1 Laplacetransform. Definisjon og grunnleggende egenskaper. Eksempel 1.5. Vi kan også beregne

Transkript

1 Del I Anlyse

2 Lplcetrnsform Lplcetrnsform er en teknikk vi skl bruke til løse ordinære differensillikninger. For det første er det en mye mer elegnt teknikk enn den du lærte i M, for det ndre tkler den en bredere klsse v likninger. Definisjon grunnleggende egenskper L f være en funksjon definert for t. Lplcetrnsformen til f er: L(f) f(t)e st dt F (s). Først kn mn spørre seg hvilke funksjoner det er nturlig å finne lplcetrnsformen til. Vi noterer oss t L(f) er definert ved et uegentlig integrl, t dette bør konvergere. Teorem.. L f en stykkvis kontinuerlig funksjon, l M > være reelle tll slik t Integrlet f(t) Me t for t. f(t)e st dt. konvergerer bsolutt dersom s >. Bevis. Vi beregner: f(t)e st dt f(t) e st dt M e t e st dt M e ( s)t dt Eksempel.. Vi kn ikke beregne L(e t ) for e t vokser for fort. Siden e t st dt, M s. Eksempel.5. Vi kn så beregne L() e st dt. Heretter skl vi lltid nt t s er vlgt slik t integrlet konvergerer. Vi skl så nt f er stykkvis kontinuerlig tilfredsstilller f Me t. Et viktig spørsmål er hvorvidt mn kn invertere lplcetrnsformen: Dersom to funksjoner hr smme lplcetrnsform, må de være like som funksjoner? Slik du hr lært funksjoner til nå, er svret definitivt nei, som følgende eksempel viser. Eksempel.6. L g(t) { e t t t Som i eksemplet over, kn vi for s > beregne L(g) e ( s)t dt + s, ltså den smme som i eksempel.4. e ( s)t dt Eksemplet over kn fremstå som litt ptolisk, men det er et viktig mtemtisk poeng t et integrl ikke endres v t mn bytter ut enkelte funksjonsverdier. I med t lplcetrnsformen er et integrl, kn vi med ndre ord ikke forvente t det skl finnes en entydig invers, med mindre mn er litt streng på hvilke funksjoner mn lplcetrnsformerer. En lterntiv løsning er å omdefinere hv mn mener med t to funksjoner er like; i vnsert mtemtisk nlyse bryr mn seg ikke om t funksjoner hr forskjellige funksjonsverdier i et nnet punkt, d blir det lettere å snkke om invers lplcetrnsform. Vi hr ikke mulighet til å gå inn på dette, men det er egentlig ikke så viktig for en ingeniør. Ingeniører bruker lplcetrnsform til å løse differensillikninger, d vil det gjerne være åpenbrt fr nvendelsen hv som er den korrekte inverstrnsformen, selv om det ikke finnes noe mtemtisk entydig vlg. Følgende teorem tr vi nå med unsett. lim st t et kn integrlet ikke konvergere. Eksempel.. L f være funksjonen { rsjonle x f(x) irrsjonle x Teorem.7. L f g være stykkvis kontinuerlige funksjoner. Dersom må L(f) L(g), f g overlt der f g er kontinuerlige. Vi kn ikke lplcetrnsformere denne funksjonen, for den er ikke stykkvis kontinuerlig. Den er fktisk diskontinuerlig overlt, ikke en gng riemnnintegrerbr. Eksempel.4. Så lenge s >, kn vi fint beregne L(e t ) e ( s)t dt s. Dette teoremet forteller t dersom vi ser bort fr funksjonsverdier kkurt i sprng, vil den inverse lplcetrnsformen være entydig. Beviset er dessverre ltfor hrdt for dette kurset. Det finnes formler for invers lplcetrnsform. Men de er så for hrde for oss, så vi skl bruke tbell i stedet. Dette er den vnligste måten å invertere lplcetrnsformer på.

3 Regneregler Mn løser ordinære differensillikninger ved å bruke lplcetrnsform til å skrive dem om til lgebriske likninger. Det er duket for å introdusere triksene vi skl bruke. Teorem.8. Lplcetrnsformen er lineær. Dersom b er reelle tll, er L(f + bg) L(f) + bl(g). Beviset for dette teoremet er så enkelt t vi dropper det. Eksempel.9. L(cos t) e st cos t dt ( e it + e it) e st dt e (i s)t + e (i+s)t dt ) ( s i + s + i s s +. Her hr vi brukt en omskrivning v Eulers formel: cos t eit + e it. Eksempel.. ( e t + e t ) L(cosh t) L ( L(e t ) + L(e t ) ) ( s + ) s s + s. Teorem.. Dersom s > f (t) Me t er stykkvis kontinuerlig, er L(f ) sl(f) f(). L(f ) s L(f) s f() sf () f () så videre. Eksempel.. Vi beregner først L() e st dt s. L nå f(t) t n. Den n-te deriverte v f er: f n (t) n! siden f k () unsett k, får vi slik t Vi tr to teoremer til. n!l() s n L(t n ), L(t n ) n! s n+. Teorem.4. L g(t) t f(u) du. Dersom g tilfredsstiller vekstkrvet, hr vi: L(g) s L(f) Bevis. L s >. Vi beregner L(g) g(t)e st dt s g(t)e st + s s L(f). Eksempel.5. L(sin t) L(cos t) s s s s + s +. f(t)e st dt Bevis. L s >. Vi beregner L(f ) Eksempel.. f (t)e st dt f(t)e st + s sl(f) f(). f(t)e st dt L(sinh t) sl(cosh t) + cosh() s s s + s +. Under liknende betingelser på de høyere ordens deriverte, vil gjenttt bruk v teorem.4 gi formler v typen L(f ) s L(f) sf() f () Teorem.6. L g(t) tf(t) L(f) F. Ant t F er deriverbr. D hr vi: L(g) F Bevis. Dersom f er stykkvis kontinuerlig tilfredsstiller vekstkrvet, gjelder dette så for g. Vi beregner L(g) d ds Eksempel.7. tf(t)e st dt f(t)e st dt F. d ds f(t)e st dt L(t sin t) d ds s + s (s + ).

4 To spesielle funksjoner I det følgende skl vi beskrive noen helt nye typer funksjoner som dukker opp i nvendelser. Hevisidefunksjonen Hevisidefunksjonen er gitt ved u(t) { for t < for t. Mn kn tenke på denne som en funksjon som slår noe på ved t. Eksempel.8. u(t)e t { for t < e t for t Vi kn slå på ved tiden t istedet: u(t ) { for t < for t, t u(t) u(t ) Vi kn så slå på ved t v igjen ved t b: for t < u(t ) u(t b) for t < b for t b. t Deltfunksjonen L g k (t ) Slik ser de ut: Vi definerer y { /k for < t < + k ellers g /8 g /4 g / δ(t) lim k g k (t) { x for t ellers Deltfunksjonen brukes til å modellere impuls, ltså energitilførsler der den påtrykte krften er ekstremt høy ekstremt kortvrig, for eksempel hmmerslg. Mn kn så tenke på den som noe som plukker ut funksjonsverdier: f(t)δ(t ) dt lim k k Eksempel.. L(δ(t )) +k f(t) dt f(). δ(t )e st dt e s Deltfunksjonen er strengt ttt ikke noe funksjon i ordets rette forstnd, hevisidefunksjonen er ikke deriverbr. Det kn llikevel være fruktbrt å tenke på deltfunksjonen som et forsøk på å sette opp den deriverte til hevisidefunksjonen. To skifteteoremer Det neste teoremet klles gjerne s-skift. Teorem.. L g(t) e t f(t), L(f) F L(g) G. D hr vi G(s) F (s ). u(t ) u(t b) Bevis. Dersom f(t) er stykkvis kontinuerlig tilfredsstiller vekstkrvet, gjelder dette så for e t f(t). Eksempel.9. for t < (u(t ) u(t b)) e t e t for t < b for t b b t L(g) Eksempel.. e t f(t)e st dt f(t)e t st dt f(t)e (s )t dt F (s ). Eksempel.. L f(t) u(t ). L ( e t sin(t) ) (s ) + L(f) e st dt e s s L ( e t cos(t) ) s (s ) + 4

