Koder. Kristian Ranestad. 8. Mars 2005
|
|
- Eskil Haraldsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 i kryptering 8. Mars 2005
2 i kryptering i kryptering
3 i kryptering En hemmelig melding Kari sender til Ole den hemmelige meldingen: J MPWF V siden responsen er litt treg prøver hun påny med: U EVOL I Nå kommer svaret raskere...
4 Klartekst i kryptering Meldingen er selvsagt I LOVE U De to eksemplene viser to prinsipper for koding, nemlig substitusjon og permutasjon.
5 substitusjon i kryptering Substitusjon erstatter bokstavene med andre bokstaver eller tegn. Hvis E,I,L,O,U,V erstattes med %,+,=,*,@,& vil den kodete meldingen bli +=*&%@
6 permutasjon i kryptering Permutasjon går ut på å bytte om på rekkefølgen på bokstavene, for eksempel å lese baklengs U EVOL I eller E VULI O
7 Koding med tall i kryptering I praksis brukes både substitusjon og permutasjon. Substitusjon: bokstaver tall. Permutasjon: bytter om tall.
8 ASCII i kryptering Datamaskiner bruker ASCII koden: a A &
9 Kodenøkkel i kryptering Vi skal holde oss til de 6 bokstavene som vi substituerer EILOUV E I L O U V Denne substitusjonstabellen kaller vi en kodenøkkel
10 Kodet melding i kryptering Meldingen I LOVE U blir med denne kodenøkkelen kodet til
11 i kryptering snøkkelen For å gjøre meldingen hemmelig koder vi en gang til med permutasjonen Denne kalles krypteringsnøkkelen
12 i kryptering Dekrypteringsnøkkelen Permutasjonen bytter 1 med 6, 2 med 4, o.s.v. Den omvendte permutasjonen bytter tilbake og kalles derfor dekrypteringsnøkkelen.
13 i kryptering sprosedyre MELDING: KODENØKKEL (ÅPEN): I LOVE U E I L O U V KODET MELDING:
14 i kryptering KODET MELDING: KRYPTERINGSNØKKEL (HEMMELIG): KRYPTERT MELDING:
15 i kryptering Dekrypteringsprosedyre KRYPTERT MELDING: DEKRYPTERINGSNØKKEL (HEMMELIG): DEKRYPTERT MELDING:
16 i kryptering Dekoding DEKRYPTERT MELDING: DEKODENØKKEL (ÅPEN): E I L O U V DEKODET MELDING: I LOVE U
17 Problem i kryptering snøkkelen kan lett bli lange og vanskelige å huske. Vi trenger metoder til å lage gode permutasjoner som er lettere å huske. Til dette kan vi bruke moduloregning eller kongruensregning, som vi skal komme tilbake til.
18 i kryptering Feilretting av data I overføring av data oppstår det feil. Hvis dataene er kodet med en feilrettingskode kan mottakeren korrigere feilene. Slik får vi gode data (TV-bilder og god lyd) likevel.
19 Strekkode i kryptering Strekkodene på varer i butikken er feilrettingskoder.
20 Feilrettingskode i kryptering En feilrettingskode er en kodenøkkel som er slik at det er mulig å oppdage feil i den kodete meldingen uten at en kjenner den opprinnelige meldingen.
21 Eksempel i kryptering Med alfabetet EILOUV og kodenøkkelen blir meldingen kodet til E I L O U V I LOVE U
22 i kryptering Oppdaget feil Dersom den mottatte meldingen er ser mottakeren at det er oppstått en feil i den andre bokstaven i meldingen (det skulle ha vært 22 eller 33, altså en I eller en L).
23 i kryptering Strekkoden Strekkoden. Strekkodene oppdager feil, når den ikke får kodene til å passe med listen av kodete varer. To strekkoder er alltid forkjellige på minst to plasser for at feil på en plass skal oppdages.
