Litt om diofantiske likninger

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Litt om diofantiske likninger"

Transkript

1 1 Litt om diofantiske likninger av Dag Magne Johannessen Når vi skal løse en likning eller et likningssett, diskuterer vi sjelden hvilken grunnmengde som er til rådighet. Problemet går som regel ut på å finne alle løsninger innenfor de reelle tallene eller sågar innenfor de komplekse tallene. Noen ganger er oppgaven relatert til et praktisk problem slik at bare de positive løsningene kan brukes, men det endrer ikke på løsningsmetodene, bare på hvorvidt alle løsningene kan anvendes. Innenfor området diofantiske likninger er situasjonen en annen. Vi har flere ukjente enn vi har likninger, men til gjengjeld er kravet at alle løsningene skal være hele tall. Diofantiske likninger hører inn under det området i matematikken som vi kaller tallteori, og dette er et område hvor mange norske matematikere har gjort betydelige arbeider og vunnet internasjonal anerkjennelse. Vi skal i denne artikkelen se på noen av de enkle diofantiske likningene og hvordan de løses. Likningen y = n Vi ser først på likningen y = 55 Her har vi altså to ukjente, men bare en likning, men vi legger på tilleggskravet at og y skal være hele, positive tall. Vi faktoriserer både uttrykket og tallet 55 og får ( y)( + y) = 5 11 = 1 55 Ettersom 5 og 11 er primtall, er dette de to eneste måtene 55 kan faktoriseres på. Dette gir oss disse to mulighetene eller 1) y = 1 og + y = 55 som gir = 8 og y = 7 ) y = 5 og + y = 11 som gir = 8 og y = 3 Andre muligheter fins ikke hvis kravet er at og y skal være hele positive tall. Hvis kravet bare er at løsningene skal være hele tall, får vi også med oss løsningene

2 ( 8, 3), ( 8, 7), ( 8, 3), (8, 3), (8, 7), ( 8, 7), men flere fins ikke. Antallet løsninger av likningen y = n avhenger helt av n. For eksempel har likningen y = 105 de fire løsningene (53, 5), (19, 16), (13, 8) og (11, 4) når og y skal være positive heltall. Løsningene finner vi på den samme måten som ovenfor. Antallet kommer fra de ulike måtene 105 = kan faktoriseres på. Vi får 105 = = 3 35 = 5 1 = 7 15 Hver faktorisering gir opphav til en løsning. Likningen y = 30 har ikke løsninger i det hele tatt når og y skal være positive hele tall. De to tallene y og + y er enten begge oddetall eller begge partall. Av det følger at ( y)( + y) enten er et oddetall eller et tall som er delelig med 4. En likning y = n, der n er et partall som ikke er delelig med 4, har derfor ingen løsning. Ettersom 30 er et partall som ikke er delelig med 4, har likningen y = 30 ikke noen løsninger. Likningen a + by = c Det bør være kjent at a + by = c er formelen for en rett linje i planet. Når vi skal løse den diofantiske likningen a + by = c må vi finne punkter med heltallige koordinater som ligger på linja, altså heltallige løsninger av likningen: a + by = c (1) hvor vi forutsetter at a, b og c er hele tall.

3 3 Har en slik likning alltid løsninger? Med andre ord, går linjen a + by = c alltid gjennom minst et punkt med heltallige koordinater? Det er enkelt å se at svaret på dette spørsmålet er nei. Hvis a og b har en felles faktor som ikke går opp i c, ser vi at venstre side av (1) inneholder en faktor som ikke er til stede på høyre side, og likningen kan da ikke ha noen heltallige løsninger. Dersom en eventuell felles faktor i a og b også går opp i c, kan denne faktoren forkortes bort, så dette tilfellet behøver vi ikke behandle spesielt. I det videre kan vi derfor forutsette at a og b er innbyrdes primiske (har ingen felles faktorer > 1). Anta nå at a og c har en felles faktor k > 1 som ikke går opp i b. (Situasjonen blir helt tilsvarende om det er b og c som har denne felles faktoren istedenfor a og c). Ettersom alle leddene er heltallige, og k går opp i to av leddene, må k også gå opp i det tredje leddet hvis vi skal ha noen løsning. Nå går k ikke opp i b, og da må k gå opp y i y. Vi kan da innføre en ny variabel z =, og likningen blir k a + bkz = c Vi ser her at k går opp i alle tre leddene, og den kan dermed forkortes bort. I fortsettelsen kan vi derfor anta at a, b og c parvis består av ulike faktorer og to og to av dem derved ikke har noen felles faktorer. Vi skal da vise løsningsmetoden med et eksempel. Løs likningen y = 5 () Ved å flytte over ser vi at 7 5 må være delelig med 13. Da må også (7 5) = være delelig med 13. Ettersom = ( 4) følger av dette at + er delelig med 13. Vi kan da skrive

