1 Primtall og divisorer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1 Primtall og divisorer"

Transkript

1 Oppgaver

2 1 Primtall og divisorer KATEGORI Primtallsfaktorisering Oppgave Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave Finn ut ved hjelp av tverrsummen om tre går opp i tallet. 1) 233 2) ) ) Oppgave Finn ut ved hjelp av den alternerende tverrsummen om 11 går opp i tallet. 1) 121 2) 211 3) 814 4) Oppgave Primtallsfaktoriser tallene. a) 30 b) 252 c) 297 d) Eratostenes såld Oppgave Ta først kvadratrota av tallet. Undersøk så om tallet er et primtall eller et sammensatt tall. a) 79 b) 97 c) 123 d) 143 Oppgave To primtall er primtallstvillinger hvis differansen mellom primtallene er 2. De to første primtallstvillingene er da 3 og 5. Finn alle primtallstvillingene under Jakten på store primtall Oppgave a) Finn det minste primtallet som er større enn 200. b) Finn det største primtallet som er mindre enn

3 Oppgave a) Hvor mange primtall er mindre enn 50? b) Bruk formelen til Atle Selberg og finn omtrent hvor mange primtall som er mindre enn 50. c) Er det godt samsvar mellom svarene i oppgave a og b? Oppgave a) Regn ut b) Undersøk om mersennetallet er et primtall. 1.4 Divisor og multiplum Oppgave Finn største felles divisor for tallene. a) 30 og 42 b) 84 og 105 c) 126 og 180 d) 350 og 875 Oppgave Finn minste felles multiplum for tallene. a) 24 og 120 b) 60 og 90 c) 126 og 150 d) 30 og 77 Oppgave Vi har gitt tallene a = 126 og b = 294. a) Finn sfd(a, b). b) Finn mfm(a, b). c) Finn summen uten bruk av lommeregneren Oppgave Vi har gitt tallene a = 180 og b = 450. a) Finn sfd(a, b). b) Finn mfm(a, b). c) Finn summen uten bruk av lommeregneren Sinus X > Primtall og divisorer Oppgave Finn fellesnevneren og regn ut. 1 a) b) Euklidalgoritmen Oppgave Bruk euklidalgoritmen og finn største felles divisor for tallene. a) 30 og 45 b) 26 og 90 c) 105 og 147 d) 88 og 220 Oppgave Bruk euklidalgoritmen og finn største felles divisor for tallene. a) 42 og 196 b) 126 og 135 c) 80 og 168 d) 210 og Den omvendte euklidalgoritmen Oppgave Vi har gitt tallene a = 96 og b = 168. a) Finn d = sfd(a, b). b) Bruk euklidalgoritmen omvendt og finn to hele tall x og y slik at 96x + 168y = d Oppgave Vi har gitt tallene a = 135 og b = 324. a) Finn d = sfd(a, b). b) Bruk euklidalgoritmen omvendt og finn to hele tall x og y slik at 135x + 324y = d Oppgave Vi har gitt tallene a = 372 og b = 465. a) Finn d = sfd(a, b). b) Bruk euklidalgoritmen omvendt og finn to hele tall x og y slik at 372x + 465y = d

4 1.7 Diofantiske likninger Oppgave Løs de diofantiske likningene ved hjelp av lommeregneren når x og y er positive hele tall. a) 2x + 3y = 7 b) 5x + 7y = 43 c) 7x + 9y = 83 d) 3x + 5y = 22 Oppgave Løs de diofantiske likningene ved hjelp av lommeregneren når x og y er positive hele tall. a) 5x + 8y = 39 b) 4x + 7y = 45 c) 6x + 5y = 37 d) 7x + 11y = 73 Oppgaver Løs de diofantiske likningene ved hjelp av lommeregneren når x og y er positive hele tall. a) 8x + 9y = 70 b) 5x + 9y = 65 c) 3x + 7y = 42 d) 7x + 3y = 32 Oppgave Lille Grete er i butikken og kjøper boller og brus. Bollene koster 6 kr per stykk, og brusen koster 11 kr per flaske. Til sammen betaler hun 70 kr. Vi antar at Grete kjøper x boller og y flasker med brus. a) Sett opp en diofantisk likning som gir sammenhengen mellom x og y. b) Tegn linja som har likningen i oppgave a, og finn grafisk hvor mange boller og hvor mange flasker brus Grete kjøper. Oppgave I ei skål ligger det både skruer og muttere. En skrue veier 5 g, og en mutter veier 7 g. Det som ligger i skåla, veier til sammen 70 g. a) Det er x skruer og y muttere i skåla. Sett opp en diofantisk likning som gir sammenhengen mellom x og y. b) Tegn linja og finn grafisk hvor mange skruer og hvor mange muttere det er i skåla. KATEGORI Primtallsfaktorisering Oppgave Undersøk hvor mange av tallene 2, 3, 5 og 11 som går opp i tallet, uten bruk av lommeregner. a) 270 b) 759 c) d) Oppgave Primtallsfaktoriser tallene. a) 1323 b) 6006 c) 9317 d) Eratostenes såld Oppgave a) Skriv tallene fra 1 til 100 i spiralform på et ruteark. Begynn med tallet 1 midt på arket og skriv i annenhver rute og på annenhver linje slik som antydet nedenfor b) Sett et kryss over alle primtallene. Ser du noe mønster? 205

