Il UNIVERSITETET I AGDER
|
|
- Gro Lund
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler: Merknader: Kalkulator Formelark følger med oppgaven I alle oppgavene må utregning vises for å få full uttelling. Oppgave 1 a) Regn ut utrykkene og skriv svaret på formen a + bi. 1) (5 + 2i)(1 + 3i) 2) 1 + i (1 + i)(3 i) 3) 2 i 2 b) Bruk fullstendig kvadraters metode til å finne løsningene til likningen når z er et komplekst tall. z2 6z + 25 = 0 Oppgave2 Bruk Euklids algoritme til å finne største felles faktor for tallene 2212 og Hva er minste felles multiplum av tallene 2212 og 2506?
2 Oppgave 3 Skriv tallet i titallsystemet. Skriv tallet i titallsystemet. Skriv tallet 52 i det binære tallsystemet. Skriv tallet 234 i sekstallsystemet. Oppgave 4 Finn resten når vi dividerer tallene med 9. 1) ) Finn resten når vi dividerer tallene med 11. 1) 335 2) Finn primtallsfaktoriseringen til 660. Bruk delelighetsreglene til å vise at er delelig med 660. Oppgave 5 Finn resten når 3261 deles på 8. Vis ved hjelp av induksjon at n=n2+n. Vis ved hjelp av induksjon at 3 går opp i 5n 2n for n E N (dvs. n 1).
3 Oppgave 6 Vis at den lineære kongruensen 12x a, 15 (mod 27) er løsbar og avgjør hvor mange inkongruente løsninger modulo 27 den har? Løs den lineære kongruensen. Oppgave 7 Løs den diofantiske likningen ved hjelp av kongruensregning. 9x + lly = 201 I en boks ligger det både skruer og muttere. En skrue veier 5 gram og en mutter veier 7 gram. Det som ligger i boksen veier til sammen 70 gram. Hvor mange skruer og hvor mange muttere er det i boksen? En butikk selger strykejern for 630 kr og glassvaser for 434 kr. En dag selger butikken strykejern og glassvaser for kr. Hvor mange strykejem og hvor mange glassvaser selger butikken denne dagen? Oppgave 8 Hva er prealgebra? 3
4 Oppgave 9 I I I I I I I I 4 I I I I I I I r I Figur 1 Det skal legges like heller i et gangfelt i en hage. Hellene har størrelse 2 x 1. Gangen har bredde 2, og lengden er 5. Se figur 1. Du trenger 5 heller. Hvor mange måter kan du legge disse hellene på? Hvor mange måter ville det bli om gangfeltet hadde lengde 6, men fremdeles bredde 2? Figur 2a Figur 2b Hvor mange måter blir det om den første hellen skal være stående, se figur 2a? Hvor mange måter blir det om den første er liggende, se figur 2b? Hvor mange måter vil det bli om lengden på gangfeltet er 12? Lag en oversikt (tabell) over antall måter å legge hellene på for gangfelt med lengde opp til 15. Forklar hvordan du tenker. Lykke til 4
5 Formelsamling i emnet MA913 Tall og algebra Primtallmellom 1 og 200 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 Aritmetikkensfundamentalsetning Ethvert naturlig tall n > 1 kan entydig skrives på formen k 1 Ity kr n =Pi P2 **Pr der 2fi )Pr er forskjellige primtall og eksponentene kl, k2, er naturlige tall. Divisjonsalgoritmen a og b er hele tall der n 0. Da fins entydige hele tall q og r slik at a = bq + r, der < r < b. Dersom r = 0, dvs. a = bq, er b en faktor i a. Vi skriver dette som bla. Regler for delelighet For hele tall a, b, c og d gjelder følgende: Dersom dia så vil diab. Dersom dla og dib så vil d I (ax ± by) for vilkårlig hele tall x og y. Dersom cia og dib så vil cdiab. Dersom c a og dia så vil cd la når (c, d) = 1. Dersom d lab og (d, a) = 1 så vil dlb. Delelighetsregler 2 går opp i et tall når 2 går opp i det siste sifferet i tallet. 5 går opp i et tall når 5 går opp i det siste sifferet i tallet. 4 går opp i et tall når 4 går opp i tallet dannet av de to siste sifrene i tallet. 3 går opp i et tall når 3 går opp i tverrsummen av tallet. 9 går opp i et tall når 9 går opp i tverrsummen av tallet. 11 går opp i et tall når 11 går opp i den alternerende tverrsummen av tallet. Tverrsummen til et tall er lik summen av sifrene i tallet. Den alternerende tverrsummen til et tall er summen av sifrene i tallet med vekslende fortegn, + og startet bakfra. 5