4 4 + = 13t eller = + 13t Videre ser vi ved å flytte over i likningen () at 13y 5 må være delelig med 7. Ettersom 13y 5 = 14y 1 y 4 = 7(y 3) (y + 4) ser vi at y + 4 må være delelig med 7. Vi kan da skrive eller y + 4 = 7s y = 4 + 7s Dette setter vi så inn i likning (). Dermed er y = 5 7( + 13t) + 13( 4 +7s) = t s = 5 91t + 91s = 91 t + s =1 s = 1 t y = 4 + 7s = 4 + 7(1 t) = t = 3 7t Dermed har likningen () løsningen = + 13t y = 3 7t hvor t er et vilkårlig helt tall.

5 5 Et eksempel til: Vi vil løse likningen 3 5y = 7 Vi flytter 5y over på den andre siden av likhetstegnet og ser da at 5y + 7 er delelig med 3. Nå er 5y + 7 = 6y + 6 y + 1 = 3(y + ) +( y + 1) Av dette ser vi at y + 1 er delelig med 3. Da kan vi skrive eller y + 1 = 3t y = 1 3t Fra likningen 3 5y = 7 ser vi at 3 7 er delelig med 5. Da er også 6 14 delelig med 5. Nå er 6 14 = = 5( 3) Derav får vi at + 1 er delelig med 5 og vi skriver + 1 = 5s = 1 + 5s Disse to svarene setter vi så inn i vår opprinnelige likning og får Dette gir 3( 1 + 5s) 5(1 3t) = s 5 +15t = 7 15s + 15t = 15 s + t =1 s = 1 t = 1 +5s = 1 + 5(1 t) = 4 5t Dermed har vi løsningene = 4 5t y = 1 3t hvor t er et vilkårlig helt tall.

6 6 Likningen + y = z Pytagoras-setningen om sidene i en rettvinklet trekant er kjent for de fleste, men hvilke muligheter har vi hvis lengden av alle sidene skal være hele tall? Håndverkere har gjennom årene brukt tallene 3, 4, 5 som mål når de skal lage rette vinkler, ut fra kunnskapen om at = 5, men hvilke andre muligheter har vi? Vi skal se på likningen + y = z og hvor, y og z er hele tall som ikke er lik null. Slike løsninger kaller vi for pytagoreiske tripler. Dersom to av tallene, y og z har en felles faktor k, må denne også gå opp i det tredje tallet, og hele likningen kan forkortes med k. Vi søker derfor løsninger hvor to og to av tallene, y og z ikke har felles faktorer. Da kan altså maksimalt ett av dem være partall. La oss tenke oss at både og y er oddetall. Da fins det hele tall a og b slik at = a + 1 og y = b + 1. Dermed er z = + y = 4a + 4a b + 4b + 1 = 4(a + a + b + b) + = 4t + Dette er umulig, da et kvadratisk partall ikke bare kan inneholde én -er. Et av tallene og y er altså partall, det andre er et oddetall og z blir da et oddetall. Siden og y inngår symmetrisk i likningen er det det samme hvilket av dem som er oddetall og hvilket som er partall. Vi velger derfor at er et oddetall og y er et partall. Da har vi y = z = (z )(z + ) Divisjon med 4 gir y z z + ( )( ) = 4 4 y z z+ = Nå er z+ z + = z og

7 7 z+ z = z+ z slik at en fellesfaktor i og i må gå opp i både og z. Men disse tallene z+ z har jo ikke noen felles faktorer. Dermed kan ikke og ha noen felles faktorer større enn 1. Ettersom produktet av tallene er et kvadrattall, må de selv begge være kvadrattall. Det må derfor finnes to hele tall r og s, uten felles faktorer slik at z+ = r og z = s Dette gir Vi vet at z = r + s og = r s Dermed blir y = rs y = rs Ettersom både z og er oddetall, kan ikke både r og s være oddetall. Det må da være ett oddetall og ett partall. Dermed vil y alltid være delelig med 4. Disse kravene til r og s er imidlertid bare nødvendige hvis, y og z ikke skal ha felles faktorer. Formelen (r s ) + (rs) = r 4 r s + s 4 + 4r s = r 4 + r s + s 4 = (r + s ) gjelder alltid. Vi har vist dette: Hvis r og s er vilkårlige positive heltall, vil = r s, y = rs og z = r + s være en løsning av likningen + y = z Av dette følger at det fins uendelig mange pytagoreiske tripler.