24 Eksempler i kryptering ISBN-numre og fødselsnumre er også kodet med en feilrettingskode.
25 i kryptering Regning modulo t La t være et naturlig tall. Dersom vi deler et helt tall med t, har vi t mulige rester: 0, 1, 2,, t 1. Vi kan regne med tallene 0, 1, 2,, t 1 ved bare å bruke disse restene. Det vil si at hver gang vi har to av disse tallene kan vi legge dem sammen eller multiplisere dem og få et nytt tall, nemlig ved først å addere eller multiplisere på vanlig måte og så ta resten etter divisjon med t. Denne regningen med tallene 0, 1, 2,, t 1 kaller vi kongruensregning eller regning modulo t.
26 Kongruens i kryptering To tall a og b har samme rest modulo t hvis og bare hvis differansen a b er delelig med t. I så fall sier vi at de to tallene a og b er kongruente modulo t og skriver a b modt. Derfor kalles også den regningen vi har beskrevet kongruensregning.
27 i kryptering Regning modulo 2 partall + partall = partall, oddetall + oddetall = partall partall + oddetall = oddetall Addisjonstabellen og multiplikasjontabell modulo 2:
28 i kryptering Regning modulo 3 Addisjonstabellen og multiplikasjonstabell modulo 3:
29 modulo 7 i kryptering Multiplikasjon med 5 modulo 7 blir: modulo 7 fordi 15 : 7 gir 2 med rest 1.
30 i kryptering modulo 7 Muliplikasjon med 5 modulo 7 gir en permutasjon: , mens multiplikasjon med 3 gir den omvendte permutasjonen Hvorfor?
31 invers modulo 7 i kryptering Hvis jeg starter med et tall x og multipliserer det først med 5 og deretter med 3 modulo 7 får jeg x 5 3 = x (5 3) x 1 = x modulo 7. Det vil si at hvis jeg først krypterer ved å multiplisere med 5, så kan jeg dekryptere med å multiplisere med 3 modulo 7.
32 Lett å knekke i kryptering Multiplikasjon modulo 7 er lettere enn å huske en lange permutasjoner, men siden dekrypteringsnøkkelen er av samme type så er disse krypteringsnøklene er ikke særlig sikre.
33 Potenser i kryptering Litt sikrere krypteringsnøkler får en ved å ta potenser. I vårt eksempel tar vi potenser modulo 7: x x Dekrypteringsnøkkelen er ikke av samme type. En må rett og slett skrive opp den omvendte permutasjonen
34 RSA og AES i kryptering De mest brukte krypteringsoppskriftene som brukes idag er RSA og AES. RSA bruker potenser modulo store tall som er produkt av to primtall som krypteringsnøkkel. AES er laget i Belgia og bruker litt mer avansert algebra i en effektive og sikker krypteringsalgoritme.
35 ISBN-koden i kryptering Alle bøker klassifiseres med ISBN-koden (International Standard Book Number). Denne koden består av et 10-sifret tall representert i 11-tallsystemet. La oss kalle sifrene x 1 x 2... x 10. Da er sifrene i en ISBN-kode alltid slik at x 1 + 2x 2 + 3x x 10 0 (11). Denne ligningen kalles kontrolligningen, og brukes til å kontrollere om et 10-sifret tall i 11-tallsystemet er et ISBN-tall. Kontrolligningen oppdager feil i en posisjon, og korrigere feilen! Den oppdager også om to sifre er byttet om!
36 i kryptering Norske personnummer I Norge har vi et personnummersystem som i ulik sammenheng blir brukt til å identifisere personer. Når vi blir født, får vi tildelt et 11-sifret tall. De seks første sifrene er fødselsdatoen. De neste tre er vårt personlige nummer, som skal skille mennesker født på samme dato. De siste to sifrene er kontrollsifre.