6 Euklids algoritmen og største felles faktor Gitt to hele tall a og b. Bruk divisjonsalgoritmen og finn etter tur qi og ri inntil rk = 0: a = bq1 + ri, 0 ri. < b b = r1q2 + r2, 0 T2< T1 ri = r2q3 + r3, 0 <r3 < r2 rk- 3 = rk-2qk-1+ rk-1, 0 rk_i < rk_2 rk-2 = rk-lqk Den minste positive resten, rk_1, er da lik største felles faktor mellom a og b. Vi skriver dette som sff(a, b) = (a, b) = - r k - 1. Dersom (a, b) = 1, er a og b innbyrdes primiske. Dersom (a, b) = d finnes hele tall x og y slik at ax + by = d. Diofantiske likninger Den diofantiske likningen ax + by = c har heltallige løsninger hvis og bare hvis (a, b)ic. Kongruenser To tall a og b som gir samme rest ved divisjon med n, er kongruente med hensyn på n. Vi skriver a E b (mod n) Da har vi at n I(a b) og det eksisterer et helt tall k slik at a = b + kn. Regneregler for kongruenser La a, b, c, d og n være hele tall. Dersom a E b (mod n) og c E d (mod n) så er a+ceb+d (mod n) og ac E bd (mod n). Dersom a E. b (mod n) så er ak E bk (mod n). Dersom ac -E bc (mod nc) så er a E b (mod n). Dersom ac E bc (mod n) og (c, n) = 1 så vil a E b (mod n). Lineære kongruenslikninger La a, b, c og n være hele tall. En lineær kongruenslikning ax --Eb (mod n) har løsning hvis og bare hvis (a, n) Ib. Dersom (a, n) = d har kongruensen ax -E b (mod n), d inkongruente løsninger modulo n. 6
7 Kvadratsetningene kvadratsetning: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 kvadratsetning: (a b)2 = a2 2ab + b2 kvadratsetning: (a + b)(a b) = a2 b2 Abc-formelen for løsning av andregradslikninger Likningen ax2 + bx + c = 0 der a, b og c er reelle tall har løsningene Potensregler b + Vb2 4ac x = 2a am = a. a. a... a.... m-ganger a m, an = am+n a =.1.,hvor a * Komplekse tall C = {a + ibla, b E IR.} La z = a + ib være et komplekst tall Direkte bevis (am)n = amn (ab)m = am bni a = Re(z) kaller vi realdelen til z og b = Im(z) kaller vi imaginærdelen. Den kompleks konjugerte til z er 2 = a bi. Vi har z 2"= a 2 + b2. I et direkte bevis antar vi at premisset p er sant og resonnerer oss fram til at da må konklusjonen q være sann. Kontrapositivt bevis I et kontrapositivt bevis antar vi at konklusjonen q er feil og resonnerer oss fram til at da må også premisset p være feil. Bevis med motsigelse Vi antar at premisset p er riktig, men at konklusjonen q er feil. Vi viser at dette fører til en motsigelse; konklusjonen kan umulig være feil. Induksjonsbevis Vi viser at påstanden Pn gjelder for alle naturlige tall n ved følgende steg: Startbetingelse: Vi viser at P1 er sann. Antagelsen: Vi antar at Pk er sann. Induksjonssteget: Vi viser at dersom Pk er sann er også Pk+1 sann. 7
Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0
Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
DetaljerEksempler på praktisk bruk av modulo-regning.
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se http://www.cs.hioa.no/~evav/dm/emner/modulo1.pdf Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = 7358. Tverrsummen til a er
DetaljerRelativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
DetaljerForelesning 14 torsdag den 2. oktober
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel
Detaljer1 Primtall og divisorer
Oppgaver 1 Primtall og divisorer KATEGORI 1 1.1 Primtallsfaktorisering Oppgave 1.110 Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave 1.111 Finn ut ved hjelp av tverrsummen
DetaljerEKSAMEN. Hva er defmisjonsmengden og verdimengden til en funksjon?
