Algebraiske strukturer

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Algebraiske strukturer"

Transkript

1 MAT1140, H-16 Algebraiske strukturer Vi kan legge samme og multiplisere tall, funksjoner og matriser, og vi kan bruke snitt og union til å danne nye mengder. Mange av disse operasjonene følger de samme lovene f.eks. har vi sett at snitt og union oppfyller den samme typen distributiv lov som gjelder for addisjon og multiplikasjon av tall. I dette notatet skal vi se litt på disse lovene og hva slags strukturer de leder til. 1 Algebraiske operasjoner La oss begynne med en definisjon som fanger opp noe av innholdet i operasjoner som pluss og ganger. Definisjon 1.1 En binær operasjon på en mengde X er en funksjon : X 2 X. Vi skriver gjerne x y istedenfor (x, y). (Algebraiske operasjoner betegnes ofte med symboler som og +. Jeg har valgt som et nøytralt alternativ). Vanligvis vil vi ikke kalle en hvilken som helst funksjon fra X 2 til X for en binær operasjon den må i tillegg ha egenskaper som ligner på dem som vanlige regneoperasjoner har. Det er disse egenskapene vi skal nå ta en nærmere kikk på. Før vi begynner, kan det være greit å observere at det finnes naturlige operasjoner som ikke passer inn i definisjonen ovenfor. For eksempel er skalarproduktet på R n en funksjon fra R n R n inn i R og ikke inn i R n. Dette betyr ikke at det er noe galt med skalarproduktet, men det passer bare ikke inn i det rammeverket jeg har valgt. Her er en liste av binære operasjoner det kan være nyttig å ha i bakhodet når vi fortsetter: Eksempel 1: a) X = R, og er addisjon (+) eller multiplikasjon ( ). b) X = R n, og er vektoraddisjon. c) X er mengden av m n matriser (for gitt m og n), og er matriseaddisjon. d) X er mengden av n n matriser (for gitt n), og er matrisemultiplikasjon. 1

2 e) X = P(A) for en ikke-tom mengde A, og er snitt ( ) eller union ( ). Legg merke til at vi ikke har noen eksempler på subtraksjon og divisjon på listen. Selv om dette utvilsomt er algebraiske operasjoner, er det i vår sammenheng naturlig å tenke på dem som avledede operasjoner som er definert ut ifra grunnoperasjonene + og ved å sette x y = x + ( y) og x/y = x y 1. Disse avlede operasjonene vil ikke selv ha de egenskapene vi skal studere, men være definert ut ifra operasjoner som har dem. Definisjon 1.2 Vi sier at den binære operasjonen er kommutativ dersom x y = y x for alle x, y X Mange regneoperasjoner er kommutative, men vi kjenner også noen som ikke er det, f.eks. kryssproduktet i R 3 (der a b = b a) og matrisemultiplikasjon. Siden vi er så vant til kommutative operasjoner, er det lett å gjøre feil når vi begynner å arbeide med ikke-kommutative. Definisjon 1.3 Vi sier at den binære operasjonen er assosiativ dersom x (y z) = (x y) z for alle x, y, z X Denne definisjonen trenger kanskje en liten forklaring. Vi utfører operasjonene inni parentesene først slik at x (y z) betyr at vi først ganger sammen y og z og deretter ganger resultatet med x. I uttrykket (x y) z ganger vi først sammen x og y for så å multiplisere resultatet med z. Presentert på denne måten er det ingen selvfølge at x (y z) = (x y) z, og det finnes da også grunnleggende algebraiske operasjoner som ikke er assosiative, selv om de ikke er så vanlige. Den eneste du har vært borti, er sannsynligvis kryssproduktet i R 3. Avledede operasjoner som subtraksjon og divisjon er sjelden assosiative vi har f.eks. at x (y z) = x y + z er forskjellig fra (x y) z = x y z. Selv om det er lett å ta den assosiative loven som en selvfølge, er den en viktig ingrediens i mye av det vi gjør. Anta for eksempel at vi skal løse ligningen x + 7 = 12 Legger vi til 7 på begge sider, får vi (x + 7) + ( 7) = 12 + ( 7) Vi bruker den assosiative loven for addisjon til å omdanne dette til Følgelig er x + (7 + ( 7)) = 12 + ( 7) x + 0 = 5 altså x = 5. Uten den assosiative lov er det ikke mulig å løse ligninger på denne måten. 2

3 Den assosiative loven kan også utvides til lengre uttrykk. Har vi fire elementer a, b, c, d som skal kombineres, kan vi gjøre dette på mange måter uten å bytte den innbyrdes rekkefølgen av elementer: (a b) (c d), ((a b) c) d, (a (b c)) d a ((b c) d), a (b (c d)) Man kan bruke den assosiative lov til å vise at alle disse uttrykkene er like, og det samme gjelder for uttrykk med flere enn fire elementer. Det er dette som gjør at vi kan skrive lange summer og produkter uten å bruke parenteser. Definisjon 1.4 Vi sier at e er et nøytralt element dersom x e = x og e x = x for alle x X. Vi ser at 0 er et nøytralt element for addisjon i R mens 1 er et nøytralt element for multiplikasjon. Følgende observasjon er nyttig når man skal arbeide med nye algebraiske operasjoner: Setning 1.5 En binær operasjon kan ikke ha mer enn ett nøytralt element. Bevis: Anta at e og e er to nøytrale elementer. Da har vi e = e e siden e er et nøytralt element og e = e e siden e er et nøytralt element. Men dermed er e = e e = e. Når vi har et nøytralt element e, kan vi også innføre inverse elementer: Definisjon 1.6 Vi kaller y et inverst element til x dersom x y = y x = e, og vi sier at x X er inverterbar om den har et inverst element. Det er ganske vanlig at elementer ikke har inverser. Lar vi være multiplikasjon på mengden Z, er det bare 1 og 1 som har inverser. Legg for øvrig merke til at e alltid er sin egen invers siden e e = e. Igjen har vi et par nyttige resultater: Setning 1.7 Hvis er assosiativ, kan ikke et element x ha mer enn én invers. Bevis: Anta at y, z er inverse elementer til x. Da er y = y e = y (x z) = (y x) z = e z = z Siden det inverse elementet er entydig (når det finnes), kan vi gi det et navn. Den vanligste betegnelsen på det inverse elementet til x er x 1, men hvis operasjonen betegnes med +, er det vanlig å skrive x isteden (tenk på de reelle tallene). Det neste resultatet er nyttig i mange sammenhenger, og du kjenner det kanskje igjen fra matrisemultiplikasjon. 3

4 Setning 1.8 Anta at er assosiativ. Dersom x, y X er inverterbare, er x y inverterbar og (x y) 1 = y 1 x 1 Bevis: Vi må vise at (x y) (y 1 x 1 ) = e og (y 1 x 1 ) x y = e. Jeg viser den første og overlater den andre til leserne. Legg merke til hvordan den assosiative lov brukes til å flytte parenteser i uttrykket. (x y) (y 1 x 1 ) = x (y (y 1 x 1 )) = x ((y y 1 ) x 1 ) = x (e x 1 ) = x x 1 = e Ofte har vi ikke bare én operasjon å arbeide med, men to. Det kan være addisjon og multiplikasjon (i en eller annen forstand), men det kan også være snitt og union. For å kunne kombinere de to operasjonene trenger vi regler som binder dem sammen, og de vanligste reglene av denne typen kalles distributive lover. Definisjon 1.9 Anta at og + er to binære operasjoner på X. Vi sier at er distributiv over + dersom x (y + z) = x y + x z og (x + y) z = x z + y z for alle x, y, z X. (For å slippe for mange parenteser bruker vi her de vanlige prioteringsreglene der prioriteres før +; uttrykket x y + x z betyr egentlig (x y) + (x z).) Legg merke til at i vanlig tallregning er multiplikasjon distributiv over addisjon, men ikke omvendt. Snitt og union er distributive begge veier. De distributive lovene brukes til å gange elementer inn i parenteser og (lest baklengs) til å trekke felles faktorer ut av parenteser. Eksempel 2: La oss vise hvordan de distributive lovene kan brukes til å vise første kvadratsetning (vi skriver x 2 for x x): (a + b) 2 = (a + b) (a + b) dist. = (a + b) a + (a + b) b dist. = a a + b a + a b + b b = a 2 + b a + a b + b 2 Hvis er kommutativ, kan vi trekke sammen og få det vanlige uttrykket (a+b) 2 = a 2 +2a b+b 2 (der 2a b er en forkortet skriveform for a b+a b). Vi har nå sett på de vanligste regnereglene for algebraiske operasjoner. I de neste avsnittene skal vi se på vanligste algebraiske strukturene som slike operasjoner gir opphav til: grupper, ringer og kropper. 4

