GRUPPETEORI VIA MATRISER. Dan Laksov KTH, Stockholm. matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/gruppeteori/september 1, 2006

Transkript

1 GRUPPETEORI VIA MATRISER Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/gruppeteori/september 1, 2006

2 GRUPPETEORI VIA MATRISER

3 Gruppeteori via Matriser Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Et prosjekt høst 2006-vår 2007 støttet av: Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon I. Juli 2006 Matematiska Institutionen KTH

4 GRUPPETEORI VIA MATRISER Matematiska Institutionen KTH STOCKHOLM ISBN? c 2005 Matematiska Institutionen

5 FORORD Gruppeteorien tilhører de fundamentale områdene i matematikken. Den inngår, mer eller mindre eksplisitt, i de fleste grener av matematikken. Anvendelsesområdet er enormt både innenfor matematikk, naturvitenskap og teknikk. Forklaringen til dette er at grupper gir det naturlige språket for å beskrive alle slags symmetrier. På grunn av sin fundamentale karakter bør enhver lærer i matematikk på gymnasnivå ha en solid innsikt i gruppeteorien. Hensikten med disse notatene er å gi den nødvendige bakgrunnen om grupper, og deres anvendelser og opphav. Disse notatene er et supplement til forelesningene i Forum För Matematiklärare, eller kort Forum, det akademiske året Alt materialet til de syv forelesningene i Forum finnes i heftet, men inndelingen av notatene i kapittel og seksjoner svarer bare delvis til innholdet av forelesningen. Heftet er ment som hjelp for hukommelsen, eller for å finne supplerende og utdypende materiale. Notatene forutsetter bare kjennskap til de enkleste begrepene i grunnleggende matematikk. v

6 vi GRUPPETEORI VIA MATRISER

7 INNHOLD 1. Matrisegrupper 1.1 Operasjoner på matriser Matriser som avbildninger av det Euklidske rommet Matriser og symmetrier Permutasjoner Grupper 2.1 Grupper Undergrupper Gruppehomomorfier Restklasser Gruppevirkninger på mengder 3.1 Definisjoner Baner og Burnsides formel Spesielle grupper 4.1 Sykliske grupper Komposisjonsserier Sylows satser Abelske grupper 5.1 Produkter av abelske grupper og frie abelske grupper Struktursatsen for endelig genererte abelske grupper B. Bibliografi I. Index vii

8 viii GRUPPETEORI VIA MATRISER

9 1. MATRISEGRUPPER Supplement 1) Permutasjoner, 15 spill, grupper 2) Serier og uendelighet av primtall, likevekt 3) Integraler og paradoks med overflate og volum 4) Topologi paa de hele tallene 5) Fermats sats og koder 6) matriser og symmetrier 7) Lineær algebra og google. for boken: 1) Loesbarhet 1.1. Operasjoner på matriser En matrise er en oppstilling av tall. Den viktigste egenskapen ved slike oppstillinger er at de kan multipliseres med hverandre. Vi skal begynne med å påminne om hvordan dette gjøres og gi de mest brukte regnereglene for multiplikasjon av matriser. Disse reglene vil vi bruke til å motivere introduksjonen av grupper senere Notasjon. La M n R) betegne alle n n-matriser A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n.. a n1 a n a nn der a ij ene er relle tall. Vi kaller a ij den i, j) te koordinaten til A. Iblandt skriver vi for letthets skyld A = a ij ) n. Spesielt skriver vi I n = = δ ij ) n der δ ij er Kronecker deltaet definert ved { 1 når i = j δ ij = 0 når i j. 1

10 2 GRUPPETEORI VIA MATRISER Det vil si, I n har enere på diagonalen og alle andre koordinater er lik null. Vi kaller I n for enhetsmatrisen, eller identitetsmatrisen. For hver matrise A = a ij ) n skriver vi tr A = a ji ) n = Vi kaller tr A den transponerte til matrisen A. a 11 a a n1 a 12 a a n2.. a 1n a 2n a nn Definisjon. Produktet AB av to matriser A = a ij ) n og B = b ij ) n er AB = eller kortere a 11 b 11 +a 12 b a 1n b n1 a 11 b 12 +a 12 b a 1n b n2... a 11 b 1n +a 12 b 2n + +a 1n b nn a 21 b 11 +a 22 b a 2n b n1 a 21 b 12 +a 22 b a 2n b n2... a 21 b 1n +a 22 b 2n + +a 2n b nn. a n1 b 11 +a n2 b a nn b n1 a n1 b 12 +a n2 b a nn b n2 AB = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj ) n = a n1 b 1n +a n2 b 2n + +a nn b nn n a ik b kj ) n. k= Regneregler. Vi merker oss følgende velkjente regneregler for multiplikasjon av matriser. De er lette å verifisere, spesielt om man bruker kortformen for matriser. I n A = A = AI n, AB)C = ABC), tr AB) = tr B tr A. Av den andre regneregelen følger det at vi uten tvetydighet kan skrive AB)C = ABC = ABC) Definisjon. En matrise A i M n R) kalles invertibel om det finnes en matrise A slik at A A = I n = AA. Vi betegner de invertible matrisene i M n R) med Gl n R), og kaller Gl n R) den generelle lineære gruppen Proposisjon. Vi har at I n er invertibel og om A og B er invertible matriser så er A i Definisjon og AB invertible. Videre gjelder følgende regneregler: 1) Enhet) I n A = A = AI n. 2) Invers) Det finnes en matrise A i Gl n R) slik at A A = I n = AA. 3) Assosiativitet) For alle matriser A, B, C i Gl n R) har vi AB)C = ABC). Bevis. Det er klart at I n er invertibel. At A er invertibel følger umiddelbart av Definisjon fordi definisjonen er symmetrisk i A og A. For å vise at AB er invertibel merker vi at om A A = I n = AA og B B = I n = BB så vil B A AB = B I n B = B B = I n = AA = AI n A = ABB A. Med C = B A vil vi derfor ha C AB) = I n = AB)C. Det vil si, AB er invertibel. Regnereglene 1) og 3) gjelder for alle matriser, som vi bemerket i Eksistensen av A følger av definisjonen på en invertibel matrise.

11 1.2. MATRISER SOM AVBILDNINGER AV DET EUKLIDSKE ROMMET Lemma. La E være i M n R). 1) Om E er slik at EA = A for alle A i Gl n R) vil E = I n. 2) Om A A = I n = AA og A A = I n vil A = A. Bevis. Vi har I n = EI n = E ved egenskapene til E og I n. Videre har vi A = A I n = A AA ) = A A)A = I n A = A ved egenskapene til I n og A Definition. Det følger av Lemma at elementet A i Gl n R) slik at A A = I n = AA er entydig bestemt. Vi skrivera = A 1 og kaller A 1 den inverse matrisen til A. Oppgaver. Oppgave 1. La A, B, C være matriser i Gl n R). Vis 1) I n A = A = AI n. 2) AB)C = ABC). 3) tr AB) = tr B tr A. 4) AB) 1 = B 1 A 1. Ledetråd: Bruk kortformene A = a ij ) n, B = B ij ) n og C = c ij ) n for de tre første og Lemma for den fjerde.) Oppgave 2. ) Den endimensjonale ) Lorenz gruppen består av alle 2 2-matriser A A =. slik at tr A ) Beskriv elementene i Lorenz gruppen. 2) Vis at I 2 er i Lorenzgruppen, og om A, B er i Lorenz gruppen så er A 1 og AB i Lorenzgruppen. 3) Vis at regnereglene i Proposisjon gjelder. Oppgave 3. Den endimensjonale ) Symplektiske ) gruppen består av alle 2 2- matrisene A slik at tr A A = ) Beskriv elementen i den endimensjonale Symplektiske gruppen. 2) Vis at I n er i den endimensjonale Symplektiske gruppen, og om A, B er i gruppen så er A 1 og AB i den endimensjonale Symplektiske gruppen. 3) Vis at renereglene i Proposisjon gjelder. Oppgave 4. La H n R) bestå av alle matrisene. 1 a 12 a a 1n 1) a 1n ) Vis at I n er i H n R) og om A og B er der så vil A 1 og AB være der. 2) Vis at regnereglene i Proposisjon gjelder Matriser som avbildninger av det Euklidske rommet Matriser oppstår naturlig som lineære avbildninger av det Euklidske rommet. Den litt mystiske multiplikasjonen av matriser har sin forklaring i sammensetning av avbildninger. I forrige seksjon tok vi et mer unaturlig synspunkt og innførte matrisene og multiplikasjonen av disse først. Vi viser her hvordan matrisene gir avbildninger av det Euklidske rommet og vi gir de viktigste egenskapene ved disse avbildningene.