8 8 Likningen n + y n = z n Vi har løst likningen for n =. Hva vet vi om likningen når n >? Ifølge et teorem som har gått under navnet Fermats siste teorem, finnes det ikke heltallige løsninger, y og z når n er et helt tall som er større enn. Fermat skrev i margen til en bok at «jeg ser et vidunderlig bevis, men plassen tillater ikke at jeg skriver det ned». Det er lite trolig at Fermat hadde rett. Utallige matematikere har prøvd å vise dette og har måttet gi opp. Først i 1994 klarte den britiske matematikeren Andrew Wiles å bevise setningen. Beviset er imidlertid meget stort og vanskelig og gjør også bruk av emner fra andre deler av matematikken. Så Fermats påstand om manglende plass i margen er i alle fall korrekt. Vi skal imidlertid gi et bevis for at det ikke fins positive heltallige løsninger når n = 4. Dette skal vi gjøre ved å vise at likningen 4 + y 4 = z ikke har positive heltallige løsninger, og da har selvsagt heller ikke 4 + y 4 = z 4 noen positiv heltallig løsning. I likningen 4 + y 4 = z ser vi lett at og y ikke begge kan være oddetall. Med samme begrunnelse som i avsnittet foran ser vi at det ville medføre at z ville bli på formen 4t + for en eller annen t, hvilket er umulig. Nå kan og y heller ikke begge være partall, for da måtte z være delelig med 4 og hele likningen ville kunne forkortes med 16. Skal vi derfor finne en løsning hvor, y og z ikke har felles faktorer, må z være odde og en av og y være oddetall og det andre et partall. Vi lar være odde og y et partall, og vi antar at de positive heltallene, y, z er en løsning av vår likning. Ettersom og y er en løsning av likningen ( ) + (y ) = z vil det ifølge forrige avsnitt finnes to positive hele tall r og s, et oddetall og et partall, uten felles faktorer slik at = r s (1) y = rs () z = r + s (3) Av likning (1) ser vi at + s = r slik at, s og r er et pytagoreisk trippel. Ettersom er et oddetall, er s et partall og r dermed et oddetall. Likning () kan da skrives som y s = r Siden r og s ikke har felles faktorer, og venstre side er et kvadrattall, må hver av faktorene på høyre side selv være kvadrattall. Det må altså finnes p og q slik at

9 9 r = p og s = q Den siste likningen gir s = q Nå har vi jo at + s = r Ifølge forrige avsnitt finnes det da positive hele tall α og β uten felles faktorer slik at = α β, s = αβ og r = α + β Ettersom s = αβ og s = q, følger at αβ = q. Nå har ikke α og β noen felles faktorer, og siden produktet av dem er et kvadrattall må de begge selv være kvadrattall. Det må derfor finnes to heltall f og g slik at α = f og β = g Men nå vet vi jo at r = p og r = α + β. Da er α + β = p noe som medfører at f 4 + g 4 = p Imidlertid vet vi at z = r + s > r = p 4. Da er z > p. Vi startet altså med en løsning, y, z og har ut fra denne konstruert en ny løsning f, g, p hvor p er mindre enn z. Men dette er umulig. Ut fra løsningen f, g, p kunne vi da konstruere enda en ny løsning med enda mindre tall, men ettersom løsningene skal bestå av positive heltall kan vi jo ikke fortsette slik i en uendelig nedstigning. Dette viser at likningen 4 + y 4 = z ikke har noen løsninger i positive heltall, y og z og dermed har heller ikke likningen 4 + y 4 = z 4 noen heltallig løsning.

