Litt om diofantiske likninger
|
|
- Even Berntsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 Litt om diofantiske likninger av Dag Magne Johannessen Når vi skal løse en likning eller et likningssett, diskuterer vi sjelden hvilken grunnmengde som er til rådighet. Problemet går som regel ut på å finne alle løsninger innenfor de reelle tallene eller sågar innenfor de komplekse tallene. Noen ganger er oppgaven relatert til et praktisk problem slik at bare de positive løsningene kan brukes, men det endrer ikke på løsningsmetodene, bare på hvorvidt alle løsningene kan anvendes. Innenfor området diofantiske likninger er situasjonen en annen. Vi har flere ukjente enn vi har likninger, men til gjengjeld er kravet at alle løsningene skal være hele tall. Diofantiske likninger hører inn under det området i matematikken som vi kaller tallteori, og dette er et område hvor mange norske matematikere har gjort betydelige arbeider og vunnet internasjonal anerkjennelse. Vi skal i denne artikkelen se på noen av de enkle diofantiske likningene og hvordan de løses. Likningen y = n Vi ser først på likningen y = 55 Her har vi altså to ukjente, men bare en likning, men vi legger på tilleggskravet at og y skal være hele, positive tall. Vi faktoriserer både uttrykket og tallet 55 og får ( y)( + y) = 5 11 = 1 55 Ettersom 5 og 11 er primtall, er dette de to eneste måtene 55 kan faktoriseres på. Dette gir oss disse to mulighetene eller 1) y = 1 og + y = 55 som gir = 8 og y = 7 ) y = 5 og + y = 11 som gir = 8 og y = 3 Andre muligheter fins ikke hvis kravet er at og y skal være hele positive tall. Hvis kravet bare er at løsningene skal være hele tall, får vi også med oss løsningene
2 ( 8, 3), ( 8, 7), ( 8, 3), (8, 3), (8, 7), ( 8, 7), men flere fins ikke. Antallet løsninger av likningen y = n avhenger helt av n. For eksempel har likningen y = 105 de fire løsningene (53, 5), (19, 16), (13, 8) og (11, 4) når og y skal være positive heltall. Løsningene finner vi på den samme måten som ovenfor. Antallet kommer fra de ulike måtene 105 = kan faktoriseres på. Vi får 105 = = 3 35 = 5 1 = 7 15 Hver faktorisering gir opphav til en løsning. Likningen y = 30 har ikke løsninger i det hele tatt når og y skal være positive hele tall. De to tallene y og + y er enten begge oddetall eller begge partall. Av det følger at ( y)( + y) enten er et oddetall eller et tall som er delelig med 4. En likning y = n, der n er et partall som ikke er delelig med 4, har derfor ingen løsning. Ettersom 30 er et partall som ikke er delelig med 4, har likningen y = 30 ikke noen løsninger. Likningen a + by = c Det bør være kjent at a + by = c er formelen for en rett linje i planet. Når vi skal løse den diofantiske likningen a + by = c må vi finne punkter med heltallige koordinater som ligger på linja, altså heltallige løsninger av likningen: a + by = c (1) hvor vi forutsetter at a, b og c er hele tall.
3 3 Har en slik likning alltid løsninger? Med andre ord, går linjen a + by = c alltid gjennom minst et punkt med heltallige koordinater? Det er enkelt å se at svaret på dette spørsmålet er nei. Hvis a og b har en felles faktor som ikke går opp i c, ser vi at venstre side av (1) inneholder en faktor som ikke er til stede på høyre side, og likningen kan da ikke ha noen heltallige løsninger. Dersom en eventuell felles faktor i a og b også går opp i c, kan denne faktoren forkortes bort, så dette tilfellet behøver vi ikke behandle spesielt. I det videre kan vi derfor forutsette at a og b er innbyrdes primiske (har ingen felles faktorer > 1). Anta nå at a og c har en felles faktor k > 1 som ikke går opp i b. (Situasjonen blir helt tilsvarende om det er b og c som har denne felles faktoren istedenfor a og c). Ettersom alle leddene er heltallige, og k går opp i to av leddene, må k også gå opp i det tredje leddet hvis vi skal ha noen løsning. Nå går k ikke opp i b, og da må k gå opp y i y. Vi kan da innføre en ny variabel z =, og likningen blir k a + bkz = c Vi ser her at k går opp i alle tre leddene, og den kan dermed forkortes bort. I fortsettelsen kan vi derfor anta at a, b og c parvis består av ulike faktorer og to og to av dem derved ikke har noen felles faktorer. Vi skal da vise løsningsmetoden med et eksempel. Løs likningen y = 5 () Ved å flytte over ser vi at 7 5 må være delelig med 13. Da må også (7 5) = være delelig med 13. Ettersom = ( 4) følger av dette at + er delelig med 13. Vi kan da skrive
4 4 + = 13t eller = + 13t Videre ser vi ved å flytte over i likningen () at 13y 5 må være delelig med 7. Ettersom 13y 5 = 14y 1 y 4 = 7(y 3) (y + 4) ser vi at y + 4 må være delelig med 7. Vi kan da skrive eller y + 4 = 7s y = 4 + 7s Dette setter vi så inn i likning (). Dermed er y = 5 7( + 13t) + 13( 4 +7s) = t s = 5 91t + 91s = 91 t + s =1 s = 1 t y = 4 + 7s = 4 + 7(1 t) = t = 3 7t Dermed har likningen () løsningen = + 13t y = 3 7t hvor t er et vilkårlig helt tall.