5 Følgende teorem klles t-skift. Teorem.4. L g(t) f(t )u(t ), L(f) F L(g) G. Vi hr G(s) e s F (s). Bevis. Vi lplcetrnsformerer f g bytter integrsjonsvrible, slik som i M. Hjelpefiguren under kn være grei å h i bkhodet. t t p Bevis. G(s) u(t )f(t )e st dt f(t )e st dt f(v)e s(v+) dv e s f(v)e sv dv e s F (s). Eksempel.5. L Vi beregner Konvolusjon f(t) u(t ) sin(t ) { for t < sin(t ) for t L(f) e s s +. En konvolusjon mellom f g, er et integrl på formen f g f(p)g(t p) dp. Det finnes mnge typer konvolusjoner, det er forskjellige integrsjonsgrenser som skiller dem. Hvilken type integrsjonsgrenser som er mest relevnt, kommer litt n på nvendelsen. I dette kpitlet skl vi bruke konvolusjonen f g t f f(p)g(t p) dp Når vi løser differensillikninger med lplcetrnsform, kn vi støte på produkter v lplcetrnsformer. Følgende teorem, som klles konvolusjonsteoremet, forteller oss hvordn vi skl nøste opp i et slikt produkt. Teorem.6. Ant t både L(f g), L(f) L(g) eksisterer. D er L(f g) L(f) L(g). t L(f g) t p L(f)L(g) t dp dt p f(p)g(t p) dp e st dt f(p)g(t p)e st dt dp f(p)g(u)e s(u+p) du dp f(p)e sp dp g(u)e su du Å forklre hv konvolusjon er sånn rent fysisk sett, er ikke så enkelt. Men mnge rtige ting er bsert på konvolusjon. Noen eksempler er reverb-knppen på gitrforsterkeren din, bkgrunnsuskrpheten i det vkre konfirmsjonsbildet ditt, eller utofokusfunksjonen på speilreflekskmeret du fikk til ovennevnte konfirmsjon. Differensillikninger Oppskriften for å løse differensillikninger med lplcetrnsform, er lltid å lplcetrnsformere hele differensillikningen, bruke regnereglene, løse for lplcetrnsformen til den ukjente, inverstrnsformere. Vi begynner med to elementære eksempler. Eksempel.7. y + y y(). Vi lplcetrnsformerer likningen. Venstresiden blir L(y + y) L(y ) + L(y) sl(y) + L(y) (s + )L(y). Merk bruken v initilbetingelsen y(). Høyresiden blir L(). Etter lplcetrnsformering står vi igjen med den lgebriske likningen slik t (s + )L(y), L(y) s +. Dette er en lplcetrnsform vi hr beregnet tidligere: y(t) e t. 5

6 Eksempel.8. Vi løser likningen y + y y() y (). Vi lplcetrnsformerer likningen slik t L(y ) + L(y) s L(y) s + L(y), L(y) s s +, y(t) cos t. Vi bruker t-skift, får y(t) sin(t )u(t ) sin(t b)u(t b). Ligningens venstreside beskriver en kloss en fjær på friksjonsfritt underlg. Ved tiden t er systemet i ro. Ved tiden t blir klossen dengt v en hmmer fr venstre, som gir opphv til svingningen sin(t ). Ved tiden t b blir klossen dengt v en hmmer fr høyre. Dette slget gir en ny svingning sin(t b) som legges oppå den gmle svingningen. Følgende eksempel illustrerer derivsjonsregelen.6. Eksempel.9. Vi løser initilverdiproblemet ty y y() Vi lplcetrnsformerer likningen L(ty ) L(y), lr Y L(y). Først kn vi skrive L(ty ) d ds (L(y )) d ds (sy ) Y sy Setter vi denne inn i likningen, får vi eller Y sy Y sy Y. sy + Y. Dette er en differensilliking for Y. Integrerende fktor er s, slik t (s Y ). Y C s Vi inverstrnsformerer endrer litt på konstnten: y Ct bruker initilverdibetingelsen for ndre gng: y t. De tre foregående eksemplene løses enklere med metodene du kn fr før. Men disse teknikkene kommer til kort i eksemplene vi skl t nå. Her er et pr gmle eksmensoppgver. Eksempel.. Vi løser med initilbetingelser Vi får slik t y + y δ(t ) δ(t b) y() y (). (s + )L(y) e s e bs, L(y) e s (s + ) e bs (s + ). Noen gnger kn det være komplisert å inverstrnsformere. I det neste eksemplet må mn bruke både t-skift s-skift. Eksempel.. y + y + y δ(t ) y() y (). Vi trnsformerer ligningen til slik t s L(y) + sl(y) + L(y) L(δ(t )) L(y) e s (s + ). Her lukter det s-skift på grunn v (s + ), t-skift på grunn v e s. Formelen for s-skift gir L(te t ) (s + ). Vi bruker i tillegg t-skift, slik t y (t )e (t ) u(t ). Elektrofolk er forresten veldig glde i lplcetrnsform. Det er nok fordi de trenger spenning som kn slås v på. Hevisidefunksjonen gir dem en mulighet for dette, lplcetrnsform tkler hevisidefunksjonen med letthet. Eksempel.. Strømmen i(t) i kretsen under tilfredsstiller integro-differensilligningen Li (t) + Ri(t) + C t i(τ) dτ δ(t ), der R, L, C.5 δ er Dircs deltfunksjon. Vi setter i() finner strømmen i(t). 6

7 C..8 R L.6.4. v(t) Vi lplcetrnsformerer likningen, får sl(i) + L(i) + s L(i) e s, løser vi for L(i), får vi L(i) se s s + s +. Her er det enklest å fullføre kvdrtet s + s + (s + ) +, så skrive L(i) Formelen for s-skift gir (s + )e s (s + ) + e s (s + ) +. L(e t cos t) L(e t sin t) Inverstrnsformerer vi L(i) med t-skift, får vi ltså s + (s + ) + (s + ) +. (s + )e s (s + ) + e s (s + ) +. i(t) e (t ) u(t ) (cos(t ) sin(t )). Dette eksemplet modellerer en fugl som ved tiden t setter seg på en høyspentledning. Merk t strømmen er null frem til t. I t opplever fuglen en voldsom påtrykt spenning i det den setter seg på høyspenten. Den fller umiddelbrt v, slik t spenningsøkningen bre vrer et kort øyeblikk. For t > beskriver i strømmen i fuglens kropp mens den dler ned mot bkken. Se figuren under. I denne oppgven kunne vi så brukt delbrøksoppspltning: s s + s + s (s i)(s + i) men regningen blir noe svineri. Nå tr vi to eksempler der vi bruker konvolusjon. Eksempel.. Vi løser initilverdiproblemet Vi lplcetrnsformerer y + t y t y() bruker konvolusjonsteoremet L(y) + L(t)L(y ) L(y) + s L(y) s eller sl(y) + L(y) s Herfr er regningen stndrd, vi får slik t L(y) s(s + ) s s +, y e t. Eksempel.4. L oss løse initilverdiproblemet y + y sin t y() y () Vi lplcetrnsformerer lt, får eller som gir t L(y) (s + )L(y) s + y(t) (s (L(sin t)) + ) t sin(t u) sin u du Dette siste integrlet kn vi løse ved å bruke relsjonen sin u eiu e iu i integrere i vei y(t) t 4 4 sin(t u) sin u du t t t (sin t t cos t) (e i(t u) e i(t u) )(e iu e iu ) du e it e i(t u) e i(t u) + e it du cos t cos(t u) du L(y) + L(t y ) s 7

8 Dette eksemplet beskriver for eksempel en kloss en fjær, der den påtrykte krften sin t hr smme frekvens som systemets nturlige svingefrekvens. D oppstår det resonns. Resonnsen kommer til uttrykk gjennom leddet t sin t, som vokser mot uendelig når t. Når dette skjer i et PA-nlegg, klles det feedbck, lle må holde seg for ørene Eksemplet over viser t selv om det er litt regning med lplcetrnsform, er det en penere løsningsmetode enn å dele opp i homen prtikulær løsning, så gjette i vei. Eksemplet illustrerer så en teknikk vi får bruk for når vi skl løse vrmelikningen på hele x-ksen i kpittel 5. 8