12 4 GRUPPETEORI VIA MATRISER Notasjon. La R n være det n-dimensjonale Euklidske rommet, det vil si, a 1 R n a 2 består av alle vektorer v =. der a i er relle tall. Vi kaller a i for den i te. koordinaten til v. For korthets skyld skriver vi også a n v = a i ) n og vi betegner den i te koordinatvektoren i R n med e i = δ ij ) n, det vil si, e i har koordinaten a i lik 1 og resten av koordinatene er 0. Ettersom en vektor v = a ij ) n er helt bestemt av sine koordinater a 1, a 2,..., a n skal vi ofte betrakte vektorene som punkter i det Euklidske rommet R n Definisjon. En matrise A = a ij ) n betrakter vi som en avbildning ved at bildet av vektoren v = a i ) n er Av = a 11 a a 1n a 21 a a 2n.. a n1 a n a nn a 1 a 2.. a n A : R n R n = a 11 a 1 +a 12 a 2 + +a 1n a n a 21 a 1 +a 22 a 2 + +a 2n a n. a n1 a 1 +a n2 a 2 + +a nn a n = n a ij a j ) n. j= Lemma. La A og B være matriser i M n R) og la v være en vektor in R n. Da har vi følgende regneregler: 1) Enhet) I n v = v. 2) Assosiativitet) AB)v = ABv). Bevis. Egenskapen 1) er klar. For å vise 2) setter vi A = a ij ) n, B = b ij ) n og v = a i ) n. Da vil Bv = j=1 b kja j )) n. På den andre siden har vi n j=1 b ija j ) n så ABv) = n k=1 a ik n at AB)v = n k=1 a ikb kj ) n a i ) n = n j=1 n derfor av at tallene n k=1 a ik n j=1 b kja j ) og n n j=1 n k=1 a ikb kj a j. k=1 a ikb kj )a j ) n. Likheten i 2) følger j=1 n k=1 a ikb kj )a j begge er lik tallet Bemerkning. Matrisen A = a ij ) n er bestemt av Ae j for j = 1,..., n fordi som er j te kolonne i A. Ae j = a 11 a a 1n a 21 a a 2n.. a n1 a n a nn δ 1j δ 2j. δ nj = a 1j a 2j. a nj

13 1.3. MATRISER OG SYMMETRIER Lineære avbildninger. Om v og w er punkter i R n slik at Av Aw så vil A avbilde linjen i R n gjennom v og w til linjen gjennom Av og Aw. Neste resultat gir de to viktigste egenskapene til avbildningen A : R n R n som medfører at A avbilder linjer til linjer. Vi sier at A er en lineær avbildning Proposisjon. La A være en matrise i M n R) og la v og w være vektorer i R n. For hvert reelt tall a gjelder følgende regneregler: 1) Aav) = aav). 2) Av + w) = Av + Aw. Bevis. 1) Vi skriver A = a ij ) n, v = a i ) n og w = b i ) n. Da har vi likheter Aav) = a ij ) n aa i ) n = n j=1 a ijaa j ) n og videre har vi at aav) = aa ij ) n a i ) n ) = a n j=1 a ija j ) n = a n j=1 a ijaa j ) n. Likheten 1) følger derfor av at n j=1 aa ija j = a n j=1 a ija j. 2) Vi har sekvensen av likheter Av + w) = a ij ) n a i + b i ) n = n j=1 a ija j + b j ) n og Av + Aw = a ij ) n a i ) n + a ij ) n b i ) n = n j=1 a ija j ) n + n j=1 a ijb j ) n = n j=1 a ija j + n j=1 a ijb j ) n. Likheten 2) følger derfor av at n j=1 a ija j + b j ) = n j=1 a ija j + n j=1 a ijb j. Oppgaver. Oppgave 1. Vis at n k=1 a ik n j=1 b kja j ) = n j=1 n k=1 a ikb kj )a j. Oppgave 2. Vis at en matrise A avbilder linjer til linjer. Ledetråd: Bruk parameterformen tv + 1 t)w for linjen gjennom punktene v = a i ) n og w = b i ) n.) ) Oppgave 3. La A = 0 1. Beskriv avbildningen A : R 2 R 2 geometrisk, det 1 0 vil si som rotasjoner, speilinger,.... Oppgave 4. La A = det vil si som rotasjoner, speilinger,.... Oppgave 5. La A = ). Beskriv avbildningen A : R 2 R 2 geometrisk, ). Beskriv avbildningen A : R 2 R 2 geometrisk, det vil si som rotasjoner, speilinger,.... ) Oppgave 6. Vis at matrisen A θ = cos θ sin θ gir en rotasjon av planet θ sin θ cos θ grader. Vis at addisjonsformlene for sinus og cosinus uttrykker at A θ A ϕ = A θ+ϕ. Oppgave 7. Vis at sammensetningen av speilingen i to linjer er det samme som en rotasjon med den dobbelte vinkelen mellom linjene Matriser og symmetrier Ettersom matriser avbilder punkter i det Euklidske rommet R n til punkter i R n vil den også avbilde samlinger av punkter, eller som vi skal si figurer i R n, til figurer i R n. Dette kan vi benytte til å gi en presis mening til begrepet symmetri av figurer i R n. Det er fristende å si at en matrise A i M n R) er en symmetri av en figur F i R n om den induserer en bijeksjon fra F til F, det vil si en avbildning slik at for

14 6 GRUPPETEORI VIA MATRISER hver w i F finnes nøyaktig en v i F slik at Av = w. Ettersom hver matrise avbilder origo i R n til seg selv bør vi heller kalle slike bijeksjoner av F for symmetrier med hensyn til origo. Dessuten er det naturlig å begrense seg til stive avbildninger, det vil si, matriser A som gir avbildninger som bevarer lengder av vektorer og vinkelen mellom vektorer. Vi skal nu karakterisere slike matriser Notasjon. For to vektorer v = a i ) n og w = b i ) n i R n setter vi < v, w >= a 1 b 1 + a 2 b a n b n = n a i b i. i=1 Tallet < v, w > kaller vi indre produktet av v og w. Vi påminner om at lengden av vektoren v er definert som v = < v, v > = a a a2 n, og at vinkelen θ, med 0 θ π, mellom vektorene v og w er definert ved cos θ =< v, v > / v w. At en matrise A bevarer lengder og vinkler betyr derfor at for alle vektorer v og w in R n. < Av, Aw >=< v, w > Lemma. En matrise A i M n R) bevarer lengder og vinkler hvis og bare hvis tr AA = I n. Når tr AA = I n vil A være invertibel og tr A = A 1. Bevis. Om A bevarer lengder og vinkler har vi spesielt at δ ij =< e i, e j >=< Ae i, Ae j >= a 1i a 1j + a 2i a 2j + + a ni a nj. Summen til høyre er i, j) te koordinaten til tr AA. Derfor vil tr AA = I n. Husk at relasjonen BA = I n for en matrise B medfører at A er invertibel og at B = A 1 er den inverse matrisen. Dette følger av den generelle teorien for matriser og sees lett ved å bruke determinanter. I vårt tilfelle kan vi vise direkte at A er inverterbar og at tr A = A 1. Vi bruker at < Ae i, Ae j >= δ ij for alle i og j medfører at Ae 1, Ae 2,..., Ae n er en basis for R n. Derfor finnes en matrise B = b ij ) n slik at e i = n k=1 b kiae k. Vi har Ae k = n j=1 a jke j der A = a ij ) n. Derfor vil e i = n k=1 b kiae k = n n k=1 j=1 b kia jk e j, det vil si, AB = I n. Av Ae k = n j=1 a jke j = n l=1 a jkb lj Ae l følger på samme måte at BA = I n. Derfor følger det av Lemma n j= at B = A 1 og av tr AA = I n får vi at tr A = tr AI n = tr AAA 1 = I n A 1 = A 1. Omvendt, anta at tr AA = I n, det vil si < Ae i, Ae j >= δ ij for alle i og j. La v = a i ) n = a 1 e 1 + a 2 e a n e n og w = b i ) = b 1 e 1 + b 2 e b n e n. Vi får < v, w >= n i=1 a ib i og < Av, Aw >=< n i=1 a iae i, n i=1 b iae i >= n n i=1 j=1 a ib j < Ae i, Ae j >= n n i=1 j=1 a ib j δ ij = n j=1 a jb j. Vi har vist at < v, w >=< Av, Aw > så A bevarer lengder og vinkler.

