. La (a 1,... a n ) n i=1 G i. Hvis a i er av endelig orden r i i G i, vil ordenen til (a 1,... a n ) i ni=1 G i være lik minste felles multiplum av alle r i -ene. Teorem - Fundamentalteoremet for Endelige Genererte Abelske Grupper: Enhver endelig generert abelsk gruppe G er isomorf med et direkte produkt av sykliske grupper på formen Z r p 1 Z r 1 p 2 2 Z p rn n Z Z Z hvor p i er primtall, og r i er positive heltall. Det direkte produkt er unikt bortsettt fra mulige ombrokkeringer av faktorene. Dvs. antallet (Betti taller av G) av faktorer Z er unikt og primtallseksponentene (p i ) r i ) er unike. En gruppe G er dekomponerbar hvis den er isomorf med et direkte produkt av to ikke-trivielle undergrupper. Ellers er G ikke-dekomponerbar. De endelige ikke-dekomponerbare abelske gruppene er nøyaktig de sykliske gruppene med orden p n hvor p er et primtall og n N. Hvis m deler ordenen av en endelig abelsk gruppe G, så har G en undergruppe av orden m. Hvis m er et kvadratfritt heltall, dvs. m er ikke delbar på kvadratet av et primtall, så vil enhver abelsk gruppe G med orden m være syklisk. Del III - Homomorfier og Faktorgrupper Seksjon 13 - Homomorfier Et kart φ : G G er en homomorfisme hvis homomorfiegenskapen, φ(ab) = φ(a)φ(b) holder a, b, G. La φ være en kartlegging av en mengde X til en mengde Y, og la A X og B Y. Bildet φ[a] av A i Y under φ er {φ(a) a A}. Mengden φ[x] er verdimengden av φ. Inversbildet φ 1 av B i X er {x X φ(x) B} La φ vøre en homomorfisme av gruppa G inn i gruppa G. 1. Hvis e er id.elt. i G, så er φ(e) id.elt. e G. 2. Hvis a G, så φ(a 1 ) = φ(a) Hvis G G, så er φ[h] G 4. Hvis K G, så er φ 1 G. 5

6 Med andre ord ivaretar φ id.elt., inverser, og undergrupper. La φ : G G være en homomorfisme av grupper. Undergruppa φ 1 [{e }] = {x G φ(x) = e } kalles kernelen til φ, og skrives ker(φ) La φ : G G være en gruppehomomorfi, og la H = ker(φ). La a G. Da vil mengden φ 1 [{φ(a)}] = {x G φ(x) = φ(a)} være den venstre restklassen ah av H, og er også den høyre restklassen Ha av H. Dette medfører at de to partisjonen av G i høyre og venstre restklasser av H er like. En gruppehomomorfi φ : G G er injektiv hviss ker(φ) = {e}. Hvordan vise at φ : G G er en isomorfi: Vis at φ er en homomorfi. Vis at ker(φ) = {e}. Vis at φ er surjektiv. En undergruppe H av en gruppe G er normal hvis dens høyre og venstre restklasser er like, dvs. gh = Hg g G, og skrives H G. Bemerk at undergrupper av abelske grupper er normale. Hvis φ : G G er en gruppehomomorfi, så er ker(φ) en normal undergruppe av G, ker(φ) G. Seksjon 14 - Faktorgrupper: LA φ : G G være en gruppehomomorfi med kernel H. Da vil restklassene av H lage en faktorgruppe, G/H, hvor (ah)(bh) = (ab)h. I tillegg vil kartet µ : G/H φ[g] definert ved (µ(ah) = φ(a) være en isomorfi. Både restklassemultiplikasjon og µ er veldefinerte, uavhengige av valgene a og b fra restklassene. La H G. Da er venstre restklassemultiplikasjon veldefinert av ligningen; (ah)(bh) = (ab)h hviss H G. La H G. Da vil restklassene til H forme en gruppe G/H under den binære operasjonen (ah)(bh) = (ab)h. Gruppa G/H er faktorgruppa (eller kvotient gruppa) av G fra H. La H G. Da vil γ : G G/H gitt med γ(x) = xh være en homomorfisme med kernel H. Teorem - Det fundamentale Homomorfismeteoremet: La φ : G G være en gruppehomomorfi med kernel H. Da er φ[g] en gruppe, og µ : G/H φ[g] gitt ved µ(gh) = φ(g) en isomorfisme. Hvis γ : G G/H homomorfien gitt vedγ(g) = gh, då er φ(g) = µγ(g) g G. Følgende er tre ekvivalente betingelser for en undergruppe H av en gruppe G for å være en normal undergruppe av G 1. ghg 1 H g G og h H. 2. ghg 1 = H g G. 6