5 1.3 Jakten på de store primtallene Oppgave a) Mellom 120 og 130 fins det bare ett primtall. Hvilket? b) Finn det største primtallet under Oppgave a) Finn det minste primtallet p slik at 2p + 1 ikke er et primtall. b) La n være et positivt oddetall. Finn det minste tallet n slik at n 2 2 ikke blir et primtall. Oppgave Den norske matematikeren Viggo Brun ( ) la fram en teori om at summen av den uendelige rekken ( ) + ( ) + ( ) + der (3, 5), (5, 7), (11, 13),, er primtallstvillingene, er lik B = 1, Vi lar a 1 = , a 5 2 = osv. være leddene i rekken ovenfor. Vi lar B n være summen av de n første leddene i rekken. a) Finn B 7. b) Finn den største n slik at B n < 1,42. Oppgave Den kinesiske matematikeren Jing-run Chen viste i 1973 at ethvert helt tall større enn 3 kan skrives på formen p + q r der p, q og r er primtall. Skriv disse tallene på formen p + q r. a) 25 b) 50 c) 90 d) Divisor og multiplum Oppgave Finn største felles divisor for tallene. a) 462 og b) 975 og 4420 c) 595 og d) og Oppgave Finn minste felles multiplum for tallene i oppgave Oppgave Vi har gitt tallene a = 2015 og b = a) Finn sfd(a, b). b) Finn mfm(a, b). Oppgave a) Finn minste felles multiplum for tallene 156 og 198. b) Finn summen av brøkene Oppgave Regn ut. 1 a) b) Oppgave a) Finn minste felles multiplum for tallene 210 og 350. b) Regn ut og forkort svaret mest mulig Euklidalgoritmen Oppgave Bruk euklidalgoritmen og finn største felles divisor for tallene. a) 2604 og 3248 b) 486 og c) og d) og Sinus X > Primtall og divisorer

6 Oppgave Bruk euklidalgoritmen til å finne største felles divisor for tallene. Finn deretter minste felles multiplum. a) 5796 og b) og Den omvendte euklid algoritmen Oppgave Finn den største felles divisoren d for tallene a og b. Finn deretter hele tall x og y slik at ax + by = d a) a = 5390 og b = 7007 b) a = 2695 og b = 6370 c) a = 2457 og b = 4998 Oppgave Finn den største felles divisoren d for tallene a og b. Finn deretter hele tall x og y slik at ax + by = d. a) a = 456 og b = 828 b) a = 459 og b = 663 c) a = 735 og b = Diofantiske likninger Oppgave Løs den diofantiske likningen når x > 0 og y > 0. a) 3x + 11y = 54 b) 4x + 7y = 100 c) 2x + 5y = 52 d) 4x + 7y = 67 Oppgave Forklar hvorfor den rette linja 18x + 15y = 100 aldri kan gå gjennom et punkt med heltallige koordinater. Oppgave På en matematikktest er det gitt noen 4-poengspørsmål og noen 12-poengspørsmål. Svarene er enten riktige eller gale. En elev fikk 298 poeng på testen. Har eleven grunn til å klage? Oppgave a) Finn den generelle løsningen av den diofantiske likningen 8x + 75y = 1200 b) Til oppsetningen av en skolerevy skal det bestilles brus og pizza. En flaske brus koster 8 kr og en pizza 75 kr. Hvor mange brus og hvor mange pizzaer kan en få kjøpt for akkurat 1200 kr? c) En elev mener at det blir for mange brus i forhold til tallet på pizzaer. Han hevder at fordelingen mellom brus og pizza blir bedre hvis de øker kjøpesummen med 100 kr. Regn ut de mulige kombinasjonene av brus og pizza i dette tilfellet. Oppgave Løs den diofantiske likningen. a) 5x + 13y = 89 b) 7x + 11y = 76 c) 5x + 13y = 100 d) 8x + 15y =

