KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm"

Transkript

1 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005

2 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI

3 Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Et prosjekt høst 2005-vår 2006 støttet av: Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon I. 10. Juli Matematiska Institutionen KTH

4 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Matematiska Institutionen KTH STOCKHOLM ISBN? c 2005 Matematiska Institutionen

5 FORORD Tallteorien er et av de klassiske områdene i matematikken. Den har en lang tradisjon med en vel utviklet teori. Mange av resultatene er dype og fundamentale. I store deler av matematikken inngår tallteorien som en viktig ingrediens, og anvendelsene av tallteorien utenfor matematikken er varierte og spektakulære. Tallteorien bør være en vesentlig del i enhver balansert matematikkutdannelse. Tallteori er fellesnavnet for en rekke nærliggende områder av matematikken, som algebraisk tallteori, aritmetisk geometri, analytiske tallteori. Vi skal i disse notatene behandle noen emner fra elementær tallteori. Elementær betyr her at vi ikke bruker et stort begrepsapparat fra andre deler av matematikken som algebra, analyse og geometri. Tross dette omfatter den elementære tallteorien en rekke grunnleggende teorier og resultater, og noen av de mest spektakulære og velkjente problemene i matematikken tilhører dette området. En av grunnene til at den elementære tallteorien tiltrekker seg så mye interesse er nettopp at den inneholder problemer som er lette å forstå uten en omfattende matematisk bakgrunn. Disse notatene er et supplement til forelesningene i Forum För Matematiklärare, eller kort Forum, det akademiske året Alt materialet til de syv forelesningene i Forum finnes i heftet, men inndelingen av notatene i kapittel og seksjoner svarer bare delvis til innholdet av forelesningen. Heftet er ment som hjelp for hukommelsen, eller for å finne supplerende og utdypende materiale. Notatene forutsetter bare kjennskap til de enkleste begrepene i grunnleggende matematikk. v

6 vi KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI

7 INNHOLD 1. Delbarhet 1.1 Delbarhet og divisjonsalgoritmen Største felles divisor Primtallsfaktorisering Primtall 2.1 Eratostenes sold Eksistens av primtall Primtallstvillinger og Goldbach s hypotese Fermat tall og Mersenne tall Modulregning 3.1 Definisjoner Fermat s og Euler s satser Primtallstesting Aritmetiske funksjoner 4.1 Definisjoner og eksempler Dirichlet produktet Gruppen av aritmetiske funksjoner Perfekte tall Offentlig nøkkel krypering Kvadratisk resiprositet 5.1 Modulregning for polynomer Ordenen av elementer Legendre symbolet Kvadratiske resiprositetssatsen B. Bibliografi I. Index vii

8 viii KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI

9 1. DELBARHET 1.1. Delbarhet og divisjonsalgoritmen En av de mest kjente resultatene i matematikken er at hvert posivit heltall kan skrives som et produkt av primtall på en, essensielt, entydig måte. Dette er så vel kjent at mange tar det som et aksiom. Resultatet krever imidlertid et bevis. Som bakgrunn til beviset gir vi i denne og de følgende seksjonene de viktigste resultatene om divisjon av heltall. Hovedresultatet er at om et primtall p deler et produkt ab av to heltall a og b så deler p et av tallene Notasjon. Vi betegner de hele tallene {, 2, 1, 0, 1, 2, } med Z, og de naturlige tallene {0, 1, 2, } med N Definisjon. Vi sier at et heltall b deler et heltall a om det finnes et heltall q slik at a = bq og kaller b en faktor i a. Vi skriver da b a. Om b ikke deler a skriver vi b a. Vi samler de viktigste egenskapene ved delbarhet i følgende hjelpesetning. Det kan virke vanskelig å huske de mange delresultatene, men med litt ettertanke innser vi at egenskapene er så naturlige at de lett blir en del av vår verdag Lemma. (1) Om a b og b c vil a c. (2) Om a b og a c vil a xb + yc for alle heltall x og y. (3) Om a b og a c vil a b + c. (4) Om ab 0 og a b og b a så vil a = b eller a = b. (5) Om a b vil a b, a b og a b. Bevis. (1) Om b = xa og c = yb vil c = xya så a c. (2) Om b = ua og c = va så vil xb + yc = (xu + yv)a så a xb + yc. (3) Dette følger av (2), fordi, om a b og a (b + c) så vil a (b + c b) = c. (4) Om b = xa og a = yb vil b = xyb. Ettersom b 0 vil xy = 1 så x og y er begge 1, eller begge 1. (5) Om b = xa vil b = ( x)( a), b = x( a), og b = ( x)a. 1

10 2 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Divisjonsalgoritmen. La b være et positivt heltall. For hvert heltall a finnes det entydige heltall q og r slik at der 0 r < b. Bevis. Ettersom intervallene a = qb + r [xb, (x + 1)b) = {y : xb y < (x + 1)b} for x Z er disjunkte og deres union er Z vil det finnes et heltall q slik at a [qb, (q + 1)b), det vil si qb a < (q + 1)b. Sett r = a qb. Da vil a = qb + r og r < (q + 1)b qb = b, som vi ville vise. Om a = qb + r = q b + r vil b(q q ) = r r så b deler r r, men dette er umulig fordi 0 r, r < b gir b < r r < b Definisjon. Vi kaller tallet r i Divisjonsalgoritmen for resten til a ved divisjon med b Eksempel. Vi finner resten til 27, 39 og 20 ved divisjon med 5. Vi finner 27 = , 39 = og 20 = Oppgaver. Oppgave 1. Vis at om a 2 = 4q + r så er r lik 0 eller 1. Oppgave 2. Hva kan r være om a 2 = 5q + r? Oppgave 3. La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si, f 1 = f 2 = 1 og f n = f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1) f 1 + f f n = f n+2 1. (2) f n+1 f n 1 f 2 n = ( 1)n. (3) f m+n = f m 1 f n + f m f n+1. (4) Om m n så vil f m f n. (Ledetråd: Bruk induksjon etter n for (1), (2), (3). (4) følger av (3) Største felles divisor Definisjon. Vi sier at et heltall d er en felles divisor for heltallene a og b om d a og d b. En felles divisor d for a og b er en største felles divisor om vi for hver felles divisor d for a og b har at d d Bemerkning. Det inngår ikke i definisjonen at en største felles divisor eksisterer. Vi skal vise eksistensen nedenfor Proposisjon. La a og b være heltall. (1) Om d er en største felles divisor for a og b så vil d være en største felles divisor for a og b. (2) Om d er en annen største felles divisor for a og b vil d = d eller d = d.

11 1.2. STØRSTE FELLES DIVISOR 3 Spesielt har vi at om det finnes en største felles divisor vil det finnes en entydig positiv største felles divisor. Bevis. (1) Dette følger umiddelbart av Definisjon 1.6. (2) Av Definisjon følger at d d og d d så (2) følger av Lemma (4). Siste delen av proposisjonen er klar. Vi viser nu eksistensen av en største felles divisor for to heltall Setning. La a og b være heltall som ikke begge er null. Da vil det minste positive tallet d slik at d = xa + yb ( ) for noen heltall x og y være en største felles divisor for a og b. Bevis. Vi viser først at d a og d b. Av divisjonsalgoritmen har vi at a = qd + r med 0 r < d. Vi må ha at r = 0, for multipliserer vi begge sidene i ( ) med q får vi qd = qxa + qyb, så a r = qxa + qyb. Ettersom 0 r < d, og d er det minste positive tallet kom kan skrives på formen ua + vb, eller r = (1 qx)a qyb, er dette umulig medmindre r = 0. Derfor vil r = 0 og d a. På tilsvarende måte viser vi at d b. På den andre sider er det klart av Lemma (2) at om d a og d b så vil d dele d = xa + yb. Vi har vist at d er en største felles divisor Eksempel. Vi gir noen eksempler som illustrerer Setning (1) Vi har 30 + ( 2)12 = 6. Ettersom 6 30 og 6 12 må 6 dele alle tall på formen 30x + 12y så 6 er det minste positive tallet som kan skrives på denne formen. Derfor er 6 en største felles divisor for 30 og 12. (2) Vi har 3 = ( 5)21 og 3 54 og Derfor er 3 det minste positive tallet som kan skrives på formen 54x + 21y, og 3 er en største felles divisor for 54 og Definition. La a og b være to heltall, ikke begge like null. Det minste positive tallet d som kan skrives på formen xa + yb kalles den største felles divisoren for a og b og vi skriver d = SFD(a, b). Følgende enkle resultat er nyttig i mange situasjoner: Lemma. La a og b være heltall, ikke begge null, og la e være et positivt heltall slik at e a og e b. Da vil SFD(a, b) = e SFD(a/e, b/e). Bevis. La d = SFD(a, b) og d = SFD(a/e, b/e). Ettersom e a og e b, og d = xa + yb for noen heltall x og y vil e d, så vi får av d a og d b at (d/e) (a/e), respektive at (d/e) (b/e). Med det betyr at (d/e) d, det vil si, d ed. Omvendt, ettersom d (a/e) og d (b/e) vil ed a og ed b. Det følger at d ed. Ettersom d og ed er positive følger det av d ed og ed d at d = ed, som vi ville vise.