37 Kontrolligningen i kryptering Dersom de første ni sifrene er x 1 x 2... x 9, så er de tiende sifferet x 10 8x 1 +4x 2 +5x 3 +10x 4 +3x 5 +2x 6 +7x 7 +6x 8 +9x 9 (11) mens det ellevte sifferet er bestemt ved x 11 6x 1 +7x 2 +8x 3 +9x 4 +4x 5 +5x 6 +6x 7 +7x 8 +8x 9 +9x 10 (11)
38 Les videre i i kryptering 1. B. Johnsen: Kryptografi - en gammel disiplin med moderne anvendelser, i Per Hag & Ben Johnsen (red.): Fra Matematikkens Spennende Verden, Tapir, 1993, Jacobus H. van Lint: Kompaktskivans matematik, Normat, 48 (2000), L. Nilsen: Modulære kvadratrøtter og moderne kryptologi, Normat, 40 (1992), K. Ranestad: i klasseromet, 5. S. Singh:, Aschehoug 2000
Kryptering Kongruensregning Kongruensregning i kryptering Litteratur. Hemmelige koder. Kristian Ranestad. 9. Mars 2006
i kryptering 9. Mars 2006 i kryptering i kryptering i kryptering En hemmelig melding Kari sender til Ole den hemmelige meldingen: J MPWF V siden responsen er litt treg prøver hun påny med: U EVOL I Nå
DetaljerKODER I KLASSEROMMET
KODER I KLASSEROMMET Kristian Ranestad 28.02.2001 Dette heftet er utarbeidet til klasseromsprosjektet ved Matematisk institutt, UiO. I dette prosjektet inngår det halvdags kurs for lærere i forskjellige
DetaljerKAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER
KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette
DetaljerRelativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
DetaljerSTØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går
STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den
DetaljerEksempler på praktisk bruk av modulo-regning.
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se http://www.cs.hioa.no/~evav/dm/emner/modulo1.pdf Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = 7358. Tverrsummen til a er
DetaljerOversikt over kryptografi
Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen
DetaljerStørste felles divisor. (eng: greatest common divisors)
Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.
DetaljerKryptografi, del 2. Aslak Bakke Buan, Ole Enge
Aslak Bakke Buan, Ole Enge Kryptografi, del 2 Offentlig-nøkkel kryptografi Anta du vil handle på internett og blir bedt om å oppgi kredittkortnummeret ditt. Du stoler kanskje på at nettstedet du vil handle
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi
DetaljerForelesningsnotater SIF 5021 Algebra og tallteori V-02. Et kort innføring med eksempler fra kodeteori
Forelesningsnotater SIF 5021 Algebra og tallteori V-02. Et kort innføring med eksempler fra kodeteori Sverre O. Smalø I forbindelse med elektronisk digital kommunikasjon vil kommunikasjonskanalen av og
DetaljerLøsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015
Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2016
Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :
Detaljer1. Cæsarchiffer er en av de enkleste krypteringsteknikkene. Hva går teknikken ut på?
Prøve i kryptografi Navn: Karakter: Poeng: /30 Lykke til! Hjelpemidler: Viskelær og skrivesaker Teknologi i praksis, fre. 23. september Del 1 Flervalgsoppgaver Sett ring rundt alternativ A, B, C eller
DetaljerKapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235
Kapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235 Oppgave 2 Skriv tallene med sifre a To hundrere, en tier, fem enere og
Detaljer1. Krypteringsteknikker
Krypteringsteknikker Olav Skundberg Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget 1. Krypteringsteknikker 1.1. Fire formål med sikker kommunikasjon Aller først, pålitelig
DetaljerTeorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.
Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det
DetaljerOppgaver til kapittel 19 - Kryptering og steganografi
Oppgaver til kapittel 19 - Kryptering og steganografi Oppgave 1 - Cæsars kode (plenum) I symmetrisk kryptering brukes samme nøkkel både for å kryptere og dekryptere. Avhengig av hvordan nøkkelen utformes
DetaljerINF1040 Oppgavesett 14: Kryptering og steganografi
INF1040 Oppgavesett 14: Kryptering og steganografi (Kapittel 19) Husk: De viktigste oppgavetypene i oppgavesettet er Tenk selv - og Prøv selv - oppgavene. Fasitoppgaver 1. Krypter følgende strenger ved
DetaljerHash-funksjoner. Introduksjon. Steg 1: Strekkoder. Eksempel. Skrevet av: Martin Strand
Hash-funksjoner Skrevet av: Martin Strand Kurs: Python Tema: Tekstbasert, Kryptografi Fag: Matematikk, Programmering Klassetrinn: 8.-10. klasse, Videregående skole Introduksjon Tidligere har vi sett hvordan
DetaljerKryptografi og nettverkssikkerhet
Kryptografi og nettverkssikkerhet Kapittel : Blokkchiffere og DES (the Data Encryption Standard) Moderne symmetrisk kryptografi Skal se på moderne blokkchiffere, en av de mest brukte kryptoalgoritmene.
DetaljerKryptografi og nettverkssikkerhet
Kryptografi og nettverkssikkerhet Kapittel : Blokkchiffere og DES (the Data Encryption Standard) Moderne symmetrisk kryptografi Skal se på moderne blokkchiffere, en av de mest brukte kryptoalgoritmene.
DetaljerLøsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
DetaljerSikkerhet i GSM mobilteleforsystem
Sikkerhet i GSM mobilteleforsystem Sikkerhet i GSM mobilteleforsystem... 1 En enkel krypteringsmetode... 1 Oversikt over GSM... 2 Autentisering av telefon og SIM-kort... 3 IMEI og sjekksum... 3 IMSI og
DetaljerKryptogra og elliptiske kurver
Kryptogra og elliptiske kurver Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo Gjesteforelesning, 7. november 2007 Eivind Eriksen (Høgskolen i Oslo) Kryptogra og elliptiske kurver 1 / 23 Plan: 1 Generelt om kryptogra
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator
Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet
DetaljerForberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
DetaljerForelesning 24 mandag den 10. november
Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av
DetaljerØvingsforelesning 4. Modulo hva er nå det for no? TMA4140 Diskret Matematikk. 24. og 26. september 2018
Modulo hva er nå det for no? Øvingsforelesning 4 TMA4140 Diskret Matematikk 24. og 26. september 2018 Dagen i dag Repetere den euklidske algoritmen, kongruensregning og annet underveis H11.3a: Inverser
DetaljerTall. Posisjons-tallsystemer. Representasjon av heltall. Tall positive, negative heltall, flytende tall. Tekst ASCII, UNICODE XML, CSS
Tall jfr. Cyganski & Orr 3..3, 3..5 se også http://courses.cs.vt.edu/~csonline/numbersystems/lessons/index.html Tekst ASCII, UNICODE XML, CSS Konverteringsrutiner Tall positive, negative heltall, flytende
Detaljer6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...
Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19
DetaljerSteg 1: Regneoperasjoner på en klokke
Diffie-Hellman nøkkelutveksling Skrevet av: Martin Strand Kurs: Python Tema: Tekstbasert, Kryptografi Fag: Matematikk, Programmering Klassetrinn: 8.-10. klasse, Videregående skole Introduksjon Du har tidligere
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator
Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator... 1 Enkel kalkulator... 2 Regneuttrykk uten parenteser... 2 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 2 Negative tall... 3 Regneuttrykk
DetaljerÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17
ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17 Uke Tema Læringsmål Lærestoff Metoder 34 36 God start Kunne avgjøre hvilken nevner brøken har ut fra oppdeling av helheten Kunne avgjøre hvilken brøk som er størst ut
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018 Seksjon 4.1 6 Dersom a c og b d, betyr dette at det eksisterer heltall s og t slik at c
DetaljerProsesslogg Hvordan klassen kom frem til problemstillingen November 2005 Desember 2005 Hvordan brukes kryptering.