EKSAMEN Emnekode: MA94 Emnenavn: FUNKSJONER Dato: 9. mai 202 Varighet: 09.00 5.00 Antall sider inkl. forside 8 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator Formelark følger med oppgaven Merknader: alle oppgavene
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: LBMAT10311 Emne: Måling, tall og algebra og funksjoner Dato: Eksamenstid: kl 09.00 til kl 15.00 4. desember 2014 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Faglærer:
DetaljerOversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper
Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >
DetaljerStørste felles divisor. (eng: greatest common divisors)
Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.
DetaljerKLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994
KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN
13 /21 Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: LBMAT10311Matematikk 1-7 Dato: 06.12.2013Eksamenstid:9.00 15.00 Hjelpemidler: Kalkulator (uten grafisk vindu) Faglærere: Andrea Hofmann Odd Tore Kaufmann
DetaljerModulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.
Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)
DetaljerEKSAMEN. V3: Tall og algebra, funksjoner 2 ( trinn)
EKSAMEN Emnekode: LSV3MAT Emne: V3: Tall og algebra, funksjoner (5.-0. trinn) Dato: 3. desember 08 Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 5.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Vedlagt formelark Faglærere:
DetaljerFASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Tallteori. Caspar forlag, 2. utgave, 2009
FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Tallteori. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 09.01.2012. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert etter hvert. Oppdager
DetaljerLøsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
DetaljerKAPITTEL 1 - ALGEBRA. 1. Regnerekkefølger og regneregler. Legg først merke til at: Legg spesielt merke til at :
KAPITTEL - ALGEBRA. Regnerekkefølger og regneregler Legg først merke til at: 2( ) = 2 ( ) = 6, ab = a b = b a = ba og a a = a 2 Legg spesielt merke til at : a 2 = a a, ( a) 2 = ( a) ( a) = a 2 og ( a)
DetaljerDiskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen
DetaljerEKSAMEN. Emne: V1: Tall og algebra, funksjoner 1. Eksamenstid: 6 timer, kl til kl
EKSAMEN Emnekode: LSV1MAT12 Emne: V1: Tall og algebra, funksjoner 1 Dato: 13. desember 2012 Eksamenstid: 6 timer, kl. 09.00 til kl. 15.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Faglærer: Andrea Hofmann
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsninger til Eksamen
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsning til Eksamen Richard Williamson 11. desemb 2014 Innhold Oppgave 1 2 a)........................................... 2 b)........................................... 2 c)...........................................
DetaljerEKSAMEN. Emne: V1: Tall og algebra, funksjoner 1. Eksamenstid: 6 timer kl til kl.15.00
EKSAMEN Emnekode: LSMATAF11 Emne: V1: Tall og algebra, funksjoner 1 Dato: 13. desember 01 Eksamenstid: 6 timer kl. 09.00 til kl.15.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Faglærer: Marianne Maugesten
DetaljerFormelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh
Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =
Detaljerb) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden
Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)
DetaljerMAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og
DetaljerOversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger
Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne
DetaljerMAT 4000 Innføring i klassisk tallteori
MAT 4000 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert, som senere er blitt bearbeidet videre av Erik Alfsen, Tom
DetaljerHva man må kunne i kapittel 2 - Algebra
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.
Detaljer13/21. Høgskoleni østfold EKSAMEN. Emnekode: Emne: LSMATAF213 V3: Tall, algebra, funksjoner 2
13/21 Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LSMATAF213 V3: Tall, algebra, funksjoner 2 Dato:Eksamenstid: 13. desember 2013kl. 09.00 til kl. 15.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Faglærere:
DetaljerUniversitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!
Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:
Detaljer6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...
Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver
DetaljerKomplekse tall og trigonometri
Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.
DetaljerRepetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
DetaljerForelesning 19 torsdag den 23. oktober
Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til
DetaljerTALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk
TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018 Seksjon 4.1 6 Dersom a c og b d, betyr dette at det eksisterer heltall s og t slik at c
DetaljerANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN
ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN Espen B. Langeland realfagshjornet.wordpress.com espenbl@hotmail.com 9.mars 017 Dagens artikkel omhandler annengradsligninger, og deres grafer parabler. 1 Annengradsligninger
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerSTØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går
STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den
DetaljerLøsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015
Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod
DetaljerForelesning 20 mandag den 27. oktober
Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel 5.10.1. La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut
DetaljerForside. MAT INF 1100 Modellering og beregninger. Mandag 9. oktober 2017 kl Vedlegg (deles ut): formelark. Tillatte hjelpemidler: ingen
Forside MAT INF 1100 Modellering og beregninger Mandag 9. oktober 2017 kl 1430 1630 Vedlegg (deles ut): formelark Tillatte hjelpemidler: ingen De 10 første oppgavene teller 2 poeng hver, de 10 siste teller
DetaljerForelesning 21 torsdag den 30. oktober
Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig
DetaljerRAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2018
RAMMR FOR MUNTIG KSAMN I MATMATIKK VR 2018 Fagkoder: MAT1012, MAT1014, MAT1016, MAT1018, MAT1101, MAT1105, MAT1106, MAT1110, RA3021, RA3023, RA3025, RA3027, RA3029 Årstrinn: Vg1, Vg2 og Vg3 Gjelder for
DetaljerForberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
DetaljerForelesning 11 mandag den 22. september
Forelesning 11 mandag den 22. september 2.9 Lineære diofantiske ligninger forts. Proposisjon 2.9.1. La a, b, c, x, y være heltall. Anta at La d være et naturlig tall slik at sfd(a, b) = d. Ut ifra definisjonen
DetaljerEuklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )
For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s
DetaljerMAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Fredag 12. oktober 2018 kl Vedlegg (deles ut): formelark. Tillatte hjelpemidler: ingen
MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Fredag 12. oktober 2018 kl 1430-1630 Vedlegg (deles ut): formelark Tillatte hjelpemidler: ingen De 10 første oppgavene teller 2 poeng hver, de 10 siste teller 3
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. V3: Tall og algebra, funksjoner 2 ( trinn) Dato: Eksamenstid: Fra kl til kl
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: LSV3MAT12 Emne: V3: Tall og algebra, funksjoner 2 (5.-10. trinn) Dato: Eksamenstid: Fra kl. 09.00 til kl. 15.00 3. desember 2015 Hjelpemidler: Numerisk lommeregner
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LMAT10111 Matematikk 1, emne 101: Tall, algebra og funksjonslære LUMAT10111 Matematikk 101: Tall, algebra og funksjonslære (5-10) Dato: 1.1.013 Eksamenstid: kl.
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
DetaljerRAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015
RAMMER FOR MUNIG EKSAMEN I MAEMAIKK EEVER 2015 Fagkoder: MA1012, MA1014, MA1016, MA1018, MA1101,MA1105, MA1106, MA1110, REA3021, REA3023, REA3025, REA3027, REA3029 Årstrinn: Vg1, Vg2 og Vg3 Gjelder for
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerFormelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh
Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 6. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =
DetaljerØvingsforelesning 4. Modulo hva er nå det for no? TMA4140 Diskret Matematikk. 24. og 26. september 2018
Modulo hva er nå det for no? Øvingsforelesning 4 TMA4140 Diskret Matematikk 24. og 26. september 2018 Dagen i dag Repetere den euklidske algoritmen, kongruensregning og annet underveis H11.3a: Inverser
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. LSV1MAT12 Vl: Tall og algebra, funksjoner 1. Dato: Eksamenstid: kl til kl
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LSV1MAT12 Vl: Tall og algebra, funksjoner 1 Dato: Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 15.00 9. desember 2014 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Faglærer:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 8. oktober 2014. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet er på
DetaljerOversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler
Oversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Heltallet er et primtall. Er 11799 en kvadratisk rest modulo? Hvordan løse oppgaven? Oversett først
DetaljerEksamen MAT 104 BOKMÅL
Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning Eksamen MAT 104 BOKMÅL Emnekode: MAT104 - løsningsforslag Eksamen Tid: timer Dato: 22..201 Hjelpemidler: Kalkulator, gradeskive, passer og skrivesaker
DetaljerOversikt over kryptografi
Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen
DetaljerGrafteori. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis
Grafteori MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. april 2008 Vi regner oppgavene på tavlen
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. april 2008 Grafteori Vi regner oppgavene på tavlen
DetaljerForelesning 10 torsdag den 18. september
Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se
DetaljerOversikt over det kinesiske restteoremet
Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
EKSAMEN Emnekode: ITF75 Dato: 5. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm Monica Nordbakke Marianne Maugesten
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LUMAT10115 Tall, algebra og funksjoner 1 Dato: 16.12.2015 Eksamenstid: kl. 9 til k1.15 Hjelpemidler: Faglærere: Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. LSVIMAT12 Matematikk 1, V 1: Tall og algebra. funksjoner 1. Dato: 16. desember Eksamenstid: kl til kl 15.