12 4 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Euklids algoritme. For å finne vi den største felles divisoren SFD(a, b) til a og b bruker vi vanligvis Euklid s algoritme. Anta at b > 0. Vi bruker Divisjonsalgoritmen om og om igjen som følger: a = q 1 b + d 1 med 0 d 1 < b b = q 2 d 1 + d 2 med 0 d 2 < d 1 d 1 = q 3 d 2 + d 3 med 0 d 3 < d 2. d n 2 = q n d n 1 + d n med 0 d n < d n 1 d n 1 = q n d n At prosessen slutter følger av at b > d 1 > d 2 > > d n > 0. Her er d n = SFD(a, b). Ved å gå baklengs i algoritmen kan vi finne x og y slik at d n = xa + yb Eksempel. Vi vil finne SFD(1532, 364). Euklid s algoritme gir: 1532 = = = = = = vi har altså SFD(1532, 364) = 4. For å finne x og y slik at 4 = 1532x + 364y går vi nedenfra og opp: 4 = = 16 ( ) = = = 60 + ( ) = = = 4 76 ( ) = = = ( ) = Definisjon. To heltall a og b kalles innbyrdes primiske om SFD(a, b) = 1, eller ekvivalent, om det finnes heltall x og y slik at 1 = xa + yb. Den første delen av følgende resultat er nøkkelen til å vise at fremstillingen av et tall som et produkt av primtall er, essensielt, entydig Proposisjon. La a og b være innbyrdes primiske heltall. (1) Om a bc vil a c. (2) Om a c og b c vil ab c.

13 1.3. PRIMTALLSFAKTORISERING 5 Bevis. (1) Vi har heltall x og y slik at 1 = xa + yb. Multipliserer vi begge sidene av den siste ligningen med c får vi c = xac + ybc. Det følger av Lemma (2) at når a bc så vil a c. (2) Om a c vil c = a 1 a og om b c vil c = b 1 b for noen heltall a 1 og b 1. Vi har som i (1) at c = xac + ybc = xab 1 b + yba 1 a så c = ab(xb 1 + ya 1 ), slik at ab c. Oppgaver. Oppgave 1. Vis at d n = SFD(a, b) der d n er gitt i Bemerkning Oppgave 2. Vis hvordan vi kan utføre prosessen i Bemerkning baklengs for å bestemme x og y slik at d n = xa + yb. Oppgave 3. Vis at om a = qb + r så vil SFD(a, b) = SFD(b, r). Oppgave 4. Bestem SFD(1131, 56) og finn x og y slik at SFD(1131, 56) = 1131x+ 56y. Oppgave 5. Bestem SFD(1464, 115) og finn x og y slik at SFD(1464, 115) = 1464x + 115y Primtallsfaktorisering Vi skal i denne seksjonen definere primtall og vise at hvert positivt tall kan skrives som et produkt av primtall på en, essensielt, entydig måte Definisjon. Et helt tall p som er større eller lik 2 er et primtall om de eneste positive heltallene som deler p er 1 og p. Første delen av følgende hjelpesetning er et spesialtilfell av det fundamentale resultatet (1) Lemma. La p være et primtall. (1) For hver heltall a vil enten SFD(a, p) = 1, eller p a. (2) Om p a 1 a k der a 1,..., a k er heltall vil p a i for noe i. Bevis. (1) La d = SFD(a, p). Da vil d p så d = 1 eller d = p ettersom p er et primtall. Men siden d a vil d = p medføre at p a og om d = 1 er SFD(a, p) = 1. (2) Vi viser (2) ved induksjon etter k. Påstanden holder for k = 1. Anta at (2) holder for k 1. Sett a = a 1,... a k 1. Om p a k er vi ferdige. Hvis ikke følger det av (1) at SFD(p, a k ) = 1. Derfor følger det av Proposisjon (1) at p a 1 a k 1. Ved induksjonsantagelsen følger det da at p a i for noe i = 1,..., k Setning. Hvert positivt heltall n kan skrives på formen n = p e 1 1 pe k k der p 1,..., p k er ulike primtall og e 1,..., e k er ikke negative heltall. Fremstillingen er entydig så nær som på rekkefølgen av faktorene p e 1 1,..., pe k k.

14 6 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Bevis. Vi viser først, ved induksjon etter n, at n kan skrives som et produkt av primtall. Det holder klart for n = 1 da n er det tomme produktet. Anta at det gjelder for alle positive heltall strikt mindre enn n. Om n er et primtall er vi klare. Hvis ikke vil n = ab der a og b er positive heltall slik at 1 < a < n og 1 < b < n. Ved induksjonshypotesen er a og b produkter av primtall og derfor vil n = ab være et produkt av primtall. Vi viser at fremstillingen er entydig på rekkefølgen av faktorene nær ved induksjon etter n. Det holder klart for n = 1. Anta at det gjelder for alle positive heltall strikt mindre enn n. Skriv n = p e 1 1 pe k k = qf 1 1 qf l l ( ) der q 1,..., q l er ulike primtall og der f 1,..., f l er positive heltall. Vi må vise at om e 1,..., e k er positive heltall så vil k = l og faktorene q f 1 1,..., qf l l er en omflytning av faktorene p e 1 1,, pe k k. For å vise dette bruker vi at q 1 p e 1 1 pe k k. Det følger derfor av Lemma (2) at q 1 p i for noe i, så q 1 = p i ettersom begge er primtall. Divisjon med q 1 = p i i begge sidene av ( ) gir likheten p e 1 1 pe i 1 i 1 pe i 1 i p e i+1 i+1 pe k k = q f q f 2 2 qf l l. Ved induksjonshypotesen må k = l og faktorene q f 1 1 1, q f 2 2,, qf l l må være en omflytning av faktorene p e 1 1,..., pe i 1 i 1, pe i 1 i, p e i+1 i+1,..., pe k Ettersom q 1 = p i må p e i 1 i = q f så f 1 = e i og faktorene q f 2 2,..., qf l l k. Det følger at l = k og at qf 1 faktorene p e 1 1,..., pe i 1 i 1, pe i+1 i+1,..., pe k omflytning av p e 1 1,..., pe k k. k. er en omflytning av 1,..., qf l er en Definisjon. Vi kaller dekomposisjen n = p e 1 1 pe k k i Setning for primtallsfaktoriseringen av n. Potensene p e i i kaller vi faktorene i n og primtallene p i kalles primtallsfaktorene. Oppgaver. Oppgave 1. Finn primtallsfaktoriseringen av tallene 1131 og 56. Oppgave 2. Fin primtallsfaktoriseringen av tallene 1464 og 115. l

