(define (naer-nok-kuberot? y x) (< (abs (- (kube y) x)) 0.001)) (define (naermere-kuberot y x) (/ (+ (* y 2) (/ x (kvadrat y))) 3))

Transkript

1 Oppgave 1 For å komme nærmere kuberoten (tredjeroten) til et tall x fra en foreløpig tilnærming y, kan vi bruke formelen (2y + x/y 2 )/3. Skriv prosedyrene (nær-nok-kuberot? y x), (nærmere-kuberot y x) og (kube x) tilsvarende (nær-nok-kvadratrot? y x), (nærmere-kvadratrot y x) og (kvadrat x). (define (naer-nok-kuberot? y x) (< (abs (- (kube y) x)) 0.001)) (define (naermere-kuberot y x) (/ (+ (* y 2) (/ x (kvadrat y))) 3)) (define (kube x) (* x x x)) Skriv om prosedyren kvadratrot-tilnærming til en generell prosedyre tilnærming som tar et to-arguments-predikat nær-nok? og en to-arguments-prosedyre nærmere som argumenter i tillegg til argumentene x og y. Skriv så en prosedyre kuberot som kaller tilnærming med passende argumenter fra. (define (tilnaerming y x naer-nok? naermere) (if (naer-nok? y x) y (tilnaerming (naermere y x) x naer-nok? naermere))) (define (kuberot x) (tilnaerming 1.0 x naer-nok-kuberot? naermere-kuberot)) Skriv om prosedyren kuberot fra slik at den kaller tilnærming med lambda-uttrykk i stedet for ferdig definerte prosedyrer. (define (kuberot x) (tilnaerming 1.0 x (lambda (y x) (< (abs (- (kube y) x)) 0.001)) (lambda (y x) (/ (+ (* y 2) (/ x (kvadrat y))) 3)))) Gitt følgende definisjon og kalleksempler, der prosedyren tilnærming er fra punkt : (define (listesøk x liste) (tilnærming liste x <??> <??>)) (listesøk 'c '(a b c d)) (c d) (listesøk 'e '(a b c d)) () Side 1 av 6

2 Fyll ut de manglende delene med passende lambda-uttrykk. ;; NB! (Her hadde de to første argumentene byttet plass i oppgaveteksten) (define (listesøk x liste) (tilnaerming liste x (lambda (liste x) (or (null? liste) (eq? x (car liste)))) (lambda (liste x) (cdr liste)))) Oppgave 2 Adderingen i add skal utføres ved at add kun kaller basisprosedyrene og seg selv. Skriv en strengt rekursiv versjon av prosedyren add, uten å bruke noen hjelpeprosedyre. (define (add x y) (if (zero? y) x (inc (add x (dec y))))) Skriv en halerekursiv versjon av prosedyren add, uten å bruke noen hjelpeprosedyre. (define (add x y) (if (zero? y) x (add (inc x) (dec y)))) Subtraheringen i sub skal utføres på tilsvarende måte som adderingen i add hvilket bl.a. utelukker bruken av noen sammenligningsoperator. Skriv en halerekursiv versjon av prosedyren sub, uten å bruke noen hjelpeprosedyre. (define (sub x y) (if (or (zero? y) (zero? x)) x (sub (dec x) (dec y)))) Ved beregningen av produktet i mul kan det, i tillegg til basisprosedyrene, være greit å benytte prosedyren add og sub hhv. i allmentilfellet og i basistilfellet ved rekursjonen. Skriv en strengt rekursiv versjon av prosedyren mul, uten å bruke noen hjelpeprosedyre.. (define (mul x y) (if (zero? y) y (add (mul x (dec y)) x))) Side 2 av 6

3 (e) En mulig strategi for å beregne heltallskvotienten i div, er å telle hvor mange ganger divisor y kan dekrementeres, samtidig som dividenden x dekrementeres så langt ned som mulig. Med en slik strategi kan det være greit å bruke en hjelpeprosedyre. Skriv prosedyren div. (define (div x y) (define (iter x-dec y-dec y-count) (cond ((zero? x-dec) y-count) ((zero? y-dec) (iter (dec x-dec) (dec y) (inc y-count))) (else (iter (dec x-dec) (dec y-dec) y-count)))) (iter x (dec y) (sub x x))) ;; Bedre svar fra kandidat 6707 (Euclids metode?) (define (div x y) (cond ((zero? y) (error "Divisjon på null!" x y)) ((zero? (sub (inc x) y)) (sub x x)) (else (inc (div (sub x y) y))))) Oppgave 3 Skriv prosedyren (legg-til-mengde element mengde) som legger element til mengde og returnerer resultatmengden. (define (legg-til-mengde element mengde) (if (medlem? element mengde) mengde (cons element mengde))) Skriv predikatet (mengde? liste), som sjekker om liste er en mengde, dvs. om den inneholder bare unike verdier. (define (mengde? set) (cond ((null? set) #t) ((medlem? (car set) (cdr set)) #f) (else (mengde? (cdr set))))) Skriv predikatet (delmengde? A B) som sjekker om A er en delmengde av B, dvs. om alle elementene i A finnes i B. Side 3 av 6