Samfundets Skole Kristiansand april 2006 Prosesslogg Hvordan klassen kom frem til problemstillingen November 2005 På høsten brukte vi mye tid for å komme frem til en god problemformulering. Vi startet
DetaljerÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2017/18
ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2017/18 Uke Tema Læringsmål Lærestoff Metoder 34 36 God start Kunne avgjøre hvilken nevner brøken har ut fra oppdeling av helheten. Kunne avgjøre hvilken brøk som er størst
DetaljerOversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler
Oversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Heltallet er et primtall. Er 11799 en kvadratisk rest modulo? Hvordan løse oppgaven? Oversett først
DetaljerKonvertering mellom tallsystemer
Konvertering mellom tallsystemer Hans Petter Taugbøl Kragset hpkragse@ifi.uio.no November 2014 1 Introduksjon Dette dokumentet er ment som en referanse for konvertering mellom det desimale, det binære,
DetaljerForelesning 2: Kryptografi
Universitetet i Oslo IN2120 Informasjonssikkerhet Høst 2019 Workshop-oppgaver med løsningsforslag Forelesning 2: Kryptografi Oppgave 1 a. For hvilke informasjonstilstander (lagring, overføring, behandling)
DetaljerRapportering fra SATS til VIGO ved Iris Wishman 3. februar 2011
Rapportering fra SATS til VIGO ved Iris Wishman 3. februar 2011 Hva må finnes i sentrale tabeller? (Gjøres av fylkesansvarlig) Sentral informasjon -> Skoler Fagskolene egne skolenumre Fagskolene skal ha
DetaljerTall Vi på vindusrekka
Tall Vi på vindusrekka Tall og siffer... 2 Dekadiske enheter... 3 Store tall... 4 Avrunding... 5 Tverrsum... 8 Partall og oddetall... 9 Primtall... 10 Sammensatte tall... 11 Faktorisering... 13 Negative
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver
DetaljerRegning med tall og bokstaver
Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger
DetaljerMAT Notat om RSA-kryptografi
MAT4000 - Notat om RSA-kryptografi Erik Bédos Vår 2008 Abstract Dette notatet er et tillegg til heftet i elementær tallteori. Det omhandler anvendelser av tallteorien i kryptografi, med spesiell vekt på
DetaljerDette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0
Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,
DetaljerMAT1030 Forelesning 2
MAT1030 Forelesning 2 Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Dag Normann - 20. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-20 12:31) Kapittel 1: Algoritmer (fortsettelse) Kontrollstrukturer I går innførte vi
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel
DetaljerPlassere positive og negative tall på tallinjen KOPIERINGSORIGINAL 2.1. Navn: KAPITTEL 2 Tall og tallforståelse. Oppgave 4a. Oppgave 4b.
KOPIERINGSORIGINAL 2.1 KAPITTEL 2 Tall og tallforståelse Plassere positive og negative tall på tallinjen Navn: Oppgave 4a 0 1 Oppgave 4b 40 0 40 Oppgave 4c 20 0 20 Oppgave 5a 6 3 0 1 4 Oppgave 5b 2 1 0
DetaljerOppsummering av Uke 3. MAT1030 Diskret matematikk. Binære tall. Oppsummering av Uke 3
Oppsummering av Uke 3 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 3: Mer om representasjon av tall Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. januar 2008 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01
DetaljerNorsk informatikkolympiade runde
Norsk informatikkolympiade 2016 2017 1. runde Sponset av Uke 46, 2016 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.
DetaljerOversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger
Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne
Detaljerb) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden
Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)
DetaljerTo nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner
To nyttige begreper Det er to begreper fra mengdelæren som til stadighet vil bli brukt i dette kurset, og som vi av erfaring vet kan være tungt fordøyelig for endel studender. For å få en skikkelig forståelse
DetaljerVi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler.