15 2. PRIMTALL 2.1. Eratostenes sold Vi skal her gi Eratostenes sold, som er en metode for å finne primtall. Selvom vi i prinsippet kan finne alle primtall med denne algoritmen er den ikke anvendbar i praksis, og teoretisk viser den ikke engang at det finnes uendelig mange primtall. Først viser vi følgende resultat som begrenser antallet kjente primtall vi må teste når vi vil bestemme om et gitt tall er primtall. Dette reduserer arbeidet vesentlig Lemma. Om a er et heltall større eller lik 2, som ikke er et primtall har den en primtallsfaktor p slik at p < a. Bevis. Ettersom a ikke er et primtall har den en primtallsfaktor p slik at a = pb der b > 1 er et heltall. Velg p som den minste primtallsfaktoren i a. Da er b p. Vi må ha p a, for om p > a vil bp pp > a a = a, som motsier at a = pb Eratostenes sold. For å finne primtallene skriver vi opp alle tall større eller lik 2 i en tabell: Det minste tallet i tabellen 2 må være et primtall. Tallene større enn 2 som er delbare med 2 kan ikke være primtall så vi stryker disse og får tabellen: Det første tallet etter 2 i den nye tabellen, d.v.s. 3 er et primtall fordi den ikke er delbar med 2. Vi stryker nu alle de gjenstående tallene større enn 3 som er delbare 7

16 8 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI med 3 ettersom disse ikke er primtall og får tabellen: Det første tallet etter 3 i den nye tabellen, d.v.s. 5, er nu et primtall ettersom det ikke er delbart med hverken 2 eller 3. Vi stryker nu alle tall større enn 5 som er delbare med 5 fordi disse ikke kan være primtall og får tabellen: Det første tallet etter 5 i den nye tabellen, d.v.s. 7, må være et primtall ettersom det ikke er delbart med 2, 3 eller 5. Vi kan nu stryke alle tall større enn 7 som er delbare med 7 fordi disse ikke kan være primtall og får tabellen: Fortsetter vi prosessen vil alle primtall opptre i alle tabeller fra et visst steg av. Denne metoden, kalt Eratostenes sold er ikke anvendbar i praksis ettersom vi må holde så mange tall i minnet. Vi skal skissere mer effektive metoder lenger bak Bemerkning. Vi merker at for å finne alle primtallene mindre enn 100 behøver vi, på grunn av Lemma bare stryke tallene delbare med primtall mindre eller lik 100 = 10, det vil si, primtallene 2, 3, 5 og 7. Oppgaver. Oppgave 1. Bruk Eratostenes sold til å finne alle primtall mindre enn 200. Oppgave 2. Bruk Lemma til å finne primtallene mindre enn 289 = Eksistens av primtall Til tross for at Eratostenes sold gir alle primtall viser ikke metoden at det finnes uendelig mange primtall. Det finnes imidlertid et flertall interessante bevis for at det finnes uendelig mange primtall. Vi skal reprodusere det mest kjente, som ble skrevet ned allerede av Euklid. Et par andre bevis finnes i oppgavene (se også [Rib] og [Rie]).

17 2.3. PRIMTALLSTVILLINGER OG GOLDBACH S HYPOTESE Euklid s bevis for at det finnes uendelig mange primtall. For å vise at det finnes uendelig mange primtall rekker det å vise at hver gang vi har en endelig samling av primtall p 1,..., p k så kan vi alltid finne et primtall p k+1 forskjellig fra p 1,..., p k. Ingen endelig samling av primtall kan derfor inneholde alle primtall. La nu p 1,..., p k være primtall. Ifølge Setning er p 1 p k + 1 et produkt av primtall. La p k+1 være et av disse primtallene. Da er p k+1 forskjellig fra p 1,..., p k fordi det ellers følger av Lemma (3) at p k Bemerkning. Bruker vi i prosessen i og velger p k+1 som det minste primtallet som deler p 1 p k +1 får vi en algoritme for å finne primtall. For eksempel, om vi begynner med p 1 = 2, gir prosessen p 1 = 2, p = 3 = p 2, p 1 p = 7 = p 3, p 1 p 2 p = 43 = p 4 p 1 p 2 p 3 p = 1807 = så p 5 = 13. Vi får altså primtallene 2, 3, 7, 43, 13,.... prosessen gir. Det er ikke kjent hvilke primtall denne Oppgaver. Oppgave 1. Fortsett prosessen i noen steg til. Oppgave 2. Utfør prosessen i når vi begynner med p 1 = 2 og når p 1,..., p k er gitt velger vi p k+1 som det største primtallet som deler p 1 p k + 1. Oppgave 3. Vis at det finnes uendelig mange primtall på formen 4q + 3. (Ledetråd: Om p 1,..., p k er primtall på formen 4q +3, vis at det finnes et primtall på denne formen som deler 4p 1 p k 1). Oppgave 4. Vis at for hver heltall n 2 finned det ikke noe primtall i intervallet [n! + 2, n! + n]. For hver heltall n kan vi defor finne intervall av lengde minst n som ikke inneholder noe primtall. Oppgave 5. Vis at om p 2 er et primtall og p (p 1)! + 1 så er p et primtall Primtallstvillinger og Goldbach s hypotese To av de mest kjente problemene i matematikken er spørsmålet om det finnes uendelig mange primtalltvillinger og Goldbach s hypotese. Disse problemene har inspirert horder av matematikere i flere hundre år og det finnes en enorm litteratur på området. De beste resultatene har man funnet ved å bruke analytiske metoder, men fremdeles har vi ikke noen presis anelse om hvordan vi skal angripe disse formodningene. Ettersom man har verifisert dem for meget høye tall tror de fleste at det finnes uendelig mange primtallstvillinger og at Godbach s hypotese holder. Her skal vi bare forklare hva problemene går ut på Definisjon. To primtall p og q kalles primtallstvillinger om q p = 2.

18 10 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Eksempel. {3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19}, {29, 31}, {41, 43}, {59, 61}, {71, 73} er primtallstvillinger Problem. Finnes det uendelig mange primtallstvillinger? Goldbach s hypotese. Hvert like heltall strikt større enn 2 er en sum av to primtall Eksempel. 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = = 5 + 5, 12 = 7 + 5, 14 = = , 16 = = , 18 = = , 20 = = , 22 = = = , 24 = = = ,.... Oppgave. Oppgave 1. Finn flere primtallstvillinger. Oppgave 2. Fortsett listen i Eksempel så langt du kan. 4. Fermat tall og Mersenne tall Problemene om eksistensen av primtall er blandt de mest fascinerende i matematikken. Drømmen om å beskrive raske algoritmer for å finne primtall, eller enkle formler som gir primtall, har syssellsatt mange matematikere i hundretalls år. I dag finnes det, som vi skal skissere senere, ganske bra metoder for raskt å finne primtall, ialfall med stor sannsynlighet. Blandt forsøkene til å finne formler for primtall er Fermat tallene og de mest kjente. Disse opptrer på mange steder i matematikken. Vi skal forklare hvorfor de er de eneste av sitt slag som kan være primtall og nevne problemene med å avgjøre hvilke av tallene som er primtall. De største primtallene vi kjenner er Mersenne primtall (se [Rib] og [Rie]) Lemma. Vi har følgende tre likheter mellom polynomer: (1) T m 1 = (T 1)(T m 1 + T m ). (2) Om m er odde vil T m + 1 = (T + 1)(T m 1 T m 2 + T + 1). (3) Om m er jevn vil T m 1 = (T + 1)(T m 1 T m T 1). Bevis. (1) (T 1)(T m 1 + T m ) = (T m + T m T ) (T m 1 + T m T + 1) = T m 1. (2) (T + 1)(T m 1 T m 2 + T + 1) = (T m T m 1 + T 2 + T ) + (T m 1 T m 2 + T + 1) = T m + 1. (3) Vi får (3) fra (1) ved å sette T for T Proposisjon. La m og a være positive heltall. (1) Om 2 m + 1 er et primtall må m = 2 n for noe n 0. (2) Om m > 1 og a m 1 er et primtall må a = 2 og m må være et primtall.