10 10 Pells likning Dy = 1 Den diofantiske likningen Dy = 1, hvor D er et naturlig tall, har fått navnet Pells likning. Hvis D er et kvadrattall, setter vi D = m og ser lett at den eneste løsningen er = ±1 og y = 0. m y = 1 ( my)( + my) = 1 Av dette får vi my = ±1 og + my = ±1 = ± = ±1 og y = 0 Dersom D ikke er et kvadrattall, har imidlertid likningen uendelig mange løsninger. Ettersom og y begge forekommer i. potens, er det tilstrekkelig å søke etter de løsningene hvor og y begge er positive. La 1 og y 1 være en positiv løsning av likningen og slik at det ikke finnes positive løsninger der er mindre enn 1. Vi sier da at ( 1, y 1 ) skrevet som 1 + y1 D er fundamentalløsningen til likningen Dy = 1. Alle løsninger av likningen Dy = 1 er da gitt ved + y D = ( + y D) n hvor n N. n n 1 1 At alle løsninger gis på denne formen, er ikke vanskelig å bevise. Derimot er eksistensen av en fundamentalløsning et nokså komplisert bevis, og det gir bare eksistensen av løsningen og ikke noen metode til å finne den. Det finnes metoder til å bestemme fundamentalløsningen, men i svært mange tilfeller går det like greit å finne denne ved å prøve seg fram. Når man vet at det finnes en løsning (og det forteller eksistensbeviset), kan man bare regne ut 1 + Dy (som jo er lik ) for y = 1,, 3, helt til man får et kvadrattall. I de fleste tilfeller finner man fundamentalløsningen relativt raskt, men for D = 94 er fundamentalløsningen For D = 61 er fundamentalløsningen enda større. Det finnes tabeller for fundamentalløsningen for de ulike verdiene for D.

11 11 Likningen Dy = 1 Mens Pells likning har løsninger for alle D N, og uendelig mange løsninger hvis D ikke er et kvadrattall, har denne varianten ikke løsninger for alle D N. Man ser lett at D ikke kan være delelig med 4, og dersom D er et oddetall, må det være på formen D = 4k + 1. Dette er dog ikke nok, idet man kan vise at 34y = 1 ikke har noen løsning. Dersom det er løsninger, finnes de på tilsvarende måte som i Pells likning ved at + y D = ( + y D) n n n der 1 + y1 D er fundamentalløsningen til likningen Dy = 1. Det er videre enkelt å se at dersom 1 + y1 D er fundamentalløsningen til likningen Dy = 1, så er + y D = ( 1 + y1 D) fundamentalløsningen til Dy = 1. Løsningene av den siste likningen er dermed gitt ved ( + y D) n. 1 1 Vi har altså at hvis 1 + y1 D er fundamentalløsningen av Dy = 1, så gir + y D = ( + y D) n n N n n 1 1 løsningene for Dy = 1 og for Dy = 1 annen hver gang, for den første likningen når n er et oddetall og for den andre når n er et partall. Dette siste gir oss beviset for at 34y = 1 ikke har noen løsning. Man finner nemlig raskt at = 35 og y = 6 er fundamentalløsningen til 34y = 1. Men da måtte fundamentalløsningen a+ b 34 til 34y = 1 oppfylle likningen ( a+ b 34) = Utregning her gir a + 34b = 35 og ab = 6, og man ser lett at disse likningene ikke har heltallige løsninger. Vi skal så se på en morsom anvendelse. På den nordiske matematikk-konkurranse i 1994 ble det gikk følgende oppgave: Hvilke ikke-negative heltall n er slik at n + (n + 1) blir et kvadrattall? Vi skal med andre ord løse likningen n + (n + 1) = y. Her kan det virke som om løsningen skal finnes ved å lete blant pytagoreiske tripler. Det er imidlertid å gå en stor omvei. Ved å multiplisere ut og gange med får vi: n + n + n + 1 = y 4n + 4n + = y

12 1 Setter vi inn = n + 1, kan denne omdannes til y = 1 Fundamentalløsningen til denne likningen er = 1 og y = 1. Videre løsninger blir da t t t 1 (1 ), + y = + t N t = 1 gir = 1 som gir den trivielle løsningen t = gir n = y = (1+ ) = (1+ ) = 7+ 5 Vi får løsningen n = 3 (Løsningen = 5 er jo en klassiker.) Neste gang n + (n + 1) blir et kvadrattall er altså når t = 3 som gir y3 = (1+ ) = (1+ ) = som gir n = 0 t = 4 gir 4 + y4 = Dermed er n = 119 Så skjer det ikke før ved t = 5 som gir 4 + y4 = n = 696