196 FAKTA De naturlige tallene bestôr av ett eller ere sifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...Alle de hele positive tallene kaller vi naturlige tall, og tallmengden kaller vi N. NÔr vi tar med 0 og
DetaljerForelesning 2: Kryptografi
Universitetet i Oslo IN2120 Informasjonssikkerhet Høst 2018 Workshop-spørsmål med svarforslag Forelesning 2: Kryptografi Spørsmål 1 a. For hvilke informasjonstilstander (lagring, overføring, behandling)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1000 Grunnkurs i objektorientert programmering Eksamensdag: 11. juni 2004 Tid for eksamen: 9.00 12.00 Oppgavesettet er på 8
DetaljerElevene skal opparbeide ferdigheter i å kunne lese, formidle emner og ideer hvor det er naturlig å bruke matematikkens språk og symboler.
GRUPPEOPPGAVER L97 Elevene skal opparbeide ferdigheter i å kunne lese, formidle emner og ideer hvor det er naturlig å bruke matematikkens språk og symboler. Muntlig matematikk kombinert med praktisk begrep-
Detaljer1.8 Binære tall EKSEMPEL
1.8 Binære tall Når vi regner, bruker vi titallssystemet. Hvordan det virker, finner vi ut ved å se på for eksempel tallet 2347. 2347 = 2 1000 + 3 100 + 4 10 + 7 Hvis vi bruker potenser, får vi 2347 =
DetaljerINF100/INF100-F - INNLEVERING 2 HØSTEN 2005
INF100/INF100-F - INNLEVERING 2 HØSTEN 2005 Krav til innlevering For at innleveringen skal godkjennes må følgende leveres: Oversikt Et dokument som inneholder en oversikt over innleveringen. Den skal inneholde
DetaljerMer om representasjon av tall
Forelesning 3 Mer om representasjon av tall Dag Normann - 21. januar 2008 Oppsummering av Uke 3 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01 diskuterte vi hva som menes med en algoritme, og vi så på pseudokoder
DetaljerMagisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Magisk Matematikk er et skoleprogram som tar utgangspunkt i «magiske» talltriks i plenum som dere kan jobbe videre
DetaljerTema. Beskrivelse. Husk!
Dette er ment som en hjelpeoversikt når du bruker boka til å repetisjon. Bruk Sammendrag etter hvert kapittel som hjelp. Verktøykassen fra side 272 i boka er og til stor hjelp for repetisjon til terminprøve.
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator for elever
Verktøyopplæring i kalkulator for elever Innholdsfortegnelse Enkel kalkulator... 2 Kalkulator med brøk og parenteser... 7 GeoGebra som kalkulator... 11 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1 Enkel kalkulator
DetaljerOFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI
OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI S. O. SMALØ Abstract. I dette notatet, som skal inngå som pensum i etterog viderutdanningskurs i datasikkerhet, vil vi gi en kort innføring i oentlig-nøkkel-kryptogra med illustrasjoner
DetaljerHusk at løsningsforslag er bare forslag, og at det går an å tenke og løse oppgavene på mange ulike måter. Det er imidlertid kun ett riktig svar.
Fasit med tips og kommentarer Julekalender 2018. 5. -7. trinn Nivå 1 og nivå 2. De letteste oppgavene kommer først. Alle oppgavene egner seg for samarbeid der elevene diskuterer egne løsningsforslag. Tips
DetaljerNorsk informatikkolympiade runde. Sponset av. Uke 46, 2016
Norsk informatikkolympiade 2016 2017 1. runde Sponset av Uke 46, 2016 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.
DetaljerEuklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )
For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s
DetaljerMTÆRVGT. Den romerske feltherren SLIK VIRKER
SLIK VIRKER MTÆRVGT KRYPTE Du bruker kryptering til daglig, kanskje uten å være klar over det. Hvis det ikke var for krypteringen, ville hvem som helst kunne få tilgang til dine private filer og kredittkortinformasjon.