19 4. FERMAT TALL OG MERSENNE TALL 11 Bevis. (1) Anta at m = 2 n q der q > 1 og q er odde. Av Lemma (2) med T = 2 2n og m = q får vi 2 m + 1 = (2 2n ) q + 1 = (2 2n + 1)((2 2n ) q 1 + (2 2n ) q ). Derfor har 2 m + 1 en faktor 2 2n + 1 og 1 < 2 2n + 1 < 2 m + 1. Dette motsier at 2 m + 1 er et primtall så m kan ikke ha en odde faktor større enn 1, det vil si, m = 2 n. (2) Anta at m = m 1 n med 1 < m 1 < m. Av Lemma (1) med T = a m 1 og m = n får vi a m 1 = (a m 1 ) n 1 = (a m 1 1)(a m1(n 1) + a m2(n 2) + + 1). Derfor har a m 1 en faktor a m 1 1 og a m 1 1 < a m 1. Siden a m 1 er et primtall ved antagelsen må a 2 så 1 < a m 1 1. Vi har derfor at a m 1 har en faktor a m 1 1 som tilfredsstiller 1 < a m 1 1 < a m 1. Dette motsier at a m 1 er et primtall. Defor må m være et primtall. Setter vi m 1 = 1 og derfor m = n ovenfor ser vi at a m 1 har en faktor a 1 der 1 < a 1 < a m 1 så vi må ha a = 2 for at a m 1 skal være et primtall. Det følger av Proposisjonen at det er naturlig å spørre om for hvilke positive heltall n tallet 2 2n + 1 er et primtall, og om for hvilke primtall tallet 2 p 1 er et primtall Definisjon. Et tall på formen F n = 2 2n + 1 kalles et Fermat tall, og et tall på formen M n = 2 p 1 der p er et primtall kalles et Mersenne tall. Når M p er et primtall kalles M p et Mersenne primtall Bemerkning. Fermat mente tilsynelatende at alle Fermat tall er primtall. Det er lett å kontrollere at for n = 0, 1,..., 4 er F n primtall og Euler viste at F 5 = Vi kjenner ikke flere Fermat tall som er primtall enn F 0,..., F 4. Tallene M 2, M 3, M 5 og M 7 er alle primtall, men M 11 = 2047 = Det finnes en rekke andre Mersenne primtall, men vi vet ikke om det finnes uendelig mange Proposisjon. Ulike Fermat tall er innbyrdes primiske. Bevis. La d = SFD(F n, F n+k ) der k > 0. Vi får av Lemma (3) med T = 2 2n og m = 2 k at (2 2n ) 2k 1 = (2 2n + 1)((2 2n ) (2k 1) (2 2n ) (2k 2) n 1). Dette betyr at F n F n+k 2. Defor vil d 2. Men Fermat tallene er odde så vi må ha d = 1. Oppgave. Oppgave 1. Vi har at 641 = = Vis at det finnes et heltall q slik at 641q = så 641 deler F 5. (Ledetråd: = så = a for noe heltall a. Videre er 5 4 = så a = = ( )2 28 = Sett q = 2 28 a). Oppgave 2. Bruk Proposisjon til å vise at det finnes uendelig mange primtall.

20 12 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI

21 3. MODULREGNING 3.1. Definisjoner Modulregningen er et av standard verktøyene i matematikken. Vi gir her en fremstilling av modulregningen for heltall og viser noen måter den kan brukes på Definisjon. La n være et positivt heltall. For to heltall a og b skriver vi a b (mod n) om n a b, og vi sier at a er kongruent b modulo n. Om n a b skriver vi a b (mod n) og sier at b er inkongruent med b modulo n Eksempel. Vi har 16 1 (mod 5), 24 0 (mod 8), 23 5 (mod 6) Bemerking. Det kan synes at notasjonen og terminologien i Definisjon er klumpete og lite hensiktsmessig. Som vi skal se fremhever definisjonen på en genial måte at vi regner med ekvivalensklasser og notasjonen og tenkemåten er en av Gauss mange viktige bidrag til matematikken Lemma. La n være et positivt heltall og la a, b og c være heltall. Da vil (1) (Refleksivitet) a a (mod n). (2) (Symmetri) Om a b (mod n) så vil b a (mod n). (3) (Transitivitet) Om a b (mod n) og b c (mod n) så vil a c (mod n). Bevis. (1) a a (mod n) betyr at n a a = 0. (2) At a b (mod n) betyr at n a b. Men da vil n b a som betyr at b a (mod n). (3) Vi har at n a b og n b c. Men da vil n (a b + b c) = (a c), så a c (mod n) Bemerkning. De tre egenskapene i Lemma betyr at kongruens modulo et fast tall n er en ekvivalensrelasjon. Dette er det samme som å si at heltallene er en union av disjunkte ekvivalensklasser av heltall. Dette gjelder helt generelt, men vi skal allikevel vise dette i det spesielle tilfellet med ekvivalensklasser modulo n. 13

22 14 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Lemma. La n være et positivt heltall. Vi har at mengdene Z i = {a Z : a i (mod n)} = {i + bn : b Z} for i = 0,..., n 1 er disjunkte, og Z = Z 0 Z n 1. Bevis. At a Z i Z j betyr at a i (mod n) og a j (mod n). Derfor vil i j (mod n). Men dette er umulig medmindre i = j ettersom 0 i, j < n. Derfor er i = j og vi har vist at mengdene Z i er disjunkte. Videre kan hvert heltall a skrives a = qn+r med 0 r < n ved Divisjonsalgoritmen 1.1.4, hvilket betyr at a Z r. Derfor er Z unionene av mendgene Z 0,..., Z n Eksempel. For eksempel får vi for n = 4 at Z er den disjunkte unionen av ekvivalensklassene Z 0 = {4c : c Z}, Z 1 = {4c + 1 : c Z}, Z 2 = {4c + 2 : c Z}, Z 3 = {4c + 3 : c Z}. Det vil si, hver tall b Z kan skrives på formen b = 4c + i med i lik et av tallene 0, 1, 2, 3, og 4c+i = 4c +i med 0 i, i 3 hvis og bare hvis i = i. Notasjonen a b (mod n) betyr at a og b er i samme ekvivalensklasse og betoner at vi ikke behøver å skille på a og b når vi bare er interessert i egenskaper som ikke er avhengige av divisjon med n Definisjon. Vi kaller mengdene Z 0,..., Z n 1 for ekvivalensklasser modulo n, og vi sier at et heltall a representerer ekvivalensklassen Z i om a Z i. Neste resultat viser hvordan vi kan regne modulo et gitt tall Lemma. La n være et positivt heltall, og la a a (mod n) og b b (mod n). Da vil (1) a + b a + b (mod n). (2) ab a b (mod m). (3) Om f(t ) = a 0 T d + a 1 T d 1 + a d er et polynom med heltallskoeffisienter vil f(a) f(a ) (mod n). Bevis. (1) Forutsetningen er at n a a og n b b. Da vil n (a a + b b ) = (a + b) (a + b ) det vil si a + b a + b (mod n). (2) Vi har også at n b(a a )+a (b b ) = ab a b, det vil si ab a b (mod n). (3) Ved gjentatt bruk av (2) får vi at a i a d i a i b d i (mod n) for i = 0,..., d og ved gjentatt bruk av (1) at f(a) f(a ) (mod n) Eksempel. Vi illustrerer hvordan modulregningen forenkler oppgave å finne resten av et produkt av to tall ved divisjon med et tall. Skal vi regne ut resten til ved divisjon med 12 får vi av divisjonalgoritmen at 139 = og 184 = så (mod 12), og (mod 12). Derfor er (mod 12) og 28 4 (mod 12), så resten av ved divisjon med 12 er 4.