5 Oppgaver til seksjon 1 1. Vis den andre delen av beviset for setning Vis at hvis er distributiv over +, så er for alle x, y 1, y 2,..., y n. 3. Vis at hvis er assosiativ, så er x(y 1 + y y n ) = xy 1 + xy xy n (a b) (c d) = ((a b) c) d = (a (b c)) d = a ((b c) d) = a (b (c d)) for alle a, b, c, d. 4. Anta at er assosiativ og at a er inverterbar. Vis at a 1 er inverterbar, og at (a 1 ) 1 = a. Hvis operasjonen er pluss, skrives dette som ( a) = a. 5. Anta at er assosiativ og at a og b er inverterbare. Vis at hvis a b, så er a 1 b Definer en binær relasjon på N ved m n = m n. Er assosiativ og/eller kommutativ? Har et nøytralt element? 7. La X være en ikke-tom mengde, og la og være snitt og union betraktet som binære operasjoner på potensmengden P(X). Finnes det nøytrale elementer for og? Finnes det inverse elementer? 8. Finn tre vektorer a, b, c i R 3 slik at (a b) c a (b c). 9. Definer en binær operasjon på R ved x y = max(x, y). Definer også en binær operasjon på R ved x y = min(x, y). a) Er kommutativ og/eller assosiativ? Har et nøytralt element? b) Er kommutativ og/eller assosiativ? Har et nøytralt element? c) Er distributiv over, eller distributiv over? 2 Grupper I en gruppe er det bare én algebraisk operasjon. Denne operasjonen er assosiativ og har et nøytralt element. I tillegg har alle elementer inverser. Mer formelt ser definisjonen slik ut: Definisjon 2.1 En gruppe er et par (G, ) der G er ikke-tom mengde og er en binær operasjon på G som tilfredstiller følgende krav: a) er assosiativ, dvs. a (b c) = (a b) c for alle a, b, c G b) Det finnes en nøytralt element e G, dvs. et element slik at a e = e a for alle a G. c) Alle elementer a G har et inverst element a 1, dvs. et element slik at a a 1 = a 1 a = e. 5

6 Dersom er kommutativ (dvs. a b = b a for alle a, b G), sier vi at gruppen er abelsk. I en abelsk gruppe betegner vi ofte operasjonen med + og skriver ( a) for det inverse elementet til a. I en gruppe som ikke (nødvendigvis) er abelsk, er det vanlig å droppe operasjonstegnet og skrive ab for a b. Jeg skal stort sett følge denne konvensjonen heretter, men går tilbake til -notasjonen der det er naturlig. Når det er opplagt (eller irrelevant) hva operasjonen er, misbruker man gjerne terminologien litt og snakker om gruppen G istedenfor det korrekte gruppen (G, ). La oss se på noen eksempler på grupper: Eksempel 1: a) (R, +) er en abelsk gruppe. Det samme er (Z, +) og (Q, +). b) Lar vi stå for multiplikasjon, er (R \ {0}, ) en abelsk gruppe (legg merke til at vi må fjerne 0 siden 0 ikke har en multiplikativ invers). Det samme er (Q \ {0}, ), men ikke (Z \ {0}, ). c) Hvis G er mengden av alle inverterbare n n-matriser (for en gitt n > 1) og betegner matrisemultiplikasjon, er (G, ) en ikke-abelsk gruppe. Eksemplene ovenfor er enkle å beskrive, men de er kanskje ikke typiske for det matematikere tenker på når de hører ordet gruppe. Vi skal se på mer karakteristiske eksempler etter hvert, men først kan det være lurt å se på noen enkle egenskaper som gjelder for alle grupper. Vi begynner med ligningsløsning: Setning 2.2 Anta at a, b er to elementer i en gruppe G. Da har ligningen ax = b den entydige løsningen x = a 1 b. Bevis: Vi sjekker først ved innsetting at x = a 1 b virkelig er en løsning (legg merke til at vi bruker assosiativitet): ax = a(a 1 b) ass. = (aa 1 )b = eb = b Anta så at x er en løsning, dvs. at ax = b. Ganger vi denne ligningen fra venstre med a 1, får vi a 1 (ax) = a 1 b. Den assosiative loven gir (a 1 a)x = a 1 b, og siden a 1 a = e. kan dette forenkles til x = a 1 b. Dette viser at x = a 1 b er den eneste løsningen. Det neste resultatet viser at vi kan forkorte i grupper. Vi skal senere (i avsnittet om ringer) se at forkortning ikke er så trivielt som man gjerne tror. 6

7 Setning 2.3 Anta at a, b, c er tre elementer i en gruppe og at ab = ac. Da er b = c. Bevis: Multipliserer vi fra venstre med a 1 i uttrykket ab = ac, får vi a 1 (ab) = a 1 (ac). Bruker vi assosiativitet på begge sider, ser vi at (a 1 a)b = (a 1 a)c, som gir eb = ec. Siden e er et nøtralt element, sitter vi igjen med b = c. Fordelen med resultater av denne typen er at de gjelder i alle grupper. Når vi støter på nye grupper, slipper vi derfor å bevise dem på ny og på ny. Gruppene i eksempel 3 består av tall og matriser. Det er ikke noe galt med det, men som jeg nevnte i forbifarten, er det andre typer grupper som er mer typiske for hva matematikere tenker på når de hører ordet. Historisk sett utviklet gruppebegrepet seg fra transformasjonsbegrepet, og grupper bestod opprinnelig av fysiske transformasjoner som bevarte visse geometriske eller fysiske størrelser. La oss se på et eksempel: Eksempel 2: Gruppen vi nå skal se på, består av åtte lineæravbildninger fra R 2 til R 2. Det går an å skrive opp en formel for hver av dem, men det er mer instruktivt å beskrive dem i ord og bilder: 1. I er identitetsavbildningen, I(x) = x for alle x R R 1 er 90 rotasjon om origo i positiv omløpsretning (altså mot klokken). 3. R 2 er 180 rotasjon om origo i positiv omløpsretning. 4. R 3 er 270 rotasjon om origo i positiv omløpsretning. 5. S 1 er speiling om x-aksen. 6. S 2 er speiling om y-aksen. 7. S 3 er speiling om linjen y = x. 8. S 4 er speiling om linjen y = x. Vi lar G = {I, R 1, R 2, R 3, S 1, S 2, S 3, S 4 } være mengden av alle disse operasjonene. For å få bedre oversikt over hvordan operasjonene fungerer, tenker vi oss at figuren nedenfor er plassert med midtpunktet i origo, og at hjørnene har fått navn A, B, C, D D C A B 7