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LSVIMAT12 Matematikk 1, V 1: Tall og algebra. funksjoner 1 Dato: 16. desember Eksamenstid: kl 09.00 til kl 15.00 2015 Hjelpemidler: Faglærer: Khaled Jemai Kalkulator
DetaljerPlenumsregning 12. Diverse oppgaver. Roger Antonsen mai Eksamen 12/6-06 Oppgave 2. Plan
Plenumsregning 12 Diverse oppgaver Roger Antonsen - 22. mai 2008 Plan Dette er siste plenumsregning. Vi regner stort sett eksamensoppgaver. Neste uke blir det repetisjon på mandag og onsdag. Send epost
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 12. oktober 2016. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA440 LØSNINGSFORSLAG Oppgave Sannhetsverditabell for det logiske utsagnet ( (p q) ) ( q r
DetaljerUkeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis
Plenumsregning 11 Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen - 24. april 2008 Grafteori Vi regner oppgavene på tavlen i dag. Oppgave 10.9 Oppgave 10.10 Oppgave 10.11 Oppgave 10.12 Oppgave
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2016
Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :
DetaljerEKSAMEN. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 7. desember 0 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerEt Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form
Kapittel Komplekse tall.1 Kompleksetall-Oppsummering Kvadratroten av 1 må være en løsning til ligningen x = 1, om den finnes. Tallet i kalles den imaginære enheten og er det vi trenger for å definere de
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på
DetaljerEmnenavn: Ny, utsatt eksamen. Eksamenstid: Faglærere: Monica Nordbakke. Marianne Maugesten
EKSAMEN Emnekode: LMUMAT10117 Emnenavn: MAT101: Tall, algebra og funksjoner 1 (5-10) Ny, utsatt eksamen Dato: 14.06.2018 Eksamenstid: 9.00 15.00 Hjelpemidler: Kalkulator (ikke grafisk) Faglærere: Monica
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 7. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-30 09:39) Oppgave 7. Finn en rekursiv og en ikke-rekursiv
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. LSV1MAT12 Matematikk Vl: Tall, algebra og funksjoner 1
13/. Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LSV1MAT1 Matematikk Vl: Tall, algebra og funksjoner 1 Dato: 1.1.013 Eksamenstid: kl. 9 til kl. 15 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk skjerm. Faglærer:
DetaljerSlides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis. Andreas Leopold Knutsen
Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis Andreas Leopold Knutsen February 9, 2010 Eks. 1: Finn feilen Fibonaccitallene F 1, F 2, F 3,... er denert rekursivt ved: F 0 = 0, F 1 = 1, og
DetaljerMAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm,
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 4.8 1 La ABC være en trekant og E et punkt i det indre av BC. Vi skal vise
DetaljerEmnenavn: Geometri, måling, statistikk og sannsynlighetsregning 2 (5-10) Eksamenstid: 6 timer, 09:00 15:00. Faglærere: Russell Hatami.
EKSAMEN Emnekode: LUMAT10415 Emnenavn: Geometri, måling, statistikk og sannsynlighetsregning 2 (5-10) Dato: 15. desember 2017 Eksamenstid: 6 timer, 09:00 15:00 Hjelpemidler: Numerisk kalkulator Vedlagt
DetaljerForelesning 24 mandag den 10. november
Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerEksamen i matematikk løsningsforslag
Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit
DetaljerEmnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 21. februar 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metode 1 matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Om eksamensoppgaven
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 16 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver.
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 204 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................
Detaljer2.3 Delelighetsregler
2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne
DetaljerForkurshefte i matematikk variant 1
Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette
DetaljerRekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga
DetaljerIntroduksjon i tallteotri med anvendelser
Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og
Detaljer1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p)
. Oppgave. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q). Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) 3. Avgjør om følgende utsagn er sant i universet
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................
Detaljer