Side 1. Oppgave 1. Prosedyrer 1.1. Prosedyrene f og g skal begge returnere prosedyrer. a. Skriv f slik at ((f a) b) returnerer summen av a og b.

Transkript

1 Side 1 Oppgave 1. Prosedyrer 1.1. Prosedyrene f og g skal begge returnere prosedyrer. a. Skriv f slik at ((f a) b) returnerer summen av a og b. (define (f a) (lambda (b) (add a b ))) b. Skriv g, uten å bruke f, slik at (((g a) b) c) returnerer summen av a, b og c (og husk at add bare tar 2 argumenter). (define (g a) (lambda (b) (lambda (c) (add (add a b) c)))) 1.2. Skriv prosedyren rem. (define (rem a b) (sub a (mul b (div a b)))) 1.3. Semipredikatet congruent tar tre heltall a, b og m. Hvis delingen av a på m gir samme rest som delingen av b på m, returneres denne resten, og hvis ikke, returneres #f. Skriv prosedyren congruent (og husk at du ikke har noen predikat for å avgjøre om to tall er like). (define (congruent a b m) (let ((r-a (rem a m)) (r-b (rem b m))) (and (zero? (sub r-a r-b)) (zero? (sub r-b r-a)) r-a))) Oppgave 2. Rekursjon 2.1. Skriv prosedyren add slik at den gir en iterativ prosess. (define (add a b) (if (zero? b) a (add (succ a) (pred b)))) 2.2. Skriv prosedyren add slik at den gir en rekursiv prosess. (define (add a b) (if (zero? b) a (succ (add a (pred b))))) 2.3. Skriv prosedyren sub slik at den gir en rekursiv prosess. (define (sub a b) (if (zero? b) a (pred (sub a (pred b))))) 2.4. Skriv prosedyren mul slik at den gir en rekursiv prosess. (define (mul a b) (if (zero? b) b (add a (mul a (pred b)))))

2 Side Skriv prosedyren less-than?. ; alt. 1 (define (less-than? a b) (cond ((zero? a) (not (zero? b))) ((zero? b) #f) (else (less-than? (pred a) (pred b))))) ;alt.2: (define (less-than? a b) (cond ((zero? b) #f) ((zero? a)) ; kan bruke #t men ikke nã dvendig (else (less-than? (pred a) (pred b))))) ;alt.3: (define (less-than? a b) (and (not (zero? b)) (or (zero? a) (less-than? (pred a) (pred b))))) 2.6. Prosedyren div utfører divisjonen ved hjelp av den lokal prosedyren local-div, som bare kalles hvis det andre argumentet til div ikke er zero. Skriv prosedyren local-div slik at den gir en rekursiv prosess. (define (local-div a b) (if (less-than? a b) zero (succ (local-div (sub a b) b)))) 2.7. Pascals trekant er en rekke av For å illustrere hva vi er ute etter tallrekker av økende lengde, slik: representerer vi trekanten slik. La P(r, c) være tallet i kolonne c i rad r i Pascals trekant. Da er det slik at P(r, c) = 1, hvis c = 1 eller c = r, og P(r, c) = P(r 1, c 1) + P(r 1, c), hvis 1 < c < r. Prosedyre pascal tar en radindeks r og en kolonneindeks c og returnerer det tilsvarende tallet i Pascals trekant. Eks. (pascal 5 3) ==> 6. Skriv prosedyre pascal. Du kan gå ut fra at prosedyren aldri kalles med et kolonnenummer som er større en radnummeret, slik at, hvis ikke c = 1 eller c = r, så ligger alltid c mellom 1 og r. (define (pascal c r) (if (or (= c 1) (= c r)) 1 (+ (pascal (- c 1) (- r 1)) (pascal c (- r 1)))))

3 Side 3 Oppgave 3. Par og lister 3.1. Bruk selektorene car, cdr og kombinasjoner av disse for å hente ut hvert av de 6 første tallene i pr. Svaret skal bestå av seks separate uttrykk som returnerer henholdsvis 1, 1, 1, 1, 2 og 1. a a a a d a d a d a a d d a d a d d a d d a d d 3.2. Prosedyren list-tail tar en liste L og en indeks k som argumenter og returnerer listen fra og med element nummer k i L, talt fra zero. Har L har mindre enn k elementer gis det en feilmelding. Skriv list-tail. (define (list-tail L r) (cond ((null? L) (error "list-tail: ref too high")) ((zero? r) L) (else (L-tail (cdr L) (- r 1))))) 3.3. Vi vil ha en ny versjon av prosedyren pascal (se oppgave 2.7.) som opererer på listerepresentasjonen. Prosedyren må da få listen pr som første argument, foran de to indeksene. Bruk list-tail til å skrive den nye versjonen av prosedyren pascal. (define (pascal pr c r) (car (list-tail (car (list-tail pr (- c 1))) (- r 1)))) 3.4. Prosedyren next-pascal-row tar en rad i Pascals trekant som argument og returnerer raden under denne i trekanten (se innledningen til oppgave 2.7). Skriv next-pascal-row. ; alt. 2 rekursiv (define (next-pascal-row row) (define (next-row R) (if (null? (cdr R)) ; vi vet at R har minst ett element '(1) (cons (+ (car R) (cadr R)) (next-row (cdr R))))) (if (null? row) '(1) (cons 1 (next-row row))))

