KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER"

Transkript

1 KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette går, der etter trekkes resten av fra det minste så mange ganger dette går, og slik fortsettes det. Dersom den siste resten er én enhet er de to opprinnelig tallene innbyrdes primiske. Euklid gir så dette beviset på geometrisk form der de impliserte størrelse er representert ved linjestykker. Dersom to tall AB og CD er primiske til hverandre, vil bare én enhet gå opp i begge, for dersom de to ikke er primiske til hverandre, vil et tall (forskjellig fra null) gå opp i begge. Anta at et tall, E, går opp i begge. Ved divisjon (gjentatt subtraksjon) av AB med CD, vil vi få AF som rest der AF = AB DG (og DG er et multiplum av CD). AF < CD Ved divisjon av DG med AF, finner vi på tilsvarende måte resten GC - og videre ved divisjon av FH med GC, finner vi AH. A Da E går opp i CD, og BF er et multiplum av CD, må E gå opp i BF. Da E går opp i BA, vil den og gå opp i resten AF, dvs BA - BF. H F C Men, som vi husker, går E også opp i CD, derfor går E opp i CG, dvs CD - DG. G Siden CG går opp i FH, går E også opp i FH. Og som vi husker, E går opp i AF, da vil E også gå opp i resten AH, men siden denne er en enhet, må E også være en enhet dvs = 1. B D E Euklid s setning, Euklids algoritme, fra Bok 7 Hvordan man finner største felles divisor (mål) for to ulike tall som ikke er innbyrdes primiske. Euklid gir så dette beviset på geometrisk form (tilsvarende som for setning 1)der de impliserte størrelse er representert ved linjestykker I dette beviset går Euklid frem som i setning 1, inntil han finner et tall AB som går opp i foregående med rest CD, slik at CD går opp i AB, og dermed er en enhet. Siden tallene ikke er innbyrdes primiske, må denne enheten, største felles divisor, være forskjellig fra 1. Euklid s setning sier oss at for et hvert tallpar, k og n, finnes det to andre tall r og q, slik at vi har k = r n + q og at denne formen er unik, dvs det finnes ingen andre tall enn r og q som har denne egenskapen.

2 Oversatt til tall, kan Euklid s algoritme vises slik: Vi skal finne største felles divisor for tallene 43 og 11. Vi finner at 3 er det største multiplum av 11 mindre enn 43, resten blir = 3 x Vi ser at dersom 43 og 1 har en felles divisor, må denne også være divisor i 90. Ved å finne resten ved divisjon av 11 med 90, finner vi en ny rest som har divisor felles med 90. Vi ser at 90 går 1 gang opp i 11 med som rest 11 = 1 x 90 + Vi ser at går 3 ganger opp i 90 med 1 som rest 90 = 3 x + 1 Videre har vi at 1 går 1 gang opp i med 10 som rest = 1 x 1 + Siden går opp i 1, må være største felles divisor Det er for øvrig interessant at i Arithmetika angir Nichomachus (ca 140 e.kr) samme regel og sier om algoritmen at den vil ende med en enhet eller med det samme tall (største felles divisor) og han gir dette eksemplet: Med hensyn på 1 og 49, trekker jeg det minste fra det første, så trekker jeg 1 fra differensen 8 og får differensen 7 - så trekker 7 fra 8 og får 14 som han igjen trekker 7 fra - og fortsetter så, men 7 kan ikke trekkes fra 7(!) Vi må oppfatte ham her som ender med det samme tall. Lineære diofantiske ligninger Hvilke hele tall kan vi lage som sum av multipla av heltallene a og b? Eventuelt kan vi spørre om hvilke multipla av to hele tall kan i sum bli lik et tredje helt tall c. Dette problemet tilsvarer ligningen (1) nedenfor der x og y er hele tall. (1) ax + by = c a, b, c Z Dersom tallene ikke er for store, kan vi løse (1) ved inspeksjon dvs innsetting og prøving, men dersom tallene er store, blir denne metoden for tidkrevende. Ligningen ovenfor kaller vi en lineær diofantisk ligning siden de ukjente er lineære, dvs i første potens. Diofant (ca. 0 f.kr) er kjent for sine arbeider over kvadratiske og kubiske ubestemte ligninger i hele tall. Vi kjenner arbeidene hans fra det nevnte verket Aritmetika