23 3.2. DEFINISJONER Eksempel. Vi viser hvordan modulregningen forenkler oppgaven å finne resten av en potens av et tall ved divisjon med et tall. For å finne resten av 2 99 ved divisjon med 6 kan vi bruke at (mod 6). Da vil 2 99 (2 3 ) (mod 6). Videre er 2 33 (2 3 ) (mod 6). Vi får (2 3 ) (mod 6). Vi har sett hvordan vi kan addere og multiplisere tall modulo et gitt tall n. For tall som er primiske med n er det også mulig å dividere Lemma. La n være et positivt tall. (1) For hvert tall a som er innbyrdes primisk med n har ligningen ax 1 (mod n) en løsning. (2) Om ab ac (mod n) vil b c (mod n). Bevis. (1) De Av antagelsen er SFD(a, n) = 1, eller ekvivalent, 1 = ax + ny for noen heltall x og y. Men dette betyr at ax 1 (mod n). (2) Om ax ay (mod n) får vi at a(x y) 0 (mod n), det vil si, n a(x y). Av Proposisjon (1) må da n x y, det vil si, x y (mod n) Eksempel. Vi illustrerer Lemma med et par eksempler. (1) La p = 7. Da vil (mod 7), (mod 7), (mod 7), (mod 7). (2) La n = 12. Da vil (mod 12), (mod 12), (mod 12), (mod 12). Oppgaver. Oppgave 1. Finn resten av 5 57 ved divisjon med 17. Oppgave 2. For a = 1,..., 18, finn x slik at ax 1 (mod 19). Oppgave 3. En ekvivalensrelasjon på en mengde er en relasjon a b mellom noen par av elementer a og b i S som for alle elementer a, b, c i X tilfredsstiller følgende krav: (1) (Refleksivitet) a a. (2) (Symmetri) Om a b vil b a. (3) (Transitivitet) Om a b og b c vil a c. (1) Vis at en ekvivalensrelasjon på S er ekvivalent med å ha en samling undermengder S i av S der i er med i en indeksmengde I, slik at S i S j = når i j, og S = i I S i. (2) Vis at S i ene sammenfaller med Z 0,..., Z n 1 når er ekvivalens modulo n.

24 16 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI 3.2. Fermat s og Euler s satser Fermat s lille sats er en av de mest kjente og anvendte i matematikken. Vi viser her en velkjent generalisering av Euler Definisjon. La n være et positivt heltall. La φ(n) være antallet tall blandt 1, 2,..., n 1 som er primiske med n. Funksjonen φ kalles Euler s funksjon Eksempel. De første verdiene av Euler s funksjon er gitt av φ(1) = 1, φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(6) = 2, φ(7) = 6, φ(8) = 4, φ(9) = 6, φ(10) = 4, φ(11) = 10, φ(12) = 4. Generelt vil φ(p) = p 1 for hvert primtall p Euler s sats. La n være et positivt heltall. For hver heltall a som er primisk med n har vi a φ(n) 1 (mod n). Bevis. La a 1,..., a φ(n) være tallene blandt 1, 2,..., n 1 som er primiske med n, og la a være et av disse tallene. Tallene a 1 a,..., a φ(n) a er innbyrdes inkongruente modulo n fordi om ia ja (mod n), med 1 i, j n 1 så vil n (i j)a, og derfor vil n i j av Lemma (1). Dette er umulig ettersom n < i j < n. Vi har altså at modulo n så er tallene a 1 a,..., a φ(n) a lik tallene a 1,..., a n in noen rekkefølge. Derfor vil a 1 a a φ(n) a a 1 a φ(n) (mod n). Det vil si, a 1 a φ(n) a φ(n) a 1 a φ(n) (mod n). Av Lemma (2) følger det at vi suksessivt kan dele bort a 1,..., a φ(n), og vi står igjen med a φ(n) 1 (mod n) Eksempel. For å illustrere regning modulo et tall verifiserer vi Euler s sats i tilfellet n = 15. Da vil φ(15) = 8. Vi har (mod 15), (mod 15), 4 4 (4 2 ) 2 1 (mod 15), 7 4 (7 2 ) (mod 15), (mod 15), 11 4 (11 2 ) 2 1 (mod 15), 13 4 (13 2 ) (mod 15) (mod 15) Eksempel. Vi så i Eksempel at det kan finnes eksponenter e strikt mindre enn φ(n) slik at a e 1 (mod n) for alle a som er primiske med n. Her er et eksempel til med n = 12, så φ(12) = 4. Men (mod 12), (mod 12), (mod 12), (mod 12) Fermat s lille sats. La p være et primtall. For hvert helt tall a som ikke er delbart med p har vi a p 1 1 (mod p). Ekvivalent har vi for alle heltall a at a p a (mod p). Bevis. Første delen følger er Euler s sats ettersom φ(p) = p 1. For andre delen observerer vi at av a p a (mod p) følger av den første delen, og om a ikke er delbar med p har vi ved Lemma (2) at vi kan dele bort a fra a p a (mod p) slik at vi får a p 1 1 (mod p).

25 3.2. FERMAT S OG EULER S SATSER Eksempel. Vi verifiserer Fermat s lille sats for p = 7. Da vil (mod 7), 2 6 (2 3 ) 2 1 (mod 7), 3 6 (3 2 ) (mod 7), 4 6 ( 3) 6 1 (mod 7), 5 6 ( 2) (mod 7), 6 6 ( 1) 6 1 (mod 7) Eksempel. Vi finner resten av ved divisjon med 17. Av Fermat s lille sats vil (mod 17). Vi har 124 = så (mod 17). Nu er (mod 17) så (6 2 ) (mod 17), så resten blir Eksempel. Vi har at a 4 1 (mod 30) for alle a som er primiske med 30 = Det følger av Lemma (2) rekker det å vise at a 32 1 (mod p) når p = 2, 3, 5. Men ved Fermat s lille sats vil a 1 (mod 2), a 2 1 (mod 3), og a 4 1 (mod 5) Wilson s sats. La n være et heltall. Da er n et primtall hvis og bare hvis (n 1)! 1 (mod n). Bevis. Anta at n = p er et primtall. For hvert tall a som ikke er delbart med p har vi av Lemma (1) at det finnes et heltall b slik at ab 1 (mod p). Vi har at a b (mod p) om a 1 (mod p), eller a 1 (mod p) fordi a 2 1 (mod p) medfører at (a + 1)(a 1) 1 (mod p), og det følger av Lemma (1) at da må a 1 (mod p) eller a 1 (mod p). For hver a blandt tallene 2, 3,..., p 2 finnes det derfor et tall b blandt 2, 3,..., p 2 slik at ab 1 (mod p) og a b (mod p). Derfor vil (p 1)! 1(p 1) 1 (mod p). Omvendt, om n ikke er et primtall vil n ha en primfaktor p < n. Da vil p (n 1)!. Men da kan ikke n (n 1)! + 1 fordi dette ville bety at p (n 1)! + 1 og derfor at p 1. Oppgaver. Oppgave 1. Er a 29 1 (mod 30) for alle heltall a som er primiske med 30? Oppgave 2. La p være et odde primtall. Vis at ligningen x 2 1 (mod p) har en løsning hvis og bare hvis p 1 (mod 4). (Ledetråd: Ettersom i p i (mod p) og p i gjennomløper tallene p 1,..., (p + 1)/2 når i gjennomløper tallene 1,..., (p 1)/2 får vi (p 1)! (((p 1)/2)!) 2 ( 1) (p 1)/2 (mod p). Av Wilson s sats får vi (((p 1)/2)!) 2 ( 1) (p+1)/2 (mod p). Når p 1 (mod 4) er (p + 1)/2 odde så x = ((p 1)/2)! er en løsning til x 2 1 (mod p). Anta at p 3 (mod 4). Da er (p 1)/2 odde. Om x 2 1 (mod p) så er x primisk med p så Fermat s lille setning gir x p 1 1 (mod p). Derfor vil 1 (x 2 ) (p 1)/2 ( 1) (p 1)/2 1 (mod p), som er umulig ettersom p er odde.

