1 Primtall og divisorer

Transkript

1 Oppgaver

2 1 Primtall og divisorer KATEGORI Primtallsfaktorisering Oppgave Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave Finn ut ved hjelp av tverrsummen om tre går opp i tallet. 1) 233 2) ) ) Oppgave Finn ut ved hjelp av den alternerende tverrsummen om 11 går opp i tallet. 1) 121 2) 211 3) 814 4) Oppgave Primtallsfaktoriser tallene. a) 30 b) 252 c) 297 d) Eratostenes såld Oppgave Ta først kvadratrota av tallet. Undersøk så om tallet er et primtall eller et sammensatt tall. a) 79 b) 97 c) 123 d) 143 Oppgave To primtall er primtallstvillinger hvis differansen mellom primtallene er 2. De to første primtallstvillingene er da 3 og 5. Finn alle primtallstvillingene under Jakten på store primtall Oppgave a) Finn det minste primtallet som er større enn 200. b) Finn det største primtallet som er mindre enn

3 Oppgave a) Hvor mange primtall er mindre enn 50? b) Bruk formelen til Atle Selberg og finn omtrent hvor mange primtall som er mindre enn 50. c) Er det godt samsvar mellom svarene i oppgave a og b? Oppgave a) Regn ut b) Undersøk om mersennetallet er et primtall. 1.4 Divisor og multiplum Oppgave Finn største felles divisor for tallene. a) 30 og 42 b) 84 og 105 c) 126 og 180 d) 350 og 875 Oppgave Finn minste felles multiplum for tallene. a) 24 og 120 b) 60 og 90 c) 126 og 150 d) 30 og 77 Oppgave Vi har gitt tallene a = 126 og b = 294. a) Finn sfd(a, b). b) Finn mfm(a, b). c) Finn summen uten bruk av lommeregneren Oppgave Vi har gitt tallene a = 180 og b = 450. a) Finn sfd(a, b). b) Finn mfm(a, b). c) Finn summen uten bruk av lommeregneren Sinus X > Primtall og divisorer Oppgave Finn fellesnevneren og regn ut. 1 a) b) Euklidalgoritmen Oppgave Bruk euklidalgoritmen og finn største felles divisor for tallene. a) 30 og 45 b) 26 og 90 c) 105 og 147 d) 88 og 220 Oppgave Bruk euklidalgoritmen og finn største felles divisor for tallene. a) 42 og 196 b) 126 og 135 c) 80 og 168 d) 210 og Den omvendte euklidalgoritmen Oppgave Vi har gitt tallene a = 96 og b = 168. a) Finn d = sfd(a, b). b) Bruk euklidalgoritmen omvendt og finn to hele tall x og y slik at 96x + 168y = d Oppgave Vi har gitt tallene a = 135 og b = 324. a) Finn d = sfd(a, b). b) Bruk euklidalgoritmen omvendt og finn to hele tall x og y slik at 135x + 324y = d Oppgave Vi har gitt tallene a = 372 og b = 465. a) Finn d = sfd(a, b). b) Bruk euklidalgoritmen omvendt og finn to hele tall x og y slik at 372x + 465y = d