8 Når vi bruker de åtte operasjonene på denne figuren, får vi følgende resultater: D C C B B A A D I: R 1 : R 2 : R 3 : A B D A C D B C A B C D B C D A S 1 : D C S 2 : B A S 3 : A D S 4 : C B Utfører vi to av disse operasjonene etter hverandre, er resultatet det samme som å utføre en tredje operasjon. Hvis vi f.eks. utfører R 1 først og deretter S 1, er resultatet det samme som å utføre S 4. Vi skriver dette som S 1 R 1 = S 4. Utfører vi derimot S 1 først og deretter R 1, får vi samme resultat som om vi utførte S 3. Vi har altså R 1 S 1 = S 3, og operasjonen derfor ikke kommutativ. Vi kan lage en multiplikasjonstabell som viser alle mulighetene, men siden ikke er kommutativ, må vi være litt forsiktige når vi leser den. Tabellen nedenfor viser sammensettingen V T der T er elementet i margen på toppen, og V er elementet i margen til venstre. Går du inn under S 2 på toppen og leter deg nedover til R 3 i venstre marg, er det altså produktet R 3 S 2 du finner i skjæringspunktet. V T I R 1 R 2 R 3 S 1 S 2 S 3 S 4 I I R 1 R 2 R 3 S 1 S 2 S 3 S 4 R 1 R 1 R 2 R 3 I S 4 S 3 S 2 S 1 R 2 R 2 R 3 I R 1 S 2 S 1 S 4 S 3 R 3 R 3 I R 1 R 2 S 4 S 3 S 2 S 1 S 1 S 1 S 4 S 2 S 3 I R 2 R 4 R 1 S 2 S 2 S 3 S 1 S 4 R 2 I R 1 R 3 S 3 S 3 S 1 S 4 S 2 R 1 R 3 I R 2 S 4 S 4 S 2 S 3 S 1 R 3 R 1 R 2 I Vi kan lese ganske mye rett ut av tabellen, f.eks. at I er et identitetselement og at alle elementer har en invers. Det er slitsom å sjekke fra tabellen at er assosiativ, men siden vi snart skal vise at funksjonssammensetning alltid er en assosiativ operasjon, er dette kravet også oppfylt, og følgelig er (G, ) en gruppe. Det er naturlig å tenke på elementene i gruppen G som transformasjoner av den geometriske figuren vår dvs. avbildninger i planet som bevarer for- 8

9 men til figuren. Hva slags avbildninger det er, bestemmes av symmetrien til figuren, og forskjellige figurer gir gjerne opphav til ulike grupper. Vi snakker gjerne om symmetrigrupper og transformasjonsgrupper. Elementene i gruppen ovenfor er avbildninger/funksjoner, og gruppeoperasjonen er sammensetning av funksjoner. Siden grupper av denne typen er så vanlige, kan det være lurt å se litt nærmere på funksjonssammensetning som en algebraisk operasjon før vi går videre. Setning 2.4 La X være en ikke-tom mengde og la F betegne mengden av alle funksjoner f : X X. Definer en binær operasjon på F ved å sette f g lik sammensetning av f og g, dvs. f g er funksjonen gitt ved f g(x) = f(g(x)). Da er assosiativ. Bevis: Vi må vise at (f g) h = f (g h). For enhver x X er (f g) h(x) = f g(h(x)) = f(g(h(x)) og så de to funksjonene er like. f (g h)(x) = f(g h(x)) = f(g(h(x))) Strukturen (F, ) i setningen ovenfor er ikke en gruppe siden de fleste elementer mangler inverser. Innskrenker vi oss til bijektive funksjoner, er situasjonen annerledes: Setning 2.5 Anta at X er en ikke-tom mengde og at G er mengden av alle bijeksjoner f : X X. Da er (G, ) en gruppe. Bevis: Vi må sjekke de tre kravene til en gruppe. Assosiativitet følger fra forrige setning, identitetsfunksjonen e : X X (definert ved e(x) = x for alle s G) fungerer som nøytralt element, og inversen til et element f G er den omvendte funksjonen f 1. Siden vi generelt har f g g f, er gruppen (G, ) ikke-abelsk når X har flere enn to elementer. Eksempel 3: Anta at X er en endelig mengde med n elementer. Da består G av alle permutasjoner (ombytter) av X. Siden n elementer kan byttes om på n! måter, har G n! elementer. Ofte er mengden av alle bijeksjoner for stor for våre formål. I eksempel 2 var vi for eksempel ikke interesset i alle bijeksjoner fra R 2 til R 2, men bare i dem som bevarte formen til figuren vår. Disse formbevarende avbildningene danner en undergruppe i en forstand vi nå skal se nærmere på. 9

10 Undergrupper Definisjon 2.6 Anta at (G, ) er en gruppe. En ikke-tom delmengde H G kalles en undergruppe av G dersom (H, ) er en gruppe. En gruppe G har alltid to undergrupper, G selv og gruppen {e} som bare består av det nøytrale elementet. Disse kalles trivielle undergrupper, og spørsmålet er ofte om det finnes andre undergrupper. La oss begynne med å observere at det ikke er så vanskelig å sjekke om noe er en undergruppe: Setning 2.7 Anta at (G, ) er en gruppe og at H G. Da er H en undergruppe hvis og bare hvis: (i) e H. (ii) Hvis a, b H, så er a b H. (iii) Hvis a H, så er a 1 in H. Bevis: Hvis H er en undergruppe, er åpenbart (i)-(iii) oppfylt. På den annen side hvis (i)-(iii) er oppfylt, er operasjonen veldefinert pga. (ii), det finnes et nøytralt element pga. (i) og det finnes inverser pga. (iii). Bemerkning: Legg merke til formen på setningen ovenfor. Det holder å sjekke at e H og at H er lukket under operasjonene og 1. Som vi senere skal se, gjelder helt tilsvarende resultater for andre algebraiske strukturer. Det neste resultat er litt vanskeligere enn de vi hittil har sett på, men det er helt grunnleggende i studiet av endelige grupper (dvs. grupper med endelig mange elementer). Beviset er et eksempel på hvordan ekvivalensrelasjoner brukes i algebraiske argumenter. En liten definisjon før vi begynner: Med ordenen G til en endelig gruppe mener vi antall elementer den har. Teorem 2.8 (Lagranges teorem) Anta at H er en undergruppe av en endelig gruppe G. Da er ordenen til G delelig med ordenen til H. Bevis: Vi innfører en relasjon på G ved x y x 1 y H La oss først sjekke at dette er en ekvivalensrelasjon: (i) Refleksiv: Siden x 1 x = e H, er x x. (ii) Symmetrisk: Anta x y. Da er x 1 y i H, og følgelig er det inverse elementet (x 1 y) 1 = y 1 (x 1 ) 1 = y 1 x i H, dvs. y x. 10

11 (iii) Transitiv: Anta x y og y z. Da er x 1 y og y 1 z begge med i H, og følgelig er produktet (x 1 y)(y 1 z) også med i H. Siden (x 1 y)(y 1 z) = x 1 z, betyr det x z. Ekvivalensklassen til elementet x består av alle de y slik at x y, mao. alle de y slik at x 1 y H. Dette betyr at det finnes en h H slik at x 1 y = h. Ganger vi med x fra venstre, får vi y = xh. Dette medfører at ekvivalensklassen [x] til x består av alle elementer på formen xh der h H, og vi skriver derfor gjerne xh istedenfor [x]. Legg merke til at ekvivalensklassen til e er H selv; altså eh = H. Vi lar nå H, x 1 H, x 2 H,..., x n 1 H være alle de ulike ekvivalensklassene til. Vi vet de danner en partisjon av G (se figur), så hvis vi kan vise at alle har like mange elementer som H, vil vi få at G = n H, og teoremet vil være bevist. H x 1 H x 2 H x 3 H x n 1 H La oss derfor se på en av ekvivalensklassene x i H. Den består av elementene x i h der h er et element i H, så det kan umulig være flere elementer i x i H enn i H. På den annen side, hvis h og h er to forskjellige elementer i H, så følger det fra forkortningsregelen i setning 12 at xh xh, og dermed må det være nøyaktig like mange elementer i x i H som i H. Homomorfier og isomorfier Når vi arbeider med algebraiske strukturer av en viss type, har vi ofte mer enn én av dem, og det er viktig å vite om de naturlige funksjonene (eller avbildningene som man gjerne sier) mellom dem. Dette er de avbildningene som bevarer den algebraiske strukturen i større eller mindre grad. Vi skal nå se på slike avbildninger for grupper, og vi starter med den grunnleggende definisjonen. Definisjon 2.9 Anta at G og G er to grupper. En avbildning φ : G G kalles en homomorfi dersom for alle x, y G. φ(xy) = φ(x)φ(y) De to neste resultatene viser at homomorfier bevarer mer av den algebraiske strukturen enn det kan se ut til fra definisjonen. 11