3 Fra funksjonsteorien vet vi at ligningen svarer til en rettlinjet graf dersom x og y er reelle tall. Løsningene av ligningen for hele tall tilsvarer punkter på linjen. Vi finner disse punktene på linjen gitt ved funksjonsuttrykket: () a c y = x + b b Det er umiddelbart lett å se at et krav for at ligningen (1) har minst én løsning, er at c er et multiplum av (a, b), største felles divisor av a og b og motsatt - om c ikke er et multiplum av (a, b), har ligningen ingen løsning. Delelighetsreglene sier at venstre side alltid er delelig med (a, b). Ligningen kan derfor ikke ha heltallige løsninger i fall høyre side, c, ikke er delelig med (a, b). Vi skal nå se på en teknikk for å løse en lineær diofantisk ligning, og tar et talleksempel: (3) x + y = 3 Vi løser imidlertid først en hjelpeligning: (4) x + y = 1 Nå har vi : = dvs = + 1 og vi ser () 1 = 1 + (- ) Dvs hjelpeligningen har en løsning x = 1 og y = - Vi multipliserer ligningen (4) ovenfor med 3 på begge sider og får: (6) 3 = 3 + (- 6) Dvs at utgangsligningen (3) har løsningen x = 3 og y = -6, som vi kan kontrollere ved innsetting. Dette er imidlertid bare én løsning. Har (3) andre løsninger og i så fall hvilke? Vi antar at den alminnelige løsningen av (3) har formen: (7) x = 3 + α og y = -6 + β. Innsatt i ligning (3) gir dette oss: (8) (3 + α) + (-6 + β)= 3 Ut fra (6) finner vi denne ligningen for α og β: (9) α + β = 0 som gir oss: (10) β = α

4 Ligningen (9) sier oss at vi finner løsninger når α er et multiplum av. Som eksempel kan vi velge α = 4, dermed blir β = -10. Vi finner nå ved innsetting i (7) løsningen x =7 og y = -16. Vi kan nå skrive den alminnelige løsningen tilsvarende (7) på formen; (11) x = 3 + m og y = m Et annet ord for c er en lineærkombinasjon av a og b. Vi kan skrive (1) ax + by = (a,b) Vi ser på ligningen (13) 19x + 7y = 1 Vi har nå (14a) 19 = 7 + = (14b) 7 = 1 + = (14c) = = 1 - Nå nøster vi oss tilbake ved å starte med siste ligning (14c), sette inn for fra ligning (14b): (1) 1 = 1 - (1 7-1 ) Deretter setter vi inn for fra første ligning (14a) og får: (16) 1 = 1 [1 19-7] - (1 7-1 [1 19-7] ) Nå har vi fått 1 som lineærkombinasjon av 19 og 7 og regner ut: 1 = = (1 + ) 19 ( + + 4) 7 = Dermed har vi: (17) (-8) = 1 Ved multiplikasjon på begge sider med et vilkårlig tall M, finner vi løsningen av (18) 19x + 7y = M som x = 3M og y = -8M Generelt gjelder at vi kan forkorte med felles faktor inntil koeffisientene til x og y er innbyrdes primiske. Vi har og løsningen av ligning (19) (19) 19x0 + 7 y0 = 0 som er oppfylt for x 0 = 7 y0 = 19

5 (19 og (18) gir oss den fullstendige løsningen (1) av den diofantiske ligningen (0) (0) 19x y = M (1) x = x + M y = y 8M Bhaskara s metode Vi skal nå se på en alternativ løsningsmetode for lineære diofantiske ligninger oppkalt etter den indiske matematiker Bhaskara og starter med ligningen () 19x + 7y = 1 Vi har da en funksjonell sammenheng mellom x og y: (3) y = 19 x +1 7 Vi spalter så ut multipla av 7 fra første ledd: (4) y = ( 14 + ) x + 1 x + 1 = x Siden både y og -x er et hele tall, må også brøken være et helt tall, vi kaller denne m Vi har nå: () x +1 m = x + 1 = 7m 7 Vi kan skrive denne på formen (6) som er en ny Diofantisk ligning. (6) x + 7m = 1 Her anvender vi divisjonslemmaet nok en gang (7) x = 7 m + 1 m + 1 = m + Som etter samme resonnement som ovenfor, brøken er et heltatt, gir oss (8) m + 1 = n som vi kan skrive på formen (9) m + n = 1