4 1.7 Diofantiske likninger Oppgave Løs de diofantiske likningene ved hjelp av lommeregneren når x og y er positive hele tall. a) 2x + 3y = 7 b) 5x + 7y = 43 c) 7x + 9y = 83 d) 3x + 5y = 22 Oppgave Løs de diofantiske likningene ved hjelp av lommeregneren når x og y er positive hele tall. a) 5x + 8y = 39 b) 4x + 7y = 45 c) 6x + 5y = 37 d) 7x + 11y = 73 Oppgaver Løs de diofantiske likningene ved hjelp av lommeregneren når x og y er positive hele tall. a) 8x + 9y = 70 b) 5x + 9y = 65 c) 3x + 7y = 42 d) 7x + 3y = 32 Oppgave Lille Grete er i butikken og kjøper boller og brus. Bollene koster 6 kr per stykk, og brusen koster 11 kr per flaske. Til sammen betaler hun 70 kr. Vi antar at Grete kjøper x boller og y flasker med brus. a) Sett opp en diofantisk likning som gir sammenhengen mellom x og y. b) Tegn linja som har likningen i oppgave a, og finn grafisk hvor mange boller og hvor mange flasker brus Grete kjøper. Oppgave I ei skål ligger det både skruer og muttere. En skrue veier 5 g, og en mutter veier 7 g. Det som ligger i skåla, veier til sammen 70 g. a) Det er x skruer og y muttere i skåla. Sett opp en diofantisk likning som gir sammenhengen mellom x og y. b) Tegn linja og finn grafisk hvor mange skruer og hvor mange muttere det er i skåla. KATEGORI Primtallsfaktorisering Oppgave Undersøk hvor mange av tallene 2, 3, 5 og 11 som går opp i tallet, uten bruk av lommeregner. a) 270 b) 759 c) d) Oppgave Primtallsfaktoriser tallene. a) 1323 b) 6006 c) 9317 d) Eratostenes såld Oppgave a) Skriv tallene fra 1 til 100 i spiralform på et ruteark. Begynn med tallet 1 midt på arket og skriv i annenhver rute og på annenhver linje slik som antydet nedenfor b) Sett et kryss over alle primtallene. Ser du noe mønster? 205

5 1.3 Jakten på de store primtallene Oppgave a) Mellom 120 og 130 fins det bare ett primtall. Hvilket? b) Finn det største primtallet under Oppgave a) Finn det minste primtallet p slik at 2p + 1 ikke er et primtall. b) La n være et positivt oddetall. Finn det minste tallet n slik at n 2 2 ikke blir et primtall. Oppgave Den norske matematikeren Viggo Brun ( ) la fram en teori om at summen av den uendelige rekken ( ) + ( ) + ( ) + der (3, 5), (5, 7), (11, 13),, er primtallstvillingene, er lik B = 1, Vi lar a 1 = , a 5 2 = osv. være leddene i rekken ovenfor. Vi lar B n være summen av de n første leddene i rekken. a) Finn B 7. b) Finn den største n slik at B n < 1,42. Oppgave Den kinesiske matematikeren Jing-run Chen viste i 1973 at ethvert helt tall større enn 3 kan skrives på formen p + q r der p, q og r er primtall. Skriv disse tallene på formen p + q r. a) 25 b) 50 c) 90 d) Divisor og multiplum Oppgave Finn største felles divisor for tallene. a) 462 og b) 975 og 4420 c) 595 og d) og Oppgave Finn minste felles multiplum for tallene i oppgave Oppgave Vi har gitt tallene a = 2015 og b = a) Finn sfd(a, b). b) Finn mfm(a, b). Oppgave a) Finn minste felles multiplum for tallene 156 og 198. b) Finn summen av brøkene Oppgave Regn ut. 1 a) b) Oppgave a) Finn minste felles multiplum for tallene 210 og 350. b) Regn ut og forkort svaret mest mulig Euklidalgoritmen Oppgave Bruk euklidalgoritmen og finn største felles divisor for tallene. a) 2604 og 3248 b) 486 og c) og d) og Sinus X > Primtall og divisorer

6 Oppgave Bruk euklidalgoritmen til å finne største felles divisor for tallene. Finn deretter minste felles multiplum. a) 5796 og b) og Den omvendte euklid algoritmen Oppgave Finn den største felles divisoren d for tallene a og b. Finn deretter hele tall x og y slik at ax + by = d a) a = 5390 og b = 7007 b) a = 2695 og b = 6370 c) a = 2457 og b = 4998 Oppgave Finn den største felles divisoren d for tallene a og b. Finn deretter hele tall x og y slik at ax + by = d. a) a = 456 og b = 828 b) a = 459 og b = 663 c) a = 735 og b = Diofantiske likninger Oppgave Løs den diofantiske likningen når x > 0 og y > 0. a) 3x + 11y = 54 b) 4x + 7y = 100 c) 2x + 5y = 52 d) 4x + 7y = 67 Oppgave Forklar hvorfor den rette linja 18x + 15y = 100 aldri kan gå gjennom et punkt med heltallige koordinater. Oppgave På en matematikktest er det gitt noen 4-poengspørsmål og noen 12-poengspørsmål. Svarene er enten riktige eller gale. En elev fikk 298 poeng på testen. Har eleven grunn til å klage? Oppgave a) Finn den generelle løsningen av den diofantiske likningen 8x + 75y = 1200 b) Til oppsetningen av en skolerevy skal det bestilles brus og pizza. En flaske brus koster 8 kr og en pizza 75 kr. Hvor mange brus og hvor mange pizzaer kan en få kjøpt for akkurat 1200 kr? c) En elev mener at det blir for mange brus i forhold til tallet på pizzaer. Han hevder at fordelingen mellom brus og pizza blir bedre hvis de øker kjøpesummen med 100 kr. Regn ut de mulige kombinasjonene av brus og pizza i dette tilfellet. Oppgave Løs den diofantiske likningen. a) 5x + 13y = 89 b) 7x + 11y = 76 c) 5x + 13y = 100 d) 8x + 15y =