12 Setning 2.10 Anta at φ : G G er en homomorfi. Dersom e og e er de nøytrale elementene i henholdsvis G og G, er φ(e) = e. Bevis: Vi har φ(e)e = φ(e) = φ(ee) = φ(e)φ(e) og bruker vi forkortningsregelen, får vi e = φ(e). Setning 2.11 Anta at φ : G G er en homomorfi. For ethvert element x G er φ(x 1 ) = φ(x) 1. Bevis: Vi har og φ(x)φ(x 1 ) = φ(xx 1 ) = φ(e) = e φ(x 1 )φ(x) = φ(x 1 x) = φ(e) = e Siden vi vet fra setning 7 at φ(x) 1 er det eneste elementet y slik at φ(x)y = yφ(x) = e, følger det at φ(x 1 ) = φ(x) 1. En homomorfi generer nye grupper på to forskjellige måter. Den første er kanskje ikke så overraskende: Setning 2.12 Anta at G og G er to grupper og at φ : G G er en homomorfi. Da er bildet φ(g) en undergruppe av G. Bevis: La H = φ(g). Ifølge setning 16 er det tre ting å sjekke: (i) e H: Siden e = φ(e), er e H. (ii) Hvis a, b H, så er ab H: Siden a, b H, finnes det x, y G slik at at a = φ(x) og b = φ(y). Dermed er ab = φ(x)φ(y) = φ(xy) H. (iii) Hvis a H, så er a 1 H: Siden a H, finnes det en x G slik at a = φ(x). Ifølge setning 2.11 er a 1 = φ(x) 1 = φ(x 1 ) H. Hvis φ : G G er en homomorfi, definerer vi kjernen ker(φ) til φ ved ker(φ) = {x G φ(x) = e } der e er det nøytrale argumentet i G. Setning 2.13 Anta at G og G er to grupper og at φ : G G er en homomorfi. Da er kjernen ker(φ) en undergruppe av G. Bevis: La H = ker(φ). Vi må igjen sjekke de tre kravene til en undergruppe: (i) e H: Siden φ(e) = e, er e H. 12

13 (ii) Hvis a, b H, så er ab H: Siden a, b H, er φ(a) = φ(b) = e. Dermed er φ(ab) = φ(a)φ(b) = e e = e, så ab H. (iii) Hvis a H, så er a 1 H: Siden a H, er φ(a) = e. Ifølge setning 2.11 er dermed φ(a 1 ) = φ(a) 1 = e 1 = e, som viser at a 1 H. Homomorfier er nyttige verktøyer i gruppeteori. En skarpere variant er isomorfier: Definisjon 2.14 En homomorfi som også er en bijeksjon, kalles en isomorfi. Dersom det finnes en isomorfi mellom to grupper G og G, sier vi at de er isomorfe. At to grupper er isomorfe, betyr at de som grupper betraktet er helt like. De kan imidlertid ha tilleggstruktur som gjør at de i andre sammenhenger ser ganske forskjellige ut (se oppgave 13 for et eksempel). Setning 2.15 Hvis φ : G G er en isomorfi, så er den omvendte avbildningen ψ = φ 1 også en isomorfi. Bevis: Siden ψ er bijektiv per definisjon, holder det å vise at den er en homomorfi. Dersom x, y er to elementer i G, har vi på den ene siden og på den andre siden φ(ψ(xy)) = xy φ(ψ(x)ψ(y)) = φ(ψ(x))φ(ψ(y)) = xy Siden φ er bijektiv (og dermed spesielt injektiv), betyr dette at ψ(xy) = ψ(x)ψ(y). En isomorfi φ : G G av en gruppe med seg selv kalles en automorfi. Kvotientgrupper Til slutt i denne seksjonen skal vi se på en type konstruksjon som ofte dukker opp. Anta at G og G er to grupper og at φ : G G er en homomorfi. Definer en relasjon på G ved x y φ(x) = φ(y) Setning 2.16 er en ekvivalensrelasjon. 13

14 Bevis: Overlatt til leseren. La K være mengden G/ av alle ekvivalensklasser, og la [x] betegne ekvivalensklassen til x. Vi skal vise at K er en gruppe. Nøkkelobservasjonen er: Setning 2.17 Anta at x x og y y. Da er xy x y. Bevis: At x x og y y, betyr at φ(x) = φ(x ) og φ(y) = φ(y ). Dermed er φ(xy) = φ(x)φ(y) = φ(x )φ(y ) = φ(x y ), som viser at xy x y. På grunn av setningen ovenfor kan vi uten fare for tvetydighet definere en binær operasjon på K = G/ ved [x] [y] = [xy] Teorem 2.18 (G/, ) er en gruppe. Bevis: Vi må sjekke de tre gruppeaksiomene i definisjon 2.1: a) er assosiativ siden [a] ([b] [c]) = [a] [bc] = [a(bc)] = [(ab)c] = [ab] [c] = ([a] [b]) [c] der vi har brukt assosiativiteten i G. b) [e] er et nøytralt element siden [a] [e] = [ae] = [a] og [e] [a] = [ea] = [a]. c) [a 1 ] er det inverse elementet til [a] siden [a] [a 1 ] = [aa 1 ] = [e] og [a 1 ] [a] = [a 1 a] = [e]. Gruppen (G/, ) kalles kvotientgruppen til G med hensyn på ker φ. Kjernen ker(φ) er en spesiell type undergruppe av G, og det er naturlig å spørre seg om det er mulig å gjennomføre en konstruksjon av denne typen for en generell undergruppe H av G. Dette spørsmålet skal vi se nærmere på i oppgave 17. Oppgaver til seksjon 2 1. Sjekk at gruppene i eksempel 1 virkelig er grupper. 2. Løs ligningen R 3 X = S 3 i gruppen i eksempel Vis at H = {I, R 1, R 2, R 3 } er en undergruppe av gruppen i eksempel Bevis setning Anta at (G 1, 1 ) og (G 2, 2 ) er to grupper. Definer en operasjon på G = G 1 G 2 ved (a, b) (c, d) = (a 1 c, b 2 d). Vis at (G, ) er en gruppe. 6. Vis at gruppen i setning 2.5 er ikke-abelsk når X har flere enn to elementer. 14

15 7. La G være alle n n-matriser U med det U lik 1 eller 1. Vis at (G, ) er en gruppe når er matrisemultiplikasjon. Vis at er en undergruppe av G. H = {U G det U = 1} 8. La G = C\{0} være mengden av alle komplekse tall unntatt 0, og la betegne multiplikasjon av komplekse tall. a) Vis at (G, ) er en abelsk gruppe. b) Anta at n er et naturlig tall og la H n = {z C z n = 1} Vis at H n er en undergruppe av G. 9. La T være en likesidet trekant med sentrum i origo. Beskriv en gruppe av rotasjoner og speilinger som avbilder T på seg selv. (Du skal altså gjennomføre eksempel 2 for en likesidet trekant istedenfor et (avrundet) kvadrat). 10. La G være mengden av alle permutasjoner av mengden {1, 2,..., n}. La H være de permutasjonen φ slik at φ(n) = n. a) Vis at H er en undergruppe av G med (n 1)! elementer. b) Vis at for hver k < n finnes det undergrupper av G med k! elementer. 11. Vi kan tenke oss at gruppen G i eksempel 2 handler om permutasjoner av bokstavene A, B, C, D istedenfor operasjoner på en geometrisk figur. Operasjonen R 1 er da permutasjonen R 1 (A) = B, R 1 (B) = C, R 1 (C) = D, R 1 (D) = A, mens operasjonen S 1 blir permutasjonen S 1 (A) = D, S 1 (B) = C, S 1 (C) = B, S 1 (D) = A. Vis at G er en undergruppe av av gruppen P av alle permutasjoner av {A, B, C, D}. Beskriv restklassene til G som en undergruppe av P. 12. Anta at G er en gruppe og la Aut(G) være mengden av alle automorfier φ : G G. Vis at (Aut(G), ) er en gruppe. 13. a) La R + = {x R x > 0}. Vis at (R +, ) (der er vanlig multiplikasjon) er en gruppe. b) Definer φ : R R + ved φ(x) = e x. Vis at φ er en isomorfi mellom gruppene (R, +) og (R +, ). 14. Senteret Z til en gruppe G består av de elementene som kommuterer med alle andre elementer i G, dvs. Vis at Z er en undergruppe av G. Z = {a G ab = ba for alle b G} 15. a) Vis at dersom ordenen til en gruppe G er et primtall, så har G ikke andre undergrupper enn {e} og G. b) Anta at a er et element i en endelig gruppe (G, ). Vi skriver a n for a a... a der det er n faktorer i produktet. Vis at det må finnes n, m N, m n, slik at a n = a m. Vis at det må finnes en k N slik at a k = e. 15