26 18 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Oppgave 3. Vis at Euler s funksjon φ er multiplikativ, det vil si om m og n er innbyrdes primiske heltall så vil φ(mn) = φ(m)φ(n). (Hint: Vi kan klart anta at m > 1 og n > 1. Del opp elementene 1, 2,..., nm i m grupper Z i = {i, m + i,..., (n 1)m + i}, hver med n elementer. Elementene i Z i er kongruente modulo m og hver av mengdene Z 1,..., Z m svarer til en kongruensklasse modulo m. Derfor vil nøyaktig φ(m) av mendgene Z 1,..., Z m svare til kongruensklasser av elementer som er primiske med m. Resten av elementene i mengdene Z 1,..., Z n består av tall a slik at SFD(a, m) > 1. Når j er primisk med n består Z j av tallene j, m + j,..., (n 1)m + j, som representerer ulike restklasser modulo n fordi am + j bm + j (mod n) medfører at n m(a b) og ettersom SFD(m, n) = 1 må n a b som er umulig når 0 a, b, < n. Derfor vil hver mengde med SFD(j, n) = 1 bestå av φ(n) tall som er primiske med n. Tilsammen får vi φ(m) mengder med φ(n) elementer i hver, der elementene er primiske både til m og n. Derfor er φ(mn) = φ(m)φ(n).) Oppgave 4. La Z 0,..., Z n 1 være ekvivalensklasser modulo n. Betrakt disse som elementer i en mengde Z/nZ med elementer [0], [1],..., [n 1] slik at Z i svarer til [i]. Vi har en avbildning [ ] : Z Z/nZ definert ved at bildet [a] av et heltall a er [r] der r er gitt av a = qn+r med 0 r < n. (1) Vis at vi kan definere en addisjon på elementene i Z/nZ slik at [a+b] = [a]+[b] for alle heltall a og b. (2) Vis at vi kan definere en multiplikasjon på elementene i Z/nZ slik at [ab] = [a][b] for alle heltall a og b. (3) Skriv opp multiplikasjonstabellene for addisjon og multiplikasjon for Z/nZ når n = 5. (4) Vis at for alle heltall a, b, c vil (i) (Kommutativitet) [a + b] = [b + a] (ii) (Enhet) [0 + a] = [a]. (iii) (Invers) [a] + [ a] = [0]. (iv) (Transitivitet) ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]). Egenskapene (i)-(iv) betyr at Z/nZ danner en kommutativ gruppe under addisjon. (5) Vi at for alle heltall a, b, c vil (i) (Kommutativitet) [ab] = [ba]. (ii) (Enhet) [1 a] = [a]. (vi) (Transitivtet) ([a][b])[c] = [a]([b][c]). (6) Vis at når a er innbyrdes primisk med n så finnes et tall x slik at (iii) (Invers) [x][a] = [1]. Egenskapene (i)-(iv) betyr at elementene [i] i Z/nZ slik at SFD(i, n) = 1 er en kommutativ gruppe under multiplikasjon. 3. Primtallstesting Primtallene er nyttige ikke bare i matematikken, men også i anvendelser, som for eksempel ved offentlig kryptering. Derfor er det viktig å ha bra metoder for å finne primtall, for å teste om et gitt tall er et primtall. Vi skal her gi en metode for å

27 3. PRIMTALLSTESTING 19 teste om et tall er et primtall basert på Fermat s lille sats, og som på kort tid kan fortelle oss, med stor sannsynlighet, om et tall er et primtall. Først behøver vi en hjelpesetning som sier noe om hvor store sjansene er at vi finner primtall Lemma. La n være et positivt heltall slik at det finnes et tall b primisk med n med b n b (mod n). La a 1,..., a k og b 1,..., b l være tallen blandt 2, 3,..., n 1 slik at a n i a i (mod n) respektive b n j b j (mod n). Da vil ba 1,..., ba k være innbyrdes inkongruente modulo n og (ba i ) n ba i (mod n). Spesielt vil l k. Bevis. At ba i ba j (mod n) når i j følger av Lemma (1) ettersom b er primisk med n av antagelsen og n < b i b j < n. Videre har vi at (ba i ) n b n a n i b n a i (mod n). Det følger derfor av Lemma (2) at siden b n b (mod n) så vil b n a i ba i (mod n) Metoden. For å teste om et helt tall n er et primtall velger vi først et vilkårlig tall a 1 blandt 2, 3,..., n 1. Da er det lett å bestemme, med Euklid s algorime 1.2.8, om a 1 og n har en felles divisor større enn 1. Om det finnes en slik divisor kan n ikke være et primtall, og vi er ferdige. Om a 1 og n er innbyrdes primiske regner vi ut a n 1 modulo n. Er an 1 a 1 (mod n) følger det av Fermats lille sats at n ikke er et primtall, og vi er også ferdige. Om, derimot, a n 1 a 1 (mod n) kan vi ikke avgjøre om n er et primtall eller ikke, for et sammensatt tall kan ha a n a (mod n) for noe tall a og b n b (mod n) for et annet tall b. For eksempel er (mod 6) og (mod 6). Om n ikke er et primtall og det finnes et tall b blandt 1, 2,..., n slik at b n b (mod n) er imidlertid sjansen for å finne et all a primisk med n slik at a n a (mod n) mindre enn 1/2 på grunn av Lemma Vi fortsetter nu med å velge et vilkårlig tall a 2 blandt 2, 3,..., n 1. Igjen undersøker vi om SFD(a 2, n) > 1. Er det slik er n ikke primtall og vi slutter. Om a 2 og n er primiske regner vi igjen ut a n 2 modulo n. Igjen følger av Fermats lille sats at om a n 2 a 2 (mod n) så er n ikke et primtall og vi slutter. Om a n 2 a 2 (mod n) fortsetter vi, og vi vet at sjansen for å finne a 1 og a 2 med a n 1 a 1 (mod n) og a n 2 a 2 (mod n) er mindre enn (1/2)(1/2) = 1/4. Om vi kan fortsette denne testen k ganger og finne a 1,..., a k, alle inbyrdes primiske med n, slik at a n i a i (mod n) for i = 1,..., k vet vi at sjansen for dette er mindre enn 1/2 k. Vi kan derfor, litt løst, si at sjansen for at n er et primtall er 1 1/2 k, som blir veldig nær 1 for rimelige verdier av k. Om vi kan finne a 1,..., a k primiske med n slik at a n i a i (mod n) for i = 1,..., k har vi derfor funnet at n er et primtall med stor sannsynlighet. Ofte rekker dette for de fleste praktiske formål Carmichael tall. Et interessant tilfelle er når n er sammensatt a n a (mod n) for alle a primiske med n. Da feiler vår test i fullstendig. Slike tall n kalles Carmichael tall. Heldigivs for testen ovenfor er det få Carmichael tall, og det var først i 1992 [AGP] at det ble vist at det finnes uendelig mange Carmichael tall Eksempel. Det minste Carmichael tallet er 561 = For å vise at 561 er et Carmichael tall rekker det ved gjentatte ganger å bruke Lemma (2) å vise at a 561 er kongruent med a modulo 3, 11 og 17 for alle a primiske med 561. Av Fermats lille sats har vi a 16 1 (mod 17), a 10 1 (mod 11) og a 2 1 (mod 3)

28 20 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI når a er primisk med 561. Av 561 = , 561 = , og 561 = får vi a 561 (a 16 ) 35 a a (mod 17), a 561 (a 10 ) 56 a a (mod 11), respektive a 561 (a 2 ) 280 a a (mod 3). Oppgave. Oppgave 1. For raskt å regne ut potenser a n av et tall a kan vi bruke todeling. For eksempel, om vi vil regne ut a 87, kan vi bruke sekvensen av utregninger a 87 (a 43 ) 2 a, a 43 = (a 21 ) 2 a, a 21 = (a 10 ) 2 a, a 10 = (a 5 ) 2, a 5 = (a 2 ) 2 a, a 2 = aa. Det vil si, vi klarer oss med 5 multiplikasjoner med a og 5 kvadreringer for å finne a 87 istedenfor 87 multiplikasjoner med a. Modulo et tall n gå det derfor meget raskt å finne potenser av et gitt tall. Vis mer generelt at vi kan regne ut a n ved hjelp av funksjonene som sender x til x 2, og x til x 2 a med omkring ln(n) multiplikasjoner. Oppgave 2. Test metoden i for noen av tallene 5, 6,..., 20. Oppgave 3. Vis at om n er et produkt av ulike primtall og p 1 n 1 for hver primtall p som deler n, da vil n enten være et primtall eller et Carmichael tall. Bruk dette til å vise at 561 = er et Carmichael tall. Oppgave 4. Vis at 1729 er et Carmichael tall.