7 3. gh = Hg g G. En isomorfi φ : G G av en gruppe G med seg selv kalles en automorfisme av G. Automorfismen i g : G G hvor i g (x) = gxg 1 x G, er den indre automorfien av G ved g. Å bruke i g på x kalles konjugeringer av x ved g. Seksjon 15 - Faktogruppeutregninger og Simple Grupper La G = H K være det direkte produktet av gruppene H og K. Da er H = {(h, e) h H en normal undergruppe av G. I tillegg er G/H isomorf med K på en naturlig måte. Likedan er G/K H på en naturlig måte. En faktorgruppe av en syklisk gruppe er syklisk. En gruppe er simpel hvis den er ikke-triviell og har ingen ekte ikke-trivielle normale undergrupper. Den alternerende gruppen A n er simpel for n 5. La φ : G G være en gruppehomomorfi. Hvis N er en normal undergruppe av G, så er φ[n] φ[g]. Videre, hvis N φ[g], så er φ 1 [N ] G. En maksimal normal undergruppe av en gruppe G er en normal undergruppe M G s.a. det ikke er noen ekte normal undergruppe N av G som ekte inneholder M. M er en maksimal normal undergruppe av G hviss G/M er simpel. La G være en gruppe. Mengden av alle kommutatorene aba 1 b 1 for a, b G genererer en undergruppe C (kommutatorundergruppen) av G. Denne undergruppen C er en normal undergruppe av G. Videre, hvis N G, så er G/N abelsk hviss C N. Seksjon 16 - Gruppehandlinger på en mengde La X være en mengde og G en gruppe. En handling av G på X er et kart : G X X s.a. 1. ex = x x X. 2. (g 1 g 2 )(x) = g 1 (g 2 x) x X og g 1, g 2 G. Under disse betingelsene er X en G-mengde. La X være en G-mengde. g G, funksjonen σ g : X X definert ved σ g = gx for x X er en permutasjon av X. I tillegg, kartet φ : G S X definert vedφ(g) = σ g er en homomorfi med egenskapen at φ(g)(g) = gx. La X være en G-mengde. Da er G x = {g G gx = x} en undergruppe av G for alle x X. La X være en G-mengde og la x X. Undergruppa G er isotropiundergruppa av X. 7

8 La X være en G-mengde. For x 1, x 2 C, la x 1 x 2 hviss g G s.a. gx 1 = x 2. Da er en ekvivalensrelasjon på X. La X være en G-mengde. Hver celle i partisjonen av denne ekvivalensrelasjonen er en orbital i X under G. Hvis x X, så er cella som inneholder x orbitalen av x. Vi kaller denne cella Gx. La X være en G-mengde og la x X. Da er Gx = (G : G x ). Hvis G er endelig, så er G x en divisor av G. Seksjon 17 - Anvendelser av G-mengder til telling Teorem - Burnsides formel: La G være en endelig gruppe og X en endelig G-mengde. Hvis r er antallet orbitaler i X under G, så gjelder: r G = g G X g. Hvis G er en endelig gruppe og X er en endelig Gmengde, så er ()Antallet orbitaler i XunderG) = (1/ G ) g G X g. Del IV - Ringer og felt En ring < R, +, > er en mengde R sammen med to binære operasjoner + og, som kalles addisjon og multiplikasjon, definer på R slik at følgende aksiom holder: R 1 < R, + > er en abelsk gruppe. R 2 Multiplikasjon er assosiativ. R 3 a, b, c R, gjelder den venstre distributiv lov, a (b + c) = (a b) + (a c) og den høyre distributiv lov, (a + b) c = (aċ) + (b c). Hvis R er en ring med additiv identitet 0, da gjelder følgende for a, b R: 1. 0a = a0 = a( b) = ( a)b = (ab). 3. ( a)( b) = ab. For ringer R og r er kartet φ : R R en homomorfi hvis følgende to krav gjelder a, b R: 1. φ(a + b) = φ(a) + φ(b). 