7 Oppgave En metallstang er 800 cm lang. Den skal kuttes opp i dellengder på 9 cm og 13 cm. Finn de mulige kombinasjonene av de to dellengdene slik at vi får brukt hele metallstanga. Oppgave Det var en gang en bonde som brukte 100 gullmynter til å kjøpe 100 dyr for. Ei ku kostet 10 gullmynter, en gris kostet 3 gullmynter, og ei høne kostet en halv gullmynt. Bonden kjøpte minst ett av hvert av de tre dyra. Hvor mange kuer, griser og høner kjøpte bonden? BLANDEDE OPPGAVER Oppgave Motebutikken Steikje Fint selger bukser og skjorter. Buksene koster 630 kr per stykk og skjortene 434 kr. a) Finn største felles divisor for tallene 630 og 434 ved hjelp av euklidalgoritmen. b) Finn minste felles multiplum for tallene 630 og 434 ved regning. c) Forklar hvorfor den diofantiske likningen 630x + 434y = har heltallige løsninger. d) En dag selger butikken Steikje Fint bukser og skjorter for kr. Hvor mange bukser og hvor mange skjorter selger butikken den dagen? Oppgave Hva er det minste naturlige tallet n slik at verken 6n + 1 eller 6n 1 er et prim tall? Oppgave Den indiske astronomen Brahmagupta (født 598) utviklet en metode for å løse lineære diofantiske likninger. Metoden bygger på euklidalgoritmen og er veldig lik vår egen metode. Finn den minste positive løsningen av denne likningen fra Brahmaguptas skrifter: 137x + 10 = 60y Oppgave a) Forklar hva vi mener med et primtall. b) Finn største felles divisor for tallene 228 og 306 ved hjelp av primtallsfaktorisering. c) Finn største felles divisor for tallene 228 og 306 ved hjelp av euklidalgoritmen. d) Finn minste felles multiplum for tallene 228 og 306. e) Noen ungdommer er på båttur. En vanlig billett koster 306 kr. Studenter får rabatt og betaler 228 kr. Til sammen betaler disse ungdommene 2898 kr. Bruk blant annet det du gjorde i opp gave c, til å finne ut hvor mange studenter som var med på turen, og hvor mange ungdommer det var til sammen. Oppgave Løs den diofantiske likningen når x > 0 og y > 0. a) 23x + 41y = 402 b) 17x + 32y = 411 c) 25x + 42y = 687 d) 53x + 69y = Sinus X > Primtall og divisorer

8 Oppgave a) Forklar, uten å regne, hvorfor den diofantiske likningen 12x 15y = 34 ikke har heltallige løsninger. b) 1) Forklar hvorfor den diofantiske likningen 11x + 23y = 123 har heltallige løsninger. 2) Finn den generelle løsningen av likningen i oppgave b1. Oppgave Knut eier en sportsforretning. Han kjøper inn et parti joggesko av typene A og B. Type A koster 185 kr og type B 505 kr. Hele partiet koster til sammen kr. Hvor mange av hver type kjøper han inn? Oppgave Løs den diofantiske likningen. a) 5x + 12y = 134 b) 3x + 13y = 127 c) 9x + 11y = 201 d) 13x + 15y = 274 Oppgave a) Finn største felles divisor for tallene 234 og 264 ved hjelp av primtallsfaktorisering. b) Finn største felles divisor for tallene 234 og 264 ved hjelp av euklidalgoritmen. c) Finn minste felles multiplum for tallene 234 og 264. d) Finn summen uten å bruke lommeregneren. Forkort svaret ved regning. e) Hvorfor har den diofantiske likningen 234x 264y = 54 heltallige løsninger? f) Heidi og Arne bor på hybel og tar noen ganger toget hjem i helgene. Heidi betaler 234 kr for en tur-returbillett, og Arne betaler 264 kr for en tilsvarende billett. I løpet av et halvår betalte Heidi 54 kr mer enn Arne for hjemreisene med toget. Hvor mange ganger reiste hver av dem hjem med toget dette halvåret? Bruk blant annet euklidalgoritmen når du løser oppgaven. Oppgave a) På hvor mange måter kan du skrive 42 som summen av to primtall? b) Undersøk om det fins noen primtall mellom 200 og 210. Oppgave a) Et helt tall kalles perfekt hvis summen av alle divisorene mindre enn tallet er lik tallet. 1) Vis at 6 er et perfekt tall. 2) Finn det neste perfekte tallet etter 6. b) Et helt tall kalles multiplikativt perfekt hvis produktet av alle divisorene mindre enn tallet er lik tallet. 1) Vis at 6 er multiplikativt perfekt. 2) Kan du finne flere multiplikativt perfekte tall? 3) La n være et postivt heltall og p et primtall. Vis at hvis n = p 3 så er n et multiplikativt perfekt heltall. Oppgave Differansen mellom to positive hele tall a og b er 6. Dessuten er sfd(a, b) = 6 og mfm(a, b) = Finn tallene. 209