9 Fourierrekker I M lærte du t mnge gltte funksjoner kn skrives som en potensrekke. En mye større klsse v funksjoner kn skrives som rekker v sinus- cosinusfunksjoner. Bevisene i dette kpitlet er gnske tekniske. Ikke les dem før du hr regnet en hug med gmle eksmensoppgver. Begynn med å forstå hvordn du setter opp en funksjons fourierrekke. Komplekse funksjoner v en reell vribel I M M vr lle funksjoner reelle. I M begynte vi så smått med komplekse funksjoner v en reell vribel når vi løste systemer v differensillikninger. I dette kpitlet skl vi fortsette med det. En kompleks funksjon v en reell vribel er en funksjon f : R C Mn kn tenke på f som en prmetrisering v en kurve i det komplekse plnet. Eksempel.. Funksjonen f(x) ( + i)x t beskriver en rett linje i første kvdrnt i det komplekse plnet. Eksempel.. Fr M husker du knskje Eulers formel e ix cos x + i sin x. Denne funksjonen klles en kompleks eksponensilfunksjon. Merk t funksjonsverdiene ligger på enhetssirkelen i det komplekse plnet, funksjonen kn betrktes som en prmetrisering v denne. Periodiske funksjoner Når mn skl forstå fourierrekker er det ikke mulig å komme utenom periodiske funksjoner. En funksjon sies å h periode p > dersom f(x + p) f(x) (.) for lle x i definisjonsmengden til f. Den minste p slik t (.) holder, klles fundmentlperioden til f. Eksempel.4. L f(x) sin x Denne funksjonen hr perioder nπ for lle n N. Fundmentlperioden er π. Dersom f hr periode p, g(x) f(kx), hr g periode p/k, for g(x) f(kx) f(kx + p) Eksempel.5. L f (k (x + p/k)) g(x + p/k). f(x) sin(x) Denne funksjonen hr perioder nπ/ for lle n N. Fundmentlperioden er π/. Under er plot v funksjonene sin x, sin x sin x. I mnge tilfeller er det gunstig å skrive en reell funksjon som en kompleks funksjon. Eksempel.. Dersom vi ersttter x med x i Eulers formel, får vi e ix cos x i sin x. Disse to likningene kn kombineres til cos x eix + e ix sin x eix e ix. i Med ndre ord: om vi hr en funksjon som involverer sinus- cosinusfunksjoner, kn den like gjerne skrives med komplekse eksponensilfunksjoner. Sinus- cosinusfunksjoner hr du jobbet med siden gymnset, derfor er de intuitive å jobbe med, dessuten er de lette å visulisere. Komplekse eksponensilfunksjoner er vnskeligere å se for seg, men ofte mer prktiske i bruk. Noen beviser blir veldig hårete på reell form, fouriertrnsform, som kommer i neste kpittel, er prktisk tlt umulig å forstå uten komplekse eksponensilfunksjoner. Eksempel.6. Den komplekse eksponensilfunksjonen e ix cos x + i sin x så åpenbrt fundmentlperiode π. Ortonle systemer L f g være komplekse funksjoner v en reell vribel på intervllet [, b]. Integrlet f g dx er en generlisering v indreproduktet mellom vektorer, hr lle de smme egenskpene. Vi sier t f g er ortonle på [, b] dersom f g dx. 9

10 Et ortonlt system {φ n } er fmilie v funksjoner φ n som er innbyrdes ortonle. Merk t siden f f f, er f f dx, den eneste funksjonen som tilfredsstiller f f dx er f. På smme vis som f g dx er en generlisering v indreproduktet mellom vektorer, er f f f dx en generlisering v lengden til en vektor. Dersom en fmilie {φ n } v funksjoner er innbyrdes ortonle, sier vi t {φ n } er et ortonlt system, dersom de tilfredsstiller { b for n m φ n φ m dx for n m sier vi t fmilien er ortonorml. Eksempel.7. De komplekse eksponensilfunksjonene e inx n Z utgjør et ortonlt system på intervllet [, π]: e inx e mx dx e i(n m)x dx Eksempel.8. Funksjonene π einx e inx e imx dx { π for n m for n m n Z er et ortonormlt system på intervllet [, π]. Dersom f g er reelle, blir f f g g, slik t indreproduktet kn skrives f g dx. Reelle funksjoner kn så dnne ortonle systemer. Eksempel.9. L m, n. Siden { π π for n m cos nx cos mx; dx for n m sin nx sin mx; dx { π for n m for n m cos nx sin mx; dx utgjør {sin nx, cos mx} så et ortonlt system på [, π]. Det er ikke så vnskelig å se t disse er ortonle. Vi beviser det for cosinusfunksjonene. Først skriver vi om litt: cos nx cos mx; dx cos(n + m)x + cos(n m)x dx Det siste integrlet er lett å beregne. Det forsvinner for lle verdier v m n, unnttt når m n, for d er π cos(n m)x dx dx π, slik t cos nx cos mx; dx { π for n m for n m De to ndre formlene bevises på smme måte. Eksempel.. Legendrepolynomene er en fmilie v polynomer gitt ved rekursjonen P P x (n + )P n+ (x) (n + )xp n (x) np n (x). er et ortonlt system på intervllet [, ]. De første fem polynomene er: P P x P (x ) P (5x x) P 4 8 (5x4 x + ) Vi skl ikke h bruk for legendrepolynomene i dette kpitlet, men vi skl møte dem igjen i kpitlene om interpolsjon numerisk integrsjon. Legendrepolynomene dukker opp i mnge smmenhenger, både i mtemtikken i ndre fgfelt. Det knskje mest kjente eksemplet utenfor mtemtikken, er Schrødingers likning for hydrentomet, der disse dukker opp i fmilien v løsninger. Dersom en funksjon kn skrives som en lineærkombinsjon v funksjoner i et ortonlt system, er det lett å utlede formler for koeffisientene i lineærkombinsjonen. Teorem.. Dersom {φ n } er et ortonormlt system på [, b], er f(x) c n c n φ n (x), n f(x)φ n (x) dx

11 Bevis. Vi gnger f med φ m : f(x)φ m c n φ n φ m, integrerer f(x)φ m dx, bruker ortonliteten: n c n φ n φ m dx, n f(x)e imx dx c m. Koeffisientene c n klles fourierkoeffisientene. De hr følgende rtige egenskp dersom vi begrenser oss til funksjoner som tilfredsstiller [f(x)[ dx <. Teorem.. Dersom er f(x) c n n c n φ n (x), n [f(x)[ dx Bevis. Vi gnger nå f med f: ff c n c m φ n φ m, integrerer ff dx n m n m c n c m φ n φ m dx, bruker igjen ortonliteten: f(x)f(x) dx c n c n. n Dersom f ikke kn skrives som en lineærkombinsjon v funksjonene φ n, kn vi projisere f ned i rommet spent ut disse funksjonene. Lineærkombinsjonen med fourierkoeffisientene som vekter er den beste pproksimsjonen til f i rommet utspent v φ n, så lenge vi måler kvliteten med funksjonsnormen definert ovenfor. Teorem.. Dersom med er h(x) c n g(x) c n φ n (x), n f(x)φ n (x) dx d n φ n (x), n f(x) h(x) dx f(x) g(x) dx Bevis. Denne beregningen er litt hårete, men du finner nok ut v det med penn ppir: f(x) g(x) dx f(x) dx f(x)g(x) dx + n f(x)g(x) dx n g(x) dx f(x) dx c n d n c n d n + d n d n n n f(x) dx c n c n + c n d n. n Det siste uttrykket er helt klrt minimert dersom mn velger d n c n. Det neste teoremet klles gjerne Bessels ulikhet, ihvertfll dersom n. Teorem.4. Dersom med er h(x) c n c n n c n φ n (x), n f(x)φ n (x) dx Bevis. Fr forrige bevis vet vi t Siden må f(x) h(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) h(x) dx, f(x) dx c n c n. n c n c n. n Merk til slutt t dersom vi hr uendelig mnge funksjoner φ n, impliserer Bessels ulikhet t c n n er en konvergent rekke, t lim n c n. Fourierrekker En generell fourierrekke er et uttrykk på formen c n φ n (x). n