15 1.3. MATRISER OG SYMMETRIER Definisjon. En matrise A i M n R) kalles orthogonal om tr AA = I n. Samlingen av orthogonale matriser i M n R) betegner vi med O n R) og vi kaller O n R) den orthogonale gruppen Proposisjon. Hver orthogonal matrise er invertibel. Vi har at I n er orthogonal og om A og B er orthogonale vil A 1 og AB være det. Videre gjelder følgende regneregler: 1) Enhet) I n A = A = AI n. 2) Invers) A 1 A = I n = AI n. 3) Assosiativitet) AB)C = ABC). Bevis. At de orthogonale matrisene er invertible følger av Lemma Om A og B er orthogonale får vi av Lemma at tr tr A) tr A = A tr A = AA 1 = I n så tr A er orthogonal. Videre har vi av regnereglene at tr AB)AB = tr B tr AAB = tr BI n B = tr BB = I n så AB er orthogonal. Regnereglene 1), 2), 3) gjelder for alle matriser og derfor spesielt for orthogonale matriser Definisjon. Med en figur F i R n mener vi en samling punkter. En symmetri av F med hensyn til origo i R n er en orthogonal matrise A slik at bildet AF av F ved A er F. Vi betegner symmetriene til F med GF ) Proposisjon. La F være en figur i R n og la GF ) være alle symmetrier av F med hensyn til origo. Da er I n i GF ) og om A og B er i GF ) vil A 1 og AB være i GF ). Videre gjelder følgende regneregler for alle symmetrier A, B, C av F : 1) Enhet) I n A = A = AI n. 2) Invers) A 1 A = I n = AI n. 3) Assosiativitet) AB)C = ABC). Bevis. Det er klart at I n er i GF ). Om A er i GF ) vil spesielt A være orthogonal per definisjon, og derfor er A invertibel og A 1 = tr A ved Lemma Av Proposisjon er A 1 også orthogonal og ettersom A gir en bijektiv avbildning på F så vil A 1 være det. Følgelig er A 1 i GF ). At AB er en bijeksjon er opplagt ettersom sammensetningen av bijeksjoner er en bijeksjon og det følger av Proposisjon at AB er orthogonal. Regnereglene 1), 2) og 3) gjelder for alle avbildninger, og gjelder derfor spesielt for symmetrier Eksempel. La figuren F være kvadratet med hjørner f 1 = e 1 = 1, 0), f 2 = e 2 = 0, 1), f 3 = 1, 0) og f 4 = 0, 1).

16 8 GRUPPETEORI VIA MATRISER f 2 = 0, 1) f 3 = 1, 0) 0, 0) f 1 = 1, 0) f 4 = 0, 1) ) Avbildningen A = 0 1 flytter f f 2, f 2 f 3, f 3 f 4 og f 4 f 1. Det ) ) vil si, A er en rotasjon av F 90 om origo. Vi får da at A 2 = = ) 1 0 er en rotasjon 180 grader, det vil si, en speiling om origo. Videre er 0 1 ) ) ) A = = en rotasjon 270. Vi har at A 4 = I ) Avbildningen B = flytter f 1 f 3 og fikserer f 2 og f 4. Det vil si at B er en speiling i y-aksen. Vi har at B 2 = I 2. Det er lett å kontrollere at I 1, A, A 2, A 3, B, AB, A 2 B, A 3 B alle er ulike symmetrier på kvadratet F med hensyn til origo. Videre er det lett å se at dette er alle symmetriene på F. Dette er fordi alle symmetriene må permutere, det vil si omordne, hjørnene f 1, f 2, f 3, f 4 og permutasjoner som bytter f 1 og f 2 og holder f 3 og f 4 fast kan, for eksempel, ikke være en symmetri fordi den avbilder linjene f 4 f 1 og f 3 f 2, som ikke krysser hverandre, til linjer som krysser hverandre. Mer algebraisk følger dette av at avbildningen som bytter f 1 og f 2, ikke holder f 3 og f 4 fast. Det følger lett at sammensetningen av en permutasjon gitt av en symmetri og permutasjonen f 1 f 2, f 2 f 1, f 3 f 3 og f 4 f 4 ikke kan tilsvare en symmetri. Vi får derfor åtte permutasjoner som ikke tilsvare symmeetrier på F. Tilsvarende viser man at de resterende åtte permutasjonen av f 1, f 2, f 3, f 4 ikke tilsvarer en symmetri. Merk at A 3 B = ) = BA Eksempel. Ettersom vi har definert symmetrier med hensyn til origo vil symmetriene avhenge av plasseringen av figurene i planet. La F være kvadratet i planet med hjørner f 1 = 0, 0), f 2 = e 1 = 1, 0), f 3 = 1, 1) og f 4 = e 2 = 0, 1). f 4 = 0, 1) f 3 = 1, 1) ) f 1 = 0, 0) f 2 = 1, 0) Ettersom origo er fiksert under alle symmetriene kan en symmetri bare permutere hjørnene f 2, f 3 og f 4. Den eneste ikke trivielle symetrien med hensyn til 0, 0) er

17 1.3. MATRISER OG SYMMETRIER 9 ) A = 0 1 som bytter f og f 4 fordi f 2 og f 4 har lengde 1 mens f 3 har lengde 2. Derfor består GF ) av symmetriene I 2 og A Eksempel. Vi kan generalisere forrige eksempel til n dimensjoner. La F være n-kuben i R n med hjørner e 1, e 2,..., e n. En symmetri med hensyn til origo permuterer disse hjørnene og hver permutasjon av e 1, e 2,..., e n er en symmetri. En symmetri A er derfor helt karakterisert av Ae j = e σj) der σ er en omordning av tallene 1, 2,..., n, det vil si A = δ iσj) ) n. Med andre ord består GF ) av alle de n! matrisene δ iσj) ) n for alle bijeksjoner σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} av tallene 1, 2,..., n, der en bijeksjon σ er en avbildning slik at det for for hver i finnes nøyaktig en j slik at σj) = i. Merk at om σ og τ er to slike bijeksjoner av {1, 2,..., n} og τσ er den sammensatte bijeksjonen vil δ iτj) ) n δ iσj) ) n = n δ iτk) δ kσj) ) n = δ iτσj) δ σj)σj) ) n = δ iτσj) ) n k=1 så sammensetning av symmetrier svarer til sammensetning av bijeksjoner Eksempel. Vi kan også plassere et kvadrat slik at det ikke finnes noe symmetri med hensyn til origo. La F være kvadratet med hjørner 1, 0), 2, 0), 2, 1) og 1, 1). 1, 1) 2, 1) 0, 0) 1, 0) 2, 0) Avstanden fra origo til hjørnene i F er 1, 2, 2, 5 så det finnes ingen avbildning som bevarer distanser og som permuterer hjørnene Eksempel. Se på symmetriene til den likesidete trekanten F med hjørner f 1 = 1, 0), f 2 = 1/2, 3/2) og f 3 = 1/2, 3/2). f 2 = 1/2, 3/2) 0, 0) f 1 = 1, 0) f 3 = 1/2, 3/2)

