Rekursjon og lister. Stephan Oepen & Erik Velldal. 1. februar, Universitetet i Oslo

Transkript

1 INF2810: Funksjonell programmering Rekursjon og lister Stephan Oepen & Erik Velldal Universitetet i Oslo 1. februar, 2013

2 Agenda 2 Forrige uke Scheme Substitusjonsmodellen Blokkstruktur Predikater Kondisjonale uttrykk Rekursive prosedyrer Rekursive og iterative prosesser I dag Mer om rekursjon og prosess-typer Lister Rekursjon på lister Høyere-ordens prosedyrer

3 Litt oppsummering 3 Funksjon vs prosedyre vs prosess Rekursjon og iterasjon Big O-notasjon: Grov karakterisering av hvordan ressursbehov for en prosess vokser relativt til input n. O(g(n)) betyr at g(n) gir det øvre taket på prosessens vekstrate. Eller rettere, g(n)k, for en konstant k.

4 Rekursjon, igjen 4 Eksponentialfunksjonen: vårt foreløpig siste eksempel på hvordan ulike rekursive prosedyrer kan generere ulike prosesser. b n = a n = log b (a) b n = { 1 hvis n = 0 b b (n 1) ellers (define (expt b n) (if (= n 0) 1 (* b (expt b (- n 1))))) For hvert rekursive kall på expt etterlates et ventende kall på *. Nedtelling til basistilfellet. Genererer en lineær rekursiv prosess. Både plass- og tidsbruk er O(n).

5 Halerekursiv versjon 5 La oss omskrive prosedyren til halerekursiv form. Bruker også blokkstruktur og gjør rekursjonen i en intern hjelpeprosedyre. Samler resultatet i en akkumulator-variabel. Nedtelling til basistilfellet. Lineær iterativ prosess. Tid: O(n). Minne: O(1). (define (expt b n) (if (= n 0) 1 (* b (expt b (- n 1))))) (define (expt b n) (define (expt-iter prod count) (if (= count 0) prod (expt-iter (* b prod) (- count 1)))) (expt-iter 1 n))

6 Rekursjon, igjen (og igjen) Men det er mulig å implementere expt enda mer effektivt. I begge definisjonene over har expt vært basert på et mønster der f.eks b 8 regnes ut som: b b b b b b b b. Kan omstruktureres: b 2 = b b b 4 = (b 2 ) 2 b 8 = (b 4 ) 2 Færre operasjoner. Rekursiv prosess. Logaritmisk vekst; O(log n). 1 hvis n = 0 b n = (b n/2 ) 2 hvis n er partall b b (n 1) ellers (define (square x) (* x x)) (define (expt b n) (cond ((= n 0) 1) ((even? n) (square (expt b (/ n 2)))) (else (* b (expt b (- n 1)))))) 6

7 Lister 7 LISP = LISt Processing Hitil har vi sett på lister som prosedyrekall. Men lister er også en grunnleggende datastruktur. For å snakke om lister må vi først snakke om par.

8 Par 8 Konstrueres med prosedyren cons. Par kalles også cons-celler. En struktur som består av to pekere. car gir oss den første pekeren. cdr den andre. Eksempel? (define foo (cons 1 2))? foo (1. 2)? (car foo) 1? (cdr foo) 2 Kan illustreres med såkalt boks-og-peker-notasjon.

9 Par (forts.) 9 Elementene i et par kan selv være par. Muliggjør hierarkiske strukturer. Eksempel? (cons 1 2) (1. 2)? (cons (cons 1 2) (cons 3 4)) ((1. 2) 3. 4) Men par brukes først og fremst til å implementere singly linked lists.

10 Lister 10 Kjeder av cons-par der siste elementet er den tomme lista; ().? (cons 1 (cons 2 (cons 3 (cons 4 ()))))) ( ) Lister kan defineres rekursivt som: () eller et par der cdr er en liste.

11 Listeoperasjoner 11? (cons 1 (cons 2 (cons 3 (cons 4 ())))) ( )? (list ) ( )? (define foo (list ))? (car foo) 1? (cdr foo) (2 3 4)? (car (cdr foo)) 2? (cdr (cdr (cdr (cdr foo)))) ()? (null? foo) #f? (null? (list)) #t? (null? ()) #t

12 Den tomme lista og quote 12 NB: nil har ingen verdi i R 5 RS. I stedet brukes () for den tomme lista. Skrevet med det vi kaller quote.? () ()? () error: missing procedure En special form som gjør at uttrykket som følger ikke evalueres. Kortform for quote.? (+ foo bar) (+ foo bar)? (quote (+ foo bar)) (+ foo bar)? foo foo? (quote foo) foo