13 13 Slik kan vi fortsette så lenge vi orker, og vi har dermed også vist at det finnes uendelig mange heltall n slik at n + (n + 1) er et kvadrattall, men de blir etter hvert nokså store. Det neste tallet det inntreffer for, er n = 4059 som vi får når t = 6. Til slutt en liten morsomhet. Lille Per hadde nettopp lært å forkorte på skolen og han kunne ikke forstå hvorfor han fikk feil på regnestykket 16 når han forkortet slik: = 1 4 Svaret er jo riktig. Man ser lett at å studere dette «fenomenet» er det samme som å løse den diofantiske likningen 10 + y = 10y + z z hvor, y og z {1,, 3,, 9}. Med en såpass liten grunnmengde kan man jo bare prøve seg fram, og vi er jo ikke interessert i de trivielle løsningene , 33 = = 4, osv. Men ved å kryssmultiplisere får vi (10 +y)z = (10y + z) 10z + yz = 10y + z 10(z y) = ( y)z Her er venstre side delelig med 10, følgelig må høyre side også være det. Dette gir at enten er z = 5 og y = ±, ±4, ±6 eller ±8, eller så er y = ±5 og z =, 4, 6 eller 8. Ved å sette inn disse mulighetene og regne ut, finner vi at brøkene =, = og = også kan forkortes på den samme måten og med riktig svar som resultat, men disse tre brøkene samt brøken 16 = 1 er de eneste mulighetene som finnes for en slik 64 4 forkortning.

14 14 Sluttord Matematikk er kunst og matematikk er kultur. Helt fra antikkens tid har det vært et tema i matematikken å søke løsninger på likninger. Men ettersom man ikke hadde noen forståelse av de reelle tall og løsninger ved tilnærmingsverdier, dreide det seg om å finne matematiske strukturer og løsninger i hele tall eller aller nådigst i rasjonale tall. Allerede den greske matematikeren Diofantos som levde ca. 300 år e.kr., og som har gitt navn til denne type likninger, viet mye av sitt liv til studier av likninger med heltallige eller rasjonale løsninger. Som nevnt i innledningen, har tallteorien, som de diofantiske likningene hører inn under, vært et område av matematikken hvor norske matematikere har gjort seg særlig bemerket. Niels Henrik Abel løste problemet med femtegradslikningens uløsbarhet ved algebraiske regneoperasjoner, men dette beviset benytter seg mest av algebra og er lite knyttet opp mot tallteori. Abel prøvde seg også på Fermats siste teorem, men måtte gi opp, og det er ikke innenfor tallteori at vi finner Abels vesentligste arbeider, hans arbeider er på andre felter. Den første nordmann som bemerker seg med arbeider innenfor diofantiske likninger, er Ael Thue ( ). Han brukte mye tid på Fermats siste teorem, men også han uten å lykkes. I 1915 og 1916 publiserer han flere arbeider omkring uløsbarhet av ulike diofantiske likninger og om begrensninger på antallet av løsninger. Disse arbeidene er banebrytende innenfor området diofantiske likninger. Den neste nordmann vi bør nevne er Viggo Brun ( ). Han er mest kjent for sine arbeider med primtallene, men også innenfor matematikkens historie har Brun gjort verdifulle arbeider. Så kommer det flere på rekke og rad. Øystein Ore, brødrene Sigmund og Atle Selberg, Trygve Nagell og Wilhelm Ljunggren bør nevnes. Ljunggren arbeidet nesten utelukkende med diofantiske likninger. Han hadde en betydelig produksjon og nådde mange bemerkelsesverdige og enestående resultater vedrørende løsninger av slike likninger. Den siste vi skal trekke fram av norske tallteoretikere er Ernst S. Selmer (190 ). Han er den fjerde nordmann som har fått sitt navn knyttet til spesielle begreper i gruppeteorien. De tre foregående er Niels Henrik Abel, Sophus Lie og Ludvig Sylow, og det er jo ikke noe dårlig selskap. På toppen av det hele viser det seg at det som har fått navnet Selmergrupper, spiller en vesentlig rolle i det beviset som Andrew Wiles i 1994 gav for Fermats siste teorem. Så selv om både Niels Henrik Abel og Ael Thue gav opp, og det ble en brite som til sist lyktes med å komme med et bevis, så er det altså norske matematikere som har gjort mye av forarbeidene for at man endelig fikk et bevis for satsen som Fermat framsatte i 1637 og som det altså tok over 350 år å få bevist!

15 15 Litteratur: Mye av det som er publisert om diofantiske likninger er publisert i små artikler og i spesielle særtrykk. To bøker er likevel verd å nevne: 1) Trygve Nagell: Introduction to number theory. J.Wiley and Sons Inc. New York ) I. Niven & H.S.Zuckerman: An Introduction to the Theory of Numbers. J. Wiley ans Sons Inc. New York Til matematikkens historie nevner vi: 1) Bent Birkeland: Norske Matematikere. Gyldendal Norsk Forlag. Temahefte i matematikk Hefte nr ) Viggo Brun: Alt er tall. Universitetsforlaget Oslo ) Arild Stubhaug: Et foranskutt lyn. Om Niels Henrik Abel og hans tid Aschehoug Forlag Oslo 1996.