18 10 GRUPPETEORI VIA MATRISER Hjørnene må avbildes til hjørner. Avbildningen som flytter f 1 f 2, f 2 f 3 og ) 1/2 3/2 3/2 1/2 f 3 f 1 er A = som er rotasjon 120 om origo. Vi får at A 2 = ) avbilder f 1 til f 3 og f 2 til f 1, som er en rotasjon 240. Til slutt vil 1/2 3/2 3/2 1/2 A 3 = I 2. ) 1 0 Vi har også en symmetri B = som er speiling om x-aksen. Spesielt er 0 1 B 2 = I 2. Det er lett å kontrollere at I 2, A, A 2, B, AB, A 2 B er ulike symmetrier av trekanten med hensyn til origo, og ettersom de gir alle permutasjoner av f 1, f 2, f 3 er de alle symmetriene av trekanten) med hensyn til origo. Merk at A 2 B = = BA. Oppgaver. 1/2 3/2 e/2 1/2 Oppgave 1. Vis at definisjonene av lengder og vinkler sammenfaller med vår geometriske intuisjon av lengder og vinkler for vektorer i planet R 2. Oppgave 2. Bruk determinanter til å vise at om A og B er i M n R) og BA = I n så vil A være i Gl n R) og B = A 1. Oppgave 3. Vis at om f 1, f 2,..., f n i R n tilfredsstiller < f i, f j >= δ ij for alle i, j så vil f 1, f 2,..., f n være en basis for R n. En slik basis kalles orthogonal med hensyn til indre produktet <, >. Oppgave 4. La f : X Y og g : Y Z være bijeksjoner av mengder. Vis at gf : X Z er en bijeksjon. Oppgave 4. Finn de resterende 8 permutasjonene av hjørner i Eksempel som ikke svarer til symmetrier av kvadratet. Oppgave 5. Vis at en avbildning f : X Y er en bijeksjon hvis og bare hvis den er injektiv og surjektiv. Oppgave 6. Bestem symmetriene til et regulært polygon plassert med tyngepunktet i origo. Et regulært polygon er en mangekant der alle sidene er like lange og alle vinklene mellom to sider er like, Oppgave 7. Generaliser definisjonen av S n og operasjonene på denne til samlingen S X av bijeksjoner på en vilkårlig mengde X. Oppgave 8. La X f Y, y f Z, Z f U. Vis at hg)f = hgf). Oppgave 9. Vis at tr A er den entydige matrisen slik at < Av, w >=< v, Aw > for alle vektorer v og w in R n. Oppgave 10. Beskriv alle elementene i O 1 R) og O 2 R) Permutasjoner I forbindelse med den generelle linære gruppen Gl n R) må vi nevne permutasjonsgruppen= S n på n bokstaver fordi Gl n R) og S n er nære knyttet til hverandre.

19 1.4. PERMUTASJONER Notasjon. La [1, n] = {1, 2,..., n} være samlingen av tallene 1, 2,..., n. Vi betegner med S n samlingen av bijektive avbildninger σ : [1, n] [1, n], det vil si, for hvert tall mellom 1 og n finnes det nøyaktig et tall j mellom 1 og n slik at σj) = i. En slik bijeksjon kaller vi en permutasjon av 1, 2,..., n, ettersom den bytter om disse tallene. Vi kaller S n for den symmetriske gruppen på n elementer. Permutasjonen som ikke flytter noe element betegner vi med ι og kaller den identitetspermutasjonen. Den spesielle permutasjonen som bytter om to elementer i og j men ikke flytter de resterende tallene i [1, n] betegner vi med τ ij, og vi kaller slike permutasjoner for transposisjoner. Vi har τ ij i) = j, τ ij j) = i og τ ij k) = k når k er forskjellig fra i og j. Har vi to permutasjoner σ og τ i S n lar vi τσ være den sammensatte avbildningen [1, n] σ τ [1, n] [1, n], det vil si τ σ)i) = τσi)). bijeksjon vil τσ være i S n. 1 La σ være en permutasjon i S n. Iblandt skriver vi 2... n ) for å markere ) vil permu- at i avbildes til σi). Om permutasjonen τ svarer til ) tasjonen τσ svare til n τσ1) τσ2)... τσn) Ettersom sammensetningen av to bijeksjoner er en σ1) σ2)... σn) n τ1) τ2)... τn) For hvert i i [1, n] betegner vi det entydige tallet j i [1, n] slik at σj) = i med σ 1 i). Vi får da en bijeksjon σ 1 : [1, n] [1, n] definert ved σ 1 i) = j presis når σj) = i. Derfor vil σ 1 σ = ι = σσ 1. Avbildningen, eller permutasjonen σ 1 kalles den inverse avbildningen, eller den inverse permutasjonen, til σ Eksempel. Elementene i S k er ) ) ),,, Vi har for eksempel ) ) = ) 1 2 3, ) og ) 1 2 3, ) ) ) = ) De viktigste regnereglene for sammensetningen av permutasjoner er gitt i følgende resultat Proposisjon. La σ, τ, ν være tre permutasjoner i S n. Vi har 1) Enhet) ισ = σ = σι. 2) Invers) σ 1 σ = ι = σσ 1. 3) Assosiativitet) στ)ν = στ ν). Bevis. Regelen 1) er klar ettersom ι ikke flytter elementene [1, n]. At 2) holder bemerket vi ovenfor. Regneregelen 3) gjelder for alle sammensetninger av avbildninger.

20 12 GRUPPETEORI VIA MATRISER Definisjon. La σ være en permutasjon i S n. En inversjon for σ er et par i, j) av hele tall 1 i, j n slik at i < j og σi) > σj). ) Eksempel. Inversjonene i er 1, 2) og 1, 3) og den eneste inversjonen i er 2, ) 3) Eksempel. Inversjonene i τ ij er i, j), i, i + 1), i, i + 2),..., i, j 1), i + 1, j), i + 2, j),..., j 1, j). Spesielt har τ ij et odde antall, eller mer bestemt, 1 + 2j i) inversjoner Virkning av permutasjoner på funksjoner. La FZ n, Z) bestå av alle funksjoner f : Z n Z, det vil si av funksjoner f som til hvert n tuppel i 1, i 2,..., i n ) av heltall tilordner et heltall fi 1, i 2,..., i n ). For hver permutasjon σ i S n og for hver funksjon f i FZ n, Z) definerer vi funksjonen i FZ n, Z) ved σf : Z n Z σf)i 1, i 2,..., i n ) = fi σ1), i σ2),..., i σn) ). De viktigste regnereglene for denne operasjonen av elementer i S n på elementene i FZ n, Z) er gitt i følgende resultat Proposisjon. La σ, τ være permutasjoner i S n og la f være en funksjon i FZ n, Z). Da gjelder regnereglene 1) Identitet) ιf = f. 2) Assosiativitet) τ σ)f = τσf). Bevis. Regneregelen 1) er klar. For å vise 2) tar vi i 1, i 2,..., i n ) in Z n. Vi får τσf)i 1, i 2,..., i n ) = σf)i τ1), i τ2),..., i τn) ). Så om vi setter j 1 = i τ1), j 2 = i τ2),..., j n = i τn), ser vi at vi har σf)j 1, j 2,..., j n ) = fj σ1), j σ2),..., j σn) ) = fi τσ1), i τσ2),..., i τσn) ) = τσ)f)i 1, i 2,..., i n ). Vi har derfor τσ)f = τσf) som vi ville vise Definisjon. Vi definerer avbildningen sign : S n {±1} ved { 1 om antallet inversjoner i σ er like signσ) = 1 om antallet inversjoner i σ er odde Proposisjon. For alle σ, τ i S n har vi 1) signτ σ) = signτ) signσ). 2) signτ ij ) = 1. Bevis. La : Z n Z være avbildningen definert ved at m 1, m 2,..., m n ) = m i m j ). 1 i<j n