9 Oppgave Vi har to tall a og b, der 2 < a < b. Dessuten er sfd(a, b) = 2 og mfm(a, b) = 70. Finn tallene a og b. Oppgave Fra arbeidene i matematikk til den indiske astronomen Brahmagupta (født 598) har vi følgende problem: Det er gitt at sola gjør 30 omdreininger rundt jorda på dager. Hvor mange hele dager har det gått (fra sola var i et gitt startpunkt) når sola har gjort et helt antall omdreininger pluss 8080/ av én omdreining? Vi lar y være det ukjente antallet dager og x antallet hele omdreininger. Når 30 omdreininger tar dager, vil én omdreining ta /30 dager. a) Forklar at 8080 y = ( x ) 30 b) Omform likningen til en lineær diofantisk likning og løs den. Oppgave Pierre de Fermat fattet interesse for såkalte vennskapstall. Det er par av tall som er slik at hvert tall er summen av divisorene til det andre tallet. Pytagoreerne hadde 2000 år tidligere oppdaget at 220 og 284 er vennskapstall. Divisorene til 220 er 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 og 110, og summen av alle disse er 284. Divisorene til 284 er 1, 2, 4, 71 og 142, og summen av disse er 220. Tallparet 220 og 284 ble oppfattet som symboler på vennskap. I middelalderen ble det solgt talismaner der disse tallene var inngravert. Å bære en slik talisman skulle fremme kjærligheten. I 1686 oppdaget Fermat vennskapstallene og Andre matematikere fulgte opp med nye og større vennskapstall, men de overså vennskapstallene 1184 og Disse vennskapstallene ble først oppdaget i 1866 av den 16-årige italieneren Nicolò Paganini. Kontroller at 1184 og 1210 er vennskapstall. 210 Sinus X > Primtall og divisorer

10 FASIT oppgavedel a) Primtall b) Primtall c) Ikke primtall a) 3 går ikke opp b) 3 går opp c) 3 går ikke opp d) 3 går opp a) 11 går opp b) 11 går ikke opp c) 11 går opp d) 11 går opp a) b) c) d) a) Primtall b) Primtall c) Sammensatt d) Sammensatt a) (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43) a) 211 b) a) 15 b) Omtrent 13 c) Ja a) b) Ikke primtall ( = ) a) 6 b) 21 c) 18 d) a) 120 b) 180 c) 3150 d) a) 42 b) 882 c) a) 90 b) 900 c) a) 5148 b) a) 15 b) 2 c) 21 d) a) 14 b) 9 c) 8 d) a) 24 b) x = 2 og y = a) 27 b) x = 5 og y = a) 93 b) x = 1 og y = a) x = 2 og y = 1 b) x = 3 og y = 4 c) x = 8 og y = 3 d) x = 4 og y = a) x = 3 og y = 3 b) x = 6 og y = 3 c) x = 2 og y = 5 d) x = 1 og y = a) x = 2 og y = 6 b) x = 4 og y = 5 c) x = 7 og y = 3 d) x = 2 og y = 6 1,173 a) 6x + 11y = 70 b) 8 boller og 2 brus a) 5x + 7y = 70 b) 7 skruer og 5 muttere a) 2, 3 og 5 b) 3 og 11 c) 2, 3, 5 og 11 d) a) b) c) d) a) 127 b) a) 7 b) a) 1, b) a) 25 = b) 50 = a) 42 b) 65 c) 35 d) a) b) c) d) a) 31 b) a) 5148 b) a) 252 b) a) 1050 b) a) 28 b) 54 c) 2431 d) a) 84, c) , a) 539, x = 4 og y = 3 b) 245, x = 7 og y = 3 c) 21, x = 59 og y =

11 1.261 a) 12, x = 20 og y = 11 b) 51, x = 3 og y = 2 c) 105, x = 3 og y = a) x = 7 og y = 3 b) (x, y) = (18, 4), (11, 8) eller (4, 12) c) (x, y) = (1, 10), (6, 8), (11, 6), (16, 4) eller (21, 2) d) (x, y) = (15, 1), (8, 5) eller (1, 9) a) x = 10 13n y = 8 + 5n, der n er et helt tall b) x = 3 11n y = 5 + 7n, der n er et helt tall c) x = 7 13n y = 5 + 5n, der n er et helt tall d) x = 10 15n y = 3 + 8n, der n er et helt tall sfd(18, 15) = 3 går ikke opp i Ja, sfd(4, 12) = 4 går ikke opp i 298. Likningen 4x + 12y = 298 har derfor ikke heltallige løsninger a) x = n y = n, der n er et helt tall b) 75 brus og 8 pizzaer c) 50 brus og 12 pizzaer eller 125 brus og 4 pizzaer cm cm kuer, 1 gris og 94 høner a) 14 b) d) 11 bukser og 13 skjorter a) x = 5 og y = 7 b) x = 11 og y = 7 c) x = 9 og y = 11 d) x = 5 og y = n = x = 10, y = b) 6 c) 6 d) e) Det er 6 studenter og til sammen 11 ungdommer a) sfd(12, 15) = 3 går ikke opp i 34. b) 1) Fordi sfd(11, 23) = 1 går opp i 123 2) x = 7 23n y = n Type A: 65, type B: a) x = 10 12n y = 7 + 5n b) x = 12 13n y = 7 + 3n c) x = 4 11n y = n d) x = 13 15n y = n a) 6 b) 6 c) d) e) Største felles divisor for 234 og 264 går opp i 54. f) Heidi reiste 7 ganger og Arne 6 ganger a) 4 (5 + 37, , , ) b) Ingen primtall a) 1) 6 = ) 15 = b) 1) 6 = ) 8 og og og b) x = 2 + 3n y = n a) Kongruente b) Inkongruente c) Kongruente a) Riktig b) Riktig c) Gal d) Riktig d) Er feil a) a) x 3 (mod 5) b) x = a) 5 og 1 b) 5 c) 1 d) a) 2 og 3 b) 6 c) 5 d) a) 2) 1 b) 2) a) 0 b) 3 c) 2 d) a) 1 b) 4 c) 1 d) a) 1 b) 2 c) 2 d) a) 1) 13 2) 2 b) 1) 3 2) a) y = 0 b) x = a) Har løsning b) Har løsning c) Har ikke løsning a) Har løsning b) Har ikke løsning c) Har løsning 267