4 Side 4 ; alt. 2 iterativ (define (next-pascal-row row) (define (next-row R1 R2) (if (null? (cdr R1)) (reverse (cons 1 R2)) (next-row (cdr R1) (cons (+ (car R1) (cadr R1)) R2)))) (if (null? row) '(1) (next-row row '(1)))) 3.5. Prosedyren make-pascal-triangle tar et heltall n som argument og returnerer listen med de n første radene i Pascals trekant. Skriv make-pascal-triangle. (define (make-pascal-triangle n) (define (iter n t) (if (zero? n) (reverse t) (iter (- n 1) (cons (next-pascal-row (car t)) t)))) (iter n '(()))) Oppgave 4. Strømmer 4.1. Strømprosedyren gen-stream tar en unær prosedyre proc og en verdi preceding som første og andre argument, og returnerer strømmen der hvert nytt ledd er resultatet av anvendelsen av proc på det foregående leddet. Skriv gen-stream. (define (gen-stream proc pred) pred (gen-stream proc (proc pred)))) 4.2. Vi skal nå definere strømmen av radene i pascals trekant, pascal-rows-stream, slik at f.eks. (stream->list pascal-row-stream 5) ==> ((1) (1 1) (1 2 1) ( ) ( )) Skriv en prosedyre make-pascal-rows-stream som returnerer strømmen av rader i Pascals trekant. (Siden de enkelte radene skal være lister, kan du ha nytte av oppgave 3.4) (define (make-pascal-rows-stream) (gen-stream next-pascal-row '(1))) Ettertanke: Oppgaven var dårlig definert. Den burde ha vært formulert slik: "Definer strømmen make-pascal-rows-stream som strømmen av rader i Pascals trekant." (define pascal-rows-stream (gen-stream next-pascal-row '(1))) I de tre siste oppgavene ser vi på strømmen av tallene i pascals trekant, pascal-stream. Eks: (stream->list pascal-stream 15) ==> ( )

5 Side Prosedyren pascal-stream-ref tar tre argumenter: strømmen med pascal-tallene, ps, radnummeret r og kolonnenummeret c. Prosedyren finner P(r, c) i ps (se oppgave 2.7) og returnerer dette. Skriv pascal-stream-ref. (define (pascal-stream-ref ps row col) (define (iter ps c r) (cond ((and (= r row) (= c col)) (stream-car ps)) ((= c r) (iter (stream-cdr ps) 1 (+ r 1))) (else (iter (stream-cdr ps) (+ c 1) r)))) (iter ps 1 1)) 4.4. Prosedyren make-pascal-stream lager strømmen av pascal-tallene. Prosedyren tar de tre argumentene r, c og summands. r og c er løpende rad- og kolonnenummer og summands er en strøm som ligger suksessivt lenger og lenger etter det løpende leddet i pascal-strømmen, slik at løpende pascal-tall = (+ (stream-car summands) (stream-car (stream-cdr summands))). For å få oppdatert summands må vi forholde oss til tre tilfeller: - 1. vi er i første kolonne, - 2. vi er i siste kolonne, eller - 3. vi er mellom ytterkolonnene. Skriv make-pascal-stream. (define (make-pascal-stream row col summands) (cond ((= col 1) 1 (make-pascal-stream row 2 summands))) ((= col row) 1 (make-pascal-stream (+ row 1) 1 (stream-cdr summands)))) (else (+ (stream-car summands) (stream-car (stream-cdr summands))) (make-pascal-stream row (+ col 1) (stream-cdr summands)))))) 4.5. Bruk make-pascal-stream (om du har definert den eller ikke) til å definere pascal-stream, (her trengs det mer enn ett initielt ledd). (define pascal-stream (make-pascal-stream 3 1 (stream-cdr pascal-stream))))))

6 Side 6