16 c) La k være det minste tallet i N slik at a k = e. Vis at H = {e, a, a 2,... a k 1 } er en undergruppe av G med k elementer. d) En endelig gruppe G med k > 1 elementer kalles syklisk dersom det finnes et element a slik at G = {e, a, a 2,..., a k 1 }. Vis at hvis ordenen til en gruppe er et primtall, så er G syklisk. 16. Anta at G er en gruppe og at A G. Definer H = {G G er en undergruppe av G slik at A H} a) Vis at H er en undergruppe av G. Vi kaller H undergruppen generert av A. Dersom A bare består av endelig mange elementer a 1, a 2,..., a n, sier vi gjerne undergruppen generert av a 1, a 2,..., a n istedenfor undergruppen generert av A. b) La G være gruppen i eksempel 2. Finn undergruppen generert av R 1 og undergruppen generert av S 1. Hva er undergruppen generert av R 1 og S 1? 17. I denne oppgaven skal vi se på kvotientgruppekonstruksjonen fra et litt mer abstrakt synspunkt. Nøkkelbegrepet vi være normal undergruppe som defineres slik: Hvis G en gruppe og H en undergruppe av G, sier vi at H er en normal undergruppe av G dersom ghg 1 H for alle h H og g G a) Vis at dersom G er abelsk, så er alle undergrupper normale. b) Vis at hvis φ : G G er en homomorfi, så er H = ker(φ) normal. c) La G være gruppen av alle permutasjoner av M = {1, 2, 3}, og la H = {I, T } der I : M M er identitetsavbildningen og T : M M er gitt ved T (1) = 2, T (2) = 1, T (3) = 3. Vis at H er en undergruppe av G, men at H ikke er normal. Vi går nå tilbake til den generelle situasjonen der H er en undergruppe av G. I beviset for teorem 2.8 definerte vi en ekvivalensrelasjon på G ved x y x 1 y H og viste at ekvivalensklassen til x består av alle elementer xh der h H. Vi skriver derfor xh for ekvivalensklassen til x. I de neste fem punktene antar vi at H er en normal undergruppe av G. d) Vis at hvis y G og h H, så finnes det en h H slik at yh = h y. e) Vis at dersom x x og y y, så er xy x y. f) La G/H betegne mengden av alle ekvivalensklasser til. Forklar at vi kan definere en operasjon på G/H ved xh yh = xyh g) Vis at (G/H, ) er en gruppe. h) Definer en avbildning φ : G G/H ved φ(x) = xh. Vis at φ er en homomorfi og finn kjernen ker(φ) til φ. i) Vis at en undergruppe H av G er normal hvis og bare hvis det finnes en gruppe G og en homomorfi φ : G G slik at H = ker(φ). 16

17 3 Ringer Vi skal nå se på strukturer der vi har to operasjoner addisjon + og multiplikasjon forbundet med en distributiv lov (som vanlig skriver vi xy istedenfor x y der det passer): Definisjon 3.1 En ring (R, +, ) består av en ikke-tom mengde R med to binære operasjoner + og som tilfredsstiller følgende betingelser: (i) For alle x, y, z R er (x + y) + z = x + (y + z) (ii) For alle x, y R er x + y = y + x. (iii) Det finnes et element 0 R slik at x + 0 = x for alle x R. (iv) Hvert element x R har et motsatt element x slik at x + ( x) = 0. Betingelsene ovenfor kan oppsummeres raskt ved å si at (R, +) er en abelsk gruppe. (v) For alle x, y, z R er (xy)z = x(yz). (vi) Det finnes et element 1 R slik x 1 = 1 x = x for alle x R. (vii) For alle x, y, z R er x(y + z) = xy + xz og (y + z)x = yx + zx. Vi sier at ringen er kommutativ dersom xy = yx for alle x, y R. Legg merke til at i en ring behøver vi ikke ha multiplikative inverser. Dette er hovedforskjellen på ringer og kropper (som vi skal behandle i neste seksjon). For å slippe altfor kompliserte formler skal vi skrive x y istedenfor x + ( y). På denne måten innfører vi subtraksjon som en avledet regneoperasjon. Bemerkning: Terminologien i ringteori er litt vekslende. Noen bøker sløyfer punkt (vi) i definisjonen ovenfor. En ring som tilfredsstiller (vi) kalles da en ring med enhetselement. Andre bøker behandler bare kommutative ringer. Når du støter på ordet ring i en tekst, er det alltid lurt å sjekke hva forfatteren mener med begrepet. Eksempel 1: Her er noen viktige eksempler på ringer. I alle tilfellene er operasjonene de du er vant med. a) Mengden Z av hele tall. b) Restklasseringene Z/(t) som vi studerte i tallteorien. c) Mengden av alle polynomer med reelle koeffisienter. 17

18 d) Mengden av alle funksjoner f : R R. e) Mengden av alle n n-matriser for en gitt n (dette er et ikke-kommutativt eksempel). La oss først vise at noen av de grunnleggende reglene som gjelder for tallregning, også gjelder for ringer. Setning 3.2 Anta at (R, +, ) er en ring. For alle a, b R gjelder da: (i) a 0 = 0 og 0 a = 0. (ii) ( a)b = ab og a( b) = ab (iii) ( a)( b) = ab Bevis: a) Jeg viser den første likheten og overlater den andre til leserne. For enhver a R er a 0 + a 0 = a(0 + 0) = a 0 = a som ved forkortning gir a 0 = 0. (Siden (R, +) er en additive gruppe, er forkortning tillatt ifølge setning 2.3). b) Igjen viser jeg den første likheten og overlater den andre til leserne. Per definisjon er ab det eneste elementet slik at ab+( ab) = 0. Det holder derfor å vise at ab + ( a)b = 0. Det er er ikke så vanskelig: ab + ( a)b = (a + ( a))b = 0 b = 0 c) Vi bruker resultatet i b) to ganger: ( a)( b) = (a( b)) = ( ab) = ab (at ( x) = x for alle x har du vist i oppgave 1.4). I beviset ovenfor brukte vi forkorting med hensyn på addisjon, dvs. at a + b = a + c = b = c, og grunnga det med setning 2.3. Multiplikajon er mer komplisert; vi vet fra tallteorien at vi ikke alltid kan forkorte uttrykk av typen ā b = ā c i Z/(t). Problemer med å forkorte henger nøye sammen med eksistensen av nulldivisorer. Definisjon 3.3 Et element a i en ring R er en nulldivisor dersom a 0 og det finnes en b 0 slik at ab = 0. Vi sier a oppfyller forkortningsregelen dersom ab = ac medfører b = c for alle b, c R. 18

19 Setning 3.4 Et element a 0 i en ring oppfyller forkortningsregelen hvis og bare hvis det ikke er en nulldivisor. Bevis: Anta først at a 0 oppfyller forkortningregelen. Hvis vi da har ab = 0, så er også ab = a 0, og siden forkortningsregelen gjelder, får vi b = 0. Altså er a ikke en nulldivisor. Anta så at a 0 ikke oppfyller forkortningsregelen. Da finnes det b, c R alik at ab = ac, men b c. Dette betyr at a(b c) = 0, der b c 0, og følgelig er a en nulldivisor. Bemerkning: En kommutativ ring uten nulldivisorer kalles et integritetsområde. Dette er en av de viktigste ringtypene, og Z er et typiske eksempel. Akkurat som for grupper spiller homomorfiene en viktig rolle for ringer, men her er det flere ting å passe på: Definisjon 3.5 En avbildning φ : R S fra en ring til en annen kalles en homomorfi dersom (i) φ(x + y) = φ(x) + φ(y) for alle x, y R (ii) φ(xy) = φ(x)φ(y) alle x, y R (iii) φ(1 R ) = 1 S, der 1 R, 1 S er enhetselementene i henholdvis R og S. En homomorfi som er bijektiv, kalles en isomorfi. Bemerkning: Vi vet fra setning 2.10 at φ(0 R ) = 0 S, men det er ikke nok kraft i ringaksiomene til at vi kan vise tilsvarende for 1 R og 1 S, og vi må derfor ta med (iii) som en del av definisjonen. Idealer og kvotientringer De viktigste delmengdene av ringer er idealene: Definisjon 3.6 En delmengde I av en ring R kalles et ideal dersom: (i) 0 I (ii) Hvis x I, så er x I. (iii) Hvis x, y I, så er x + y I. (iv) Hvis x I og r R, så er xr og rx i I. 1 Legg merke til at (i)-(iii) bare sier at (I, +) er en undergruppe av (R, +). 1 Strengt tatt har vi definert et tosidig ideal ved å kreve at både xr og rx skal være med i I. Krever vi bare den ene av de to betingelsene, får vi høyre- og venstreidealer. 19