29 4. ARITMETISKE FUNKSJONER Definisjoner og eksempler Aritmetiske funksjoner forekommer overalt i matematikken, og spiller en viktig rolle i store deler av tallteorien. Her gir vi noen eksempler på aritmetiske funksjoner og viser noen av de fundamentale egenskapene til slike funksjoner Definisjon. En aritmetisk funksjon f er en funksjon fra positive hele tallene N til de komplekse tallene, eller ekvivalent, en sekvens a 1, a 2,..., av komplekse tall. Vi sier at f er multiplikativ om f(mn) = f(m)f(n) når SFD(m, n) = Bemerkning. Om n 1,..., n k er innbyrdes primiske hele tall har vi at f(n 1,..., n k ) = f(n 1 ) f(n k ), som vi ser ved å bruke Definisjon flere ganger Notasjon. La f og g være aritmetiske funksjoner. For hvert heltall n betegner f(d)g(n/d) summen av f(d)g(n/d) over alle divisorene d til n, inklusive 1 og n Eksempler. (1) La d n { 1 n = 1 I(n) = 0 n > 1. Vi kaller I for identitetsfunksjonen. Denne aritmetiske funksjonen er klart multiplikativ. (2) La u(n) = 1 for alle n N. Vi kaller u for enhetsfunksjonen. Denne aritmetiske funksjonen er klart multiplikativ (3) La N(n) = n for alle n. Denne aritmetiske funksjonen er klart multiplikativ. (4) La n = p e 1 1 pe i k med e i 1 for i = 1,..., n. Vi setter { 0 om noen ei > 1 µ(n) = ( 1) k ellers. Vi kaller µ for Möbius µ funksjon. Den er klart multiplikativ. Vi har µ(1) = 1, µ(2) = 1, µ(3) = 1, µ(4) = 0, µ(5) = 1, µ(6) = 1, µ(7) = 1, µ(8) = 0, µ(9) = 0, µ(10) = 1,

30 22 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI (5) La τ(n) = d n u(d) = d n 1, det vil si, τ(n) er antallet divisorer i n, inklusive 1 og n. For eksempel er τ(12) = 6 fordi divisorene i 12 er 1, 2, 3, 4, 6, 12. (6) La σ(n) = d n N(d) = d n d, det vil si, σ(n) er summen av divisorene i n inklusive 1 og n. Av eksempel (5) følger det at σ(12) = 28. (7) Euler s funksjon φ definert i er en viktig aritmetisk funksjon Dirichlet produktet Vi kan multiplisere aritmetiske funksjoner ved å multiplisere verdiene av funksjonen, så kalt punktvis multiplikasjon. Et mye viktigere produkt er imidlertid Dirichlet produktet, eller konvolusjonen, av funksjonen. Vi skal definere dette produktet, og gi dets viktigste egenskaper Definisjon. La f og g være aritmetiske funksjoner. Dirichlet produktet, eller konvolusjonen, f g av f og g er den aritmetiske funksjonen definert ved (f g)(n) = d n f(d)g(n/d) for alle n. Ekvivalent har vi, ved å sette e = n/d, at (f g)(n) = de=n f(d)g(e) der summen er over alle par d, e av hele positive tall slik at de = n. Defor har vi også den ekvivalente formen av Dirichlet produktet, (f g)(n) = d n f(n/d)g(d) Eksempel. Vi har (f g)(12) = f(1)g(12) + f(2)g(6) + f(3)g(4) + f(4)g(3) + f(6)g(2) + f(12)g(1) Eksempel. Vi har (f u)(n) = f(d)u(n/d) = f(d) d n d n for alle n. Spesielt vil τ = u u og σ = N u. De viktigste egenskapene til Dirichlet produktet er gitt i følgende resultat:

31 4.2. DIRICHLET PRODUKTET Lemma. La f, g og h være aritmetiske funksjoner. Vi har (1) f g = g f. (2) (f g) h = f (g h). (3) f I = f = I f. Bevis. (1) Dette følger av formelen (f g)(n) = de=n f(d)g(e) i Definisjon (2) Vi har av Definisjon ((f g) h)(n) = (f g)(d)h(c) dc=n = de=n ab=d f(a)g(b)h(c) = abc=n f(a)g(b)h(c), der den siste summer er over alle tripler a, b, c slik at abc = n. På tilsvarende måte får vi f (g h)(n) = f(a) (g h)(e) ae=n = ae=n bc=e f(a)g(b)h(c) = abc=n der den siste summen igjen er over alle tripler a, b, c slik at abc = n. (3) f I = d n f(d)i(n/d) = f(n) = d n I(d)f(n/d) = I f Lemma. Vi har µ u = I, det vil si, { 1 om n = 1 µ(d) = I(n) = 0 om n > 1. d n f(a)g(b)h(c) Bevis. Det er klart at d 1 µ(d) = 1. La n > 1 og skriv n = pe 1 1 pe i k der p 1,..., p k er ulike primtall. Når d n vil µ(d) 0 nøyaktig når d = p i1 p il der 1 i 1 < < i l k. For gitt l finnes det nøyaktig ( k l) slike divisorer d = pi1 p il, og for hver slik divisor vil µ(d) er 1 om l er like og 1 om l er odde. Dette viser at µ(d) = 1 d n ( ) k + 1 ( ) ( ) k k + ( 1) k. 2 k Høyre siden i den siste ligningen er (1 1) k ved binominalformelen, så vi har vist lemmaet Möbius inversjon. La f og g være aritmetiske funksjoner. Da er f = g u hvis og bare hvis g = f µ. Med andre ord, f(n) = d n g(d)

32 24 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI hvis og bare hvis g(n) = d n f(d)µ(n/d). Bevis. Om f = g u har vi av Lemma og Lemma at f µ = (g u) µ = g (u µ) = g I = g. Omvendt gir de samme hjelpesetningene at om g = f µ så vil g u = (f µ) u = f (µ u) = f I = f Proposisjon. Om g og h er multiplikative aritmetiske funksjoner så er den aritmetiske funksjonen f = g h multiplikativ. Bevis. La m og n være innbyrdes primiske positive heltall. Det følger at om d mn så vil d = ab der a og b er entydig bestemte hele positive tall slik at a m og b n. Omvendt, for hver par a, b av hele positive tall slik at a m og b n får vi en divisor d = ab av mn. Det er altså en bijektiv korrespondanse mellom divisorer d til mn og par a, b av divisorer i m respektive n. Derfor vil f(mn) = (g h)(mn) = d mn g(d)h(n/d) = a m g(ab)h(mn/ab). Ettersom g og h er multiplikative ved antagelsene i proposisjonen får vi f(mn) = a m g(a)g(b)h(m/a)h(n/b) b n = g(a)h(m/a) g(b)h(n/b) = f(m)f(n). a m b n b n Eksempel. I Eksempel observerte vi at τ = u u og σ = N u. Det følger derfor av Proposisjon at τ og σ er multiplikative. Av Bemerkning får vi at om n = p e 1 1 pe k k der p 1,..., p k er ulike primtall så vil τ(n) = k (e i + 1) og σ(n) = i=1 k i=1 (p e i+1 i 1)/(p i 1) fordi, for et primtall p vil divisorene i p e være 1, p,..., p e så τ(p e ) = e + 1 og σ(p e ) = 1 + p + + p e = (p e+1 1)/(p 1).