2. φ(ab) = φ(a)φ(b). En isomorfi φ : R R er en bijektiv homomorfi. Ringene R og R er da isomorfe. I en ring hvor multiplikasjon er kommutativ er en kommutativ ring. En ring med en multiplikativ identitet er en ring med enhet. Det multiplikative identitetselementet 1 kalles enheten. La R være en ring med enhet a 0. Et elt u R er er en enhet av R hvis den har multiplikativ invers i R. Hvis alle ikke-null elt i R er en enhet, så er R en divisjonsring (eller skjevfelt). Et felt er en kommutativ divisjonsring. En ikke-kommutativ divisjonsring kalles strengt skjevfelt. 8

9 Seksjon 19 - Integraldomener Hvis a og b er to elt. ulik fra null i en ring R slik at ab = 0, da er a og b 0-divisorer. I ringen Zn er 0-divisorne presis de ikke-null elt som ikke er relativt primisk med n. Hvis p er et primtall, så har Z p ingen 0-divisorer. Kanselleringslovene gjelder i en ring R hviss R ikke har noen 0-divisorer. Et integraldomene D er en kommutativ ring med enhet 1 0 og ingen 0-divisorer. Ethvert felt F er et integraldomene. Ethvert endelig integraldomene et et felt. Hvis p er et primtall, så er Z p et felt. Hvis det for en ring R finnes et potitivt heltall n s.a. n a = 0 a R, så er det minste slikt positive heltall karakteristikken til ringen R. Hvis det ikke finnes et slikt heltall, så har R karakteristikk 0. La R være en ring med enhet. Hvis n 1 0 n Z +, så har R karakteristikk 0. Hvis n 1 = 0 for et positivt heltall, så er det minste slikt tall n karakteristikken til R. Seksjon 20 - Fermats og Eulers teorem Fermats lille teorem: Hvis a Z og p er et primtall som ikke deler a, da vil p dele a p 1 1. dvs, a p 1 1 mod p for a 0 mod p. Hvis a Z, så er a p a mod p for ethvert primtall p. modulo n. Mengden G n av ikke-null elt. av Z som ikke er 0-divisorer lager en gruppe under multiplikasjon Eulers phi-funksjon (φ(n)) er antallet positive heltall mindre enn eller lik n og relativ primisk n. Eulers teorem: Hvis a er et heltall relativt primisk til n, så er a φ(n) 1 delelig med n, dvs, a φ(n) 1 mod n. La m Z + og la a Z m være relativt primisk til m. For enhver b Z m, så vil ligningen ax = b ha en unik løsning i Z m. Hvis a og m er relativt primiske heltall, så vil kongruensen ax b mod m for hvert heltall b ha som løsninger alle heltall i presis en restklasse modulo m. 9

10 La m Z + og la a, b Z m. Videre la d = gcd(a, m). Ligningen ax = b har løsninger i Z m hviss d deler b. Når d deler b, vil ligningen ha eksakt d løsninger i Z m. La d = gcd(a, m) hvor a og m er positive heltall. Kongruensen ax b mod m har en løsning hviss d deler b. Når dette er tilfellet, er løsningene heltallene i eksakt d forskjellige restklasser modulo m. Seksjon 22 - Polynomringer La R være en ring. Et polynom f(x) med koeffisienter i R er en uendelig formell sum: a i x i = a 0 + a 1 x + + a n x n +, i=0 hvor a i R og a i = 0 for alle bortsett fra et endelig antall verdier for i. a i -ene er koeffisienter av f(x). Hvis for en i 0 det er sant at a i 0, så vil den største slik verdi av i være graden til f(x). Hvis alle a i = 0, så er graden til f(x) udefinert. Mengden R[X] av alle polynom i et indeterminant x med koeffisienter i en ring R er en ring under polynom-addisjon og -multiplikasjon. Hvis R er kommutativ, så er også R[X] kommutativ, og hvis R har unity 1 0, så er 1 også unity for R[x]. Teorem - Evalueringen av homomorfier for feltteori: La F være et underfelt av et felt E, la α være et hvilket som helts elt av E, og la x være en indeterminant. Kartet φ a : F [x] E definert ved: φ a (a 0 + a 1 x + + a n x n ) = a 0 + a 1 α + + a n α n for (a a n x n ) F [x] er en homomorfi av F [x] til E. I tillegg, φ a (x) = α, og φ a kartlegger F isomorft ved identitetskartet; dvs. φ a (a) = a for a F. Homomorfien φ a er en evaluering på α. La F være et underfelt av et felt E, og la α E. La f(x) = a 0 + +a n x n være i F [x], og la φ a : F [x] E være evalueringshomomorfien i forrige teorem. La f(α) betegne φ a (f(x)) = a 0 + +a n α n. Hvis f(α) = 0, så er α en null av f(x). Polynomet x 2 2 har ingen nuller i de rasjonelle tall. Derfor er 2 ikke et rasjonelt tall. Seksjon 23 - Faktorisering av polynomer over et felt Teorem - Divisjonsalgoritmen for F[x]: La og f(x) = a n x n + a n 1 x n a 0 g(x) = b m x m + b m 1 x m b 0 være to elt. av F [X], med a n og b n begge ikke-null elt. av F og m > 0. Da finnes det to unike polynom q(x) og r(x) i F [x] s.a. f(x) = g(x)q(x) + r(x), hvor enten r(x) = 0 eller graden av r(x) er mindre enn graden m av g(x). Korollar - Faktor teoremet: i F [X]. Et elt a F er en null av f(x) F [X] hviss x a er en faktor av f(x) 10

11 Et ikke-null polynom f(x) F [x] av grad n kan ha på det meste n nuller i et felt F. Hvis G er en endelig undergruppe av den multiplikative gruppen < F, > av et felt F, så er G syklisk. Generelt, den multiplikative gruppa av alle ikke-null elt av et endelig felt er syklisk. Et ikke-konstant polynom f(x) F [x] er irredusibelt over F eller er et irredusibelt polynom i F [x] hvis f(x) ikke kan uttrykkes som et produkt g(x)h(x) av to polynom g(x), h(x) F [x], begge av lavere grad enn f(x). Hvis f(x) F [x] er et ikkekonstant polynom som ikke er irredusibelt over F, så er f(x) redusibelt over F. La f(x) F [x], og la f(x) være av grad 2 eller 3. Da er f(x) redusibelt over F hviss den har en null i F. Hvis f(x) Z[x], så vil f(x) kunne faktoriseres til et produkt av to polynom av lavere grad r og s i Q[x] hviss det har slike faktoriseringer med polynom av samme grad r og s i Z. Hvis f(x) = x n + a n 1 x n a 0 er i Z[x] med a 0 0, og hvis f(x) har en null i Q, så har det en null m i Z, og m må dele a 0. Teorem - Eisensteinkriteriet: La p Z være et primtall. Anta at f(x) = a n x n + a 0 er i Z, og at a n 0 mod p, men a i = 0 mod p for alle i < n, med a 0 0 mod p 2. Da er f(x) irredusibelt over Q. Polynomet er irredusibelt over Q for ethvert primtall p. Φ p (x) = xp 1 x 1 = xp 1 + x p x + 1 La p(x) være et irredusibelt polynom i F [x]. Hvis p(x) deler r(x)s(x) for r(x), s(x) F [X], så deler p(x) enten r(x) eller s(x). Hvis p(x) er irredusibelt i F [x] og p(x) deler produktet r 1 (x) r n (x) for r i F [x], så deler p(x) r i (x) for minst en i. Hvis F er et felt, så kan alle ikke-konstant polynom f(x) F [x] faktoriseres i F [X] i et produkt av irredusible polynomer, de irredusible polynomene er unike bortsett fra orden og for enhet faktorer i F. Del V - Idealer og faktorringer Et kart φ av en ring R til en ring R er en homomorfi hvis for alle elt. a, b R. φ(a + b) = φ(a) + φ(b) og φ(ab) = φ(a)φ(b) 11