5 5 Et eksempel til: Vi vil løse likningen 3 5y = 7 Vi flytter 5y over på den andre siden av likhetstegnet og ser da at 5y + 7 er delelig med 3. Nå er 5y + 7 = 6y + 6 y + 1 = 3(y + ) +( y + 1) Av dette ser vi at y + 1 er delelig med 3. Da kan vi skrive eller y + 1 = 3t y = 1 3t Fra likningen 3 5y = 7 ser vi at 3 7 er delelig med 5. Da er også 6 14 delelig med 5. Nå er 6 14 = = 5( 3) Derav får vi at + 1 er delelig med 5 og vi skriver + 1 = 5s = 1 + 5s Disse to svarene setter vi så inn i vår opprinnelige likning og får Dette gir 3( 1 + 5s) 5(1 3t) = s 5 +15t = 7 15s + 15t = 15 s + t =1 s = 1 t = 1 +5s = 1 + 5(1 t) = 4 5t Dermed har vi løsningene = 4 5t y = 1 3t hvor t er et vilkårlig helt tall.
6 6 Likningen + y = z Pytagoras-setningen om sidene i en rettvinklet trekant er kjent for de fleste, men hvilke muligheter har vi hvis lengden av alle sidene skal være hele tall? Håndverkere har gjennom årene brukt tallene 3, 4, 5 som mål når de skal lage rette vinkler, ut fra kunnskapen om at = 5, men hvilke andre muligheter har vi? Vi skal se på likningen + y = z og hvor, y og z er hele tall som ikke er lik null. Slike løsninger kaller vi for pytagoreiske tripler. Dersom to av tallene, y og z har en felles faktor k, må denne også gå opp i det tredje tallet, og hele likningen kan forkortes med k. Vi søker derfor løsninger hvor to og to av tallene, y og z ikke har felles faktorer. Da kan altså maksimalt ett av dem være partall. La oss tenke oss at både og y er oddetall. Da fins det hele tall a og b slik at = a + 1 og y = b + 1. Dermed er z = + y = 4a + 4a b + 4b + 1 = 4(a + a + b + b) + = 4t + Dette er umulig, da et kvadratisk partall ikke bare kan inneholde én -er. Et av tallene og y er altså partall, det andre er et oddetall og z blir da et oddetall. Siden og y inngår symmetrisk i likningen er det det samme hvilket av dem som er oddetall og hvilket som er partall. Vi velger derfor at er et oddetall og y er et partall. Da har vi y = z = (z )(z + ) Divisjon med 4 gir y z z + ( )( ) = 4 4 y z z+ = Nå er z+ z + = z og
7 7 z+ z = z+ z slik at en fellesfaktor i og i må gå opp i både og z. Men disse tallene z+ z har jo ikke noen felles faktorer. Dermed kan ikke og ha noen felles faktorer større enn 1. Ettersom produktet av tallene er et kvadrattall, må de selv begge være kvadrattall. Det må derfor finnes to hele tall r og s, uten felles faktorer slik at z+ = r og z = s Dette gir Vi vet at z = r + s og = r s Dermed blir y = rs y = rs Ettersom både z og er oddetall, kan ikke både r og s være oddetall. Det må da være ett oddetall og ett partall. Dermed vil y alltid være delelig med 4. Disse kravene til r og s er imidlertid bare nødvendige hvis, y og z ikke skal ha felles faktorer. Formelen (r s ) + (rs) = r 4 r s + s 4 + 4r s = r 4 + r s + s 4 = (r + s ) gjelder alltid. Vi har vist dette: Hvis r og s er vilkårlige positive heltall, vil = r s, y = rs og z = r + s være en løsning av likningen + y = z Av dette følger at det fins uendelig mange pytagoreiske tripler.