DetaljerReelle tall på datamaskin
Reelle tall på datamaskin Knut Mørken 5. september 2007 1 Innledning Tirsdag 4/9 var tema for forelesningen hvordan reelle tall representeres på datamaskin og noen konsekvenser av dette, særlig med tanke
DetaljerPotenser og tallsystemer
1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger gjøre rede
Detaljer2.3 Delelighetsregler
2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne
DetaljerEmnenavn: Ny, utsatt eksamen. Eksamenstid: Faglærere: Monica Nordbakke. Marianne Maugesten
EKSAMEN Emnekode: LMUMAT10117 Emnenavn: MAT101: Tall, algebra og funksjoner 1 (5-10) Ny, utsatt eksamen Dato: 14.06.2018 Eksamenstid: 9.00 15.00 Hjelpemidler: Kalkulator (ikke grafisk) Faglærere: Monica
DetaljerPotenser og tallsystemer
8 1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammen henger gjøre rede
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel
DetaljerSENSORVEILEDNING. Emnekode: LSV1MAT12 V1. Emnenavn: Tall og algebra, funksjoner 1 ( trinn) 6 timers individuell skriftlig eksamen.
SENSORVEILEDNING Emnekode: LSV1MAT1 V1 Emnenavn: Tall og algebra, funksjoner 1 (5.-10. trinn) Eksamensform: 6 timers individuell skriftlig eksamen. Dato: 18.1.018 Faglærer(e): Ali Reza Ludvigsen Eventuelt:
DetaljerModulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.
Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)
DetaljerDatasikkerhet. Datasikkerhet. Trusler mot sikkerheten. Kampen mellom det gode og det onde. Datasikkerhet dreier seg om
Datasikkerhet Datasikkerhet dreier seg om At dataene er tilgjengelige for rette vedkommende (Tilgjengelighet) Datasikkerhet At dataene er utilgjengelig for uvedkommende (Konfidensialitet) At dataene er
DetaljerTALL. Titallsystemet et posisjonssystem. Konvertering: Titallsystemet binære tall. Det binære tallsystemet. Alternativ 1.
TALL Dagens plan: Tallsystemer (kapittel 6) Titallsystemet Det binære tallsystemet Det heksadesimale tallsystemet Representasjon av tall (kapittel 7) Heltall Negative tall Reelle tall Gray-kode (les selv!)
DetaljerPosisjonsystemet FRA A TIL Å
Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet
DetaljerNiels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................
DetaljerRealfagsglede VG2 80 minutter
Lærerveiledning: Passer for: Varighet: Realfagsglede VG2 80 minutter INSPIRIA science center: Bjørnstadveien 16, 1712 GRÅLUM Telefon: 03245/ 69 13 93 00 E-post: post@inspiria.no www.inspiria.no «Realfagsglede»
DetaljerINF1040 Digital representasjon TALL
TALL Dagens plan: Tallsystemer (kapittel 6) Titallsystemet Det binære tallsystemet Det heksadesimale tallsystemet Representasjon av tall (kapittel 7) Heltall Negative tall Reelle tall Gray-kode (les selv!)
DetaljerADDISJON FRA A TIL Å
ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. LSVIMAT12 Matematikk 1, V 1: Tall og algebra. funksjoner 1. Dato: 16. desember Eksamenstid: kl til kl 15.
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LSVIMAT12 Matematikk 1, V 1: Tall og algebra. funksjoner 1 Dato: 16. desember Eksamenstid: kl 09.00 til kl 15.00 2015 Hjelpemidler: Faglærer: Khaled Jemai Kalkulator
DetaljerFasit og løsningsforslag til Julekalenderen for ungdomstrinnet
Fasit og løsningsforslag til Julekalenderen for ungdomstrinnet 0.: Svaret er Hvert kutt kan maksimalt skjære hvert av de andre kuttene gang. Ett kutt går gjennom ett område mer enn antall kutt det skjærer.