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei...

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei... ESTETIKK I MATEMATIKK KRISTIAN RANESTAD Abstract. Det vakre spiller en vesentlig motiverende og veiledende rolle i matematikken. Med eksempler fra geometri, tallteori og et gammelt puslespill viser jeg

Detaljer

Andrew Wiles, modularitetsformodningen og Fermats siste sats

Andrew Wiles, modularitetsformodningen og Fermats siste sats Andrew Wiles, modularitetsformodningen og Fermats siste sats John Rognes Universitetet i Oslo Hamar, 15. september 2016 Andrew Wiles Det Norske Videnskaps-Akademi har besluttet å tildele Abelprisen for

Detaljer

Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig

Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig Sensurveiledning Emnekode: 4MX230UM1 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10) KfK, emne 1 Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig Oppgave 1 I denne oppgaven får du oppgitt tre situasjoner som

Detaljer

Noen tallteoretiske resultater av Fermat

Noen tallteoretiske resultater av Fermat Noen tallteoretiske resultater av Fermat Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo Pierre de Fermat (1601/1607-1665) Fermats lille teorem Fermats rettvinklede teorem Fermats siste teorem Cubum autem in duos

Detaljer

Fermats siste teorem

Fermats siste teorem Fermats siste teorem Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.

Detaljer

Diofantiske likninger Peer Andersen

Diofantiske likninger Peer Andersen Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell

Detaljer

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0 Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,

Detaljer

Pytagoras fra Samos. Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker. (ca. 572 497 f.kr) TANGENTEN 3/1999 15

Pytagoras fra Samos. Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker. (ca. 572 497 f.kr) TANGENTEN 3/1999 15 TANGENTEN 3/1999 15 Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker Pytagoras fra Samos (ca. 57 497 f.kr) Det finnes få skriftlige dokumenter fra den eldste greske matematikken (fra før år 300 f.kr.). Det finnes

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013 Tall og mengder Per G. Østerlie 30. september 2013 1 Introduksjon Nå skal vi se på hva mengder og intervaller er og hvilke symboler vi benytter. Vi starter med å se på tall og hvordan vi kan dele opp i

Detaljer

Et løst og et par uløste matematiske problem

Et løst og et par uløste matematiske problem Kapittel 35 Et løst og et par uløste matematiske problem I dette kapitlet skal vi fortelle deg om et berømt matematisk problem som nylig ble løst etter 35 år, og om et par som fortsatt er uløste. Et løst

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b. TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Fermats siste teorem. Arne B. Sletsjøe. Universitetet i Oslo

Fermats siste teorem. Arne B. Sletsjøe. Universitetet i Oslo Fermats siste teorem Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo 3 8.198.204.823 Teorem (Wiles, 1993-95) Likningen x n + y n = z n Sir Andrew Wiles (1954-) har ingen ikke-trivielle heltalls-løsninger for n >

Detaljer

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den

Detaljer

Lokal læreplan. Lærebok: Gruntall. Læringsstrategi

Lokal læreplan. Lærebok: Gruntall. Læringsstrategi Lokal læreplan Lærebok: Gruntall Antall uker 34-37 Tall -lære de fire regneartene i hele tall, desimaltall og negative tall og i hoderegning og overslagsregning. -lære å bruke lommeregner og regneark -kjenne

Detaljer

Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen

Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen Faglig-pedagogisk dag, 3. januar 2006 Arne B. Sletsjøe Matematisk institutt Universitetet i Oslo Cauchys sats (Journal de L école polytechnique,

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Nicolai Kristen Solheim

Nicolai Kristen Solheim Oppgave 1. For å kunne skrive det komplekse tallet følgende endringer foretas på uttrykket. 3 3, hvor 3 og 3 på formen, hvor og, må For å kunne skrive det komplekse tallet på polarformen, må vi først finne

Detaljer

Forelesning 10 torsdag den 18. september

Forelesning 10 torsdag den 18. september Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se

Detaljer

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det. Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave

Detaljer

MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015

MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 Emnenavn Grunnleggende matematikk Precalculus MA6001 Undervisningssemester Høst 2014 Professor Petter Bergh petter.bergh@math.ntnu.no

Detaljer

Kapittel 10 LIGNING AV FØRSTE GRAD MED EN UKJENT. Hvor mange lodd må vi flytte for å balansere vekta?