8 8 Likningen n + y n = z n Vi har løst likningen for n =. Hva vet vi om likningen når n >? Ifølge et teorem som har gått under navnet Fermats siste teorem, finnes det ikke heltallige løsninger, y og z når n er et helt tall som er større enn. Fermat skrev i margen til en bok at «jeg ser et vidunderlig bevis, men plassen tillater ikke at jeg skriver det ned». Det er lite trolig at Fermat hadde rett. Utallige matematikere har prøvd å vise dette og har måttet gi opp. Først i 1994 klarte den britiske matematikeren Andrew Wiles å bevise setningen. Beviset er imidlertid meget stort og vanskelig og gjør også bruk av emner fra andre deler av matematikken. Så Fermats påstand om manglende plass i margen er i alle fall korrekt. Vi skal imidlertid gi et bevis for at det ikke fins positive heltallige løsninger når n = 4. Dette skal vi gjøre ved å vise at likningen 4 + y 4 = z ikke har positive heltallige løsninger, og da har selvsagt heller ikke 4 + y 4 = z 4 noen positiv heltallig løsning. I likningen 4 + y 4 = z ser vi lett at og y ikke begge kan være oddetall. Med samme begrunnelse som i avsnittet foran ser vi at det ville medføre at z ville bli på formen 4t + for en eller annen t, hvilket er umulig. Nå kan og y heller ikke begge være partall, for da måtte z være delelig med 4 og hele likningen ville kunne forkortes med 16. Skal vi derfor finne en løsning hvor, y og z ikke har felles faktorer, må z være odde og en av og y være oddetall og det andre et partall. Vi lar være odde og y et partall, og vi antar at de positive heltallene, y, z er en løsning av vår likning. Ettersom og y er en løsning av likningen ( ) + (y ) = z vil det ifølge forrige avsnitt finnes to positive hele tall r og s, et oddetall og et partall, uten felles faktorer slik at = r s (1) y = rs () z = r + s (3) Av likning (1) ser vi at + s = r slik at, s og r er et pytagoreisk trippel. Ettersom er et oddetall, er s et partall og r dermed et oddetall. Likning () kan da skrives som y s = r Siden r og s ikke har felles faktorer, og venstre side er et kvadrattall, må hver av faktorene på høyre side selv være kvadrattall. Det må altså finnes p og q slik at
9 9 r = p og s = q Den siste likningen gir s = q Nå har vi jo at + s = r Ifølge forrige avsnitt finnes det da positive hele tall α og β uten felles faktorer slik at = α β, s = αβ og r = α + β Ettersom s = αβ og s = q, følger at αβ = q. Nå har ikke α og β noen felles faktorer, og siden produktet av dem er et kvadrattall må de begge selv være kvadrattall. Det må derfor finnes to heltall f og g slik at α = f og β = g Men nå vet vi jo at r = p og r = α + β. Da er α + β = p noe som medfører at f 4 + g 4 = p Imidlertid vet vi at z = r + s > r = p 4. Da er z > p. Vi startet altså med en løsning, y, z og har ut fra denne konstruert en ny løsning f, g, p hvor p er mindre enn z. Men dette er umulig. Ut fra løsningen f, g, p kunne vi da konstruere enda en ny løsning med enda mindre tall, men ettersom løsningene skal bestå av positive heltall kan vi jo ikke fortsette slik i en uendelig nedstigning. Dette viser at likningen 4 + y 4 = z ikke har noen løsninger i positive heltall, y og z og dermed har heller ikke likningen 4 + y 4 = z 4 noen heltallig løsning.