13 Flere quote-eksempler 13? (list ) ( )? ( ) ( )? (define foo 42)? (define bar 8)? (list foo bar) (42 8)? (foo bar) (foo bar)? (+ foo bar) 50? (+ foo bar) error: expected number? (list (+ 1 1) (+ 2 2)) (2 4)? ((+ 1 1) (+ 2 2)) ((+ 1 1) (+ 2 2))

14 Rekursjon på lister: Eksempel 1 14 Den innebygde prosedyren length returnerer lengden av en liste. Vi kan skrive den selv, som eksempel på listerekursjon.? (length (list 1 2 3)) 3? (length (list)) 0? (length ()) 0 Rekursiv plan: Lengden av en liste er 1 + lengden av resten av lista uten første element. Lengden av den tomme lista er 0 (basistilfellet).

15 Rekursjon på lister: Eksempel 1 (forts.) 15 I rekursjonen reduserer vi lista med cdr. For basistilfellet bruker vi null? for å spørre om lista er tom. Viser hvordan vi rekursivt traverserer en liste, (define (length items) (if (null? items) 0 (+ 1 (length (cdr items))))) men ofte ønsker vi også å bygge opp en ny samtidig...

16 Rekursjon på lister: Eksempel 2 16? (sqr-all (1 2 3)) (1 4 9)? (sqr-all (4 8 16)) ( )? (sqr-all ()) () (define (sqr-all items) (if (null? items) () (cons (square (car items)) (sqr-all (cdr items))))) sqr-all returnerer en liste der hvert element har blitt kvadrert. I hvert trinn transformeres det første elementet i lista. cons samler opp resultatet. Rekurserer på cdr av lista. Basistilfellet gir ().

17 Rekursjon på lister: Eksempel 3 17? (abs-all ( )) ( )? (abs-all ( )) (1 1 42)? (abs-all ()) () (define (abs-all items) (if (null? items) () (cons (abs (car items)) (abs-all (cdr items))))) abs-all skal returnere en ny liste med absoluttverdien av hvert element i input-lista. Mye av definisjonen til sqr-all kan gjenbrukes. I hvert trinn transformeres det første elementet i lista. cons samler opp resultatet. Rekurserer på cdr av lista. Basistilfellet gir ().

18 Muligheter for generalisering (1/2) 18 sqr-all og abs-all illustrerer hvordan vi gjør rekursjon over lister. Men de er også eksempeler på et generelt mønster: (define (proc-all items) (if (null? items) () (cons (proc (car items)) (proc-all (cdr items))))) Når vi har et mønster som går igjen er det tid for abstraksjon! Veldig enkelt: vi gjør proc til et argument. Denne prosedyren heter vanligvis map (og Scheme har en mer generell versjon innebygd).

19 Muligheter for generalisering (2/2) 19 sqr-all og abs-all illustrerer hvordan vi gjør rekursjon over lister. Men de er også eksempeler på et generelt mønster: (define (proc-all proc items) (if (null? items) () (cons (proc (car items)) (proc-all proc (cdr items))))) Når vi har et mønster som går igjen er det tid for abstraksjon! Veldig enkelt: vi gjør proc til et argument. Denne prosedyren heter vanligvis map (og Scheme har en mer generell versjon innebygd).

20 Høyere-ordens prosedyrer 20? (define (map proc items) (if (null? items) () (cons (proc (car items)) (map proc (cdr items)))))? (map square ( )) ( )? (map abs ( )) ( )? (define (abs-all items) (map abs items))? (abs-all ( )) ( ) Prosedyrer har førsteklasses status i funksjonelle språk. En høyere-ordens prosedyre er en prosedyre som tar andre prosedyrer som argument, og/eller har andre prosedyrer som sin returverdi. Lar oss abstrahere mønstre for hvordan prosedyrer brukes.

21 λ-uttrykk og anonyme prosedyrer 21 Det kan være upraktisk å alltid måtte bruke en forhånds-definert og navngitt prosedyre. Vi kan også spesifisere prosedyrer direkte med lambda-uttrykk. Generel form: (lambda ( argumenter ) kropp ) lambda lager et prosedyreobjekt. Men hvis vi ikke binder det til et navn med define kaller vi det en anonym prosedyre.? (define (square x) (* x x))? (define square (lambda (x) (* x x)))? (square 4) 16? ((lambda (x) (* x x)) 4) 16? (map (lambda (x) (* x x)) (1 2 3)) (1 4 9)? (map (lambda (x) (* x 100)) (1 2 3)) ( )

22 Neste gang 22 Mer om anonyme prosedyrer Lokale variabler og let-uttrykk Mer om høyere-ordens prosedyrer: Prosedyrer som returverdi λ