Primtall. Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p.

Transkript

1 Primtall Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p. Hvordan avgjøre om et heltall a > 1 er et primtall? Regel: Hvis a > 1 ikke er et primtall, så må det finnes et primtall p a som går opp i a. ( dvs. der p er faktor i a ) Eksempel 1 Er 101 et primtall? 101 = 10. Det holder derfor å undersøke om 2, 3, 5 eller 7 går opp i 101. Hvis ingen av dem går opp, er 101 et primtall.

2 Vi å undersøke litt finner vi at ingen av dem går opp. Dermed er 101 et primtall. Eksempel 2. Er 1001 et primtall? 1001 = 31. Vi må maksimalt prøve om tallene 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 og 31 er faktor i Vi ser at hverken 2, 3 eller 5 går opp i Derimot går tallet 7 går opp i 1001 siden = Dermed vet vi at 1001 ikke er et primtall kan dermed primtallsfaktoriseres: 1001 = = Setning: Det finnes uendelig mange primtall. Bevis: Antall det motsatte, dvs. at det er endelig mange primtall p 1, p 2, p 3,..p n. La a = p 1 p 2 p 3.. p n + 1 Siden antall primtall er endelig kan ikke a være et primtall. Da må et av primtallene, p i, gå opp i a. Dermed må også p i gå opp i 1 siden 1 = a - p 1 p 2 p 3.. p n, men dette er umulig! Siden antagelsen vår var feil har vi vist at antall primtall må være uendelig. Eratostenes sil (eng. sieve) Vi kan finne primtall ved å sette opp alle tallene og så fortløpende fjerne de som har tallene 2, 3, osv. som faktor. osv.

3 Eksempel: Tallene fra 1 til 100 De som er ikke er fjernet (her ringet inn) er primtall. Metode som finner primtallene opp til en viss grense:

4 Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b. Dette betegnes ofte med gcd(a,b). OBS! gcd(a,b) er alltid et positivt tall! Største felles divisor (gcd) ved hjelp av primtallsfaktorisering. Finn primtallsfaktoriseringen til a og b. Da vil gcd(a, b) være produktet av de primtallsfaktorene som går opp i både a og b. Hvis et primtall p forekommer m ganger i a og n gangere i b, så tas det med så mange ganger som det minste tallet av m og n, dvs. vi velger laveste potens av p. Eksempel 1 Eksempel 2

5 Eksempel 3 gcd ved hjelp av Euklids algoritme: Husk definisjonen av kvotient og rest: Hvis a og b er til hele tall med b > 0, så finnes entydige hele tall slik at a = q b + r, 0 r < b Setning. La b > 0. Da er gcd(a, b) = gcd( b, r). Bevis. For å vise at gcd(a, b) = gcd(b, r) må vi vise at c også er faktor i r. La gcd(a, b) = c være det største heltallet som går opp i både a og b. Det betyr at a = c x og b = c y. Vi har a = q b + r som er lik r = a - q b. Vi setter så inn c x for a og c y for b og får da: r = c x - q c y = c(x - q y). Vi ser at c er faktor i r, dvs. c går opp i r, og dermed er det bevist.

6 Eksempel på bruk av skjema for Euklids algoritme. gcd(42, 18) = 6. Euklids algoritme er basert på at gcd(a, b) = gcd(b, r). Med primtallsfaktorisering: 42 = 2 3 7, 18 = gcd(42, 18) = 2 3 = 6 Tilsvarende java-metode: (NB! Her går vi ut av løkka når b = 0. Da har allerede b har blitt tilordnet r og a blitt tilordnet verdien til b og derfor returnerer vi a.)

7 Minste felles multiplum (least common multiple lcm) Minste felles multiplum for to positive heltall er det minste positive heltallet som begge tallene går opp i: a lcm(a, b) og b lcm(a, b) (Både a og b må være faktor i lcm(a, b) og følgelig må alle faktorene i begge tallene inngå i lcm(a, b).) Eksempel 1 La a = 12 og b = 15. Vi primtallsfaktoriserer begge tallene: a = b = 3 5 Det minste tallet som både a og b går opp i blir da lcm(a, b) = = 60. Vi ser at både a og b er faktorer i 60 ( og ) (Dette tilsvarer det å finne fellesnevneren i brøkregning når vi skal summere brøker med ulike nevnere.) Eksempel 2 La a = og b = Da blir minste felles multiplum lcm(a, b) =

8 Formel gcd(a,b) og lcm(a,b): Hvis gcd(a, b) er største felles divisor for a og b og lcm(a, b) er minste felles multiplum for a og b, så er a b = gcd(a, b) lcm(a, b) der a > 0, b > 0 Eksempel = 180 gcd(12, 15) lcm(12, 15) = 3 60 = 180