12 La φ være en homomorfi fra en ring R til en ring R. Hvis 0 er den additive identiteten i R, så er φ(0) = 0 den additive identiteten i R, og hvis a R, så er φ( a) = φ(a). Hvis S er en underring av R, så er φ[s] en underring av R. Dette går også den andre veien: S R φ 1 [S ] R. Hvis 1 er unity i R, så er φ(1) unity i R. La φ : R R være en ringhomomorfi. Underringen φ 1 [0 ] = {r R φ(r) = 0 } er kernelen av φ. La φ : R R igjen være en ringhomomorfi, og la H = ker(φ). La a R. Da er φ 1 [φ(a)] = a+h = H+a, hvor a + h = H + a er restklassen som inneholder a av den kommutative additive gruppen < H, + >. Korollar φ er injektiv hviss ker(φ) = {0}. φ : R R er en ringhomomorfi med kernel H. Den additive restklassen av H laget av ringen R/H. summen av to restklasser er definert ved (a + H) + (b + H) = (a + b) + H og multiplikasjonen av to restklasser er definert ved (a + H)(b + H) = (ab) + H. I tilleg er kartet µ : R/H φ[r] definert ved µ(a + H) = φ(a) en isomorfi. La H være en underring av ringen R. Multiplikasjon av additive restklasser av H er veldefinert ved ligningen (a + H)(b + H) = ab + H hviss ah H og hb H for alle a, b R og h H. En additiv undergruppe N av en ring R som tilfredsstiller egenskapene: an N og Nb N a, b R er et ideal. La N være et ideal av en ring R. Da vil de additive restklassene av N lage en ring R/N med de binære operasjonene definert ved (a + N) + (b + N) = (a + b) + N og (a + N)(b + N) = ab + N. Ringen R/N i det forrgie korollaret er faktorringen (eller kvotientringen) av R ved N. La N være et ideal av en ring R. Da er γ : R R/N gitt ved γ(x) = x+n en ringhomomorfi med kernel N Det fundamentale homomorfiteoremet: La φ : R R være en ringhomomorfi med kernel N. Da er φ[r] en ring og kartet µ : R/N φ[r] gitt ved µ(x + N) = φ(x) en isomorfi. Hvis γ : R R/N er homomorfien fitt ved γ(x) = x + N, så vil vi for alle x R ha φ(x) = µγ(x). Seksjon 27 - Primiske og maksimale ideal Hvis R er en ring med unity, og N er et ideal av R inneholdene unity, så er N = R. Et felt inneholder ingen skikkelige ikke-trivielle ideal. Et maksimalt ideal av en ring R er et ideal M forskjellige fra R s.a. det ikke er noen skikkelige ideal N av R som skikkelig inneholder M. et felt. La R være en kommutativ ring med unity. Da er M et maksimalt ideal av R hviss R/M er 12

13 En kommutativ ring med enhet er et felt hviss det har ingen skikkelige ikke-trivielle ideal. Et ideal N R i en kommutativ ring R er et primisk ideal hvis ab N impliserer at enten a N eller b N for a, b R. La R være en kommutativ ring med unity, og la N R være et ideal i R. Da er R/N et integraldomene hviss N et et primisk ideal i R. Ethvert maksimalt ideal i den kommutative ringen R med unity er et primisk ideal. For en kommutativ ring R med unity. 1. Et ideal M av R er maksimalt hviss R/M er et felt. 2. Et ideal N av R er primisk hviss R/N er et integraldomene. 3. Ethvert maksimalt ideal av R er et primisk ideal. Hvis R er en ring med unity 1, så er kartet φ : Z R gitt ved φ(n) = n 1 for n Z en homomorfi av Z inn i R. Hvis R er en ring med unity, og karakteristikk n > 1, Så inneholder R en underring isomorf med Z n. Hvis R har karakteristikk 0, så har R en underring isomorf med Z. Et felt F er enten av primisk karakteristikk p og inneholder et underfelt isomorft med Z p, eller av karakteristikk 0 og inneholdene en underring R isomorf med Q. Feltene Z p og Q er primiske felt. Hvis R er en kommutativ ring med unity og a R, så er idealet {ra r R} av alle multipler av a det prinsipielle ideal generert av a og betegnes < a >. Et ideal N av R er et prinsipielt ideal hvis N =< a > for en a R. Hvis F er et felt, så er hvert ideal i F [x] prinsipielt. Et ideal < p(x) > 0 av F [x] er maksimalt hviss p(x) er irredusibelt over F. La p(x) være et irredusibelt polynom i F [x]. Hvis p(x) deler r(x)s(x) for r(x), s(x) F [x], da vil p(x) dele enten r(x) eller s(x). Del VI - Ekstensjonsfelt Seksjon 30 - Vektorrom La F være et felt. Et vektorrom over F (eller F-vektorrom) består av en abelsk gruppe V under addisjon sammen med en operasjon av skalarmultiplikasjon av alle elt. av V med hvert elt F til venstre, s.a. for alle a, b F o α, β V holder følgende. 13