12 En trigonometrisk rekke er en fourierrekke v trigonometriske funksjoner n c n e inx. Merk t dette er en geometrisk rekke med multipliksjonsfktor e ix. Fr nå v skl lt hndle om trigonometriske rekker. Definisjon. L f være en funksjon. Vi definerer f sin fourierrekke som n c n e inx der skriver c n f(x)e inx dx, π f(x) n c n e inx. Vi skl nå stille oss spørsmålet for hvilke f det er rikig å skrive f(x) n c n e inx. Ved første øyekst kn mn bli forledet til å tro t kun hrmoniske svingebevegelser kn skrives på denne måten, det trodde de fleste mtemtikere helt frem til 8-tllet en gng. Det viser seg imidlertid t nesten lle funksjoner mellom himmel jord kn skrives som trigonometriske rekker, bre mn løsner litt på konvergensbegrepet. Det hr ikke vi mulighet til å gjøre ordentlig, men vi skl bevise et klssisk konvergensteorem. Først må vi bre h litt mer mskineri. Uttrykket S N c n e inx n N klles den N-te prtilsummen til fourierrekken Uttrykket n D N (x) c n e inx. n N e inx klles dirichletkjernen. Den er en reell funksjon, for vi kn skrive D N n N e inx + cos nx. n Under er et plot v dirichletkjernen for N. Vi kn så lge en end penere formel. Først utnytter vi t en trigonometrisk rekke er en geometrisk rekke med fktor e ix, skriver Siden e inx N n N kn vi beregne n N e inx n e i(n+/)x e inx ei(n+)x e ix. e ix/ e inx e inx e i(n+/)x e ix/ e inx n N e inx e i(n+/)x + e i(n+/)x e ix/ e ix/ sin ( ) N + x sin x. for x. Siden D N () N +, sin ( N + lim ) x x sin x N + N +, kn vi skrive sin(n+ )x x D n (x) sin x N + x Vi kn bruke dirichletkjernen til å skrive prtilsummen til en fourierrekke som en konvolusjon: π n N c n e inx n N f(y) f(y)e iny dy e inx n N e in(x y) dy f(y)d n (x y) dy f D n. Det er ikke så vnskelig demonstrere punktvis konvergens for funksjoner som er litt mer enn bre kontinuerlige.

13 Teorem.5. L f være en π-periodisk funksjon, l x være et punkt slik t f(x t) f(x) M t for lle t (, π). D er lim N n N Bevis. Husk dirichletkjernen D n (x) c n e inx f(x). n N For det første er det lett å se t D n (t) dt n N e inx. e inx dt π, siden D N er en π-periodisk funksjon, kn vi like gjerne skrive D n (t) dt D n (t x) dt π. På grunn v denne likningen, kn vi, siden både f D N er π-periodiske, skrive f(x) π f(x)d n (t) dt. Siden både f D N er π-periodiske, kn vi skrive n N c n e inx f(t)d n (x t) dt π π Alt dette kn vi slå smmen til f(x) n N c n e inx π Vi tr en titt på funksjonen g(t) f(t x)d n (t) dt. (f(t x) f(x)) D n (t) dt. f(t x) f(x) sin t/ Siden f(t x) f(x) M t, er denne funksjonen er begrenset på [, π]. Den er ikke definert for t, men det gjør ikke noe, for vi skl bre integrere den. Nå skriver vi f(x) c n e inx g(t) sin(n + /)t dt π n N π + π g(t) cos t/ sin Nt dt g(t) sin t/ cos Nt dt. Bruker vi Eulers formel på sin Nt cos Nt ser vi t de to siste integrlene er stt smmen v fourierkoeffisientene til funksjonene g(t) sin t/ g(t) cos t/ de komplekskonjugerte v disse. Fr Bessels ulikhet vet vi t lle disse fire må gå mot null når N, med ndre ord må både slik t lim n lim n π g(t) cos t/ sin Nt dt π π g(t) sin t/ cos Nt dt π lim N n N c n e inx f(x). Kommentr. Det finnes noen berømte eksempler på kontinuerlige funksjoner der fourierrekken ikke konvergerer i lle punkter. Så t f er kontinuerlig, er ikke nok. Betingelsen f(x t) f(x) M t for lle t (, π), klles gjerne Lipschitzkontinuitet, er litt strengere enn vnlig kontinuitet. Det går n å vise et litt mer generelt teorem, men det skl ikke vi gjøre, vi bre skriver det opp. Teorem.6. L f være en stykkvis kontinuerlig deriverbr funksjon på [, π], der den venstre- høyrederiverte eksisterer i eventuelle bruddpunkter, l f n c n e inx. Hvis f er kontinuerlig i punktet x, konvergerer fourierrekken til f(x) i x. Dersom f ikke er kontinuerlig i x, konvergerer fourierrekken til f(x h) + f(x + h) lim. h + I endepunktene konvergerer fourierrekken til f(π h) + f( + h) lim. h + Dersom f er kontinuerlig deriverbr, er f(x) n c n e inx på (, π), dersom f er kontinuerlig deriverbr med periode π, er på [, π]. f(x) n c n e inx

14 En hug med eksempler I dette vsnittet skl jeg beregne en helt syk mengde eksempler for dere. Eksempel.7. Vi finner fourierrekken til Vi beregner f(x) x der x (, π). c x dx, π c n xe inx dx π in (e inπ + e inπ ) in ( )n+ cos nπ. in Siden x er gltt på intervllet (, π), blir fourierrekken ( ) n+ x e inx in n n ( ) n+ e inx ( ) n+ in in n n ( ) n+ sin nx. n n Fourierrekker på reell form e inx Dersom f er reell, blir fourierrekken så reell, som illustrert i forrige eksempel. Vi kn fint sette opp fourierrekken direkte med sinus- cosinusfunksjoner: f + n cos nx + b n sin nx, n for disse funksjonene utgjør så et ortonlt system. koeffisientene blir π f(x) dx n π b n π f(x) sin nx dx. Eksempel.8. Vi finner fourierrekken til f(x) x der x (, π). en gng til. Vi beregner π x dx n π b n π x sin nx dx n ( )n+ f(x) cos nx dx x cos nx dx Merk t symmetri gir n, mens b n må beregnes. Fourierrekken blir som kjent x ( ) n+ sin nx. n n Eksempel.9. Vi finner hevisidefunksjonen { for x u(x) for x <. sin reelle fourierrekke på (, π). Vi beregner π n π b n π u(x) dx π u(x) cos nx dx π { nπ u(x) sin nx dx π for n oddetll for n prtll. Altså kn vi skrive u(x) + π n dx cos nx dx sin nx dx sin(n )x n Fourierrekken konvergerer til u på intervllene (, ) (, π), til / i x x ±π. Prtilsummer er funksjoner på formen S N + π n sin(n )x n Under er plot v prtilsummer for n, n 5 n. Jeg hr plottet på intervllet [, π] for å illustrere hvordn fourierrekken oppfører seg utenfor intervllet [, π]. Formler for overgng mellom kompleks reell fourierrekke Vi hr sett i eksempler t dersom f er en reell funksjon, blir fourierrekken så reell, til tross for t de trigonometriske eksponensilene er komplekse funksjoner. Dette følger v formelen for koeffisientene c n. Dersom f er reell, kn vi skrive Dette betyr t c n π π π f(x)e inx dx f(x)e inx dx f(x)e inx dx c n c n e inx + c n e inx c n e inx + c n e inx blir en reell funksjon, følgelig er hele fourierrekken reell. Vi kn utlede formler for overgngen mellom fourierrekker på reell kompleks form: c n + c n π ( ( π π f(x)e inx dx + f(x) ( e inx + e inx) dx f(x) cos nx dx n ) f(x)e inx dx ) 4