7 Oppgave En metallstang er 800 cm lang. Den skal kuttes opp i dellengder på 9 cm og 13 cm. Finn de mulige kombinasjonene av de to dellengdene slik at vi får brukt hele metallstanga. Oppgave Det var en gang en bonde som brukte 100 gullmynter til å kjøpe 100 dyr for. Ei ku kostet 10 gullmynter, en gris kostet 3 gullmynter, og ei høne kostet en halv gullmynt. Bonden kjøpte minst ett av hvert av de tre dyra. Hvor mange kuer, griser og høner kjøpte bonden? BLANDEDE OPPGAVER Oppgave Motebutikken Steikje Fint selger bukser og skjorter. Buksene koster 630 kr per stykk og skjortene 434 kr. a) Finn største felles divisor for tallene 630 og 434 ved hjelp av euklidalgoritmen. b) Finn minste felles multiplum for tallene 630 og 434 ved regning. c) Forklar hvorfor den diofantiske likningen 630x + 434y = har heltallige løsninger. d) En dag selger butikken Steikje Fint bukser og skjorter for kr. Hvor mange bukser og hvor mange skjorter selger butikken den dagen? Oppgave Hva er det minste naturlige tallet n slik at verken 6n + 1 eller 6n 1 er et prim tall? Oppgave Den indiske astronomen Brahmagupta (født 598) utviklet en metode for å løse lineære diofantiske likninger. Metoden bygger på euklidalgoritmen og er veldig lik vår egen metode. Finn den minste positive løsningen av denne likningen fra Brahmaguptas skrifter: 137x + 10 = 60y Oppgave a) Forklar hva vi mener med et primtall. b) Finn største felles divisor for tallene 228 og 306 ved hjelp av primtallsfaktorisering. c) Finn største felles divisor for tallene 228 og 306 ved hjelp av euklidalgoritmen. d) Finn minste felles multiplum for tallene 228 og 306. e) Noen ungdommer er på båttur. En vanlig billett koster 306 kr. Studenter får rabatt og betaler 228 kr. Til sammen betaler disse ungdommene 2898 kr. Bruk blant annet det du gjorde i opp gave c, til å finne ut hvor mange studenter som var med på turen, og hvor mange ungdommer det var til sammen. Oppgave Løs den diofantiske likningen når x > 0 og y > 0. a) 23x + 41y = 402 b) 17x + 32y = 411 c) 25x + 42y = 687 d) 53x + 69y = Sinus X > Primtall og divisorer