Kapittel 10 LIGNING AV FØRSTE GRAD MED EN UKJENT. Hvor mange lodd må vi flytte for å balansere vekta? Hvor mange lodd må vi flytte for å balansere vekta? Vekta balanserer når vi flytter lodd. 4 16 4 16 Vi adderer tallet til begge sidene. Vi legger nye lodd i hver skål. 4 16 4 4 16 4 Vi subtraherer 4 fra

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200

Detaljer

Navn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643

Navn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643 Navn og referenser 1 GRUNNFORSKNING SKAL IKKE VÆRE NYTTIG. ET EKSEMPEL OM PRIMTALL Blackeberg, Kungsholmen, Spånga, Åsö, Norra R. 20-22-23 mars 2001, 19-21 mars 2002 grunnforskning nytte anvendelser offentlig

Detaljer

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe Forord Dette heftet i tallteori er tilpasset Matematisk institutts nettbaserte kurs i tallteori og baserer seg i stor grad på Erik Alfsen og Tom Lindstrøms kompendium i tallteori for MA 115/215. Heftet

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

Skoleprosjekt Algebra Mat4010

Skoleprosjekt Algebra Mat4010 Skoleprosjekt Algebra Mat4010 Narve Elling Johnsen 27. mars 2014 1 Innhold 1 Annengradsligninger Vi sier ofte at annengrads ligninger har enten to, en eller ingen reelle løsninger. Vi kan bruke abc formelen

Detaljer

KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER

KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT1030 Forelesning 23

MAT1030 Forelesning 23 MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 SETT 21 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. En bonde skal sette opp et gjerde rundt et trekantet område med sider 20 m, 20 m og 30 m. Han planlegger å sette opp stolper med 5 meters avstand

Detaljer

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra:

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: 1. sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform, uttrykke slike tall på varierte

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 5: Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

1 Primtall og divisorer

1 Primtall og divisorer Oppgaver 1 Primtall og divisorer KATEGORI 1 1.1 Primtallsfaktorisering Oppgave 1.110 Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave 1.111 Finn ut ved hjelp av tverrsummen

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Forelesning 2. Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer

Forelesning 2. Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer Forelesning 2 Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann - 16. januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER Mandag innførte vi pseudokoder og kontrollstrukturer. Vi hadde tre typer grunn-instruksjoner:

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................

Detaljer

PENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni

PENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni PNSUMS MAMAKKNAMN 2. juni Del 1: Prøver deg i det regnetekniske. Føres direkte på arket. ngen hjelpemidler er tillatt. kke kladd på oppgavearket, det får du eget ark til. De oppgavene med regnerute, fører

Detaljer

INF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet

INF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet INF 4130 8. oktober 2009 Stein Krogdahl Dagens tema: Uavgjørbarhet Dette har blitt framstilt litt annerledes tidligere år Se Dinos forelesninger fra i fjor. I år: Vi tenker mer i programmer enn i Turing-maskiner

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

A)4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 64

A)4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 64 SETT 29 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Nils abonnerer på Aftenposten, og en morgen består avisen av fire deler. Hvis Nils leser en del av gangen, i hvor mange forskjellige rekkefølger kan

Detaljer

Tallsystem. M1 vår 2008

Tallsystem. M1 vår 2008 Tallsystem M1 vår 2008 6. mars 2008 1. Innledning 2. Ulike tallsystem i historien 3. Titallsystemet og andre tallsystem 4. Heltallene og utvidelser 1. Innledning Et interessant ulvebein ble funnet i Tsjekkoslovakia,

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 20 202 Løsninger Finale 8 mars 202 Oppgave a (i) Om Berit veksler to femkroner og en tjuekrone til tre tikroner, og så to femkroner og tre tikroner til to tjuekroner,

Detaljer

Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene

Detaljer

Figurtall en kilde til kreativitet

Figurtall en kilde til kreativitet Vigdis Brevik Petersen Figurtall en kilde til kreativitet I læreplanen er det lagt vekt på at elevene skal bruke initiativ, kreativitet og utforskning for å etablere kjennskaper og innsikt i matematikkfaget.