15 L n L b n L L L L L L L f(x) dx f(x) cos nπx L f(x) sin nπx L henholdsvis. Utledning er identisk med utledning på intervllet [, π]. På smme måte kn mn sette opp fourierrekker på intervllet [, b], men det dropper vi. Eksempel.. Vi beregner den komplekse fourierrekken til hevisidefunksjonen på [, ]. Koeffisientene blir slik t c n u(x) + πi nπx i f(x)e L dx nπx i e L dx n n dx dx for n nπi for odde n for jevne n, (n ) e(n )πix. c n c n ( f(x)e inx dx π ( π i π f(x) ( e inx e inx) dx f(x) sin nx dx ib n ) f(x)e inx dx ) Vi kn selvfølgelig så snu om på disse formlene, skrive c n ( n ib n ) c n ( n + ib n ). Fourierrekker på ndre intervller Å utlede formler for fourierrekker på ndre intervller enn [, π] er ikke vnskelig. For intervllet [ L, L] skriver mn eller f + f(x) n Koeffisientene er gitt ved n n cos nπx L c n e i nπx L. (.) + b n sin nπx L. c n L f(x)e nπx L dx, L L Merk nok en gng t slik t c n e nπix + c n e nπix sin nπx, nπ u(x) + πi n n + π n Odde jevne funksjoner (n ) e(n )πix sin(n )πx. n Vi sier t en funksjon er odde dersom jevn dersom f( x) f(x) f( x) f(x). for lle x i definisjonsmengden til f. Grfen til en odde funksjon blir identisk dersom du dreier den π rdiner om origo, mens grfen til en jevn funksjon blir identisk dersom du speiler den om y-ksen. En rsk kikk på figur overbeviser oss om t L L for odde funksjoner, L L for jevne funksjoner. f(x) dx f(x) dx L f(x) dx 5

16 smt L f j (x) dx L L L L f(x) dx. Eksempel.. Vi beregner cosinusrekken til f(x) x på (, π). Koeffisientene blir π x dx π/ Eksempel.. Mn kn vise t produktet v to jevne eller to odde funksjoner blir en jevn funksjon, t produktet v en jevn en odde funksjon blir en odde funksjon. L f være odde g være jevn. Siden f( x) f(x), g( x) g(x), får vi f( x)g( x) f(x)g(x), ltså er fg en odde funksjon. De ndre tilfellene bevises på smme måte. Eksempel.. Merk t u er en odde funksjon. Denne strukturen kommer til syne i fourierrekken til u. Merk t dersom f er odde, er n for lle n, mens dersom f er jevn, er b n for lle n. Fourierrekken til en odde funksjon inneholder følgelig kun sinusfunksjoner, mens fourierrekken til jevne funksjoner inneholder kun cosinusfunksjoner. Odde jevne utvidelser Dersom en funksjon f hr definisjonsmengde (, L), kn vi definere den odde utvidelsen { f(x) for x (, L) f o f( x) for x ( L, ) den jevne utvidelsen { f(x) for x (, L) f j f( x) for x ( L, ). Siden både f o f j er identiske med f på (, L), vil fourierrekkene deres konvergere til f(x) på (, L). Mn kn således velge mellom sinus eller cosinus når mn skl fourierutvikle f på (, L). Disse klles henholdsvis sinus- cosinusrekkene til f på (, L). Vi ser på fourierutviklingen til f o. For den hr vi t n for lle n, t b n L L L L L f o (x) sin nπx L f(x) sin nπx L dx dx. For fourierutviklingen til f j, hr vi tilsvrende t n L L L L L f j (x) cos nπx L f(x) cos nπx L dx dx n π slik t x π 4 π x cos nx dx n { 4 πn for odde n for for jevne n. cos(n )x (n ) på intervllet (, π). Under er et plot f f(x) x cosinusrekken på et litt større intervll enn [, π] Prsevls identitet Teorem.4. Ant integrlet eksisterer, t L f(x) L f (x) dx n c n e i nπx L. D gjelder Prsevls identitet: L f (x) dx L L n + c n n + b n n Bevis. Denne er lettest å bevise om mn strter på kompleks form f(x) c n e i nπx L. n 6

17 Vi gnger denne likheten med seg selv f (x) integrerer L L f (x) dx Likningen n n c n e i nπx L c n e i nπx L n m n m L L n n m m c m e i mπx L c m e i mπx L c n c m e i (n m)πx L c n c n c n c m L c n c n L L f (x) dx + L L vises på smme måte. Noen rtige nvendelser L n e i (n m)πx L c n. n + b n n Her er en smling eksempler som ofte dukker opp på eksmen i M4. Eksempel.5. Vi kn bruke fourierrekken til hevisidefunksjonen til å finne summen til rekken Siden u(x) + π n u er gltt i x π/, ser vi t u(π/) + π Dette betyr t n + π n ( ) n n sin(n )x n n n n sin(n )π ( ) n n. dx ( ) n ( n ) π π 4. Eksempel.6. Vi kn bruke Prsevls identitet til å finne summen til den kjente kjære rekken Siden x n n. ( ) n+ sin nx, n n gir Prsevls identitet t eller Epil π π x dx b n 4 n, n π 6 n. n n Du husker knskje projeksjon fr M. Vi gjengir et vsnitt. Denne epilen er ikke essensiell lesning dersom du bre ønsker å komme deg gjennom eksmen, men viktig hvis du ønsker å sette fouriernlysen i smmenheng med ting du hr lært tidligere. Hvis vi hr en ortonl bsis for et rom, er det veldig lett å finne en vektors komponenter i rommet. L oss si t vi ønsker å finne vektoren v sine komponenter i bsisen u, u, u n. Komponentene til v er gitt ved likningen v x u + x u +...x n u n Ux Hvis vi gnger begge sider v denne likningen med U, får vi U v U Ux, siden kolonnene til U er ortonle, blir den kvdrtiske mtrisen U U digonl: u u... u u... U U u u u nu n Følgelig er løsningen v systemet U v U Ux enkel å skrive opp. Teorem.7. L u, u,...,u n være en ortonl bsis for V, l v V. I så fll kn v skrives v u v u u u + u v u u u u nv n u u n nu n Vi kn så projisere en vektor ned i et rom der den ikke hører hjemme. Projeksjonen minimerer vstnden fr rommet til vektoren. Teorem.8. L u, u,...,u n være en ortonl bsis for V, l v / V. Punktet v u v u u u + u v u u u u nv n u u n nu n er det punktet i V som hr kortest vstnd til v: v v min v w w V Disse to teoremene beviste vi for ortonle systemer i dette kpitlet. Fouriernlyse spinner videre 7