4 (define (delmengde? A B) (or (null? A) (and (medlem? (car A) B) (delmengde? (cdr A) B)))) ;; Her er selvsagt en cond-setning à la minst like bra Skriv prosedyren (snitt A B) som returnerer snittet av mengdene A og B. (define (snitt A B) (cond ((or (null? A) (null? B)) '()) ((medlem? (car A) B) (cons (car A) (snitt (cdr A) B))) (else (snitt (cdr A) B)))) (e) Skriv prosedyren (potensmengde M) som genererer potensmengden til M med eller uten den tomme mengden. (define (potensmengde mengde) (if (null? mengde) '() (append (legg-til-hver-mengde (car mengde) (potensmengde (cdr mengde))) (potensmengde (cdr mengde))))) (define (legg-til-hver-mengde legg-til supermengde) (if (null? supermengde) (list (list legg-til)) (legg-til-mengde (legg-til-mengde legg-til (car supermengde)) (legg-til-hver-mengde legg-til (cdr supermengde))))) ;; Bedre svar fra kandidat 6707 (define (potensmengde m) (if (null? m) '(()) (let ((første (car m)) (restpotens (potensmengde (cdr m)))) (append restpotens (map (lambda (legg-til-mengde første a)) restpotens))))) Side 4 av 6

5 Oppgave 4 Definer prosedyren (heltall-fra n) som returnerer den uendelige strømmen av heltall fra og med n. (define (heltall-fra n) (cons-stream n (heltall-fra (+ n 1)))) Definer prosedyren (uten felles faktorer s) der s er en strøm med heltall. Prosedyren skal returnerer strømmen der første element er første element i s, og der ingen av de etterfølgende elementene er delelig med første element. Prosedyren skal dessuten være rekursiv slik at ingen av elementene i resultatstrømmen har felles faktorer. (define (uten-felles-faktorer tallstrøm) (cons-stream (stream-car tallstrøm) (uten-felles-faktorer (stream-filter (lambda (x) (not (delelig? x (stream-car tallstrøm)))) (stream-cdr tallstrøm))))) Definer prosedyren (faktorer n) som returnerer den endelige strømmen av primtallsfaktorene i n. Prosedyren skal beregne de aktuelle faktorene vha. primtallsstrømmen, og den skal ha en lineært voksende arbeidsmengde. Du kan definere primtallsstrømmen ved å kombinere og og bruke en lokal hjelpeprosedyre for å mate den inn. (define (faktorer n) (define (fakt n primtall) (cond ((= n 1) stream-nil) ((delelig? n (car primtall)) (cons-stream (car primtall) (fakt (/ n (car primtall)) primtall))) (else (fakt n (stream-cdr primtall))))) (fakt n (uten-felles-faktorer (heltall-fra 2)))) Definer en versjon av faktorer som har mindre enn linær vekst. Side 5 av 6

6 ;; Følgende er en tillemping av én av lærebokas algoritmer for generering ;; av primntallsstrømmen (s 330). (define (faktorer n) (define (kvadrat n) (* n n)) (define (fakt n primtall) (cond ((> (kvadrat (car primtall)) n) (cons-stream n stream-nil)) ((delelig? n (car primtall)) (cons-stream (car primtall) (fakt (/ n (car primtall)) primtall))) (else (fakt n (stream-cdr primtall))))) (fakt n (uten-felles-faktorer (heltall-fra 2)))) ;; Algoritmen kan på papiret gjøres et lite grann mer effektiv ved at den ;; divisjonen som allikevel må utføres i allmenntilfellet, gir grunnlag for ;; basis-testen. (I praksis er imidlertid den første varianten allikevel ;; den raskeste fordi divisjonen alene i versjonen under tar lenger tid enn ;; multiplikasjon og rest-operasjonen tilsammen i versjonen over.) (define (faktorer n) (define (fakt n primtall) (let* ((p (car primtall)) (d (/ n p))) (cond ((< d p) (cons-stream n stream-nil)) ((integer? d) (cons-stream p (fakt (/ n p) primtall))) (else (fakt n (stream-cdr primtall)))))) (fakt n (uten-felles-faktorer (heltall-fra 2)))) (e) Gjør kort rede for prinsippet for vekstreduksjonen fra til. Vekstreduksjonen er tilnærmet radikal, dvs. om vi, for enkelhets skyld, antar at antall primtall per heltall er konstant lik 1/c, er veksten redusert fra n/c til ( n)/c. Vekstreduksjonen oppnås ved at faktoriseringen avsluttes når løpende primtall p k > n, hvilket vil si det samme som at p k > n / p k. Dermed kan det ikke finnes noe primtall større enn p k som deler n, og n må selv være et primtall. (f) Definer prosedyren (divisorer n) som returnerer listen med divisorene til n (med eller uten divisoren 1 se hint). (define (divisorer n) (map (lambda (subset) (apply * subset)) (potensmengde (finitt-stream->list (faktorer n))))) Side 6 av 6