33 4.3. GRUPPEN AV ARITMETISKE FUNKSJONER Proposisjon. Vi har Det vil si, N = φ u. n = d n φ(d). Proof. Sett S = {1,..., n}. For hver divisor d in n setter vi S d = {a S : SFD(a, n) = n/d}. Vi har at S er unionen av S d ene og at S d ene er disjunkte ettersom det for hvert a S finnes en entydig divisor d i n slik at SFD(a, n) = n/d. Derfor er antallet elementer i S lik summen av antallet elementer i S d. For å vise proposisjonen rekker det derfor å vise at antallet elementer i S d er φ(d). La a S d. Da vil SFD(a, n) = n/d så ved Lemma har vi SFD(ad/n, d) = 1. Ettersom a n vil ad/n d. Tallet ad/n ligger derfor i mengden U d av elementer i {1,..., d} som er primiske med d. Omvendt, om b U d vil SFD(b, d) = 1 så det følger av Lemma at SFD(bn/d, n) = n/d, det vil si bn/d S d. Vi har derfor en bijeksjon S d U d som avbilder a til ad/n og som har en invers som avbilder b til bn/d. Det er altså like mange elementer i S d som det er elementer i {1,..., d} som er primiske med d, det vil si φ(d). Vi har derfor vist proposisjonen Proposisjon. Euler s funksjon φ er multiplikativ. Om n = p e 1 1 pe k k der p 1,..., p k er ulike primtall med e i > 0 for i = 1,..., k vil φ(n) = k (p e i i=1 i p e i 1 i ) = n k (1 1/p i ). i=1 Bevis. Av Proposisjon har vi N = φ u. Det følger av Möbius inversjon at φ = N µ. Ettersom N og µ er multiplikative følger det av Proposisjon at φ er multiplikativ. Det følger av Bemerkning at φ(n) = k i=1 φ(pe i ). Siste delen av proposisjonen følger derfor av at tallene blandt 1, 2,..., p e som ikke er primiske med p e er de p e 1 tallene p, 2p,..., p e 1 p så φ(p e ) = p e p e 1. Oppgaver. Oppgave 1. Vis at d n τ(d)µ(n/d) = 1 og at d n σ(d)µ(n/d) = n Gruppen av aritmetiske funksjoner Definisjon. Vi sier at en aritmetisk funksjon f har en invers om det finnes en aritmetisk funksjon g slik at f g = I, med andre ord, hvis { 0 når n = 1 (f g)(n) = 1 når n > 1.

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver

Detaljer

HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL?

HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL? Innledning, referenser og matematikere HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL? Skövde 4. mai 200 Innledning, referenser og matematikere. Vi lever i en epoke da kunnskap er lavt vurdert. Vårt miljø invaderes

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1

Detaljer

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0 Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

3.1. Formodninger om primtall.

3.1. Formodninger om primtall. 15 Mai 2000 Kap 3.1 Formodninger om primtall 1 3.1. Formodninger om primtall. (3.1.1) Mersenne, Godbach og primtallstvillinger. Vi skal her forklare noen av de mest kjente formodningene om primtall. (3.1.2)

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe. Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det

Detaljer

Forelesning 20 mandag den 27. oktober

Forelesning 20 mandag den 27. oktober Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel 5.10.1. La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen... Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19

Detaljer

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................

Detaljer

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til

Detaljer

To nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner

To nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner To nyttige begreper Det er to begreper fra mengdelæren som til stadighet vil bli brukt i dette kurset, og som vi av erfaring vet kan være tungt fordøyelig for endel studender. For å få en skikkelig forståelse

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 ) For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den

Detaljer

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og

Detaljer

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors)

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.

Detaljer

Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og

Detaljer

KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994

KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994 KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles

Detaljer

Navn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643

Navn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643 Navn og referenser 1 GRUNNFORSKNING SKAL IKKE VÆRE NYTTIG. ET EKSEMPEL OM PRIMTALL Blackeberg, Kungsholmen, Spånga, Åsö, Norra R. 20-22-23 mars 2001, 19-21 mars 2002 grunnforskning nytte anvendelser offentlig

Detaljer

Det finnes ingen rettferdige valg!

Det finnes ingen rettferdige valg! Det finnes ingen rettferdige valg! Notater fra forelesninger i et prosjekt for gymnaset støttet av Marianne och Marcus Wallenbergs stiftelse. Dan Laksov Matematiska Institutionen KTH Matematiska Institutionen

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Il UNIVERSITETET I AGDER

Il UNIVERSITETET I AGDER Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.

Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre

Detaljer

Forelesning 10 torsdag den 18. september

Forelesning 10 torsdag den 18. september Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se

Detaljer

Forelesning 24 mandag den 10. november

Forelesning 24 mandag den 10. november Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm,

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 LØSNINGSFORSLAG SIF55 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 8. desember 22 Oppgave a) Vi vil ha 77x (mod 3), så vi trenger en

Detaljer

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen

Detaljer

Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger

Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne

Detaljer

1 Primtall og divisorer

1 Primtall og divisorer Oppgaver 1 Primtall og divisorer KATEGORI 1 1.1 Primtallsfaktorisering Oppgave 1.110 Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave 1.111 Finn ut ved hjelp av tverrsummen

Detaljer

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Mengder, relasjoner og funksjoner

Mengder, relasjoner og funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

MAT1030 Forelesning 23

MAT1030 Forelesning 23 MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Oversikt over kryptografi

Oversikt over kryptografi Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/thorup/dlbook/april 11, 2005 DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Diskret matematikk finnes ikke Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

Oversikt over det kinesiske restteoremet

Oversikt over det kinesiske restteoremet Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Forelesning 4 torsdag den 28. august

Forelesning 4 torsdag den 28. august Forelesning 4 torsdag den 28. august 1.10 Rekursjon Merknad 1.10.1. Hvert tall i sekvensen 1, 2, 4, 8, 16,... er to ganger det foregående. Hvordan kan vi beskrive sekvensen formelt? Vi kan ikke skrive

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................

Detaljer

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe Forord Dette heftet i tallteori er tilpasset Matematisk institutts nettbaserte kurs i tallteori og baserer seg i stor grad på Erik Alfsen og Tom Lindstrøms kompendium i tallteori for MA 115/215. Heftet

Detaljer

KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER

KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013 Tall og mengder Per G. Østerlie 30. september 2013 1 Introduksjon Nå skal vi se på hva mengder og intervaller er og hvilke symboler vi benytter. Vi starter med å se på tall og hvordan vi kan dele opp i

Detaljer

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ). Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Tallenes hemmeligheter Kapittel Oppgave 5. Nei Oppgave 7. Addisjon og multiplikasjon Oppgave 8. b) Hvis vi ser på hele tall er {1},

Detaljer

Eksamen MAT H Løsninger

Eksamen MAT H Løsninger Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F

Detaljer

Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X

Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X Problemløsing Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse Einar Andreas Rødland 199X Innhold 1 Innledning 3 2 Logikk og beviser 3 3 Geometri 5 4 Reductio ad absurdum 7 5 Induksjonsbevis

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004.

KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004. KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004 av Hans Engenes 18. august 2004 2 Innhold 1 Tallteori 3 1.1 Innledning...............................

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Frankering og computer-nettverk

Frankering og computer-nettverk 318 Frankering og computer-nettverk Øystein J. Rødseth Universitetet i Bergen Beskrivelse av oppgaven. I denne oppgaven vil du bruke kombinatorikk, tallteori og muligens også litt analyse. Oppgaven er

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

Forelesning 7 mandag den 8. september

Forelesning 7 mandag den 8. september Forelesning 7 mandag den 8. september 1.1 Absoluttverdien Definisjon 1.1.1. La n være et heltall. Da er absoluttverdien til n: (1) n dersom n 0; (2) n dersom n < 0. Merknad 1.1.2. Med andre ord får vi

Detaljer

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.

Detaljer

OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI

OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI S. O. SMALØ Abstract. I dette notatet, som skal inngå som pensum i etterog viderutdanningskurs i datasikkerhet, vil vi gi en kort innføring i oentlig-nøkkel-kryptogra med illustrasjoner

Detaljer

Heltallsdivisjon og rest div og mod

Heltallsdivisjon og rest div og mod Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16

INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16 INDUKSJONSPRINSIPPET MAT - H ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN. Matematisk induksjon I læreboken står kun en liten trudelutt om matematisk induksjon i margen på side 0 (side 09 i utg. 7, side 08 i utg. ). Det er

Detaljer

HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510

HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 BJØRN JAHREN Euklids Elementer introduserte den aksiomatiske metode i geometrien, og i mer enn 2000 år var den omtrent enerådende som lærebok i geometri.

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til

Detaljer

Kryptering Kongruensregning Kongruensregning i kryptering Litteratur. Hemmelige koder. Kristian Ranestad. 9. Mars 2006

Kryptering Kongruensregning Kongruensregning i kryptering Litteratur. Hemmelige koder. Kristian Ranestad. 9. Mars 2006 i kryptering 9. Mars 2006 i kryptering i kryptering i kryptering En hemmelig melding Kari sender til Ole den hemmelige meldingen: J MPWF V siden responsen er litt treg prøver hun påny med: U EVOL I Nå

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod

Detaljer