18 på dette, setter opp de smme teoremene, bre i uendelig mnge dimensjoner. Vi definerer indreproduktet f g dx, lger oss en ortonl mengde, e inx n Z prøver å skrive funksjoner som der Uttrykket f(x) n c n e inx c n f(x)e inx dx. π n c n e inx kn betrktes som projeksjonen v f ned i det uendeligdimensjonle rommet utspent v funksjonene e inx, koeffisienten π f(x)e inx dx π er f sin komponent lngs vektoren e inx. Beregningen { π e inx e mx π for n m dx for n m ville vi i M skrevet u nv u nu n π, så stt smmen lt ved f(x)e inx dx, v u v u u u + u v u u u + c n e inx n For det ndre må mn justere litt på konvergensbegrepet. Hv vil det si t rekken n c n e inx konvergerer til f? Punktvis konvergens, ltså t fourierrekken konvergerer til f for hver x, er greit hvis mn skl bevise noe i et grunnleggende kurs i fouriernlyse, men om mn løsner litt på konvergensbegrepet, vil mn se t det finnes en mye større klsse v funksjoner kn representeres ved sin fourierrekke. Vi beviser heller t ( ) π f(x) c n e inx dx når N. n N som klles L -konvergens. Denne konvergensen sier i prinsippet t relet mellom f prtilsummen skl gå mot null når prtilsummen går mot fourierrekken til f. Når lt dette er sgt gjort, ekvivlensklsser v funksjoner er definert, L -konvergens er ttt i bruk, kn mn vise t L består, litt forenklet, v lle funksjoner som tilfredsstiller f f dx f dx <. Legendrepolynomene er en ortonl bsis for L [, ]. Joseph Fourier oppfnt fourierrekker d hn prøvde å løse vrmelikningen tidlig på 8-tllet. Ideene hns ble i noen grd vskrevet v smtidige mtemtikere, for bevisene hns holdt ikke lltid vnn. Men eksemplene hn oppdrev på t en diskontinuerlig funksjon kn skrives som en uendelig rekke v gltte funksjoner, vr bnebrytende, stimulerte ndre mtemtikere til å utvikle nytt mskineri for å rydde opp i disse konvergensspørsmålene, som Fourier bre gjettet tildels riktig på. Andre rtige opplysninger om Joseph Fourier, er t t hn ble stt i fengsel under den frnske revolusjon, dro til Egypt med Npoleon Bonprte, regnes som første som oppdget drivhuseffekten. Det kn så nevnes t Prsevls teorem er en uendeligdimensjonl vrint v Pytgors teorem, som du lærte llerede på ungdomsskolen. Med dette i bkhuet, er det nturlig å spørre seg hv slgs vektorrom funksjonene e inx er bsis for. Dette er et komplisert spørsmål, ble ikke ordentlig besvrt før tidlig på 9-tllet. Rommet heter L, vi skl snkke litt løst om ingrediensene i konstruksjonen. For å få et meningsfylt svr, må mn for det første gå over til å betrkte ekvivlensklsser v funksjoner, heller enn funksjoner. Grunnen er t funksjoner som kun er forskjellige i enkelte punkter her der, vil h den smme fourierrekken, dette kn vi ikke h noe v, for et element i rommet bør helst kunne representeres på en entydig måte i bsisen {e inx }. 8

19 Fouriertrnsform Fouriertrnsform er egentlig et spesiltilfelle v lplcetrnsform, men vi kommer ikke til å komme så lngt t vi ser det. Fourierrekker fouriertrnsform er så to spesiltilfeller v en mer generell konstruksjon, men vi kommer ikke til å se det heller. Vi skl senere bruke fouriertrnsform til å løse differensillikninger på kkurt smme måte som vi gjorde med lplcetrnsform, men fouriertrnsform er teknisk vnskeligere å håndtere, vi skl løse likninger som er mer kompliserte. I dette kpitlet skl vi gå gjennom fouriertrnsformens grunnleggende egenskper. Definisjon grunnleggende egenskper Definisjon. Fouriertrnsformen til f er F(f) π der w er en reell vribel. f(x)e iwx dx ˆf(w), Akkurt som med lplcetrnsform, må vi t stilling til hvilke funksjoner det er nturlig å t fouriertrnsform til. Siden ˆf() π f(x) dx, ser vi t det gir ingen mening å stppe inn en funksjon som ikke lr seg integrere på hele x-ksen. Det er vnlig å kreve t f er bsolutt integrerbr, ltså t f(x) dx <. Det er mulig å slkke noe på dette krvet, med det skl ikke vi gjøre. Merk t e iwx ikke går mot, slik som e st i lplcetrnsform. Funksjonen e iwx cos wx i sin wx er en prmetrisering v enhetssirkelen, med e iwx for lle w x. Teorem.. Dersom f er bsolutt integrerbr, konvergerer integrlet bsolutt. f(x)e iwx dx. Bevis. Dersom w x er reelle, er e iwx, slik t f(x)e iwx dx f(x) e iwx dx f(x) dx <. Eksempel.. L >. Vi beregner F(e x ) π ( π e x e iwx dx e x e iwx dx + ( e x(+iw) dx + π ( π + iw + ) iw π + w π + w ) e x e iwx dx ) e x( iw) dx På smme måte som for lplcetrnsform, er det nturlig å spørre seg om fouriertrnsformen er entydig - kn to forskjellige funksjoner h smme fouriertrnsform? Svret er i prinsippet det smme som for lplcetrnsform - to funksjoner kn godt h smme fouriertrnsform dersom der er forskjellige i isolerte punkter, men to kontinuerlige funksjoner kn bre hr smme fouriertrnsform dersom de er like. Teorem.. L f g være stykkvis kontinuerlige funksjoner. Dersom er F(f) F(g) f g overlt der f g er kontinuerlige. Motivsjon - relsjon til fourierrekker Mn kn tenke t fouriertrnsform er en slgs fourierrekke der [ L, L] strekkes til å bli hele x-ksen. L f være en kontinuerlig bsolutt integrerbr funksjon. Vi setter opp fourierrekken til f på intervllet ( L, L), gjør en omskrivning: f(x) n c n e i nπx L ( L n ( π π L n L L L nπ i f(y)e L y dy L ) nπ i f(y)e L y dy e i nπx L ) e i nπx L. Det siste uttrykket kn tolkes som en riemnnsum på ksen der n telles fr til. Gittervstnden er π nπ L, punktene er gitt ved L. Hvis vi lr L, vifter vi det vi kn med rmer bein får f(x) ( ) f(y)e iwy dy e iwx dw. π Vi kjenner igjen det innerste integrlet som fouriertrnsformen til f: ˆf(w) F(f) f(x)e iwx dx. 9

20 Det ytterste integrlet klles den inverse fouriertrnsformen, vi skriver F ( ˆf) ˆf(x)e iwx dw. Teorem.4. Dersom ˆf er bsolutt integrerbr, hr vi f(x) F ( ˆf) π ˆf(w)e iwx dw. I motsetning til lplcetrnsform hr vi tilgng på en formel for den inverse trnsform. Men det er llikevel vnlig å finne invers fouriertrnsform ved å slå opp i en tbell. Regneregler Fouriertrnformsjonen er en lineær opersjon. Teorem.5. Dersom b er relle tll, f g er funksjoner, er F(f + bg) F(f) + bf(g). Beviset er så enkelt t vi dropper det. Teorem.6. L f være bsolutt integrerbr på x-ksen, nt t f(x) når x ±. D er F(f ) iwf(f). Bevis. Vi tr en delvis integrsjon, regner ut F(f ) π f (x)e iwx dx π f(x)e iwx iwf(f). Eksempel.7. Vi beregner F(e x ) π + iw π e x e iwx dx Dette er litt jobb. Derivsjonsregelen over gir F( xe x ) iwf(e x ). Men vi kn så observere t F( xe x ) π i π i π i d dw xe x e iwx dx ixe x e iwx dx e x π d dw e iwx dx i d dw F(e x ). f(x)e iwx dx e x e iwx dx Hvis vi setter disse uttrykkene lik hverndre, får vi differensillikningen eller iwf(e x ) i d dw F(e x ) d dw F(e x ) + w F(e x ) for F(e x ). Integrerende fktor er slik t eller e w /4, d ( ) e w /4 F(e x ) dw F(e x ) Ce w /4. Husk fr nøtten i øving t slik t ˆf() π e x dx π π, F(e x ) e w /4. Dersom >, kn vi gjøre den smme beregningen få F(e x ) e w /4. Konvolusjon Konvolusjon kommer i mnge former. I dette kpitlet definerer vi kovolusjon mellom to funksjoner f g som f g Teorem.8. f(v)g(x v) dv. F(f g) π F(f) F(g). Bevis. Vi bruker vrblelskiftet u x v, v v, beregner F(f g) π π π π F(f) f(v)g(x v) dv e iwx dx f(v)g(x v) e iwx dv dx f(v)g(u) e iw(u+v) dv du g(u)e iwu f(v) e iwv dv du g(u)e iwu F(f) du πf(f)f(g) g(u)e iwu du

21 Konvolusjon kn fremstå som noe umotivert. Men grunnen til t vi trenger det, er veldig enkel. Vi skl løse differensillikninger med fouriertrnsform, d vil vi få bruk for å inverstrnsformere produkter v fouriertrnsformer. Konvolusjonsteoremet forteller oss nøyktig hvordn vi inverstrnsformerer et slikt produkt.