10 10 Pells likning Dy = 1 Den diofantiske likningen Dy = 1, hvor D er et naturlig tall, har fått navnet Pells likning. Hvis D er et kvadrattall, setter vi D = m og ser lett at den eneste løsningen er = ±1 og y = 0. m y = 1 ( my)( + my) = 1 Av dette får vi my = ±1 og + my = ±1 = ± = ±1 og y = 0 Dersom D ikke er et kvadrattall, har imidlertid likningen uendelig mange løsninger. Ettersom og y begge forekommer i. potens, er det tilstrekkelig å søke etter de løsningene hvor og y begge er positive. La 1 og y 1 være en positiv løsning av likningen og slik at det ikke finnes positive løsninger der er mindre enn 1. Vi sier da at ( 1, y 1 ) skrevet som 1 + y1 D er fundamentalløsningen til likningen Dy = 1. Alle løsninger av likningen Dy = 1 er da gitt ved + y D = ( + y D) n hvor n N. n n 1 1 At alle løsninger gis på denne formen, er ikke vanskelig å bevise. Derimot er eksistensen av en fundamentalløsning et nokså komplisert bevis, og det gir bare eksistensen av løsningen og ikke noen metode til å finne den. Det finnes metoder til å bestemme fundamentalløsningen, men i svært mange tilfeller går det like greit å finne denne ved å prøve seg fram. Når man vet at det finnes en løsning (og det forteller eksistensbeviset), kan man bare regne ut 1 + Dy (som jo er lik ) for y = 1,, 3, helt til man får et kvadrattall. I de fleste tilfeller finner man fundamentalløsningen relativt raskt, men for D = 94 er fundamentalløsningen For D = 61 er fundamentalløsningen enda større. Det finnes tabeller for fundamentalløsningen for de ulike verdiene for D.
11 11 Likningen Dy = 1 Mens Pells likning har løsninger for alle D N, og uendelig mange løsninger hvis D ikke er et kvadrattall, har denne varianten ikke løsninger for alle D N. Man ser lett at D ikke kan være delelig med 4, og dersom D er et oddetall, må det være på formen D = 4k + 1. Dette er dog ikke nok, idet man kan vise at 34y = 1 ikke har noen løsning. Dersom det er løsninger, finnes de på tilsvarende måte som i Pells likning ved at + y D = ( + y D) n n n der 1 + y1 D er fundamentalløsningen til likningen Dy = 1. Det er videre enkelt å se at dersom 1 + y1 D er fundamentalløsningen til likningen Dy = 1, så er + y D = ( 1 + y1 D) fundamentalløsningen til Dy = 1. Løsningene av den siste likningen er dermed gitt ved ( + y D) n. 1 1 Vi har altså at hvis 1 + y1 D er fundamentalløsningen av Dy = 1, så gir + y D = ( + y D) n n N n n 1 1 løsningene for Dy = 1 og for Dy = 1 annen hver gang, for den første likningen når n er et oddetall og for den andre når n er et partall. Dette siste gir oss beviset for at 34y = 1 ikke har noen løsning. Man finner nemlig raskt at = 35 og y = 6 er fundamentalløsningen til 34y = 1. Men da måtte fundamentalløsningen a+ b 34 til 34y = 1 oppfylle likningen ( a+ b 34) = Utregning her gir a + 34b = 35 og ab = 6, og man ser lett at disse likningene ikke har heltallige løsninger. Vi skal så se på en morsom anvendelse. På den nordiske matematikk-konkurranse i 1994 ble det gikk følgende oppgave: Hvilke ikke-negative heltall n er slik at n + (n + 1) blir et kvadrattall? Vi skal med andre ord løse likningen n + (n + 1) = y. Her kan det virke som om løsningen skal finnes ved å lete blant pytagoreiske tripler. Det er imidlertid å gå en stor omvei. Ved å multiplisere ut og gange med får vi: n + n + n + 1 = y 4n + 4n + = y
12 1 Setter vi inn = n + 1, kan denne omdannes til y = 1 Fundamentalløsningen til denne likningen er = 1 og y = 1. Videre løsninger blir da t t t 1 (1 ), + y = + t N t = 1 gir = 1 som gir den trivielle løsningen t = gir n = y = (1+ ) = (1+ ) = 7+ 5 Vi får løsningen n = 3 (Løsningen = 5 er jo en klassiker.) Neste gang n + (n + 1) blir et kvadrattall er altså når t = 3 som gir y3 = (1+ ) = (1+ ) = som gir n = 0 t = 4 gir 4 + y4 = Dermed er n = 119 Så skjer det ikke før ved t = 5 som gir 4 + y4 = n = 696