6 (30) m = n + 1 n + 1 = n + som igjen gir: (31) n + 1= k n = k + 1 Av denne ligningen finner vi m n + 1 ( k + 1) + 1 (3) m = n + = ( k + 1) + (3) m= k (k ) k + (33) x = ( k ) + = k + + = 7k ( 7k + 3) + 1 (34) y = = 19k 8 7 Vi finner dermed løsningen (x, y)= ( 7k + 3, 19k 8). Husk at her ser vi på løsningen av ligning med høyreside = 1 og ikke M Vi skal til slutt se hvordan vi kan konvertere en kongruensligning til en diofantisk ligning. Vi skal også se hvordan vi kan løse kongruensligninger ved en alternativ metode. (3) mx b (mod p) mx np = b tilsv mx np = 1 Kongruensligningen 17 x 6 (mod 9) kan alternativt løses som vist nedenfor. Forklar hvert av stegene. 17x 6 (mod 9) 9x 9 (mod 9) 9x 17x 9 6 (mod 9) 1x 3 (mod 9) 17x 1x 6 3 (mod 9) x 1 (mod 9) 30x 7 (mod 9) x 43 (mod 9) x 0 = 14 (mod 9) Vi ser at dette svarer til følgende: (36) ax c (mod y) yx 0 (mod y) Slik at vi kan omformulere problemet som å finne to tall m og n slik at: (37) ( ma nb) = 1

7 KAPITTEL 11. KRYPTOGRAFI Additive og multiplikative koder Vi skal her se på noen enkle former for kryptografering. Kryptografering vil si at et tegn i den originale teksten, klarteksten, oversettes til et annet tegn ved en prosess som er kalt koding eller kryptografering 1. Den omvendte prosessen som vi kaller dekryptograffering fører det kodede tegnet tilbake til det opprinnelige. Det finnes flere systemer for kryptografering. Det første prinsippet vi skal to for oss er en additiv kode. Her får hver bokstav et nummer. Den kodede bokstaven til en nøkkel- bokstav blir da en bokstav med nummer lik nøkkelbokstavens nummer pluss et fast tillegg. Dersom vi nummerer bokstavene 1,, osv fra A, og bruker tillegg 4 vil vi kode EUKLID som IYOPMH E + 4 = 9 I U = Y K = 1 O L = 16 P I = 13 M D = 8 H Vi får imidlertid et problem. Når vi har 9 bokstaver i alfabetet og nummeret til den kodede bokstaven blir større enn 9. Det er da vi kan benytte oss av kongruensregning. Nå nummeret til nøkkelbokstaven er m, og tillegget er d, finner vi nummeret til den kodede bokstaven n, som m + d = n (mod 9) Vi får imidlertid et bedre system ved å bruke en multiplikativ kode. Da multipliserer vi nøkkelbokstavens nummer med en fast faktor. Vi skal se på dette systemet: A 1 1 = 1 1 (mod 9) O B 1 = 30 1 (mod 9) A E 1 = 7 17 (mod 9) Q L 1 1 =180 6 (mod 9) F Både den additive og den multiplikative kode kan forbedres ved at tillegg og faktor ikke er faste, men varierer enten periodisk eller i et på forhånd avtalt mønster. E 7 = 3 6 (mod 9) F U 1 9 = (mod 9) 0 K 11 = (mod 9) V L 1 7 = 84 6 (mod 9) Z I 9 9 = 81 3 (mod 9) W D 4 = 8 8 (mod 9) H 1 Et annet navn på kryptograffering er chifrering tilsvarende dechifrering. En kodet tekst kalles også chiffer.