20 Bemerkning: Det kan virke merkelig at vi i (iv) krever at xr og rx skal være med i I for alle r i R og ikke bare for alle r i I, men som vi skal se nedenfor har det sin grunn. Du har møtt idealer tidligere i tallteoriheftet. For alle t Z er (t) = {at a Z} et ideal i Z. I tallteoriheftet brukte vi disse idealene til å lage nye ringer Z/(t), og vi skal nå se at denne konstruksjonen kan generaliseres til generelle ringer og idealer. Anta derfor at I er et ideal i ringen R. Vi innfører en relasjon på R ved x y x y I Det første resultatet overrasker vel ingen lenger: Setning 3.7 er en ekvivalensrelasjon. Beviset ligner på mange vi har hatt før, og overlates til leserne. Det neste resultatet er nøkkelen til konstruksjonen vi er iferd med å gjennomføre. Setning 3.8 Hvis x x og y y, så er x + y x + y og xy x y. Bevis: Siden x x og y y, er i = x x I og j = y y I. Dermed er (x + y) (x + y ) = (x + i) + (y + j) x y = i + j I som viser at x + y x + y. Tilsvarende er xy x y = (x +i)(y +j) x y = x y +x j +iy +ij x y = x j +iy +ij I (Legg merke til at vi trenger å vite x j og iy er med i I for alle x, y R, og ikke bare for x, y I. Dette forklarer hvorfor punkt (iv) i definisjonen av ideal er som det er.) Vi lar som vanlig R/ være mengden av alle ekvivalensklassene til. På grunn av setningen ovenfor kan vi innføre to operasjoner på R/ ved [x] + [y] = [x + y] og [x][y] = [xy] Som vi nå skal se, er R/ utstyrt med disse operasjonene selv en ring. Den kalles kvotientringen til R over I og betegnes ofte med R/I. Teorem 3.9 Hvis R er en ring og I R er et ideal, så er R/I en ring med nullelement [0] og enhetselement [1]. 20

21 Bevis: Vi må sjekke de syv kravene til en ring i definisjon 3.1. Dette er ganske tidkrevende, og siden alle gjøres mer eller mindre på samme måte, viser jeg bare (vii) som et eksempel, dvs. at [x]([y] + [z]) = [x][y] + [x][z]. Siden den distributive loven gjelder i R, ser vi at: [x]([y]+[z]) = [x][y +z] = [x(y +z)] = [xy +xz] = [xy]+[xz] = [x][y]+[x][z] (Forklar hvilke definisjoner/regler vi bruker i hver overgang!) Oppgaver til seksjon 3 1. Vis at ringene i eksempel 1 virkelig er ringer. 2. Bevis de delene av setning 3.2 som ble overlatt til leserne. 3. Definer φ : Z Z ved φ(n) = 0 for alle n Z. Vis at φ tilfredsstiller de to første kravene i definisjon 3.5, men at φ(1) a) Vis at det finnes en ring som bare består av ett element 0. b) Vis at hvis R er en ring som består av mer enn ett element, så er Anta t N. Vis at er et ideal i Z. 6. Bevis setning 3.7. (t) = {at a Z} 7. Gjennomfør de manglende delene av beviset for teorem La R være ringen av alle polynomer med reelle koeffisienter og la a 1, a 2,..., a n R. Vis at er et ideal i R. I = {p R p(a 1 ) = p(a 2 ) =... = p(a n ) = 0} 9. Hvis φ : R S er en homomorfi mellom to ringer, definerer vi kjernen til φ ved ker(φ) = {x R φ(x) = 0 S } der 0 S betegner null-elementet i S. Vis at ker(φ) er et ideal i R. 10. Anta at (R, +, ) er en ring. Vi kaller S R en underring av R dersom (S, +, ) er en ring. a) Vis at S R er en underring hvis og bare følgende betingelser er oppfylt: (i) 1 R (ii) Hvis x, y R, så er x + y R og xy R (iii) Hvis x R, så er x R b) Vis at Z er en underring av Q. c) Gå tilbake til eksempel 1. Vis at ringen av alle polynomfunksjoner med reelle koeffisienter er en underring av ringen av alle funksjoner f : R R. 21

22 d) Anta at φ : R S er en homomorfi mellom ringer. Vis at bildet φ(r) er en underring av S. e) La A R. Vis at S = {R R er en underring av R og A R } er en underring av R. Vi kaller S underringen generert av A. Dersom A bare består av endelig mange elementer a 1, a 2,..., a n, sier vi gjerne underringen generert av a 1, a 2,..., a n istedenfor underringen generert A. f) La R = R og A = Z { 2}. Vis at underringen generert av A er S = {a + b 2 a, b Z} g) La nå R = R og A = Z { 3 2}. Vis at underringen generert av A er S = {a + b c( 3 2) 2 a, b, c Z} 11. La R være ringen av alle polynomer med reelle koeffisienter, og la p(x) R være et polynom med grad d 1. a) Vis at I = {q(x) R q(x) er delelig med p(x)} er et ideal i R. La være relasjonen på R definert ved q(x) r(x) q(x) r(x) I Vi vet fra setning 3.7 og teorem 3.9 at er en ekvivalensrelasjon og at S = R/I er en ring. b) Vis at for ethvert polynom q(x) R finnes det et polynom r(x) av grad mindre enn d slik at q(x) r(x). (Hint: Hva skjer hvis du polynomdividerer q(x) på p(x)?) Heretter antar vi at p(x) = x 2 + 1, og vi betegner ekvivalensklasse til et polynom q(x) med [q(x)]. c) Forklar at alle ekvivalensklasser er på formen [bx + a] for a, b R. d) Vis at [x] 2 = [ 1] e) Definer φ : S C ved φ([bx + a]) = a + ib. Vis at φ er en isomorfi. 4 Kropper Den siste typen algebraiske strukturer vi skal se på, er kropper. En kropp 2 K er en ring der multiplikasjon er kommutativ (dvs. xy = yx for alle x, y K) og der ethvert element x 0 har en multiplikativ invers x 1. Skriver vi ut alle kravene, får vi: 2 Det er verdt å merke seg at på engelsk kalles en kropp for a field. Norsk terminologi stemmer med tysk (Körper) og fransk (corps). 22

23 Definisjon 4.1 En kropp er en ikke-tom mengde K med to binære operasjoner + og som tilfredsstiller følgende betingelser: (i) For alle x, y, z K er (x + y) + z = x + (y + z) (ii) For alle x, y K er x + y = y + x. (iii) Det finnes et element 0 K slik at x + 0 = x for alle x K. (iv) Hvert element x K har et motsatt element x slik at x + ( x) = 0. (v) For alle x, y, z K er (xy)z = x(yz). (vi) For alle x, y K er xy = yx. (vii) Det finnes et element 1 K, 1 0, slik x 1 = 1 x = x for alle x K. (viii) For alle x K, x 0, finnes det et element x 1 K slik at xx 1 = 1. (ix) For alle x, y, z R er x(y + z) = xy + xz og (y + z)x = yx + zx. Bemerkning: Legg merke til at kravene (v)-(viii) medfører at (K \ {0}, ) er en abelsk gruppe. Betingelsen 1 0 i (vii) kan se litt merkelig ut, men hadde vi ikke hatt den med, ville mengden {0}, som bare består av nullelementet, vært en kropp, og det ønsker vi ikke. Du kjenner mange eksempler på kropper allerede: tallsystemene Q, R og C og restklasseringene Z/(p) der p er et primtall. Legg merke til at Z ikke er en kropp siden den mangler multiplikative inverser. Neste definisjon er neppe noen overraskelse. Definisjon 4.2 Anta (F, +, ) er en kropp. En delmengde K F kalles en underkropp dersom (K, +, ) er en kropp. Beviset for følgende setning overlates til leserne. Setning 4.3 Anta at F er en kropp og at K F. Da er K en underkropp av F hvis og bare hvis følgende betingelser er oppfylt: (i) 1 K. (ii) Hvis a, b K, så er a + b, ab K. (iii) Hvis a K, så er a K. (iv) Hvis a K og a 0, så er a 1 K. Også for kropper er homomorfibegrepet viktig: 23