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

Stomachion. Kristian Ranestad. 10. Mars 2005

Stomachion. Kristian Ranestad. 10. Mars 2005 10. Mars 2005 Et gammelt puslespill og et matematisk problem Et gammelt puslespill Manuskriptet Arkimedes Palimpsest dukket opp på en auksjon hos Christie s i New York i 1998. Kjøperen som betalte to millioner

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 9: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-17 15:56) MAT1030 Diskret

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform

Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive

Detaljer

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De

Detaljer

MAT1030 Forelesning 2

MAT1030 Forelesning 2 MAT1030 Forelesning 2 Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Dag Normann - 20. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-20 12:31) Kapittel 1: Algoritmer (fortsettelse) Kontrollstrukturer I går innførte vi

Detaljer

FAKTORISERING FRA A TIL Å

FAKTORISERING FRA A TIL Å FAKTORISERING FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til faktorisering F - 2 2 Grunnleggende om faktorisering F - 2 3 Fremgangsmåter F - 3 3.1 Den grunnleggende

Detaljer

Den første implikasjonen er bevist i oppgave 1.30c. Den andre vises kontrapositivt slik:

Den første implikasjonen er bevist i oppgave 1.30c. Den andre vises kontrapositivt slik: 1. Noen bevismetoder OPPGAVE 1.0 a) x og y er begge partall x= 2 k og y = 2 l og k og l er begge hele tall x y = 2k 2l = 22 kl = 2 s Når både k og l er hele tall, må også s = 2 kl være et helt tall. Derfor

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel

Detaljer

3 Største felles faktor og minste felles multiplum

3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3.1 Største felles faktor og minste felles multiplum. Metodiske aspekter Største felles faktor og minste felles multiplum er kjente matematiske uttrykk

Detaljer

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2 Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4. av Sigbjørn Hals Innhold: CAS-verktøyet... Primtallanalyse... Faktorisering og utvidelse av uttrykk... Likninger... 4 Likningssett med flere ukjente... 5 Differensiallikninger...

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

Lokal læreplan i matematikk (8. trinn, 9. trinn og 10. trinn)

Lokal læreplan i matematikk (8. trinn, 9. trinn og 10. trinn) Lokal læreplan i matematikk (8. trinn, 9. trinn og 10. trinn) Hoved- områder Tall og Algebra Fokus (læringsmål) Tall Addere, subtrahere, multiplisere og dividere med heltall, flersifrete tall og desimaltall

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X

Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X Problemløsing Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse Einar Andreas Rødland 199X Innhold 1 Innledning 3 2 Logikk og beviser 3 3 Geometri 5 4 Reductio ad absurdum 7 5 Induksjonsbevis

Detaljer

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Tallteori. Caspar forlag, 2. utgave, 2009

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Tallteori. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Tallteori. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 09.01.2012. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert etter hvert. Oppdager

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 1 (8. - 10. trinn) Studieåret 2014/2015

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 1 (8. - 10. trinn) Studieåret 2014/2015 Godkjent april 2014 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 1 (8. - 10. trinn) Studieåret 2014/2015 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere som har godkjent lærerutdanning med innslag

Detaljer

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016 Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Sjekk om følgende tall er delelig med 9: 654, 45231, 1236546 Løsning: Et tall er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen er

Detaljer

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes

Detaljer

Konkurranse 1. Tommy Odland 22. desember 2015 ENT3R UiB

Konkurranse 1. Tommy Odland 22. desember 2015 ENT3R UiB Konkurranse 1 Tommy Odland 22. desember 2015 ENT3R UiB Oppgave 1 (1 poeng per deloppgave) (1) Dersom h = 2 og b = 2, hva er arealet av det grå området i figuren under? (2) Klarer du å utlede en generell

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1

Detaljer

Løsningsforslag til øving 1

Løsningsforslag til øving 1 Høgskolen i Gjøvik Avd. for tekn., øk. og ledelse Matematikk 5 Løsningsforslag til øving Exercise (a), (c) - j yim() j - - - 0 xre() Merk! I oppgaven skal vi merke av punktene (angitt med ), men de komplekse

Detaljer

Syklotome heltall og Kummers bevis for Fermats siste teorem. Paul Mathias Høglend Masteroppgave, våren 2017

Syklotome heltall og Kummers bevis for Fermats siste teorem. Paul Mathias Høglend Masteroppgave, våren 2017 Syklotome heltall og Kummers bevis for Fermats siste teorem Paul Mathias Høglend Masteroppgave, våren 2017 Denne masteroppgaven er levert inn under masterprogrammet Matematikk, studieretning Matematikk,

Detaljer

Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn.

Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn. Plenumsregning 5 Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen - 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn. Husk at hvis p q er påstanden,

Detaljer