8 Oppgave a) Forklar, uten å regne, hvorfor den diofantiske likningen 12x 15y = 34 ikke har heltallige løsninger. b) 1) Forklar hvorfor den diofantiske likningen 11x + 23y = 123 har heltallige løsninger. 2) Finn den generelle løsningen av likningen i oppgave b1. Oppgave Knut eier en sportsforretning. Han kjøper inn et parti joggesko av typene A og B. Type A koster 185 kr og type B 505 kr. Hele partiet koster til sammen kr. Hvor mange av hver type kjøper han inn? Oppgave Løs den diofantiske likningen. a) 5x + 12y = 134 b) 3x + 13y = 127 c) 9x + 11y = 201 d) 13x + 15y = 274 Oppgave a) Finn største felles divisor for tallene 234 og 264 ved hjelp av primtallsfaktorisering. b) Finn største felles divisor for tallene 234 og 264 ved hjelp av euklidalgoritmen. c) Finn minste felles multiplum for tallene 234 og 264. d) Finn summen uten å bruke lommeregneren. Forkort svaret ved regning. e) Hvorfor har den diofantiske likningen 234x 264y = 54 heltallige løsninger? f) Heidi og Arne bor på hybel og tar noen ganger toget hjem i helgene. Heidi betaler 234 kr for en tur-returbillett, og Arne betaler 264 kr for en tilsvarende billett. I løpet av et halvår betalte Heidi 54 kr mer enn Arne for hjemreisene med toget. Hvor mange ganger reiste hver av dem hjem med toget dette halvåret? Bruk blant annet euklidalgoritmen når du løser oppgaven. Oppgave a) På hvor mange måter kan du skrive 42 som summen av to primtall? b) Undersøk om det fins noen primtall mellom 200 og 210. Oppgave a) Et helt tall kalles perfekt hvis summen av alle divisorene mindre enn tallet er lik tallet. 1) Vis at 6 er et perfekt tall. 2) Finn det neste perfekte tallet etter 6. b) Et helt tall kalles multiplikativt perfekt hvis produktet av alle divisorene mindre enn tallet er lik tallet. 1) Vis at 6 er multiplikativt perfekt. 2) Kan du finne flere multiplikativt perfekte tall? 3) La n være et postivt heltall og p et primtall. Vis at hvis n = p 3 så er n et multiplikativt perfekt heltall. Oppgave Differansen mellom to positive hele tall a og b er 6. Dessuten er sfd(a, b) = 6 og mfm(a, b) = Finn tallene. 209

9 Oppgave Vi har to tall a og b, der 2 < a < b. Dessuten er sfd(a, b) = 2 og mfm(a, b) = 70. Finn tallene a og b. Oppgave Fra arbeidene i matematikk til den indiske astronomen Brahmagupta (født 598) har vi følgende problem: Det er gitt at sola gjør 30 omdreininger rundt jorda på dager. Hvor mange hele dager har det gått (fra sola var i et gitt startpunkt) når sola har gjort et helt antall omdreininger pluss 8080/ av én omdreining? Vi lar y være det ukjente antallet dager og x antallet hele omdreininger. Når 30 omdreininger tar dager, vil én omdreining ta /30 dager. a) Forklar at 8080 y = ( x ) 30 b) Omform likningen til en lineær diofantisk likning og løs den. Oppgave Pierre de Fermat fattet interesse for såkalte vennskapstall. Det er par av tall som er slik at hvert tall er summen av divisorene til det andre tallet. Pytagoreerne hadde 2000 år tidligere oppdaget at 220 og 284 er vennskapstall. Divisorene til 220 er 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 og 110, og summen av alle disse er 284. Divisorene til 284 er 1, 2, 4, 71 og 142, og summen av disse er 220. Tallparet 220 og 284 ble oppfattet som symboler på vennskap. I middelalderen ble det solgt talismaner der disse tallene var inngravert. Å bære en slik talisman skulle fremme kjærligheten. I 1686 oppdaget Fermat vennskapstallene og Andre matematikere fulgte opp med nye og større vennskapstall, men de overså vennskapstallene 1184 og Disse vennskapstallene ble først oppdaget i 1866 av den 16-årige italieneren Nicolò Paganini. Kontroller at 1184 og 1210 er vennskapstall. 210 Sinus X > Primtall og divisorer