21 1.4. PERMUTASJONER 13 Merk at { 1 omi, j) ikke er en inversjon for σ σj) σi))/ σj) σi) = 1 om i, j) er en inversjon for σ. Videre merker vi at tallene σj) σi))/ σj) σi) )m σi) m σj) ) vi får for alle 1 i < j n er de samme som tallene m i m j vi får for alle 1 i < j n. Det følger derfor av definisjonen av signσ) at σ = signσ). Derfor får vi τσ ) = τsignσ) ) = signσ)τ ) = signσ) signτ). På den andre siden vil τσ) = signτσ). Av Proposisjon ) får vi signσ) signτ) = signτσ). Ettersom ikke er null vil signσ) signτ) = signτσ), som vi ville vise. Den siste delen av proposisjonen følger av at τ ij har et odde antall transposisjoner ved Eksempel Defnisjon. La A n være permutasjonene σ i S n som har et like antall inversjoner, det vil si, signσ) = 1. Vi kaller A n den alternerende gruppen Proposisjon. Vi har at ι er i A n og om σ, τ er permutasjoner i A n vil σ 1. For alle σ, τ, ν i A n har vi følgende regneregler: 1) Enhet) ισ = σ = σι. 2) Invers) σ 1 σ = ι = σσ 1. 3) Assosiativitet) στ)ν = στ ν). Bevis. Det er klart at ι er i A n. Vi har av Proposisjon at signστ) = signσ) signτ) = 1 så στ er i A n. Spesielt er signσ 1 ) signσ) = signσ 1 σ) = signι) = 1, det vil si, signσ) = signσ 1 ) så σ 1 er i A n. Regnereglene 1), 2) og 3) gjelder for alle bijeksjoner spillet. Vi kan ikke forlate permutasjoner uten å nevne 15-spillet, et tidsfordriv som i ulike tider har fascinert mange spillere. Det har til og med i perioder vært en slik landeplage at det har blitt forbudt ved visse offentlige arbeidsplasser. Splillet består av 15 like store kvadratiske brikker som legges på et kvadratisk brett slik at det blir et tomt felt Spillet består i at vi flytter en av de brikkene som ligger intil det tomme feltet over i det tomme feltet. Det kaller vi et trekk. For hver gang vi foretar et trekk får vi en konfigurasjon av brikker og tomme felt. Vi nummererer brikkene fra 1 til 15 og lar alltid det tomme feltet få nummeret 16. Ved å lese første raden fra venstre til høyre, deretter andre raden fra venstre til høyre og så videre får vi en permutasjon av tallene 1 til 16, som beskriver konfigurasjonen. Hvert trekk svarer da til en transposisjon av den permutasjonen som beskrev konfigurasjonen før vi gjorde trekket.

22 14 GRUPPETEORI VIA MATRISER Når spillet begynner har vi enhetspermutasjonen som ovenfor. Oppgaven er at vi ved gjentatte trekk skal få det tomme feltet øverst til venstre og samtidig ha samme orden på de resterende brikkene, som i figuren nedenfor. Det vil si, sluttstillingen skal være permutasjonen σ som svarer til konfigurasjonen med andre ord skal σ være permutasjonen slik at σ1) = 16 og σi) = i 1 for i = 2, 3,..., 16. Permutasjonen σ har 15 inversjoner 1, 2), 1, 3),..., 1, 16) og derfor har vi signσ) = 1. Grunnen til at folk kan bli litt snurrete av dette spillet er at det er umulig å oppnå konfigurasjonen som svarer til denne permutasjonen. Et øyeblikks omtanke viser at ettersom hvert trekk er en transposisjon vil sign være 1 når det tomme feltet er i en posisjon i, j) med i + j like, og 1 når det tomme feltet er i en posisjon i, j) med i + j odde. Vi kan altså ikke ha en permutasjon σ med signσ) = 1 og med det tomme feltet øverst til venstre, det vil si, i posisjon 1, 1). Oppgaver. Oppgave 1. Vis at funksjonen : Z n Z ikke er null funksjonen. verdien av funksjonen på n tuplet 1, 2,..., n). Regn ut Oppgave 2. Vis at alle permutasjonene i S n kan skrives som et produkt av høyst n 1 transposisjoner. Anta n > 1. Vis at en fremstilling av en permutasjon som et produkt av permutasjoner aldrig er entydig. Ledetråd: Bruk induksjon etter n for den første delen.) Oppgave 3. La i 1, i 2,..., i r ) betegne permutasjonen som tar i j til i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og som tar i r til i 1. Vi kaller en slik permutasjon en sykel. To sykler i 1, i 2,..., i r ) og j 1, j 2,..., j s ) er disjunkte om ingen av i 1, i 2,..., i r forekommer blandt j 1, j 2,..., j s og omvendt. 1) Vis at hver permutasjon i S n kan skrives som et produkt av disjunkte sykler. 2) Vis at i 1, i 2,..., i r ) = i 1 i 2 )i 2 i 3 ) i r 2 i r 1 )i r 1 i r ). Ledetråd: Begynn med 1 og betrakt følgen σ1), σ 2 1) = σσ1), σ 3 1) = σσ 2 1),... til du får tilbake σ1). Ta deretter et tall som ikke er i denne følgen og fortsett på samme måte.) Oppgave 4. En sykel er en permutasjon σ = i 1, i 2,..., i r ) i S n slik at σi j ) = i j+1 for j = 1, 2,..., r 1 og slik at σi r ) = i 1. 1) Vis at om r er et odde tall så er σ 2 en sykel. 2) Vis at om r er et like tall større enn 2 så er σ 2 ikke en sykel.

23 1.4. PERMUTASJONER 15 Oppgave 5. ) Vi definerte ovenfor en) sykel. Skriv de to permutasjonene σ = og τ = som et produkt av disjunkte sykler. Skriv også σ 1 og τ 1 på denne måten. Oppgave 6. Vis at alle konfigurasjoner av 15-spillet som svarer til en permutasjon τ med signτ) = 1 og med det tomme feltet øverst til høyre er mulige. Oppgave 7. Vis at for alle avbildninger av mengder f : X Y, g : Y Z og h : Z U vil hg)f = hgf). Oppgave 7. Verifiser føgende formler der a og b er faste tall 1) i 1, i 2, i 3 ) = i 1, i 3 )i 1, i 2 ). 2) i 1, i 2 )i 3, i 4 ) = i 1, i 3, i 2 )i 1, i 3, i 4 ). 3) i 1, i 2 )i 1, i 3 ) = i 1, i 3, i 2 ). 4) a, b, i) 2 = a, i, b), 5) a, b, j)a, b, i) 2 = a, i, j), 6) a, b, i) 2 a, b, j) = b, j, i), 7) a, b, i) 2 a, b, k)a, b, j) 2 a, b, i) = i, j, k). Bruk 1)-7) for å vise at når n 3 vil gruppen A n være generert av syklene a, b, i). Oppgave 8. La N {e} være en undergruppe av A n slik at gng 1 N for alle g A n. Verifiser følgende formler: 1) a, b)i, j)a, b, i) 2 i, j)a, b) = a, b, j). 2) La σ = τa 1, a 2,..., a r ) med r 4 og der τ er en permutasjon som ikke inneholder symbolene a 1,..., a r. Da vil σ 1 i 1, i 2, i 3 )σi 1, i 2, i 3 ) 1 = i r, i r 1,..., i 1 )i 1, i 2, i 3 )i 1, i 2,..., i r )i 3, i 2, i 1 ) = i 1, i 3, i r ). 3) La σ = τi 4, i 5, i 6 )i 1, i 2, i 3 ) der τ er en permutasjon som ikke inneholder symbolene i 1,..., i 6. Da vil σ 1 i 1, i 2, i 4 )σi 1, i 2, i 4 ) 1 = i 3, i 2, i 1 )i 6, i 5, i 4 )i 1, i 2, i 4 )i 4, i 5, i 6 )i 1, i 2, i 3 )i 4, i 2, i 1 ) = i 1, i 4, i 2, i 6, i 3 ). 4) La σ = τi 1, i 2, i 3 ) der τ er et produkt av transposisjoner som ikke inneholder symbolene i 1, i 2, i 3. Da vil σ 2 = i 1, i 2, i 3 )i 1, i 2, i 3 ) = i 1, i 3, i 2 ). 5) Let α = i 1, i 3 )i 2, i 4 ) and β = i 1, i 3, i). Vis at β 1 αβα = i, i 3, i 1 )i 1, i 3 )i 2, i 4 )i 1, i 3, i)i 1, i 3 )i 2, i 4 ) = i 1, i 3, i). 6) La σ = τi 3, i 4 )i 1, i 2 ) der τ er en permutasjon som ikke inneholder symbolene i 1,..., i 4. Da vil σ 1 i 1, i 2, i 3 )σi 3, i 2, i 1 ) = i 1, i 2 )i 3, i 4 )i 1, i 2, i 3 )i 3, i 4 )i 1, i 2 )i 3, i 2, i 1 ) = i 1, i 3 )i 2, i 4 ). Bruk 1),..., 6) til å vise at om n 5 vil N = A n.