13 13 Slik kan vi fortsette så lenge vi orker, og vi har dermed også vist at det finnes uendelig mange heltall n slik at n + (n + 1) er et kvadrattall, men de blir etter hvert nokså store. Det neste tallet det inntreffer for, er n = 4059 som vi får når t = 6. Til slutt en liten morsomhet. Lille Per hadde nettopp lært å forkorte på skolen og han kunne ikke forstå hvorfor han fikk feil på regnestykket 16 når han forkortet slik: = 1 4 Svaret er jo riktig. Man ser lett at å studere dette «fenomenet» er det samme som å løse den diofantiske likningen 10 + y = 10y + z z hvor, y og z {1,, 3,, 9}. Med en såpass liten grunnmengde kan man jo bare prøve seg fram, og vi er jo ikke interessert i de trivielle løsningene , 33 = = 4, osv. Men ved å kryssmultiplisere får vi (10 +y)z = (10y + z) 10z + yz = 10y + z 10(z y) = ( y)z Her er venstre side delelig med 10, følgelig må høyre side også være det. Dette gir at enten er z = 5 og y = ±, ±4, ±6 eller ±8, eller så er y = ±5 og z =, 4, 6 eller 8. Ved å sette inn disse mulighetene og regne ut, finner vi at brøkene =, = og = også kan forkortes på den samme måten og med riktig svar som resultat, men disse tre brøkene samt brøken 16 = 1 er de eneste mulighetene som finnes for en slik 64 4 forkortning.
14 14 Sluttord Matematikk er kunst og matematikk er kultur. Helt fra antikkens tid har det vært et tema i matematikken å søke løsninger på likninger. Men ettersom man ikke hadde noen forståelse av de reelle tall og løsninger ved tilnærmingsverdier, dreide det seg om å finne matematiske strukturer og løsninger i hele tall eller aller nådigst i rasjonale tall. Allerede den greske matematikeren Diofantos som levde ca. 300 år e.kr., og som har gitt navn til denne type likninger, viet mye av sitt liv til studier av likninger med heltallige eller rasjonale løsninger. Som nevnt i innledningen, har tallteorien, som de diofantiske likningene hører inn under, vært et område av matematikken hvor norske matematikere har gjort seg særlig bemerket. Niels Henrik Abel løste problemet med femtegradslikningens uløsbarhet ved algebraiske regneoperasjoner, men dette beviset benytter seg mest av algebra og er lite knyttet opp mot tallteori. Abel prøvde seg også på Fermats siste teorem, men måtte gi opp, og det er ikke innenfor tallteori at vi finner Abels vesentligste arbeider, hans arbeider er på andre felter. Den første nordmann som bemerker seg med arbeider innenfor diofantiske likninger, er Ael Thue ( ). Han brukte mye tid på Fermats siste teorem, men også han uten å lykkes. I 1915 og 1916 publiserer han flere arbeider omkring uløsbarhet av ulike diofantiske likninger og om begrensninger på antallet av løsninger. Disse arbeidene er banebrytende innenfor området diofantiske likninger. Den neste nordmann vi bør nevne er Viggo Brun ( ). Han er mest kjent for sine arbeider med primtallene, men også innenfor matematikkens historie har Brun gjort verdifulle arbeider. Så kommer det flere på rekke og rad. Øystein Ore, brødrene Sigmund og Atle Selberg, Trygve Nagell og Wilhelm Ljunggren bør nevnes. Ljunggren arbeidet nesten utelukkende med diofantiske likninger. Han hadde en betydelig produksjon og nådde mange bemerkelsesverdige og enestående resultater vedrørende løsninger av slike likninger. Den siste vi skal trekke fram av norske tallteoretikere er Ernst S. Selmer (190 ). Han er den fjerde nordmann som har fått sitt navn knyttet til spesielle begreper i gruppeteorien. De tre foregående er Niels Henrik Abel, Sophus Lie og Ludvig Sylow, og det er jo ikke noe dårlig selskap. På toppen av det hele viser det seg at det som har fått navnet Selmergrupper, spiller en vesentlig rolle i det beviset som Andrew Wiles i 1994 gav for Fermats siste teorem. Så selv om både Niels Henrik Abel og Ael Thue gav opp, og det ble en brite som til sist lyktes med å komme med et bevis, så er det altså norske matematikere som har gjort mye av forarbeidene for at man endelig fikk et bevis for satsen som Fermat framsatte i 1637 og som det altså tok over 350 år å få bevist!