8 Et annet prinsipp for kryptografi er permutasjon dvs at numrene for bokstaver i alfabetet systematisk kastes om. La oss si at en gruppe på bokstaver f eks HERON som svarer til numrene , utsettes for en omkastning : H 8 18 R E 8 H R 18 1 O O 1 14 N N 14 E En slik omkastning er gitt ved en kodenøkkel eller krypterings-nøkkel. På tilsvarende måte må det finnes en omvendt omkastning, en dekodenøkkel eller en dekrypteringsnøkkel. I det følgende skal vi forenkle alfabetet noe og bare se på de fem første bokstavene, A,B,C,D,E, F som vi nummererer 1,, 3, 4,, 6 Vi lar nå numrene være eksponenter i potenser av 3 og regner modulo 7. Da finner vi denne tabellen, her er 3n m (mod 7): n n m Fra denne tabellen, krypteringsnøkkelen, kan vi konstruere en dekrypteringsnøkkel. Vi skal nå se hvordan vi kan bruke teorien for Diofantiske ligninger til dekryptere en kodet melding der vi vet multiplikator. Vi antar nå at vi kjenner multiplikator = 17. Vi koder nå først N som har nummer = 38 = Nå vet den som får den krypterte meldingen at den kodede bokstaven er F som har nummer 6. Det gir kongruensligningen: 17a 6 (mod 9) som vi kan skrive som den diofantiske ligningen: 17a + 9 b = 6 17x + 9 y = 1 som igjen svarer til den diofantiske ligningen der a = 6x og b = 6y 17x + 9 y = 1 9 = = = = = + = 1 = =

9 Så nøster vi oss tilbake: 1 = = (17 1) (1 ) = = 17 3(9 17) + 4(17 1) = = (9 17) = Dette gir oss løsningen av den partikulære ligningen: (a, b) = (7, 4) I tillegg kommer løsningene av: 17e + 9f = 0 Dermed finner vi for den fullstendige løsningen x = 7 + 9n y = 4 17n For å finne en x som ligger i mengden {1,..,9} setter vi n = Da finner vi x = 14 Det vi har benyttet oss av her, er at vi kan overføre en kongruensligning til en diofantisk ligning som vi har en løsningsalgoritme for. En annen måte for å danne krypteringsnøkler finner vi ved å se på multiplikasjonstabeller modulo et primtall. Vi skal se på dette og starter med å sette opp addisjons- og multiplikasjonstabeller for kongruensregning. Tabellene for regning modulo er ganske enkle. For regning modulo 3 finner vi for addisjon og multiplikasjon: Addisjon x Multiplikasjon x Ser vi på tabellutsnittet for [1, ] for multiplikasjonstabellen ser vi at dette er en permutasjon av 1,. Vi vil undersøke dette nærmere og tar for oss multiplikasjon modulo som er et primtall og ser bare på tabellutsnittet for [1,, 3, 4]

10 I tabellen nedenfor som altså gir rester ved divisjon med av produkter der faktorene er innehold i {1,, 3, 4}, finner vi dette: Vi ser nå at tabellen gir alle permutasjoner av {1,,3,4}. Vi ser også at tabellen er symmetrisk om begge diagonalene. Hvorfor? Vi ser også at dersom vi betrakter en rad som en bestemt permutasjon av {1,,3,4}, vil en bestemt av de andre radene gi den motsatte eller inverse permutasjonen. Hva er sammenhengen? Vi ser at å multiplisere med og deretter med 3, fører tilbake til utgangspunktet. x 3 = 6 x 1 (mod ) Vi skal gå litt nøyere inn på dette og bruker en større tabell 6 x 6 modulo 7. Vi har satt opp tabellen nedenfor: Vi ser at denne tabellen også er symmetrisk om begge diagonalene Vi ser også at gangerekkene er permutasjoner av elementene {1,,3,4,,6} Nå beskriver vi på en permutasjon ved en tabell eller en vektor: f eks [1,,3,4,,6] og den permutasjonen vi får frem ved å multiplisere hvert ledd med tallet n, beskriver vi som: T(n) [1,,3,4,,6], f eks: T() [1,,3,4,,6] = [,4,6,1,3,] Vi gjør nå to slike operasjoner og ser hva som skjer: T(3)T() [1,,3,4,,6] = T(3)[,4,6,1,3,] =[6,,4,3,,1] som vi ser er T(6) [1,,3,4,,6] Vi forsøker to andre operasjoner: T(3)T() [1,,3,4,,6] = T(3) [,3,1,6,4,] = [1,,3,4,,6] som vi ser er T(1) [1,,3,4,,6] T(4) T(3) [1,,3,4,,6] = T(4) [3,6,,1,,4] = [,3,1,6,4,] som vi ser er T() [1,,3,4,,6] T(6) T(4) [4,1,,,6,3] = T(6) [4,1,,,6,3] = [3,6,,,1,4] som vi ser er T(3) [1,,3,4,,6] Vi ser at vi har sammenhengen: T(m) T(n) = T(k) der vi har m n k (mod 7)