10 FASIT oppgavedel a) Primtall b) Primtall c) Ikke primtall a) 3 går ikke opp b) 3 går opp c) 3 går ikke opp d) 3 går opp a) 11 går opp b) 11 går ikke opp c) 11 går opp d) 11 går opp a) b) c) d) a) Primtall b) Primtall c) Sammensatt d) Sammensatt a) (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43) a) 211 b) a) 15 b) Omtrent 13 c) Ja a) b) Ikke primtall ( = ) a) 6 b) 21 c) 18 d) a) 120 b) 180 c) 3150 d) a) 42 b) 882 c) a) 90 b) 900 c) a) 5148 b) a) 15 b) 2 c) 21 d) a) 14 b) 9 c) 8 d) a) 24 b) x = 2 og y = a) 27 b) x = 5 og y = a) 93 b) x = 1 og y = a) x = 2 og y = 1 b) x = 3 og y = 4 c) x = 8 og y = 3 d) x = 4 og y = a) x = 3 og y = 3 b) x = 6 og y = 3 c) x = 2 og y = 5 d) x = 1 og y = a) x = 2 og y = 6 b) x = 4 og y = 5 c) x = 7 og y = 3 d) x = 2 og y = 6 1,173 a) 6x + 11y = 70 b) 8 boller og 2 brus a) 5x + 7y = 70 b) 7 skruer og 5 muttere a) 2, 3 og 5 b) 3 og 11 c) 2, 3, 5 og 11 d) a) b) c) d) a) 127 b) a) 7 b) a) 1, b) a) 25 = b) 50 = a) 42 b) 65 c) 35 d) a) b) c) d) a) 31 b) a) 5148 b) a) 252 b) a) 1050 b) a) 28 b) 54 c) 2431 d) a) 84, c) , a) 539, x = 4 og y = 3 b) 245, x = 7 og y = 3 c) 21, x = 59 og y =

11 1.261 a) 12, x = 20 og y = 11 b) 51, x = 3 og y = 2 c) 105, x = 3 og y = a) x = 7 og y = 3 b) (x, y) = (18, 4), (11, 8) eller (4, 12) c) (x, y) = (1, 10), (6, 8), (11, 6), (16, 4) eller (21, 2) d) (x, y) = (15, 1), (8, 5) eller (1, 9) a) x = 10 13n y = 8 + 5n, der n er et helt tall b) x = 3 11n y = 5 + 7n, der n er et helt tall c) x = 7 13n y = 5 + 5n, der n er et helt tall d) x = 10 15n y = 3 + 8n, der n er et helt tall sfd(18, 15) = 3 går ikke opp i Ja, sfd(4, 12) = 4 går ikke opp i 298. Likningen 4x + 12y = 298 har derfor ikke heltallige løsninger a) x = n y = n, der n er et helt tall b) 75 brus og 8 pizzaer c) 50 brus og 12 pizzaer eller 125 brus og 4 pizzaer cm cm kuer, 1 gris og 94 høner a) 14 b) d) 11 bukser og 13 skjorter a) x = 5 og y = 7 b) x = 11 og y = 7 c) x = 9 og y = 11 d) x = 5 og y = n = x = 10, y = b) 6 c) 6 d) e) Det er 6 studenter og til sammen 11 ungdommer a) sfd(12, 15) = 3 går ikke opp i 34. b) 1) Fordi sfd(11, 23) = 1 går opp i 123 2) x = 7 23n y = n Type A: 65, type B: a) x = 10 12n y = 7 + 5n b) x = 12 13n y = 7 + 3n c) x = 4 11n y = n d) x = 13 15n y = n a) 6 b) 6 c) d) e) Største felles divisor for 234 og 264 går opp i 54. f) Heidi reiste 7 ganger og Arne 6 ganger a) 4 (5 + 37, , , ) b) Ingen primtall a) 1) 6 = ) 15 = b) 1) 6 = ) 8 og og og b) x = 2 + 3n y = n a) Kongruente b) Inkongruente c) Kongruente a) Riktig b) Riktig c) Gal d) Riktig d) Er feil a) a) x 3 (mod 5) b) x = a) 5 og 1 b) 5 c) 1 d) a) 2 og 3 b) 6 c) 5 d) a) 2) 1 b) 2) a) 0 b) 3 c) 2 d) a) 1 b) 4 c) 1 d) a) 1 b) 2 c) 2 d) a) 1) 13 2) 2 b) 1) 3 2) a) y = 0 b) x = a) Har løsning b) Har løsning c) Har ikke løsning a) Har løsning b) Har ikke løsning c) Har løsning 267