Diofantiske likninger Peer Andersen

Diofantiske likninger Peer Andersen Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell

Detaljer

Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger

Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

Il UNIVERSITETET I AGDER

Il UNIVERSITETET I AGDER Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Oversikt over det kinesiske restteoremet

Oversikt over det kinesiske restteoremet Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0 Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,

Detaljer

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

Tall og algebra Vg1P MATEMATIKK

Tall og algebra Vg1P MATEMATIKK Oppgaver Innhold Innhold... 1 Modul 1: Regnerekkefølgen... 2 Modul 2: Overslagsregning og hoderegning... 3 Modul 3: Brøkregning... 9 Modul 4: Koordinatsystemet... 12 Modul 5: Forhold... 14 Modul 6: Proporsjonale

Detaljer

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 SETT 21 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. En bonde skal sette opp et gjerde rundt et trekantet område med sider 20 m, 20 m og 30 m. Han planlegger å sette opp stolper med 5 meters avstand

Detaljer

A) 13 B) 15 C) 18 D) 23 E) 24

A) 13 B) 15 C) 18 D) 23 E) 24 SETT 35 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. En digital klokke viser tiden i timer og minutter. Av og til er klokkeslettet det samme om man leser det baklengs, for eksempel klokken 02:20 eller

Detaljer

Forelesning 11 mandag den 22. september

Forelesning 11 mandag den 22. september Forelesning 11 mandag den 22. september 2.9 Lineære diofantiske ligninger forts. Proposisjon 2.9.1. La a, b, c, x, y være heltall. Anta at La d være et naturlig tall slik at sfd(a, b) = d. Ut ifra definisjonen

Detaljer

Forelesning 10 torsdag den 18. september

Forelesning 10 torsdag den 18. september Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se

Detaljer

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors)

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.

Detaljer

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016 Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Sjekk om følgende tall er delelig med 9: 654, 45231, 1236546 Løsning: Et tall er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen er

Detaljer

Brann i matteboken. Elevhefte Tall og regning

Brann i matteboken. Elevhefte Tall og regning Elevhefte Til eleven. Du skal i en periode arbeide med fotball og matematikk. Først skal dere besøke VilVite, hvor dere får flere praktiske oppgaver som dere skal gjøre. Dere skal for eksempel: måle hastigheten

Detaljer

for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor

for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor 46 2 Forhold og prosent MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser i praktiske sammenhenger

Detaljer

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER

KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette

Detaljer

Kapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235

Kapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235 Kapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235 Oppgave 2 Skriv tallene med sifre a To hundrere, en tier, fem enere og

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan

Detaljer

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 10

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 10 SETT 31 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Vennene Alfred, Bodil og Carsten var på stranden og grillet pølser. Alfred spiste to pølser, Bodil spiste tre, og i gjennomsnitt spiste de fire pølser.

Detaljer

To likninger med to ukjente

To likninger med to ukjente To likninger med to ukjente av Peer Andersen Peer Andersen 2014 TO LIKNINGER MED TO UKJENTE I dette lille notatet skal vi se på hvordan vi kan bruke addisjonsmetoden og innsettingsmetoden for å løse to

Detaljer

NASJONALE PRØVER. Matematikk 10. trinn delprøve 2. Skolenr. Elevnr. Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tid: 90 minutter.

NASJONALE PRØVER. Matematikk 10. trinn delprøve 2. Skolenr. Elevnr. Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tid: 90 minutter. Bokmål Skolenr. Elevnr. NASJONALE PRØVER Matematikk 10. trinn delprøve 2 Tid: 90 minutter 15. april 2004 Gutt Jente Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tillatte hjelpemidler: lommeregner,

Detaljer

Del 1 Skal leveres seinest etter 2 timer. Maks: 50 poeng

Del 1 Skal leveres seinest etter 2 timer. Maks: 50 poeng Del 1 Skal leveres seinest etter 2 timer. Maks: 50 poeng Hjelpemidler: Skrivesaker, passer, linjal og gradskive (vinkelmåler) 1 p Oppgave 1.1 Regn ut. a) = b) 5 + 5 + 5 + 5 = 2 p Oppgave 1.2 Regn ut. Skriv

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b. TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og

Detaljer

Terminprøve i matematikk for 8. trinn

Terminprøve i matematikk for 8. trinn Terminprøve i matematikk for 8. trinn Våren 2006 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: Navn: DELPRØVE 1 Maks. poengsum:

Detaljer

Hva er det største tallet du kan lage med disse sifrene?