11 Vi kan nå stille opp disse transformasjonene i en tabell T() T(3) T(4) T() T(6) T() T(4) T(6) T(1) T(3) T() T(3) T(6) T() T() T(1) T(4) T(4) T(1) T() T() T(6) T(3) T() T(3) T(1) T(6) T(4) T() T(6) T() T(4) T(3) T() T(1) Vi ser her at vi har at T() er invers til T(4) og omvendt T(3) er invers til T() og omvendt videre er T(6) invers til seg selv. Vi skal se at slike sammenhenger også gjelder for produkter som er potenser: n Vi ser på potenser av modulo m (mod ): n n m n Vi ser så på potenser av 3 modulo 7 3 m (mod 7) Vi ser at i begge tilfelle danner restene en følge av permutasjoner av tallene opp til p Public Key systemer Vi skal til slutt gi et eksempel på et såkalt Public Key system RSA systemet. Dette er oppkalt etter de tre som konstruerte det i 1977, Ron Rivest, Adi Shamir, and Leonard Adleman. Poenget ved det hele er at noe av systemet er offentlig. Prinsippet kan illustreres slik: jeg legger en melding i en eske og låser den med en hengelås (delkode) som jeg har nøkkel til så sender jeg den til mottager som låser den med en ny hengelås (delkode) som mottager har nøkkel til så sender mottager den tilbake til sender som låser opp sin hengelås og sender esken på nytt til mottager som låser opp sin hengelås. Vi illustrerer dette med et eksempel, men først repeterer vi Euler s teorem: Vi husker at vi der definerte en ϕ(n) som antall naturlige tall mindre enn n som ikke har felles faktor med n. Vi husker også at for et primtall p, har vi ϕ(p) = p 1 Dersom vi har to primtall p og q, kan vi vise at ϕ(p q) = (p 1)(q -1) Nå kan vi skrive Euler s teorem på denne formen: ( pq) ( p 1)( q 1) a ϕ = a 1 (mod pq) Der a og pq ikke har felles faktor.

12 Her kommer eksemplet. Ada vil etablere en hemmelig kode med Bo. Hun velger først to primtall, f eks 7 og 13, som har produkt 91. Av tallet 91 som altså er et sammensatt, finner hun ϕ(91)= 7. Der etter velger hun to tall slik at produktet får 1 til rest ved divisjon med ϕ(91)= 7, f eks 9 og, som har produkt 14. Vi har da: 14 = Nå offentliggjør hun de to tallene 91 og 9. Det er disse som er public keyes Bo skal nå sende en melding til Ada og krypterer f eks 3 som (mod 91) Når Ada dekrypterer 3, går hun frem slik: 61 3 (mod 91) Forklaringen på denne prosessen er: (3 9 ) = 3 14 = = (3 7 ) mod (91) Poenget med denne krypteringen er at man velger så store primtall at det i praksis blir svært vanskelig (nærmest umulig innenfor de tidsmarginer man har) å dekomponerere det sammensatte tallet svarende til 91 de aktuelle primtallene. Feilrettingskoder. Alle bøker klassifiseres etter den såkalte ISBN koden. Denne koden består av et 10 sifret tall. Vi kan kontrollere denne koden ved hjelp av kongruensregning. Vi skriver de 10 sifrene som { x 1, x, x3,..., x10} Kontrollen ligger nå i at denne kongruensligningen skal være oppfylt x + x + 3x x 0 (mod 11) Vi skal se på et eksempel. Number Theory av Andrews har ISBN nummer: Setter vi dette inn i ligningen, finner vi summen 09 som er Denne koden er et eksempel på en feilrettingskode. Den er konstruert på en slik måte at dersom det gjøres en feil ved overføringen av koden, vil kontrollen som oftes avsløre denne.