15 15 Litteratur: Mye av det som er publisert om diofantiske likninger er publisert i små artikler og i spesielle særtrykk. To bøker er likevel verd å nevne: 1) Trygve Nagell: Introduction to number theory. J.Wiley and Sons Inc. New York ) I. Niven & H.S.Zuckerman: An Introduction to the Theory of Numbers. J. Wiley ans Sons Inc. New York Til matematikkens historie nevner vi: 1) Bent Birkeland: Norske Matematikere. Gyldendal Norsk Forlag. Temahefte i matematikk Hefte nr ) Viggo Brun: Alt er tall. Universitetsforlaget Oslo ) Arild Stubhaug: Et foranskutt lyn. Om Niels Henrik Abel og hans tid Aschehoug Forlag Oslo 1996.
Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig
Sensurveiledning Emnekode: 4MX230UM1 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10) KfK, emne 1 Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig Oppgave 1 I denne oppgaven får du oppgitt tre situasjoner som
DetaljerAndrew Wiles, modularitetsformodningen og Fermats siste sats
Andrew Wiles, modularitetsformodningen og Fermats siste sats John Rognes Universitetet i Oslo Hamar, 15. september 2016 Andrew Wiles Det Norske Videnskaps-Akademi har besluttet å tildele Abelprisen for
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................
DetaljerESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei...
ESTETIKK I MATEMATIKK KRISTIAN RANESTAD Abstract. Det vakre spiller en vesentlig motiverende og veiledende rolle i matematikken. Med eksempler fra geometri, tallteori og et gammelt puslespill viser jeg
DetaljerNoen tallteoretiske resultater av Fermat
Noen tallteoretiske resultater av Fermat Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo Pierre de Fermat (1601/1607-1665) Fermats lille teorem Fermats rettvinklede teorem Fermats siste teorem Cubum autem in duos
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 3
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale
DetaljerABC-formodningen. Contents. 1 ABC-formodningen. Mats Myhr Hansen 05/15/ Innledning. Veileder John Rognes
ABC-formodningen Mats Myhr Hansen 05/15/13 Veileder John Rognes Contents 1 ABC-formodningen 1 1.1 Innledning............................. 1 1.2 Uendelig mange ABC-løsninger................. 2 1.3 Kvalitet..............................
DetaljerDiofantiske likninger Peer Andersen
Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell
DetaljerKarakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.
Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 3 Stine M. Berge 07.08.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 07.08.19 1 / 19 Polynomer Polynomer er de enkleste funksjonene Definert og kontinuerlig
DetaljerFermats siste teorem
Fermats siste teorem Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.
DetaljerDette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0
Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,
DetaljerTall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013
Tall og mengder Per G. Østerlie 30. september 2013 1 Introduksjon Nå skal vi se på hva mengder og intervaller er og hvilke symboler vi benytter. Vi starter med å se på tall og hvordan vi kan dele opp i
DetaljerTest, 1 Tall og algebra
Test, 1 Tall og algebra Innhold 1.1 Tallregning... 1. Potenser... 5 1.3 Algebraiske uttrykk... 8 1.4 Likninger... 10 1.5 Faktorisering... 14 1.6 Andregradslikninger... 17 1.7 Faktorisering av andregradsuttrykk
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi
DetaljerRepetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon
Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og
DetaljerLøsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K
Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.
DetaljerPytagoras fra Samos. Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker. (ca. 572 497 f.kr) TANGENTEN 3/1999 15
TANGENTEN 3/1999 15 Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker Pytagoras fra Samos (ca. 57 497 f.kr) Det finnes få skriftlige dokumenter fra den eldste greske matematikken (fra før år 300 f.kr.). Det finnes
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall
DetaljerTALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.
TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og
DetaljerEt løst og et par uløste matematiske problem
Kapittel 35 Et løst og et par uløste matematiske problem I dette kapitlet skal vi fortelle deg om et berømt matematisk problem som nylig ble løst etter 35 år, og om et par som fortsatt er uløste. Et løst
DetaljerFERMATS SISTE TEOREM. John Rognes. Desember 1994
FERMATS SISTE TEOREM John Rognes Desember 1994 er 1. Den pythagoreiske læresetning La ABC være en rettvinklet trekant, med kateter a og b, og hypotenus c. Da (1) a 2 +b 2 = c 2 i følge den pythagoreiske
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerTempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra
Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerHva man må kunne i kapittel 2 - Algebra
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.