24 Definisjon 4.4 Anta at K og F er to kropper. En avbildning φ : K F kalles en homomorfi dersom vi for alle x, y K har φ(x + y) = φ(x) + φ(y) og φ(xy) = φ(x)φ(y) (i dette tilfellet behøver vi ikke ta med betingelsen φ(1 K ) = 1 F slik vi måtte for ringer siden den nå følger fra de to andre betingelsene, se setning 2.10). En bijektiv homomorfi kalles en isomorfi. Ordnede kropper Tallsystemene Q og R er mer enn kropper de har også en ordning som samspiller med de algebraiske operasjonene. Definisjon 4.5 En ordnet kropp er en kropp K med et total ordning slik at: (i) Hvis a b, så er a + c b + c for alle c K. (ii) Hvis a 0 og b 0, så er ab 0 Det er instruktivt å se hvordan vi kan utlede andre kjente egenskaper fra aksiomene ovenfor. I alle resultatene nedenfor antar vi at vi er i en ordnet kropp, og vi begynner med en naturlig utvidelse av (i): Setning 4.6 Hvis a b og c d, så er a + c b + d Bevis: Ifølge (i) har vi a + c b + c og c + b d + b. Den siste ulikheten kan også skrives som b + c b + d, og ved transitivitet er dermed a + c b + d. Det neste resultatet er et nyttig hjelpemiddel: Lemma 4.7 b a er ekvivalent med b a 0. Bevis: Anta b a. Hvis vi adderer a på begge sider, får vi ifølge (i) b a 0. Tilsvarende kan vi starte med b a 0 og addere a på begge sider for å få b a. Neste resultat kan virke opplagt, men må bevises. Lemma 4.8 c 0 hvis og bare hvis c 0. Bevis: Ifølge lemma 4.7 har vi c 0 0 c 0 c 0 Vi kan nå bevise en nøkkelsetning i teorien for ulikheter: Setning 4.9 Anta a b. 24

25 a) Hvis c 0, så er ac bc b) Hvis c 0, så er ac bc. Bevis: a) Ifølge lemma 4.7 er b a 0. Bruker vi (ii) i definisjonen av ordnet kropp, følger det at 0 (b a)c = bc ac, og ifølge lemma 4.7 er da bc ac. b) Ifølge lemma 4.8 er c 0, og a) forteller oss dermed at a( c) b( c). Ifølge lemma 4.7 er dette ekvivalent med 0 b( c) a( c) = ac bc, og dermed er ac bc. Vi vet fra (ii) i definisjonen av ordnet kropp at hvis a 0 og b 0, så er ab 0. Følgende korollar tar seg av de andre tilfellene: Korollar 4.10 Hvis a 0 og b 0, så er ab 0. Hvis a 0 og b 0, så er ab 0. Bevis: Hvis a 0 og b 0, forteller setning 4.9b) oss at ab 0 b = 0. Hvis a 0 og b 0, forteller setning 4.9b) oss at ab 0 b = 0 (dette resultatet følger for øvrig også av at ab = ( a)( b)). Vi avslutter med et resultat (og et bevis) som ser ut som en vits. Setning < 1. Bevis: Vi vet at 1 = 1 1. Siden ordningen er total og 0 1, er enten 1 > 0 eller 1 < 0, og i begge tilfeller er produktet 1 1 positivt. R som ordnet kropp De reelle tallene danner en ordnet kropp, men som du vet fra kalkulus, har R en egenskap til, nemlig kompletthet. La oss raskt rekapitulere terminologien: En delmengde A av en ordning er oppad begrenset dersom det finnes en b slik at b a for alle a A. Vi kaller b en øvre skranke for A. En minste øvre skranke er en øvre skranke som er mindre enn alle andre øvre skranker. Definisjon 4.12 En ordnet kropp K er komplett dersom enhver ikke-tom, oppad begrenset A K har en minste øvre skranke i K. Man kan vise at alle komplette, ordnede kropper K og F er like i følgende forstand: Det finnes en ordningsbevarende isomorfi φ : K F, dvs. en bijeksjon slik at a) φ(x + y) = φ(x) + φ(y) for alle x, y K. b) φ(xy) = φ(x)φ(y) for alle x, y K. c) φ(x) φ(y) hvis og bare hvis x y. 25

26 Disse egenskapene medfører at K og F matematisk sett er helt like, og at alt man kan gjøre i den ene kroppen, kan man også gjøre i den andre. Alt vi egentlig trenger å vite om de reelle tallene, er at de danner en komplett ordnet kropp. Det er forskjellige måter å konstruere de reelle tallene på som leder til kropper der elementene er av ulik type, men der den matematiske strukturen er helt lik. Det er egentlig en hvilken som helst av disse kroppene vi snakker om når vi snakker om de reelle tallene. Bemerkning: Siden både Q og R er ordnede kropper, er det eneste som skiller de to i fremstillingen ovenfor at R er komplett mens Q ikke er det. Siden de fleste grunnleggende teoremene i matematiske analyse som skjæringssetningen, ekstremalverdisetningen og middelverdisetningen gjelder for funksjoner fra R til R, men ikke for funksjoner fra Q til Q, viser dette hvor fundamental kompletthet er i oppbygningen av analysen. Oppgaver til seksjon 4 1. I denne oppgaven arbeider vi i en kropp K. Vi innfører notasjonen a b = ab 1 for a, b K, b 0. Hensikten med oppgaven er å vise at de vanlige reglene for brøkregning gjelder i K. a) Vis at for alle c 0 er ac bc = a b. b) Vis at a b c c) Vis at ( a b d = ac bd. ) 1 = b a. d) Vis at a b c d e) Vis at a c + b c = a+b c. f) Vis at a b + b d = ad+bc bd. = ad bc 2. Bevis setning Vis at Q er en underkropp av R og at R er en underkropp av C. 4. Anta at K og F er kropper og at φ : K F er en homomorfi. Vis at bildet φ(k) er en underkropp av K. 5. Anta at K og F er kropper og at φ : K F er en homomorfi. Vis at φ er injektiv. (Hint: Anta for motsigelse at x y, men φ(x) = φ(y). Forklar regnestykket 1 F = φ(1 K ) = φ((x y)(x y) 1 ) = φ(x y)φ((x y) 1 ) = 0 F φ((x y) 1 ) = 0 F og vis at det leder til en selvmotsigelse.) 6. Vis at det ikke finnes noen ordning på C som gjør C til en ordnet kropp. (Hint: Anta for motsigelse at det finnes en slik ordning. Siden er en total ordning, må vi enten ha i > 0 eller i < 0. I begge tilfeller er 1 = i 2 > 0. Vis at dette leder til en selvmotsigelse). 7. Anta at p er et primtall. Vis at det ikke finnes noen ordning på Z/(p) som gjør Z/(p) til en ordnet kropp. 26

27 8. La Q( 2) = {a + b 2 a, b Q} Vis at Q( 2) er en kropp. Hint: Det holder å sjekke at Q( 2) er en underkropp av R. Du kan ha bruk for at a + b 2 c + d 2 = (a + b 2)(c d 2) c 2 2d 2 9. I denne oppgaven går vi tilbake til kvotientringkonstruksjonen R/I i teorem 3.9. Vi skal undersøke når R/I er en kropp (vi har faktisk sett et eksempel på dette i oppgave 3.11). MERK: Gjennom hele oppgaven er R en kommutativ ring. a) Anta at I R er et ideal og 1 I. Vis at I = R. b) Anta at I 1, I 2 er to idealer i R. Vis at er et ideal i R og at I 1, I 2 I. I = {s + r s I 1, r I 2 } Et ideal M i R kalles maksimalt dersom M R og det ikke finnes noe ideal I slik at M I R. I resten av oppgaven antar vi at M er et maksimalt ideal. c) Vis at hvis x R, så er et ideal i R. d) Anta x / M. Vis at I x = {xy y R} R = {s + r s I x, r M} e) Vis at hvis x / M, finnes det en y R og en r M slik at xy + r = 1. Forklar at i R/M er [x][y] = [1]. f) Vis at R/M er en kropp. Til slutt skal vi vise at dersom idealet I ikke er maksimalt, så er R/I ikke en kropp. Siden I ikke er maksimalt, finnes det et ideal J slik at I J R. g) Velg et element x J \ I. Vis at er et ideal som er inneholdt i J. I = {s + r s I x, r I} h) Forklar at det ikke finnes noen y R og r I slik at xy + r = 1. i) Vis at [x] [0], men at [x] ikke har noen invers i R/I. 27

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

x A e x = x e = x. (2)

x A e x = x e = x. (2) Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen

Detaljer

MA2201/TMA4150 Vår 2018

MA2201/TMA4150 Vår 2018 MA2201/TMA4150 Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Seksjon 14 34 La G = n < og la H G være eneste undergruppe av G av orden m.