13 Det norske personnummersystemet er en tilsvarende feilrettingskode. Personnummeret vårt består av 11 sifre, de seks første er fødselsdato og de tre neste er et personlig nummer som skiller mellom mennesker født på samme dato. De to siste er kontrollsiffer og regnes slik: x 8 + x (mod 11) 10 x1 + 4x + x3 + 10x4 + 3x + x6 + 7x7 + 6x8 9 9 x 6 + x (mod 11) 11 x1 + 7x + 8x3 + 9x4 + 4x + x6 + 6x7 + 7x8 + 8x De tre kontrollsifrene må velges slik at man unngår å få 10 som rest ved divisjon med 11, Aktuell litteratur er: Tallteori Reinert Rinvold Caspar Forlag Alt er tall Viggo Brun Universitetsforlaget Elementær Talteori Trygve Nagell Almquist & Wicksell Theory of Numbers George Andrews Dover Books The Code Book Simon Singh Anchor Books The Code Book: The Science of Secrecy from Ancient Egypt to Quantum Cryptography

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den

Detaljer

Koder. Kristian Ranestad. 8. Mars 2005

Koder. Kristian Ranestad. 8. Mars 2005 i kryptering 8. Mars 2005 i kryptering i kryptering i kryptering En hemmelig melding Kari sender til Ole den hemmelige meldingen: J MPWF V siden responsen er litt treg prøver hun påny med: U EVOL I Nå

Detaljer

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe. Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det

Detaljer

Oversikt over kryptografi

Oversikt over kryptografi Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen

Detaljer

KODER I KLASSEROMMET

KODER I KLASSEROMMET KODER I KLASSEROMMET Kristian Ranestad 28.02.2001 Dette heftet er utarbeidet til klasseromsprosjektet ved Matematisk institutt, UiO. I dette prosjektet inngår det halvdags kurs for lærere i forskjellige

Detaljer

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0 Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,

Detaljer

Kryptografi, del 2. Aslak Bakke Buan, Ole Enge

Kryptografi, del 2. Aslak Bakke Buan, Ole Enge Aslak Bakke Buan, Ole Enge Kryptografi, del 2 Offentlig-nøkkel kryptografi Anta du vil handle på internett og blir bedt om å oppgi kredittkortnummeret ditt. Du stoler kanskje på at nettstedet du vil handle

Detaljer

Kryptering Kongruensregning Kongruensregning i kryptering Litteratur. Hemmelige koder. Kristian Ranestad. 9. Mars 2006

Kryptering Kongruensregning Kongruensregning i kryptering Litteratur. Hemmelige koder. Kristian Ranestad. 9. Mars 2006 i kryptering 9. Mars 2006 i kryptering i kryptering i kryptering En hemmelig melding Kari sender til Ole den hemmelige meldingen: J MPWF V siden responsen er litt treg prøver hun påny med: U EVOL I Nå

Detaljer

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 ) For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s

Detaljer

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors)

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI

OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI S. O. SMALØ Abstract. I dette notatet, som skal inngå som pensum i etterog viderutdanningskurs i datasikkerhet, vil vi gi en kort innføring i oentlig-nøkkel-kryptogra med illustrasjoner

Detaljer

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)

Detaljer

Forelesning 24 mandag den 10. november

Forelesning 24 mandag den 10. november Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av

Detaljer

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen... Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19

Detaljer

Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger

Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod

Detaljer

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016 Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Sjekk om følgende tall er delelig med 9: 654, 45231, 1236546 Løsning: Et tall er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen er

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Litt om diofantiske likninger

Litt om diofantiske likninger 1 Litt om diofantiske likninger av Dag Magne Johannessen Når vi skal løse en likning eller et likningssett, diskuterer vi sjelden hvilken grunnmengde som er til rådighet. Problemet går som regel ut på

Detaljer

Oversikt over det kinesiske restteoremet

Oversikt over det kinesiske restteoremet Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?

Detaljer

3.1. Formodninger om primtall.

3.1. Formodninger om primtall. 15 Mai 2000 Kap 3.1 Formodninger om primtall 1 3.1. Formodninger om primtall. (3.1.1) Mersenne, Godbach og primtallstvillinger. Vi skal her forklare noen av de mest kjente formodningene om primtall. (3.1.2)

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Modulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.

Modulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m. Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)

Detaljer

2.3 Delelighetsregler

2.3 Delelighetsregler 2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Forelesningsnotater SIF 5021 Algebra og tallteori V-02. Et kort innføring med eksempler fra kodeteori

Forelesningsnotater SIF 5021 Algebra og tallteori V-02. Et kort innføring med eksempler fra kodeteori Forelesningsnotater SIF 5021 Algebra og tallteori V-02. Et kort innføring med eksempler fra kodeteori Sverre O. Smalø I forbindelse med elektronisk digital kommunikasjon vil kommunikasjonskanalen av og

Detaljer

1 Primtall og divisorer

1 Primtall og divisorer Oppgaver 1 Primtall og divisorer KATEGORI 1 1.1 Primtallsfaktorisering Oppgave 1.110 Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave 1.111 Finn ut ved hjelp av tverrsummen

Detaljer

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

3 Største felles faktor og minste felles multiplum

3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3.1 Største felles faktor og minste felles multiplum. Metodiske aspekter Største felles faktor og minste felles multiplum er kjente matematiske uttrykk

Detaljer

Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning.

Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se http://www.cs.hioa.no/~evav/dm/emner/modulo1.pdf Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = 7358. Tverrsummen til a er

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006 Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en

Detaljer

Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015

Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015 Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen

Detaljer

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe Forord Dette heftet i tallteori er tilpasset Matematisk institutts nettbaserte kurs i tallteori og baserer seg i stor grad på Erik Alfsen og Tom Lindstrøms kompendium i tallteori for MA 115/215. Heftet

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Navn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643

Navn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643 Navn og referenser 1 GRUNNFORSKNING SKAL IKKE VÆRE NYTTIG. ET EKSEMPEL OM PRIMTALL Blackeberg, Kungsholmen, Spånga, Åsö, Norra R. 20-22-23 mars 2001, 19-21 mars 2002 grunnforskning nytte anvendelser offentlig

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b. TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og

Detaljer

Regning med tall og algebra

Regning med tall og algebra Regning med tall og algebra Dette er en variert samling av oppgaver. De kan alle løses ved algebraisk, men det fins også andre måter å løse dem på. Man kan bruke kvadratsetningene, potensregning, prosentregning

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Obs. Læreren må være klar over at det er mulig å få riktig svar ved å regne feil her,

Obs. Læreren må være klar over at det er mulig å få riktig svar ved å regne feil her, Oppgave 1 b 3b Hva er 3a 8a b hvis a 2? A 5 B 7 C 8 D 24 E 70 Er det nødvendig å finne tall for a og b? Hvor i uttrykket finnes a b? b Hva blir verdien av første ledd når a 2? Skriv om potensen i andre

Detaljer

1. Cæsarchiffer er en av de enkleste krypteringsteknikkene. Hva går teknikken ut på?

1. Cæsarchiffer er en av de enkleste krypteringsteknikkene. Hva går teknikken ut på? Prøve i kryptografi Navn: Karakter: Poeng: /30 Lykke til! Hjelpemidler: Viskelær og skrivesaker Teknologi i praksis, fre. 23. september Del 1 Flervalgsoppgaver Sett ring rundt alternativ A, B, C eller

Detaljer

1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p)

1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) . Oppgave. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q). Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) 3. Avgjør om følgende utsagn er sant i universet

Detaljer

Il UNIVERSITETET I AGDER

Il UNIVERSITETET I AGDER Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18 NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og

Detaljer

Eksamen MAT H Løsninger

Eksamen MAT H Løsninger Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med

Detaljer

Heltallsdivisjon og rest div og mod

Heltallsdivisjon og rest div og mod Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b

Detaljer

Oppgaver til kapittel 19 - Kryptering og steganografi

Oppgaver til kapittel 19 - Kryptering og steganografi Oppgaver til kapittel 19 - Kryptering og steganografi Oppgave 1 - Cæsars kode (plenum) I symmetrisk kryptering brukes samme nøkkel både for å kryptere og dekryptere. Avhengig av hvordan nøkkelen utformes

Detaljer

3. kurskveld. Gjennomgang av hjemmeleksa. Hvilke tall tenker jeg på?

3. kurskveld. Gjennomgang av hjemmeleksa. Hvilke tall tenker jeg på? 3. kurskveld Gjennomgang av hjemmeleksa Hvilke tall tenker jeg på? Læreren tenker på to etterfølgende tall mellom 1 og 10. To elever får en lapp med hvert sitt av de to tallene. Elev A: Jeg vet ikke hvilket

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Diofantiske likninger Peer Andersen

Diofantiske likninger Peer Andersen Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Tallenes hemmeligheter Kapittel Oppgave 5. Nei Oppgave 7. Addisjon og multiplikasjon Oppgave 8. b) Hvis vi ser på hele tall er {1},

Detaljer

Rekker (eng: series, summations)

Rekker (eng: series, summations) Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.