22 4 Prtielle differensillikninger Fysiske situsjoner der det er behov for mer enn en uvhengig vribel, beskrives gjerne v prtielle differensillikninger. Vi skl t for oss tre v de mest grunnleggende likningene, nemlig bølgelikningen, vrmelikningen, Lplces likning. Bølgelikningen Bølgelikningen er en mtemtisk beskrivelse v en vibrerende streng, eller en stående luftbølge i en orgelpipe. Vi skl t for oss selve likningen, hvor den kommer fr, to forskjellige løsningsteknikker - en for et intervll på x-ksen, en for hele x-ksen. Utledning Vi tenker t vi hr en vibrerende streng som er spent opp i x x L. L u(x, t) være en funksjon som for hvert tidspunkt t hvert punkt x beskriver utslget fr likevektslinjen, som ligger lngs x-ksen. Strengen hr konstnt mssetetthet ρ [kg/m]. y u(x, t) Vi tr en nærmere titt på strekkreftene på et lite stykke v strengen. Vi ntr t tyngdekrften er neglisjerbr, t strengen er helt elstisk, slik t strengestrekket, som virker prllelt med strengen, er eneste krft. Vi ntr t hvert punkt på strengen kun beveger seg loddrett, t den horisontle komponenten v strengestrekket er konstnt lik T. [T, T ] x x + h L [T, T ] x u(x, t) Vi setter opp Newtons ndre lov for den lille biten fr x til x + h. Mssen til en bit med lengde h er hρ, kselersjonen til strengen i punktet x er u tt (x, t). Netto krft på biten er gitt ved T + T, slik t eller hρu tt (x, t) T + T, ρ T u tt(x, t) T /T + T /T h u x(x + h, t) u x (x, t), h siden stigningstllet til tngenten til strengen er gitt ved u x. Lr vi nå h, får vi bølgeligningen der c T ρ. u tt (x, t) c u xx (x, t), Oppstilling v problem Det er ikke nok med en differensilligning som beskriver strengens bevegelse. Vi må så h informsjon om hvordn bevegelsen blir stt igng, hvor strengen er spent opp. Et fullstendig oppstilt problem er: med rndkrv initilkrv u tt (x, t) c u xx (x, t), (4.) u(, t) u(l, t), (4.) u(x, ) f(x) u t (x, ) g(x). (4.) Selve differensilligningen (4.) forteller oss hv slgs fysiske lover som skl tilfredsstilles (i dette tilfelle Newtons ndre lov), eller hv slgs oppførsel vi kn forvente v løsningen, for eksempel t det er en vibrerende streng det er snkk om. Rndkrvene (4.) forteller oss t strengen er spent opp i x x L, slik t løsningen står helt i ro der. Initilkrvene (4.) forteller oss noen om hvordn bevegelsen settes i gng; f ngir strengens posisjon ved t, mens g ngir strengens frt ved t. Når mn spiller en tone på en gitr ved å dr i strengen slippe den, slik mn vnligvis gjør, er g. Rndkrvene klles dirichletrndkrv. u(, t) u(l, t), (4.4) Løsning på intervll - seprsjon v vrible Et stort geni hr engng tenkt t løsningen på bølgeligningen kn skrives u(x, t) F (x)g(t). Hn hdde rett. Innsetting i (4.) gir F (x)g (t) c F (x)g(t). Vi deler på c F (x)g(t) får F (x) F (x) G (t) c G(t). Siden x t skl kunne vrieres uvhengig v hverndre, må vi h t F (x) F (x) G (t) c G(t) k der k er en foreløbig ubestemt konstnt. Vi gnger opp med c F (x)g(t) bytter fortegn på k, slik t F (x) + kf (x) G (t) + kc G(t). Vi skl først prøve å finne ut hv k kn være. Vi kn bruke F rndkrvene u(, t) u(l, t),

23 til dette. L oss kikke på Dersom k, får vi som gir F (x) + kf (x). F (x) F (x) Ax + B. Er dette en interessnt løsning? Vel, nei. Dersom F ()G(t) u(, t), må enten F () eller G(t). At G(t), slik t u(x, t), er en gyldig løsning v bølgelikningen, som så tilfredsstiller rndkrvene. Men dette er åpenbrt ikke en spesielt interessnt løsning, så jeg tror vi går for F (), som impliserer B. Det ndre rndkrvet u(l, t) gir likeledes t F (L), ltså t AL, som impliserer t A. Dette impliserer igjen t u(x, t), vi konkluderer t k F (x) ikke er en interessnt løsning v problemet. L oss prøve k <. I så fll løses v F (x) + kf (x) F (x) Ae kx + Be kx Dersom vi nå bruker rndkrvene, får vi de to likningene A + B Ae kl + Be kl Dersom k (som vi jo llerede vet), er determinnten til dette systemet gitt ved e kl + e kl vi konkluderer med t A B, slik t F (x). Altså er heller ikke k < en interessnt løsning. Dersom k >, går lt så meget bedre, vi får F (x) A cos kx + B sin kx. Bruker vi rndkrvet u(x, t), får vi krever vi A, F (L) B sin( kl)g(t), kn dette oppnås ved å sette B, som er uinteressnt siden d blir u(x, t), eller ved å kreve slik t kl nπ. ( nπ ) k. L Vi ser så t n >, for dersom n < byttes bre fortegnet på B, som ennå er ubestemt. Ved å t en titt på det endelige løsningen v problemet nedenfor, ser mn t B kommer til å bli overflødig, så vi velger B. Ligningene løses v ( G (t) + c nπ ) G(t). L G n (t) A n cos c nπ L t + B n sin c nπ L t, så de generelle løsningene til bølgeligningen med rndkrv (4.) blir u n (x, t) F (x)g n (t) (A n cos c nπ L t + B n sin c nπ ) L t sin nπ L x. Vi hr ennå ikke ttt stilling til initilkrvene (4.). Det kn vi klre ved å skrive u(x, t) u n (x, t) n n Dersom vi nå krever (A n cos c nπ L t + B n sin c nπ L t ) sin nπ L x. f(x) u(x, ) u n (x, ) A n sin nπ L x, n n ser vi t summen til høyre bør være fourierrekken til den odde utvidelsen til f, følgelig bør A n L L L f(x) sin nπ L x dx L På smme vis, dersom g(x) u t (x, ) L B n c nπ L sin nπ L x, n f(x) sin nπ L x dx. bør summen til høyre være fourierekken til den odde utvidelsen til g, følgelig må slik t B n c nπ L L B n cnπ L L Vi oppsummerer i et teorem. g(x) sin nπ L x dx. g(x) sin nπ L x dx.

24 Teorem 4.. Bølgeligningen med rndkrv initilkrv løses v u tt (x, t) c u xx (x, t), u(, t) u(l, t), u(x, ) f(x) n u t (x, ) g(x), u(x, t) (A n cos c nπ L t + B n sin c nπ ) L t sin nπ L x, der A n L B n cnπ L L f(x) sin nπ L x dx g(x) sin nπ L x dx. Merk t n er en gyldig løsning her siden en konstnt funksjon løser både bølgelikningen von- Neumnn-rndkrvene. Resten blir som før, men vi må bruke cosinusrekkene til f g istedet for sinusrekkene. Vi tr ikke resten v regningen, men oppsummerer med et teorem. Teorem 4.. Bølgeligningen med rndkrv initilkrv løses v u tt (x, t) c u xx (x, t), u x (, t) u x (L, t), u(x, ) f(x) u t (x, ) g(x), u(x, t) A + (A n cos c nπ L t + B n sin c nπ ) L t cos nπ L x, n der A er en vilkårlig konstnt, Løsning for fløyte En stående trykkbølge inne i fløyte, beskrives v problemet u tt (x, t) c u xx (x, t), med rndkrv A n L B n cnπ L L f(x) cos nπ L x dx g(x) cos nπ L x dx. initilkrv u x (, t) u x (L, t), u(x, ) f(x) u t (x, ) g(x). Konstnten c vhenger nå v trykket lydhstigheten i mediet der lydbølgene produseres. (Dersom du spiller på fløyten inni en gssbllong full v helium, blir c høyere enn i luft.) Rndkrvene klles von-neumnn-rndkrv, L er lengden på fløyten. Vi løser problemet på smme måte som for den vibrerende strengen. Den eneste forskjellen blir i forbindelse med løsning v F (x) + kf (x). På smme vis må k >, slik t Siden impliserer F (x) A cos kx + B sin kx. F (x) A k sin kx + B k cos kx t B, mens u x (, t) F (), u x (L, t) F (x) A k sin kl, Løsning på hele x-ksen - D lembert Hvis mn ikke ønsker å bruke bøglelikningen til å beskrive en oppspent streng, men heller bølgene fr et steinkst på et endimensjonlt uendelig lngt hv, må mn studere bølgelikningen med initilkrv u tt (x, t) c u xx (x, t), u(x, ) f(x) u t (x, ) g(x), ingen rndkrv. Her skl løsningen gjelde for lle x, ikke bre på intervllet [, L] I noen tilfeller kn dette gjøre lt vnskeligere, men kkurt i tilfellet bølgelikningen, blir lt fryktelig enkelt. Det er enkelt å sjekke t funksjonen psser i likningen u(x, t) φ(x + ct) + ψ(x ct) u tt (x, t) c u xx (x, t). unsett hv φ ψ er, så lenge de er to gnger kontinuerlig deriverbre. Spørsmålet blir bre d hvordn vi skl klre å innpsse initilkrvene. Dersom mn bruker u(x, ) f(x) gir som før t kl nπ. får mn φ(x) + ψ(x) f(x) 4