Detaljer

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper

Detaljer

4 Matriser TMA4110 høsten 2018

4 Matriser TMA4110 høsten 2018 Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 10

MAT Grublegruppen Notat 10 MAT1100 - Grublegruppen Notat 10 Jørgen O. Lye Ringer Vi fortsetter i et lynkurs i algebraiske dyr. Først ut er ringer. En ring A (også kalt R) er en abelsk gruppe med addisjon + som operasjon. I tillegg

Detaljer

Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010

Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Morten Brun og Runar Ile 1 Dette er et utvidet løsningsforslag hvor det er gitt alternativer løsninger på flere av punktene og noen tips og kommentarer. På

Detaljer

Eksamen i MNFMA205/SIF5021, 19. mai 1999-Løsningsforslag a b Oppgave 2. (a) Vi skal vise at H = 0 a b under matrisemultiplikasjon. Vi har at det.

Eksamen i MNFMA205/SIF5021, 19. mai 1999-Løsningsforslag a b Oppgave 2. (a) Vi skal vise at H = 0 a b under matrisemultiplikasjon. Vi har at det. Eksamen i MNFMA205/SIF5021 19. mai 1999-Løsningsforslag { } Oppgave 2. a Vi skal vise at H 0 a C er en gruppe under matrisemultiplikasjon. Vi har at det aā + a 2 + 2 > 0 da enten a 0 eller 0. Dette fører

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 9

MAT Grublegruppen Notat 9 MAT1100 - Grublegruppen Notat 9 Jørgen O. Lye Gruppeteori Oppvarmingseksempel La oss som vanlig ta en historisk vinkling. En klassisk måte grupper (som jeg straks skal denere) oppstod er gjennom å lete

Detaljer

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ). Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

Lineærtransformasjoner

Lineærtransformasjoner Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

Løsningsforslag øving 6

Løsningsforslag øving 6 Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en

Detaljer

Notat om Peanos aksiomer for MAT1140

Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

Oblig 1 - MAT2400. Fredrik Meyer

Oblig 1 - MAT2400. Fredrik Meyer Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Påstand 1 a). Z 5 har fire generatorer og AutZ 5 ) Z 4 Bevis. Hvert ikke-null-element i Z 5 genererer en undergruppe. Siden 5 er et primtall, må denne undergruppen

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018 9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Grupper de første egenskaper

Grupper de første egenskaper Grupper de første egenskaper Definisjonen av en gruppe Da vi studerte symmetriene til et kvadrat, så vi at det var enkelte karakteristiske trekk ved symmetrier; De kunne settes sammen og de kunne inverteres.

Detaljer

Karakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner

Karakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner Kapittel 8 Karakterer 8. Homomorfier av grupper I forrige kapittel definerte vi begrepet abstrakt gruppe, som en abstrakt versjon av begrepet symmetrigruppe. For å studere forbindelsen mellom abstrakte

Detaljer

Notat med oppgaver for MAT1140

Notat med oppgaver for MAT1140 Notat med oppgaver for MAT1140 1 Injeksjon, surjeksjon Oppgave 1.1. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f injektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : C A hvis

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018

8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018 8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Vektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?

Vektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer? Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har: Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst 2014. Oppgave 1 er med kommentarer En funksjon f : R R er en polynomfunksjon hvis f kan defineres som f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n hvor n 0 og a 0,..., a n er reelle

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.

Detaljer

Forslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5

Forslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5 Forslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5 Oppgave 1 isomorfi, nemlig 24 = 2 3 3, så det finnes tre abelske grupper av orden 24 opp til Z 2 Z 2 Z 2 Z 3 ; Z 2 Z 4 Z 3 ; Z 8 Z 3. O

Detaljer

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig

Detaljer

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert

Detaljer

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene. Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting Forelesning 13 Dag Normann - 25. februar 2008 Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner. Vi definerte hva vi mener med partielle ordninger og med totale ordninger. Deretter snakket

Detaljer

Løsningsforslag øving 7

Løsningsforslag øving 7 Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Repetisjonsforelesning - INF1080

Repetisjonsforelesning - INF1080 Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

1 Aksiomatisk definisjon av vanlige tallsystemer

1 Aksiomatisk definisjon av vanlige tallsystemer Notat XX for MAT1140 1 Aksiomatisk definisjon av vanlige tallsystemer 1.1 Aksiomer Vi betrakter en mengde R, utstyrt med to avbild- Algebraiske aksiomer. ninger: addisjon { R R R, (x, y) x + y. { R R R,

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. september 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. september 2014 Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 29. september 2014 Oppgave 1. La K være et tredimensjonalt konvekst polyeder. La K være mengden av hjørner, K mengden av kanter, og F K mengden av sideflater. To 3-dimensjonale

Detaljer

Analysedrypp IV: Metriske rom

Analysedrypp IV: Metriske rom Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 25. februar 2008 Opphenting Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner.

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4150 Algebra

Eksamensoppgave i TMA4150 Algebra Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4150 Algebra Faglig kontakt under eksamen: Torkil Utvik Stai Tlf: 47638459 Eksamensdato: 29. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 15:00 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Oppgaver i kommutativ algebra

Oppgaver i kommutativ algebra Oppgaver i kommutativ algebra Fredrik Meyer 1 Moduler Oppgave (1). Vis at om m, n er koprimære, så er (Z/mZ) Z (Z/nZ) = 0. Proof. Siden m og n er koprimære, finnes det a, b Z slik at an + bm = 1. La x

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

MAT1030 Forelesning 14

MAT1030 Forelesning 14 MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Roger Antonsen - 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) Kapittel 6: Funksjoner Surjektive funksjoner Den neste gruppen av funksjoner vi skal se på er

Detaljer

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne 901 38 621 EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Tillatte

Detaljer

Eksamen MAT H Løsninger

Eksamen MAT H Løsninger Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Dette er altså et slags produkt av undermengder. Man sjekker lett at dette produktet har en assosiativitetsegenskap 1,nemlig:

Dette er altså et slags produkt av undermengder. Man sjekker lett at dette produktet har en assosiativitetsegenskap 1,nemlig: Kvotientgrupper En helt sentral konstruksjon i gruppeteorien er dannelsen av kvotienten av en gruppe G med en normal undergruppe. I et spesialtilfelle har vi allerede gjort denne konstruksjonen, nemlig

Detaljer

Komplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall

Komplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall Kapittel Komplekse tall Oppfinnelsen av nye tallsystemer henger gjerne sammen med polynomligninger x + 4 0 har ingen positiv løsning, selv om koeffisientene er positive tall Vi må altså inn med negative

Detaljer

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

Et kvadrats symmetrier en motivasjon

Et kvadrats symmetrier en motivasjon Et kvadrats symmetrier en motivasjon ette avsnittet er ment som en introduksjon. Målet er å gi en motivasjon for den aksiomatiske innføringen av grupper. et gir også et første eksempel på en gruppe, og

Detaljer

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen

Detaljer

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

Kapittel 5: Relasjoner

Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra

Detaljer

MAT1030 Forelesning 12

MAT1030 Forelesning 12 MAT1030 Forelesning 12 Relasjoner Dag Normann - 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) Kapittel 5: Relasjoner Repetisjon En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)

Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til

Detaljer