Detaljer

KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994

KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994 KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2016

Matematikk for IT, høsten 2016 Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :

Detaljer

Kryptogra og elliptiske kurver

Kryptogra og elliptiske kurver Kryptogra og elliptiske kurver Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo Gjesteforelesning, 7. november 2007 Eivind Eriksen (Høgskolen i Oslo) Kryptogra og elliptiske kurver 1 / 23 Plan: 1 Generelt om kryptogra

Detaljer

MAT Notat om RSA-kryptografi

MAT Notat om RSA-kryptografi MAT4000 - Notat om RSA-kryptografi Erik Bédos Vår 2008 Abstract Dette notatet er et tillegg til heftet i elementær tallteori. Det omhandler anvendelser av tallteorien i kryptografi, med spesiell vekt på

Detaljer

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31, Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015 RAMMER FOR MUNIG EKSAMEN I MAEMAIKK EEVER 2015 Fagkoder: MA1012, MA1014, MA1016, MA1018, MA1101,MA1105, MA1106, MA1110, REA3021, REA3023, REA3025, REA3027, REA3029 Årstrinn: Vg1, Vg2 og Vg3 Gjelder for

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Kryptografi og nettverkssikkerhet

Kryptografi og nettverkssikkerhet Kryptografi og nettverkssikkerhet Kapittel : Blokkchiffere og DES (the Data Encryption Standard) Moderne symmetrisk kryptografi Skal se på moderne blokkchiffere, en av de mest brukte kryptoalgoritmene.

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets

Detaljer

KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004.

KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004. KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004 av Hans Engenes 18. august 2004 2 Innhold 1 Tallteori 3 1.1 Innledning...............................

Detaljer

INF1040 Oppgavesett 14: Kryptering og steganografi

INF1040 Oppgavesett 14: Kryptering og steganografi INF1040 Oppgavesett 14: Kryptering og steganografi (Kapittel 19) Husk: De viktigste oppgavetypene i oppgavesettet er Tenk selv - og Prøv selv - oppgavene. Fasitoppgaver 1. Krypter følgende strenger ved

Detaljer

Kryptografi og nettverkssikkerhet

Kryptografi og nettverkssikkerhet Kryptografi og nettverkssikkerhet Kapittel : Blokkchiffere og DES (the Data Encryption Standard) Moderne symmetrisk kryptografi Skal se på moderne blokkchiffere, en av de mest brukte kryptoalgoritmene.

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 1 (8. - 10. trinn) Studieåret 2014/2015

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 1 (8. - 10. trinn) Studieåret 2014/2015 Godkjent april 2014 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 1 (8. - 10. trinn) Studieåret 2014/2015 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere som har godkjent lærerutdanning med innslag

Detaljer

Vi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler.

Vi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler. 196 FAKTA De naturlige tallene bestôr av ett eller ere sifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...Alle de hele positive tallene kaller vi naturlige tall, og tallmengden kaller vi N. NÔr vi tar med 0 og

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 LØSNINGSFORSLAG SIF55 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 8. desember 22 Oppgave a) Vi vil ha 77x (mod 3), så vi trenger en

Detaljer

Forelesning 10 torsdag den 18. september

Forelesning 10 torsdag den 18. september Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se

Detaljer

Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller

Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Forelesningsnotat nr 5, august 2009, Steinar Holden Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Først litt repetisjon ) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes: Y ty = Y(-t) der det siste uttrykket

Detaljer

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

Pytagoras fra Samos. Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker. (ca. 572 497 f.kr) TANGENTEN 3/1999 15

Pytagoras fra Samos. Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker. (ca. 572 497 f.kr) TANGENTEN 3/1999 15 TANGENTEN 3/1999 15 Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker Pytagoras fra Samos (ca. 57 497 f.kr) Det finnes få skriftlige dokumenter fra den eldste greske matematikken (fra før år 300 f.kr.). Det finnes

Detaljer

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 24 Løsningsforslag Øving 9 4.3.4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet (Maclaurinpolynomet)

Detaljer

MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015

MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 Emnenavn Grunnleggende matematikk Precalculus MA6001 Undervisningssemester Høst 2014 Professor Petter Bergh petter.bergh@math.ntnu.no

Detaljer