24 16 GRUPPETEORI VIA MATRISER Oppgave 8. Vis at når n = 4 så finnes det en ikke triviell undergruppe N av A n slik at gng 1 N for alle g A n Determinanter Determinanter. Vi påminner om at determinanten det A til en matrise A = a ij ) n er definert av det A = σ S n signσ)a 1σ1) a 2σ2) a nσn). Blandt hovedresultatene for determinanter påminner vi om følgende to: 1) Om A, B er i M n R) vil detab) = deta) detb). 2) A er i Gl n R) hvis og bare hvis det A 0. 3) det tr A = det A Eksempel. La PM n R) være samlingen av matriser i M n R) på formen δ iτj) ) n for en permutasjon τ in S n. Vi kaller elementene i PM n R) for permutasjonsmatriser. Det er klart av definisjonen på en determinant at detδ iτj) ) n = σ S n signσ)δ 1τσ1) δ 2τσ2) δ nτσn) = signτ 1 ) = signτ). Spesielt vil δ iτj) ) n være i Gl n R). Vi har altså en avbildning ϕ : S n Gl n R) definert ved ϕτ) = δ iτj) ) n. Vi så i Eksempel at for alle σ og τ i S n, og vi så nettopp at ϕστ) = ϕσ)ϕτ) det ϕτ) = signτ) Merk. Vi kunne brukt determinanten til å definere sign av en permutasjon og gi dens viktigste egenskap vist i Proposisjon Imidlertid brukte vi sign til å definere determinanten, så dette ville være litt baklengs Definisjon. Vi betegner med Sl n R) samlingen av matriser A slik at det A = 1. Vi kaller Sl n R) den spesielle lineære gruppen Proposisjon. Vi har at I n er i Sl n R) og om A og B er i Sl n R) så vil A 1 og AB være i Sl n R). Videre har vil for alle A, B, C i Sl n R) at følgende regneregler gjelder: 1) Enhet) I n A = A = AI n. 2) Invers) A 1 A = I n = AI n. 3) Assosiativitet) AB)C = ABC). Bevis. Det er klart at I n er i Sl n R). Vi har at detab) = deta) detb) = 1 så AB er i Sl n R). Videre har vi når det A = 1 at deta 1 ) = deta 1 ) deta) = deta 1 A) = deti n ) = 1 så A 1 er i Sl n R). Egenskapene 1), 2), 3) gjelder for alle matriser i Gl n R) så de gjelder spesielt for matrisene i Sl n R).

25 Oppgaver DETERMINANTER 17 Oppgaver 1. La S være en matrise i M n R) og la G S R) være matrisene i Gl n R) slik at tr ASA = S. Vis at 1) I n er i G S R) og om A og B er i G S R) så vil A 1 og AB være i G S R). 2) Anta at S er invertibel. ) Om A er i G S R) så er det A = ±1. 3) Om J 2 = så vil G I2 R) = G J2 R) Oppgave 2. Vis at alle matriser A i Gl n R) kan skrives på formen A = aa der a er et tall og A er i Sl n R). Oppgave 3. Vis at avbildningen ϕ : S n Gl n R) avbilder den alternerende gruppen A n til Sl n R).

26 18 GRUPPETEORI VIA MATRISER

27 2. GRUPPER 2.1. Grupper I forrige kapittel så vi en rekke eksempler på mengder med et produkt som tilfredsstiller samme regneregler. Det er derfor naturlig å inføre et abstrakt begrep som omfatter alle disse eksemplene og som tar vare på de viktigste egenskapene som er felles for alle spesialtilfellene. I dette kapittelet innfører vi begrepet grupper og viser at det omfatter eksemplene, samt har mange attraktive egenskaper Notasjon. La G være en mengde. Et produkt på G er en regel som til to elementer g og h i G gir et tredje element gh i G. Mer matematisk kan dette formuleres som at vi har en avbildning G G G fra mengden G G av par g, h) av elementer i G til G. Bildet av paret g, h) er da produktet gh Definisjon. En gruppe G er en mengde med et produkt slik at følgende regneregler gjelder for alle elementer f, g, h i G: 1) Enhet) Det finnes et element e = e G i G slik at ge = g = eg. 2) Invers) Det finnes et element g i G slik at g g = e = gg. 3) Assosiativitet) f g)h = fgh) Lemma. La G være en gruppe. 1) Om e er et element i G slik at e e = e vil e = e. 2) Om h er et element i G slik at hg = e vil h = g. Bevis. Vi har at e = e e = e ved antagelsen e e = e og ved definisjonen av e. Videre vil h = he = hgg 1 ) = hg)g 1 = eg 1 = g 1 ved definisjonen av e og antagelsen hg = e Definisjon. Av Lemma følger det at e og g i definisjonen er entydig bestemt av egenskapene 1) og 2). Vi skriver derfor g = g 1. Elementet g 1 kalles inversen til g. 19

28 20 GRUPPETEORI VIA MATRISER Eksempel. Vi har vist følgende eksempler på grupper: 1) Gl n R) Proposisjon 1.1.5), 2) O n R) Proposisjon 1.3.6), 3) Sl n R) Proposisjon 1.4.5). 4) PM n R) Eksempel og Proposisjon 1.3.6). 5) S n Proposisjon 1.4.3). 6) A n Proposisjon ). 7) For hver figur F i R n har vi også sett at alle symmetriene GF ) av G danner en gruppe Proposisjon 1.3.6). 8) De ikke null reelle tallene R og {±1} er grupper under multiplikasjon, blandt annet fordi de er gitt av koordinaten til Gl 1 R), respektive, O 1 R). Oppgaver. Oppgave 1. La G være en mengde med et produkt slik at: 1) Det finnes et element e i G slik at eg = g for alle g i G. 2) For hvert element g i G finnes det et element g slik at g g = e. 3) For alle elementer f, g, h i G vil fg)h = fgh); Vis at G er en gruppe. Ledetråd: Vi har g gg = eg = g. La g g = e. Da får vi gg = egg = g g gg = g eg = g g = e og ge = gg g) = gg )g = eg = g.) 2.2. Undergrupper Definisjon. La G være en ikke tom undermengde av en gruppe G. Vi sier at H er en undergruppe av G om vi har at g 1 og gg er i H for alle elementer g og g i H. At gg er i H betyr at vi har et produkt på H. Vi kaller dette for produktet indusert av produktet på G Proposisjon. La G være en undergruppe av G. Da induserer produktet på G et produkt på H og H er en gruppe med dette produktet. Bevis. At produktet på G induserer et produkt på H er det samme som å si at om g og g er i H så er gg i H. At egenskapene 1), 2) i Definisjon gjelder for dette produktet på H kommer av at g 1 er i H og av at gg 1 = gg 1 = e er i H. Egenskapen 3) gjelder for elementene i G og derfor for elementene i H Eksempel. Vi har sett at vi har følgende undergrupper av Gl n R): 1) O n R). 2) Sl n R). 3) PM n R). Vi har også sett at: 1) PM n R) er en undergruppe av O n R). 2) A n er en undergruppe av S n. 3) Alle symmetrigruppene til en figur F i R n er undergrupper av O n R) per definisjon.