Hva er det største tallet du kan lage med disse sifrene? Hva er det største tallet du kan lage med disse sifrene? Hvor mange tall tror du det er mellom 0 og? Tall og tallforståelse MÅL I dette kapitlet skal du lære om ulike typer tall plassverdisystemet og tall

Detaljer

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >

Detaljer

1 Funksjoner og grafiske løsninger

1 Funksjoner og grafiske løsninger Oppgaver Funksjoner og grafiske løsninger KATEGORI. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 3 0

Detaljer

Litt om diofantiske likninger

Litt om diofantiske likninger 1 Litt om diofantiske likninger av Dag Magne Johannessen Når vi skal løse en likning eller et likningssett, diskuterer vi sjelden hvilken grunnmengde som er til rådighet. Problemet går som regel ut på

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Oversikt over kryptografi

Oversikt over kryptografi Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN

Høgskoleni østfold EKSAMEN Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: LBMAT10311 Emne: Måling, tall og algebra og funksjoner Dato: Eksamenstid: kl 09.00 til kl 15.00 4. desember 2014 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Faglærer:

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN. Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm Monica Nordbakke Marianne Maugesten

Høgskoleni østfold EKSAMEN. Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm Monica Nordbakke Marianne Maugesten Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LUMAT10115 Tall, algebra og funksjoner 1 Dato: 16.12.2015 Eksamenstid: kl. 9 til k1.15 Hjelpemidler: Faglærere: Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm

Detaljer

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen

Detaljer

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015 RAMMER FOR MUNIG EKSAMEN I MAEMAIKK EEVER 2015 Fagkoder: MA1012, MA1014, MA1016, MA1018, MA1101,MA1105, MA1106, MA1110, REA3021, REA3023, REA3025, REA3027, REA3029 Årstrinn: Vg1, Vg2 og Vg3 Gjelder for

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Tallteori. Caspar forlag, 2. utgave, 2009

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Tallteori. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Tallteori. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 09.01.2012. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert etter hvert. Oppdager

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Diagrammet ovenfor viser hvor mange bøker en forfatter har solgt hvert år de fire siste årene. Når var den prosentvise økningen i salget fra

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel. Tallregning Mål for Kapittel, Tallregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere

Detaljer

Addisjon og subtraksjon i fire kategorier

Addisjon og subtraksjon i fire kategorier Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen 7-Feb-07 Addisjon og subtraksjon i fire kategorier Problemstillinger som inkluderer addisjon og subtraksjon kan ha svært varierende strukturer.

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Konkurranse 1. Tommy Odland 22. desember 2015 ENT3R UiB

Konkurranse 1. Tommy Odland 22. desember 2015 ENT3R UiB Konkurranse 1 Tommy Odland 22. desember 2015 ENT3R UiB Oppgave 1 (1 poeng per deloppgave) (1) Dersom h = 2 og b = 2, hva er arealet av det grå området i figuren under? (2) Klarer du å utlede en generell

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den

Detaljer

Matematisk julekalender for 8.-10. trinn, 2012

Matematisk julekalender for 8.-10. trinn, 2012 Matematisk julekalender for 8.-10. trinn, 2012 Årets julekalender for 8.-10 trinn består av 9 enkeltstående oppgaver som kan løses uavhengig av hverandre. Alle oppgavene har flere svaralternativer, hvorav

Detaljer

Elevhefte i tall og regning

Elevhefte i tall og regning Elevhefte i tall og regning TREN PÅ HODEREGNING Oppgave 1: I Brannbutikken I Brannbutikken vil du kjøpe ett par sko. Du har. a) Hvor mange kroner har du igjen etter du har betalt skoene? Forklar hvordan

Detaljer

2.3 Delelighetsregler

2.3 Delelighetsregler 2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne

Detaljer

En divisor til et heltall N er et heltall som går opp i N. Både 1 og N regnes blant divisorene til N.

En divisor til et heltall N er et heltall som går opp i N. Både 1 og N regnes blant divisorene til N. Oppgave 1 Hvilket av disse tallene er ikke heltall? 11! 12345678910 11 11! 11! 11! 11! 11! A B C D E 20 21 22 23 24 Hva må være oppfylt for at brøkene i løsningsalternativene skal bli hele tall? Hvilke

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 43 dag 1 1. Line-Marie strikker et lilla skjerf. Skjerfet er 80 masker bredt, og det tar 1 sekund å strikke en maske. Det går 3 rader per centimeter, og skjerfet

Detaljer

ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 =

ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 = ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn Del 1: 2 timer. Maks 30,5 poeng. Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Bruk sort eller blå penn når du fører inn svar eller

Detaljer

1 p 1.1 Kryss av for hvilket av sifrene i tallet som står på tierplassen.