DetaljerKvantekryptografi. Hva er kryptografi? Symmetrisk kryptografi
Kvantekryptografi Lars Lydersen og Johannes Skaar Institutt for elektronikk og telekommunikasjon, NTNU, og Universitetssenteret på Kjeller (UNIK). 26. mai 2014 Kvantekryptografi er kunsten å kommunisere
DetaljerLæringstrapp tall og plassverdisystemet
Læringstrapp tall og plassverdisystemet 4. Bruke enkle brøker som 1/2, 1 /4, 1 /3, 1 /6, 1 /8, 1 /10 og enkle desimaltall som 0,5, 0,25, 0,75, og 0,1 i praktiske sammenhenger. Gjenkjenne partall, oddetall,
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm Monica Nordbakke Marianne Maugesten
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LUMAT10115 Tall, algebra og funksjoner 1 Dato: 16.12.2015 Eksamenstid: kl. 9 til k1.15 Hjelpemidler: Faglærere: Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING
SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING INNHOLD TALL OG TALLREGNING... 2 PLASSVERDISYSTEMET... 2 PLASSERING PÅ TALLINJE... 2 UTVIDET FORM... 3 REGNESTRATEGIER... 3 DELELIGHETSREGLER... 3 SKRIFTLIG REGNING... 4
DetaljerPersonnummerering i Norge: Litt anvendt kodeteori og økonomi
Personnummerering i Norge: Litt anvendt kodeteori og økonomi Tor Helleseth (1) og Øyvind Ytrehus (1,2) (1) Selmersenteret, Institutt for informatikk, Universitetet Bergen (2) Simula Research Lab Email:
DetaljerForelesning 21 torsdag den 30. oktober
Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig
DetaljerINF1000 (Uke 15) Eksamen V 04
INF1000 (Uke 15) Eksamen V 04 Grunnkurs i programmering Institutt for Informatikk Universitetet i Oslo Anja Bråthen Kristoffersen og Are Magnus Bruaset 22-05-2006 2 22-05-2006 3 22-05-2006 4 Oppgave 1a
DetaljerINF1000 (Uke 15) Eksamen V 04
INF1000 (Uke 15) Eksamen V 04 Grunnkurs i programmering Institutt for Informatikk Universitetet i Oslo Anja Bråthen Kristoffersen og Are Magnus Bruaset 22-05-2006 2 22-05-2006 3 22-05-2006 4 Oppgave 1a
DetaljerInnlevering til Årets Nysgjerrigper 2013
Innlevering til Årets Nysgjerrigper 2013 Innlevert av 1. klasse ved Forskningsrådet (Oslo, Oslo) Årets nysgjerrigper 2013 Forordet. La oss begynne med hva et primtall egentlig er. Et primtall er et tall
Detaljer3. kurskveld. Gjennomgang av hjemmeleksa. Hvilke tall tenker jeg på?
3. kurskveld Gjennomgang av hjemmeleksa Hvilke tall tenker jeg på? Læreren tenker på to etterfølgende tall mellom 1 og 10. To elever får en lapp med hvert sitt av de to tallene. Elev A: Jeg vet ikke hvilket
DetaljerSteg 1: Rest etter divisjon
Primtall og effektivitet Skrevet av: Martin Strand Kurs: Python Tema: Tekstbasert, Kryptografi Fag: Matematikk, Programmering Klassetrinn: 8.-10. klasse, Videregående skole Introduksjon I matematikktimene
DetaljerArbeidshefte Multiplikasjon og divisjon
Navn : Dato : 4. desember 2018 Matte er gøy! 1 Gangetabellen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 4 4 8 12 16 20
DetaljerEksamen i TMA4155 Kryptografi Intro Høst 2003 Løsningsskisse
2004-10-25 Eksamen i TMA4155 Kryptografi Intro Høst 2003 Løsningsskisse 1 Et blokkchiffer med blokklengde l og nøkkellengde s består av to funksjoner Ẽ (krypteringsfunksjonen) og D (dekrypteringsfunksjonen)
DetaljerNiels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 20 202 Løsninger Finale 8 mars 202 Oppgave a (i) Om Berit veksler to femkroner og en tjuekrone til tre tikroner, og så to femkroner og tre tikroner til to tjuekroner,
Detaljer