29 2.2. UNDERGRUPPER Eksempel. Hver gruppe har to trivielle undergrupper, {e} og gruppen selv Lemma. La {H i } i I være en samling undergrupper av G. Da er snittet i I H i = {g G : g H i for alle i i I} av gruppene H i en undergruppe av G. Bevis. Om g og g er i i I H i vil g, g og g 1 være i H i for alle i i I. Derfor er elementene gg og g 1 i H i for alle i i I, det vil si, de er i i I H i, så i I H i er en gruppe Proposisjon. La {g i } i I være en samling elementer i G og la H være elementene i G som kan skrives på formen g m 1 i 1 g m 2 i 2 g m r i r for noe ikke negativt heltall r, noen elementer i 1, i 2,..., i r i I og heltall m 1, m 2,..., m r. Da er H en undergruppe av G, og den er den minste undergruppen av G som inneholder alle elementene g i for i i I. Bevis. Det er klart at alle undergrupper i G som inneholder alle elementene g i for i i I også må inneholde produktene g m 1 i 1 g m 2 i 2 g m r i r og derfor mengden H. Derfor rekker det å vise at H er en undergruppe av G. Om g m 1 i 1 g m 2 i 2 g m r i r og g n 1 j 1 g n 2 j 2 g n s j s er i H er det klart at produktet av disse elementene g m 1 i 1 g m 2 i 2 g m r i r g n 1 j 1 g n 2 j 2 g n s j s også er i H. Det er lett å verifisere at den invere til elementet g m 1 i 1 g m 2 i 2 derfor vist at H er en gruppe. g m r i r er g m r i r g m r 1 i r 1 g m 1 i 1, som er i H. Vi har Definisjon. Guppen H i Proposisjon kalles gruppen generert av elementene g i for i i I. Vi kaller elementene g i for generatorer for H Eksempel. Vi har at S n er generert av transposisjonene τ ij for 1 i < j n. Dette kan sees ved induksjon etter n. Det er sant for n = 2. Anta at det er sant for noe n 1. For hver σ i S n vil τ nσn) σ avbilde n til n. Vi kan derfor betrakte τ nσn) σ som en permutasjon i S n 1. Ved induksjonshypotesen kan vi derfor skrive τ nσn) σ = τ i1 j 1 τ i2 j 2 τ ir j r der alle τ i1 j 1, τ i2 j 2,..., τ ir j r avbilder n til n Gauss eliminasjon. Vi skal nu finne generatorene for Sl n R) og Gl n R). La E ij a) for i j være matrisen med 1 enere på diagonalen, j, i) te koordinat lik a, og alle andre koordinatene lik 0. Ved definisjonen av determinatner vil dete ij a)) = 1 og det er lett å se at for hver matrise A i M n R) vil E ij a)a være matrisen vi får fra A ved å legge a ganger i te raden i A til den j te raden. For eksempel E 12 a)a = ) 1 0 a11 a 12 ) a 11 a 12 ) 1 1 a 21 a 22 = aa 11 +a 21 aa 12 +a 22. Matrisene på formen E ij a) kalles elementære matriser, og operasjonen som tar A til E ij a)a kaller vi en elementær operasjon på A. Vi skal vise at om vi starter med en matrise A i Gl n R) så kan vi ved en serie elementære operasjoner ende opp med en matrise på formen for et ikke null tall a E a = a

30 22 GRUPPETEORI VIA MATRISER Ettersom det A 0 vil det finnes en ikke null koordinat a i1 i A. Om a i1 0 for noe i > 1 vil E ia 1 a 11 )/a i1 )A ha 1, 1) te koordinat a 11 lik 1. På den andre siden, om a 11 er den eneste ikke null koordinaten i første kolonne vil E 1i 1)A ha i, 1) te koordinat a 11 så vi er i det forrige tilfellet. Vi kan derfor ved elementære operasjoner få A på formen 1 b b 1n b 21 b b 2n.. b n1 b n b nn De elementære operasjonene E 1n b n1 ), E 2n 1) b n 1)1 ),..., E 12 b 21 ) gir da en matrise på formen. 1 c c 1n 0 c c 2n c n2... c nn Ettersom determinanten ikke endres ved multiplikasjon med elementære matriser, fordi disse har determinant 1, vil determinanten til den siste matrisen ikke være null. Derfor må en av koordinatene c 22, c 32,..., c n2 være forskjellig fra null. Vi kan, i likhet med det vi gjorde ovenfor, multiplisere med elementære matriser til vi får en matrise på formen 1 0 d d 1n 0 1 d d 2n 0 0 d d 3n d n3... d nn Vi kan nu fortsette med elementære operasjoner på tredje, fjerde,..., kolonnen, på en liknende måte. Til slutt får vi en matrise på formen E a, det vil si, vi har E ir j r a r )E ir 1 j r 1 a r 1 ) E i1 j 1 a 1 )A = E a for noen tall a 1, a 2,..., a r, i 1, i 2,..., i r og j 1, j 2,..., j r. Ettersom determinanten til de elementære matrisene er 1 vil a = det A. Ved å bruke E ij a)e ij a) = I n flere ganger får vi at E i1 j 1 a 1 )E i2 j 2 a 2 ) E ir j r a r )E a = E i1 j 1 a 1 )E i2 j 2 a 2 ) E ir j r a r )E ir j r a r )E ir 1 j r 1 a r 1 ) E i1 j 1 a 1 ) = A. Vi har altså skrevet A som et produkt av elementære matriser og E a. Disse matrisene er derfor generatorer for Gl n R). Om A er i Sl n R) vil determinanten fil E a være 1 så E a = E 1 = I n. Derfor er Sl n R) genert av de elementære matrisene. Prosessen for å redusere matriser til diagonalform som er beskrevet ovenfor kalles Gauss-Jordan eliminasjon. For eksempel la) = ad bc 0. matrisen A =. a b c d... Anta at c o. Vi får E 21 1 a)/c) = ) ) 1 1 a)/c a b = 1 b d 1 a)/c 0 1 c d c d ) E 12 c)e 21 1 a)/c) = 1 d )/c 1 0 c 1 c Vi skal bruke elementære operasjoner på d ) = 1 d )/c ) c d, ), ) = 1 d )/c 0 E 21 d)/c )E 12 c)e 21 1 a)/c) = 1 d)/c 0 1 ) 1 d )/c 0 ) ) =

31 Om c = 0 begynner vi istedenfor med 2.3. GRUPPEHOMOMORFIER 23 E 12 1)A = A = og gjentar prosedyren ovenfor. Oppgaver ) ) ) a b a b = 0 c a b+c Oppgave 1. La G være en gruppe med et endelig antall elementer. Vis at om H er en undermengde av G slik at g 1 og g 2 i H medfører at g 1 g 2 er i H så er H en undergruppe av G. oppgave 2. Er {A Gl 2 R) : A 2 = I 2 } en undergruppe av Gl 2 R)? Oppgave 3. Vis at g m 1 1 gm 2 2 g m r r ) 1 = g m r r g m r 1 r 1 g m 1 1. Oppgave 4. La p være et primtall. Vis at en gruppe med p antall elementer er syklisk. Oppgave 5. La n være et positivt heltall som ikke er et primtall. finnes en gruppe med n elementer som ikke er syklisk. Ledetråd: Bruk, for eksempel, sykler i S n.) Vis at det Oppgave 6. Vis at avbildningen sign : S n {±1} er karakterisert av de to egenskapene i Proposisjon Ledetråd: Bruk Eksempel ) c 1m... c 1n c 2m... c 2n Oppgave 7. Vis at om A = c m 1m... c m 1n c mm... c mn c m+1m... c m+1n c nm... c nn en av tallene c mm, c m+1m,..., c nm forskjellig fra null. og det A 0 så er minst 2.3. Gruppehomomorfier To grupper kan være ulike, men enda ha samme egenskaper. For eksempel har vi sett at permutasjonsmatrisene PM n R) og og permutasjonene S n svarer bijektivt til hverandre på en slik måte at multiplikasjon i den ene gruppen svarere til multiplikasjon i den andre. For å sammenligne grupper innfører vi begrepet homomorfi og isomorfi av grupper Definisjon. En avbildning ϕ : G G mellom grupper er en gruppehomomorfi om vi for alle g, h i G har ϕgh) = ϕg)ϕh). Vi sier at ϕ er en isomorfi av grupper om ϕ er en bijeksjon.