1 p 1.1 Kryss av for hvilket av sifrene i tallet som står på tierplassen. Faktor Terminprøve i matematikk for 8. trinn Våren 2008 bokmål Navn: Oppgavesettet består av tre deler som alle skal besvares. Bruk blyant på figurer og konstruksjoner - ellers bruker du sort eller blå

Detaljer

3. kurskveld. Gjennomgang av hjemmeleksa. Hvilke tall tenker jeg på?

3. kurskveld. Gjennomgang av hjemmeleksa. Hvilke tall tenker jeg på? 3. kurskveld Gjennomgang av hjemmeleksa Hvilke tall tenker jeg på? Læreren tenker på to etterfølgende tall mellom 1 og 10. To elever får en lapp med hvert sitt av de to tallene. Elev A: Jeg vet ikke hvilket

Detaljer

Læreplan i matematikk X - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering

Læreplan i matematikk X - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering Læreplan i matematikk X - programfag i utdanningsprogram for Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 22. mai 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og forskningsdepartementet

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

Eksamen REA3026 Matematikk S1

Eksamen REA3026 Matematikk S1 Eksamen 02.12.2009 REA3026 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY)

Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY) Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY) Oslo, 16.-17.10.14 Astrid Bondø 19-Nov-15 Bygda Alvfjord Eksamen har i dag 5000 innbyggere. 2P 2014 Man regner med at innbyggertallet vil

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2009 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler der alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir utdelt samtidig, men del 1

Detaljer

Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig

Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig Sensurveiledning Emnekode: 4MX230UM1 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10) KfK, emne 1 Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig Oppgave 1 I denne oppgaven får du oppgitt tre situasjoner som

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt

Detaljer

Forhold og prosent MÅL. for opplæringa er at eleven skal kunne. rekne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor

Forhold og prosent MÅL. for opplæringa er at eleven skal kunne. rekne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor 46 2 Forhold og prosent MÅL for opplæringa er at eleven skal kunne rekne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor arbeide med proporsjonale og omvendt proporsjonale storleikar i praktiske samanhengar

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

3.1. Formodninger om primtall.

3.1. Formodninger om primtall. 15 Mai 2000 Kap 3.1 Formodninger om primtall 1 3.1. Formodninger om primtall. (3.1.1) Mersenne, Godbach og primtallstvillinger. Vi skal her forklare noen av de mest kjente formodningene om primtall. (3.1.2)

Detaljer

Terminprøve vår matematikk

Terminprøve vår matematikk Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen nye MEGA 8 Terminprøve vår matematikk 2013 Bokmål CAPPELEN DAMM AS Terminprøver vår for 8. trinn 2013 nye MEGA 1 Terminprøver vår 2013 nye MEGA 8 Vårens terminprøve er

Detaljer

OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET

OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET SETT 18 DAG 1 1. Arne, Birger og Christian har i gjennomsnitt 100 kroner. Arne har like mye som Birger og Christian til sammen. Hvor mye har Arne? A) 100 kr B) 150

Detaljer

Plassere positive og negative tall på tallinjen KOPIERINGSORIGINAL 2.1. Navn: KAPITTEL 2 Tall og tallforståelse. Oppgave 4a. Oppgave 4b.

Plassere positive og negative tall på tallinjen KOPIERINGSORIGINAL 2.1. Navn: KAPITTEL 2 Tall og tallforståelse. Oppgave 4a. Oppgave 4b. KOPIERINGSORIGINAL 2.1 KAPITTEL 2 Tall og tallforståelse Plassere positive og negative tall på tallinjen Navn: Oppgave 4a 0 1 Oppgave 4b 40 0 40 Oppgave 4c 20 0 20 Oppgave 5a 6 3 0 1 4 Oppgave 5b 2 1 0

Detaljer

ENT3R. Oppgavehefte. Basert på tidligere eksamener for 10. klasse. Tommy Odland 2/4/2014

ENT3R. Oppgavehefte. Basert på tidligere eksamener for 10. klasse. Tommy Odland 2/4/2014 ENT3R Oppgavehefte Basert på tidligere eksamener for 10. klasse Tommy Odland 2/4/2014 Dette er et oppgavehefte med oppgaver inspirert fra tidligere eksamener for 10. klassinger. Målet er at heftet skal

Detaljer

2 Likningssett og ulikheter

2 Likningssett og ulikheter Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2016

Matematikk for IT, høsten 2016 Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :

Detaljer

Del 1 Oppgave 1 20. Oppgave 1 Du har 1199 kroner. Du får en krone til. Hvor mange kroner har du da? Før: 1199 kr Etter: kr.