DetaljerFermats siste teorem. Arne B. Sletsjøe. Universitetet i Oslo
Fermats siste teorem Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo 3 8.198.204.823 Teorem (Wiles, 1993-95) Likningen x n + y n = z n Sir Andrew Wiles (1954-) har ingen ikke-trivielle heltalls-løsninger for n >
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerForelesning 10 torsdag den 18. september
Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER
SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen
DetaljerNotater fra forelesning i MAT1100 mandag
Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a
DetaljerLokal læreplan. Lærebok: Gruntall. Læringsstrategi
Lokal læreplan Lærebok: Gruntall Antall uker 34-37 Tall -lære de fire regneartene i hele tall, desimaltall og negative tall og i hoderegning og overslagsregning. -lære å bruke lommeregner og regneark -kjenne
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerGrafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.
MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200
DetaljerSTØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går
STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den
DetaljerNiels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 20 202 Løsninger Finale 8 mars 202 Oppgave a (i) Om Berit veksler to femkroner og en tjuekrone til tre tikroner, og så to femkroner og tre tikroner til to tjuekroner,
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret
DetaljerStudentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform
1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april
DetaljerLøsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. For å kunne skrive det komplekse tallet følgende endringer foretas på uttrykket. 3 3, hvor 3 og 3 på formen, hvor og, må For å kunne skrive det komplekse tallet på polarformen, må vi først finne
DetaljerAlgebra S1 Quiz. Test, S1 Algebra
Test, S1 Algebra Innhold 1.1 Potenser og kvadratrøtter... 1. Algebraiske uttrykk... 5 1.3 Likninger... 8 1.4 Andregradslikninger... 1 1.5 Ulikheter... 15 1.6 Logaritmer... 1 1.7 Implikasjon og ekvivalens...
DetaljerINF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet
INF 4130 8. oktober 2009 Stein Krogdahl Dagens tema: Uavgjørbarhet Dette har blitt framstilt litt annerledes tidligere år Se Dinos forelesninger fra i fjor. I år: Vi tenker mer i programmer enn i Turing-maskiner
DetaljerForelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.
MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk
DetaljerMAT1030 Forelesning 23
MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter
DetaljerForberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerGrublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand
DetaljerMATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015
MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 Emnenavn Grunnleggende matematikk Precalculus MA6001 Undervisningssemester Høst 2014 Professor Petter Bergh petter.bergh@math.ntnu.no
DetaljerLikninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?
side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerCauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen
Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen Faglig-pedagogisk dag, 3. januar 2006 Arne B. Sletsjøe Matematisk institutt Universitetet i Oslo Cauchys sats (Journal de L école polytechnique,
DetaljerInnlevering til Årets Nysgjerrigper 2013
Innlevering til Årets Nysgjerrigper 2013 Innlevert av 1. klasse ved Forskningsrådet (Oslo, Oslo) Årets nysgjerrigper 2013 Forordet. La oss begynne med hva et primtall egentlig er. Et primtall er et tall
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerForord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe
Forord Dette heftet i tallteori er tilpasset Matematisk institutts nettbaserte kurs i tallteori og baserer seg i stor grad på Erik Alfsen og Tom Lindstrøms kompendium i tallteori for MA 115/215. Heftet
DetaljerTest, 2 Algebra. Innhold. 2.1 Tallfølger. R2, Algebra Quiz
Test, Algebra Innhold. Tallfølger.... Tallrekker.... Uendelige geometriske rekker... 7. Induksjonsbevis... 0 Grete Larsen. Tallfølger ) En rekursiv formel uttrykker et ledd i en tallfølge ved hjelp av
DetaljerKapittel 8. Potensregning og tall på standardform
Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive
DetaljerSkoleprosjekt Algebra Mat4010
Skoleprosjekt Algebra Mat4010 Narve Elling Johnsen 27. mars 2014 1 Innhold 1 Annengradsligninger Vi sier ofte at annengrads ligninger har enten to, en eller ingen reelle løsninger. Vi kan bruke abc formelen
DetaljerA) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
SETT 21 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. En bonde skal sette opp et gjerde rundt et trekantet område med sider 20 m, 20 m og 30 m. Han planlegger å sette opp stolper med 5 meters avstand
DetaljerDAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.
Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med
DetaljerMATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra:
MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: 1. sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform, uttrykke slike tall på varierte
DetaljerPENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni
PNSUMS MAMAKKNAMN 2. juni Del 1: Prøver deg i det regnetekniske. Føres direkte på arket. ngen hjelpemidler er tillatt. kke kladd på oppgavearket, det får du eget ark til. De oppgavene med regnerute, fører
DetaljerVektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning
Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det
DetaljerFigurtall en kilde til kreativitet
Vigdis Brevik Petersen Figurtall en kilde til kreativitet I læreplanen er det lagt vekt på at elevene skal bruke initiativ, kreativitet og utforskning for å etablere kjennskaper og innsikt i matematikkfaget.
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerNiels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................
Detaljer6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato
Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).
DetaljerTallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.
Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget
DetaljerLineære likningssett.
Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,
DetaljerKapittel 10 LIGNING AV FØRSTE GRAD MED EN UKJENT. Hvor mange lodd må vi flytte for å balansere vekta?
Hvor mange lodd må vi flytte for å balansere vekta? Vekta balanserer når vi flytter lodd. 4 16 4 16 Vi adderer tallet til begge sidene. Vi legger nye lodd i hver skål. 4 16 4 4 16 4 Vi subtraherer 4 fra
DetaljerKONTROLLSTRUKTURER. MAT1030 Diskret matematikk. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer. Eksempel (Ubegrenset while-løkke)
KONTROLLSTRUKTURER MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 2: Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2008 Mandag innførte vi pseudokoder
DetaljerFAKTORISERING FRA A TIL Å
FAKTORISERING FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til faktorisering F - 2 2 Grunnleggende om faktorisering F - 2 3 Fremgangsmåter F - 3 3.1 Den grunnleggende
Detaljer1 Primtall og divisorer
Oppgaver 1 Primtall og divisorer KATEGORI 1 1.1 Primtallsfaktorisering Oppgave 1.110 Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave 1.111 Finn ut ved hjelp av tverrsummen
DetaljerSekventkalkyle for utsagnslogikk
Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerNavn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643
Navn og referenser 1 GRUNNFORSKNING SKAL IKKE VÆRE NYTTIG. ET EKSEMPEL OM PRIMTALL Blackeberg, Kungsholmen, Spånga, Åsö, Norra R. 20-22-23 mars 2001, 19-21 mars 2002 grunnforskning nytte anvendelser offentlig
DetaljerForelesning 2. Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer
Forelesning 2 Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann - 16. januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER Mandag innførte vi pseudokoder og kontrollstrukturer. Vi hadde tre typer grunn-instruksjoner:
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerKAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER
KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerLøsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De
DetaljerDer oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5
DetaljerTallsystem. M1 vår 2008
Tallsystem M1 vår 2008 6. mars 2008 1. Innledning 2. Ulike tallsystem i historien 3. Titallsystemet og andre tallsystem 4. Heltallene og utvidelser 1. Innledning Et interessant ulvebein ble funnet i Tsjekkoslovakia,
DetaljerA)4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 64
SETT 29 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Nils abonnerer på Aftenposten, og en morgen består avisen av fire deler. Hvis Nils leser en del av gangen, i hvor mange forskjellige rekkefølger kan
DetaljerTall Vi på vindusrekka
Tall Vi på vindusrekka Tall og siffer... 2 Dekadiske enheter... 3 Store tall... 4 Avrunding... 5 Tverrsum... 8 Partall og oddetall... 9 Primtall... 10 Sammensatte tall... 11 Faktorisering... 13 Negative
DetaljerForelesning 19 torsdag den 23. oktober
Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerForelesning 14 torsdag den 2. oktober
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel
DetaljerStomachion. Kristian Ranestad. 10. Mars 2005
10. Mars 2005 Et gammelt puslespill og et matematisk problem Et gammelt puslespill Manuskriptet Arkimedes Palimpsest dukket opp på en auksjon hos Christie s i New York i 1998. Kjøperen som betalte to millioner
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 5: Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse
DetaljerPrøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene
DetaljerNummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no
Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har
DetaljerKapittel 5: Mengdelære
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 9: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-17 15:56) MAT1030 Diskret
DetaljerKapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29
Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling
DetaljerLineære likningssystemer
Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.
Detaljer3 Største felles faktor og minste felles multiplum
3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3.1 Største felles faktor og minste felles multiplum. Metodiske aspekter Største felles faktor og minste felles multiplum er kjente matematiske uttrykk
Detaljer