32 24 GRUPPETEORI VIA MATRISER Proposisjon. Om ϕ : G G er en gruppehomomorfi vil 1) ϕe G ) = e G. 2) ϕg 1 ) = ϕg) 1. Bevis. 1) Vi har ϕe G ) = ϕe G e G ) = ϕe G )ϕe G ). Derfor vil vi ha e G = ϕe G ) 1 ϕe G ) = ϕe G ) 1 ϕe G )ϕe G ) = e G ϕe G ) = ϕe G ). 2) Vi har e G = ϕe G ) = ϕgg 1 ) = ϕg)ϕg 1 ) så ϕg) 1 = ϕg) 1 e G = ϕg) 1 ϕg)ϕg 1 ) = e G ϕg 1 ) = ϕg 1 ). Derfor vil ϕg 1 ) = ϕg) Pfoposition. Om ϕ : G G er en isomorfi av grupper finnes en isomorfi av grupper ϕ 1 : G G slik at ϕ 1 ϕ = id G og ϕϕ 1 = id G. Bevis. Om ϕ er bijektiv finnes det for hver g i G et entydig element g i G slik at ϕg) = g. Vi definerer ϕ 1 ved ϕ 1 g ) = g. Da vil g = ϕ 1 g ) = ϕ 1 ϕg)) for alle g i G, og ϕϕ 1 g ) = ϕϕ 1 ϕg) = ϕg) = g for alle g i G, så ϕϕ 1 = id G og ϕ 1 ϕ = id G. Spesielt er ϕ 1 en bijeksjon. Videre er ϕ 1 en gruppehomomorfi, for om g h er i G og g og h er entydig bestemt av ϕg) = g og ϕh) = h så vil ϕ 1 g h ) = ϕ 1 ϕg)ϕh)) = ϕ 1 ϕgh)) = gh = ϕ 1 g )ϕ 1 h ) Eksempel. Avbildningen ϕ : S n Gl n R) definert av ϕσ) = δ iσj) ) n er en gruppehomomorfi, som vi så i Eksempel Den induserer klart en isomorfi av grupper ψ : S n PM n R) Eksempel. Regneregelen detab) = deta) detb) for matriser A, B i Gl n R) kan formuleres som at vi har en gruppehomomorfi ϕ : Gl n R) R til ikke null reelle tall R definert ved ϕa) = det A Eksempel. Regneregelen signστ) = signσ) signτ) i Proposisjon for σ, τ i S n kan formuleres som at avbildningen er en homomorfi av grupper. sign : S n {±1} Proposisjon. La ϕ : G G være en homomorfi av grupper og la H være en undergruppe av G. Da vil ϕ indusere en homomorfi av grupper der ψh) = ϕh) for alle h i H. ψ : H G Bevis. Vi har at ψhh ) = ϕhh ) = ϕh)ϕh ) = ψh)ψh ) for alle h, h i H.

33 2.3. GRUPPEHOMOMORFIER Eksempel. Av homomorfien ϕ : Gl n R) R i Eksempel får vi av Proposisjon en homomorfier av grupper PM n R) R og O n R) R. Ettersom determinantene til elementene i PM n R) og O n R) er ±1 gir disse homomorfier av grupper ϕ : PM n R) {±1} og ψ : O n R) {±1} Definisjon. Kjernen ker ϕ til en homomorfi ϕ : G G av grupper er de elementene i G som avbildes til e G, det vil si, ker ϕ = {g G : ϕg) = e G }. Bildet im ϕ av ϕ er de elementene i G som er bilder av elementer i G, det vil si, im ϕ = {ϕg) : g G} Proposisjon. La ϕ : G G være en homomorfi av grupper og la H og H være undergrupper av G, respektive G. Da vil det inverse bildet ϕ 1 H ) = {g G : ϕg) H } av H ved ϕ, og bildet ϕh) = {ϕg) : g H} av H ved ϕ være undergrupper av G, respektive G. Spesielt er kjernen og bildet av ϕ undergrupper av G, respektive H. Bevis. La h 1 og h 2 være i ϕ 1 H ). Da er ϕh 1 h 2 ) = ϕh 1 )ϕh 2 ) i H så h 1 h 2 er i ϕ 1 H ). Videre er ϕh 1 1 ) = ϕh 1) 1 i ϕ 1 H) ved Lemma så h 1 1 er i ϕ 1 H). Det vil si, ϕ 1 H) er en gruppe. La h 1 og h 2 være i ϕh). Da finnes h 1 og h 2 i H slik at h 1 = ϕh 1 ) og h 2 = ϕh 2 ). Vi får at h 1 h 2 = ϕh 1)ϕh 2 ) = ϕh 1 h 2 ) er i ϕh), og ved Lemma at h 1) 1 = ϕh 1 ) 1 = ϕh 1 1 ), så h 1) 1 er i ϕh). Derfor er ϕh) en gruppe Proposisjon. En avbildning ϕ : G G av grupper er injektiv hvis og bare hvis ker ϕ = {e G }. Bevis. Vi har at ϕ er injektiv hvis og bare hvis ϕg) = ϕh) er det samme som at g = h. Av Lemma følger at ϕgh 1 ) = ϕg)ϕh 1 ) = ϕg)ϕh) 1 så ϕg) = ϕh) hvis og bare hvis gh 1 er i kjernen. Så kjernen er {e G } hvis og bare hvis ϕg) = ϕh) er ekvivalent med gh 1 = e G, som igjen er ekvivalent med g = h Eksempel. Kjernen i homomorfien det : Gl n R i Eksempel er Sl n R) og bildet er R Eksempel. Kjernen i homomorfien sign : S n {±1} i Eksempel er A n og bildet er {±1}.

34 26 GRUPPETEORI VIA MATRISER Eksempel. Kjernen i homomofien ϕ : S n Gl n R) i Eksempel er {e}. Bildet er PM n R). Derfor induserer ϕ en isomorfi Oppgaver. S n PM n R). Oppgave 1. La H være en undergruppe av gruppen G og la g være et element i G. 1) Vis at g 1 Hg er en undergruppe av G. 2) Vis at H og g 1 Hg er isomorfe grupper. Oppgave 2. Hvilke av følgende avbildninger ϕ : Gl n R) Gl n R) er gruppehomomorfier? 1) ϕa) = tr A. 2) ϕa) = A 1. 3) ϕa) = tr A 1. 4) ϕa) = B 1 AB, med B i Gl n R). Oppgave 3. Vis at om ϕ : G G er en isomorfi av grupper så er også ϕ 1 : G G en isomorfi av grupper. ) Oppgave 4. La U være undergruppen av Gl 2 R) av matriser på formen a b ) ) 0 c med ac 0. Vis at avbildningen ϕ : U Gl 2 R) definert av ϕ = er en homomorfi av grupper. Bestem kjernen. a b 0 c a 0 0 c Oppgave 5. La G være en gruppe og ϕ : G G avbildningen ϕg) = g 1. vis at ϕ er en gruppehomomorfi hvis og bare hvis gh = hg for alle g, h i G. Oppgave 6. La g være et element i gruppen G. Vis at avbildningen ϕ : G G definert ved ϕh) = g 1 hg er en isomorfi av grupper. 4. Restklasser Ulike former av ekvivalenser, og de relaterte ekvivalensklassene, er blandt de viktigste begrepene i matematikken og er sentrale i matematisk tankegang. I gruppeteorien oppstår ekvivalensrelasjoner naturlig i forbindelse med undergrupper, eller baner av gruppevirkninger på mengder. Vi skal her introdusere ekvivalensrelasjonen som kommer fra en undergruppe og konstruere de tilhørende restklassene. Videre gir vi de viktigste egenskapene til denne konstruksjonen Notasjon. La G være en gruppe. For hvert par av samlinger av elementer S og T i G skriver vi ST for samlingen av elementene gh med g i S og h i T, det vil si, ST = {gh : g S, h T }. Når S består av et element g i G og T = H skriver vi ST = gh og i kaller gh en venstre sideklasse.