14 V 1 aα V. V 2 a(bα) = (ab)α. V 3 (a + b)α = (aα) + (bα). V 4 a(α + β) = (aα) + (aβ) V 5 1α = α. Hvis V er et vektorrom over F, da er 0α = 0, a0 = 0 og ( a)α = a( α) = (aα) for alle a F og αinv. La V være et vektorrom over F. Vektorene i en undermengde S = {α i i I} av V spenner (eller genererer) V hvis for hver β V : β = a 1 α i1 + a 2 α i2 + + a n α in for noen a j F og α ij S, j = 1,..., n. En vektor n j=1 a j α ij er en lineær kombinasjon av α ij. Et vektorrom V over et felt F er endeligdimensjonalt hvis det finnes en endelig undermengde av V som spenner V. Vektorene i undermengden S = {α i i I} av et vektorrom V over et felt F er lineært uavhengige over F hvis, det for to forskjellige vektorer α ij S, koeffisienter a j F og n Z +, vi har n j=1 a j α ij = 0 i V bare hvis a j = 0 for j = 1,..., n. Hvis vektorene ikke er lineært uavhengige over F så er de lineært avhengige over F. Hvis V er et F -vektorrom, lager vektorene i en undermengde B = {β i i I} av V en basis for V over F hvis de spenner V og er lineært uavhengige. Lemma: La V være et F -vektorrom, og la α V. Hvis α er en lineær kombinasjon av vektorene β i V for i = 1,..., m og hver β i er en lineær kombinasjon av vektorer γ j V for j = 1,... n, så er α en lineær kombinasjon av γ j -ene. I et endeligdimensjonalt vektorrom, så vil enhver mengde av vektorer som spenner rommer inneholde en undermengde som er en basis. Et endeligdimensjonalt vektorrom har en endelig basis. La S = {α 1,..., α r } være en endelig mengde av lineært uavhengige vektorer i en endeligdimensjonalt F -vektorrom V. Da kan S bli forstørret til en basis for V over F. Videre, hvis B = {β 1,..., β n } er en basis for V over F, så er r n. elementer. Hvilke som helst to basiser for et endeligdimensjonalt F -vektorrom V har det samme antall Hvis V er et endeligdimensjonalt vektorfelt, så er antallet elementer i en basis dimensjonen til V over F La E være et ekstensjonsfelt av F, og la α E være algebraisk over F. Hvis deg(α, F ) = n, så er F (α) et n-dimensjonalt vektorrom over F med basis {1, α,..., α n 1 } Videre vil hvert elt β av F (α) være algebraisk over F, og deg(β, F ) deg(α, F ) 14

15 Seksjon 33 - Endelige felt q n elt. La E være en endelig ekstensjon av grad n over et endelig felt F. Hvis F har q elt, så har E Hvis E er et endelig felt av karakteristikk p, så inneholder R eksakt p n elementer for et positivt heltall n. La E være et felt av p n elt. innehold i en algebraisk tillukning Z p av Z p. Elementene av R er presis nullene i Z p av polynomet x pn x i Z p [x]. Et element α av et felt er en n-te rot av unity hvis α n = 1. Det er en primitiv n-te rot av unity hvis α n = 1 og α m 1 for 0 < m < n. Den multiplikative gruppa < F, > av ikke-null elementer av et endelig felt F er syklisk. En endelig ekstensjon E av et endelig felt F er en simpel ekstensjon av F. Lemma: Hvis F er et felt av primisk karakteristikk p med algebraisk lukning n, så har (x pn x) p n unike nuller i F. Lemma: Hvis F er et felt av primisk karakteristikk p, så er (α + β) pn = α pn + β pn for alle α, β F og alle positive heltall n. Lemma: Et endelig felt GF(p n ) av p n elementer eksisterer for hver orden av primtallet p n. Hvis F er et endelig felt, så vil det for hvert positivt heltall n finnes et irredusibelt polynom i F [x] av grad n. La p være et primtall og la n Z +. Hvis E og E er felt av orden p n så er E E. Del VII - Avansert gruppeteori Seksjon 36 - Sylow teoremene r X = X G + Gx i. i=s+1 La G være en gruppe av orden p n og la X være en endelig G-mengde. Da er X X G mod p. La p være et primtall. En gruppe G er en p-gruppe hvis hvert elt i G har en orden en grad av primtallet p. En undergruppe av en gruppe G er en p-undergruppe av av G hvis undergruppen er en p-gruppe alene. 15

16 Cauchys teorem: La p være et primtall. La G være en endelig gruppe og la p dele G. Da har G et elt. av orden p og derfor også en undergruppe av orden p. La G være en endelig gruppe. Da er G en p-gruppe hviss G er en orden av p. La G være en gruppe og la I være samlingen av alle undergruppene til G. Vi gjør I om til en G-mengde ved å la G virke på I ved konjugering. Dvs, hvis H I så er H G og g G, så vil g virke på H gi den konjugerte undergruppa ghg 1. Det observeres at G H = {g G ghg 1 = H} er en undergruppe av G som gjør H invariant under konjugering, G H er den største undergruppa av G som har H som en normal undergruppe. Undergruppa G H kalles normalisereren av H i G og betegnes N[H]. lemma: La H være en p-undergruppe av en endelig gruppe G. Da gjelder: (N[H] : H) (G : H) mod p. La H være en p-undergruppe av en endelig gruppe G. Hvis p deler (G : H), så er N[H] H. Første Sylowteorem: m. Da gjelder: La G være en endelig gruppe og la G = p n m hvor n 1 og hvor p ikke deler 1. G inneholder en undergruppe av orden p i for hver i hvor 1 i n. 2. Enhver undergruppe H av G av orden p i er en normal undergruppe av en undergruppe av orden p i+1 for 1 i < n. En Sylow p-undergruppe P av en gruppe G er en maksimal p-undergruppe av G, dvs, en p-undergruppe ikke inneholdt i noen større p-undergruppe. Andre Sylowteorem: La P 1 og P 2 være to Sylow p-undergrupper av en endelig gruppe G. Da er P 1 og P 2 konjugerte undergruppe av G. Tredje Sylowteorem: Hvis G er en endelig gruppe og p deler G, så er antallet Sylow p-undergrupper kongruent med 1 modulo p og deler G. Seksjon 37 - Anvendelser av Sylowteori Enhver gruppe av orden en orden av et primtall (dvs, enhver endelig p-gruppe) er løsbar. La Z(G) = {x G xg = gx g G} = c (Z(G) er senteret av G), og n i = Gx i da er: G = c + n c n r Denne ligningen kalles klasseligningen for G. Enhver orbital i G under konjugering med G er en konjugertklasse i G. Senteret av en endelig ikke-triviell p-gruppe G er ikke-trivielt. La G være en gruppe og H, K G. H V kalles sammensetningen av H og K og betegner overlappingen av alle undergrupper av G som inneholder HK = {hk h H, k K}. H V er med andre ord den minste undergruppa av G som inneholder HK. 16

17 Lemma: La G være en gruppe som inneholder normale undergrupper H og K slik at H K = e og H K = G. Da er G isomorf med H K. For et primtall p er enhver gruppe G av orden p 2 abelsk. Hvis p og q er forskjellige primtall med p < q, så har enhver gruppe G av orden pq en singel undergruppe av orden q og denne undergruppen er normal i G. Derfor er G ikke simpel. Hvis q ikke er kongruent med 1 modulo p, så er G abelsk og syklisk. Lemma: Hvis H og K er endelige undergrupper av en gruppe G, så gjelder: HK = ( H )( K ) H. K Vegard Hagen Trondheim 27. mai