Del 1 Oppgave 1 20. Oppgave 1 Du har 1199 kroner. Du får en krone til. Hvor mange kroner har du da? Før: 1199 kr Etter: kr. KARTLEGGINGSVERKTØY FOR REGNING DEL 1 1 Del 1 Oppgave 1 20 Oppgave 1 Du har 1199 kroner. Du får en krone til. Hvor mange kroner har du da? Før: 1199 kr Etter: kr Oppgave 2 1 Du skal gå tur rundt et område

Detaljer

Fasit og løsningsforslag til Julekalenderen for ungdomstrinnet

Fasit og løsningsforslag til Julekalenderen for ungdomstrinnet Fasit og løsningsforslag til Julekalenderen for ungdomstrinnet 0.: Svaret er Hvert kutt kan maksimalt skjære hvert av de andre kuttene gang. Ett kutt går gjennom ett område mer enn antall kutt det skjærer.

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 4 dag 1 1. Hvor mange av de ett hundre første positive heltallene, 1, 2, 3,, 99, 100, er delelig med 2, 3, 4 og 5? A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 2. Ett tusen terninger

Detaljer

De fire regningsartene

De fire regningsartene De fire regningsartene Det går ikke an å si at elevene først skal ha forstått posisjonssystemet, og deretter kan de begynne med addisjon og subtraksjon. Dette må utvikles gradvis og om hverandre. Elevene

Detaljer

3 Formler, likninger og ulikheter

3 Formler, likninger og ulikheter Formler, likninger og ulikheter KATEGORI 1.1 Likninger Oppgave.110 4 + 4x = x + 8 5x 6 = 4x 5 1 x = x + 1 d) x = x 5 Oppgave.111 x + x = x 4 5x = x 14 x 1 = 4x + 4 d) x + x = 0 Oppgave.11 x = 4x 10 x 8

Detaljer

A)4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 64

A)4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 64 SETT 29 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Nils abonnerer på Aftenposten, og en morgen består avisen av fire deler. Hvis Nils leser en del av gangen, i hvor mange forskjellige rekkefølger kan

Detaljer

Hvorfor blir det tull med tall? - grunnleggende tallforståelse

Hvorfor blir det tull med tall? - grunnleggende tallforståelse Hvorfor blir det tull med tall? - grunnleggende tallforståelse Ny GIV videregående skole Astrid Bondø Svein Hallvard Torkildsen 16-Oct-13 Grunnleggende tallforståelse Mange elever sliter med å klare matematikken

Detaljer

Eksamen MAT0010 Matematikk Del 1. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål

Eksamen MAT0010 Matematikk Del 1. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål Eksamen 16.05.017 MT0010 Matematikk el 1 Skole: Kandidatnr.: el 1 + ark fra el okmål okmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på el 1: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. el 1 og el

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.

Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og

Detaljer

Mattemoro! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den. Oversikt. Spill til hjelp i automatiseringen av

Mattemoro! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den. Oversikt. Spill til hjelp i automatiseringen av Mattemoro! Mona Røsseland, R som har tenkt å gjøre et forsøk! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den gode lærer? l Entusiasme og engasjement. Kjennskap til

Detaljer

A) 9 år B) 18 år C) 27 år D) 36 år E) 54 år

A) 9 år B) 18 år C) 27 år D) 36 år E) 54 år SETT 24 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Bjørn og Marie giftet seg for 18 år siden. Da var Bjørn tre ganger så gammel som Marie. I dag er Bjørn dobbelt så gammel som Marie. Hvor stor er aldersforskjellen

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høst 007 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: Navn: DELPRØVE 1 Maks.

Detaljer

Terminprøve i matematikk for 9. trinn

Terminprøve i matematikk for 9. trinn Terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2006 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: Navn: DELPRØVE 1 Maks. poengsum:

Detaljer

Oppgavesamling i matematikk X. Abdul Moeed Mohammad

Oppgavesamling i matematikk X. Abdul Moeed Mohammad Oppgavesamling i matematikk X Abdul Moeed Mohammad The only way to learn mathematics is to do mathematics. Paul Halmos. 1 Forord Matematikk X er et muntlig fag. Dette innebærer at faget ikke har en skriftlig

Detaljer

Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen. nye MEGA 8. Terminprøve høst. matematikk. Bokmål CAPPELEN DAMM AS. Terminprøver høst for 8. trinn 2012 nye MEGA 1

Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen. nye MEGA 8. Terminprøve høst. matematikk. Bokmål CAPPELEN DAMM AS. Terminprøver høst for 8. trinn 2012 nye MEGA 1 Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen nye MEGA 8 Terminprøve høst matematikk 2012 Bokmål CAPPELEN DAMM AS Terminprøver høst for 8. trinn 2012 nye MEGA 1 Terminprøver høst 2012 nye MEGA Høstens terminprøver

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det. Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave

Detaljer

HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL?

HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL? Innledning, referenser og matematikere HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL? Skövde 4. mai 200 Innledning, referenser og matematikere. Vi lever i en epoke da kunnskap er lavt vurdert. Vårt miljø invaderes

Detaljer

Forelesning 24 mandag den 10. november

Forelesning 24 mandag den 10. november Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av

Detaljer