25 dersom mn bruker får mn eller u t (x, ) g(x), cφ (x) cψ (x) g(x), φ(x) ψ(x) c x g(t) dt + C Vi hr nå et lineært -likningssystem for φ ψ. Legger vi likningene smmen, får vi φ(x) f(x) + x g(t) dt + C c trekker vi dem fr hverndre, får vi får vi ψ(x) f(x) x g(t) dt C c Vi setter nå lt smmen igjen u(x, t) φ(x + ct) + ψ(x ct) (f(x + ct) + f(x ct)) + ( x+ct x ct ) g(t) dt g(t) dt c (f(x + ct) + f(x ct)) + c oppsummerer i et teorem. Teorem 4.. Bølgeligningen u tt (x, t) c u xx (x, t), på hele x-ksen, med initilkrv løses v u(x, t) u(x, ) f(x) x+ct x ct u t (x, ) g(x), (f(x + ct) + f(x ct)) + c Vrmelikningen x+ct x ct g(t) dt, g(t) dt. Vrmelikningen beskriver kort godt vrmeflyt i mteriler. Vi skl t for oss den enkleste vrinten, der vrmeledningsevnen er identisk overlt i lle retninger i mterilet. Utledning I en ideell gss er det et lineært forhold mellom tempertur opplgret bevegelsesenergi, gitt ved mv kt der k.86485(79) J/K er Boltzmnns konstnt, v er gjennomsnittsfrten til gssmolekylene, T er temperturen målt i Kelvin. Vi kn ltså tenke på tempertur som et mål på opplgret energi v et eller nnet slg. I ndre mteriler enn ideelle gsser er virkeligheten noe mer komplisert, men det skl vi ikke gå inn på. L oss tenke t denne opplgrede vrmeenergien (eller tempertur om du vil), er gitt ved funksjonen u(x, y, z, t), der (x, y, z) er de romlige koordintene, t er tidspunktet, u måles i J/m eller liknende. L Ω være et område i R. Den totle opplgrede energien i Ω er gitt ved u(x, y, z, t) dxdydz. Ω Dersom vi legger noen milde restriksjoner på glttheten til u, er endringen i denne energien over tid gitt ved u(x, y, z, t) dv t Ω u t (x, y, z, t) dv Ω Fouriers lov sier t endringen i vrmeenergi i Ω enten skyldes vrme som produseres inne i Ω (tenk t det står et sterinlys brenner inne i Ω), eller vrme som slipper inn ut gjennom rnden Ω, gitt ved F ds divf dv Ω der F er et vektorfelt som beskriver vrmeflyten. Vi skl ikke t i betrkning tilfeller der vrme produseres inne i Ω, så Fouriers lov blir u t dv divf dv. Ω For mnge mteriler er det rimelig å nt t Ω Ω F c u, der c er en konstnt reltert til vrmeledningsevnen til mediet, slik t fouriers lov blir u t dv div u dv Ω Ω u xx + u yy + u zz dv Ω siden dette bør gjelde for et tilfeldig vlgt område Ω, bør u t c (u xx + u yy + u zz ), som klles vrmelikningen eller diffusjonslikningen. Vrmelikningen er der lt strtet. Fouriers lov er oppklt etter Joseph Fourier, det vr i forbindelse med hns utledning nlyse v vrmelikningen t fouriernlysen så dgens lys. Løsning på begrenset intervll Nå skl vi tenke oss en isolert stng der temperturen er gitt v u(x, t). Vrme kn slippe ut eller tilføres gjennom endepunktene, men ingen ndre steder. Vi skl løse vrmeligningen u t c u xx 5

26 på stng med lengde L. Rndkrvene u(, t) u(l, t), (4.5) sier t temperturen holdes konstnt lik i endepunktene, initilkrvet u(x, ) f(x) (4.6) sier t temperturfordelingen er gitt ved f(x) når tiden begynner å gå. Vi prøver seprsjon v vrible u(x, t) F (x)g(t). På smme vis som for bølgeligningen, får vi F (x) + kf (x) G (t) + kc G(t). Å finne F k blir ekskt repetisjon v rgumentet for bølgeligningen, mens G n (t) A n e cnπ ( L ) t slik t de generelle løsningene til bølgeligningen med rndkrv u(, t) u(l, t) blir cnπ u n (x, t) F (x)g n (t) A n e ( L ) t sin nπ L x. Likeledes kn initilkrvet u(x, ) f(x) inkorporeres ved å legge smmen lle løsninger cnπ u(x, t) u n (x, t) A n e ( L ) t sin nπ L x, sette t n f(x) u(x, ) n A n sin nπ L x, n observere t vi får dette til dersom A n er fourierkoeffisientene til den odde utvidelsen til f A n L L f(x) sin nπ L x dx. Teorem 4.4. Vrmelikningen med rndkrv initilkrv løses v der u(x, t) u t (x, t) c u xx (x, t), A n L u(, t) u(l, t), u(x, ) f(x) n L cnπ A n e ( L ) t sin nπ L x, f(x) sin nπ L x dx. Løsning på hele x-ksen Vi skl nå løse vrmeligningen u t c u xx på en uendelig lng stng. Rndkrvene skl være mens initilkrvet er som før der vi ntr lim u(x, t), (4.7) x ± u(x, ) f(x), (4.8) lim f(x). (4.9) x ± Vi skl løse dette problemet ved å fouriertrnsformere vrmeligningen med hensyn på x. Siden lim x ± u(x, t), stser vi på t det går br, vi får F(u t ) c F (u xx ). Vi tr en kikk på disse to. Hvis vi ntr t u er kontinuerlig deriverbr i t, fouriertrnsformen er med hensyn på x, kn vi skrive F(u t ) π slik t u t (x, t)e iwx dx u(x, t)e iwx dx û t (w, t), t π F(u xx ) w F(u) w û(w, t), û t c w û. Vi lter som om dette er en ordinær differensilligning for û, får û(w, t) A(w)e c w t. Fouriertrnsformerer vi initilkvet, ser vi t A(w) û(w, ) F (u(x, )) F(f(x)) ˆf(w), d er det egentlig bre å inversfouriertrnsformere, så hr vi løsningen u(x, t) F (û) π ˆf(w)e c w t e iwx dw. Vel br, men vi kn komme oss et knepp til. Husk t ( ) f g F π ˆfĝ, observer t π ˆf(w)e c w t e iwx dw F ( ˆfe c w t ). Med ndre ord, hvis vi kunne inverstrnsformere e c w t hdde det vært br. Husk fr tbellen t ( F e x) e w 4. Setter vi 4c t, 6

27 gnger deler litt med konstnter, kn vi si t som gir ( ) F c t e x 4c t e c w t, u(x, t) F ( ˆfe c w t ) ) (f π c t e x 4c t c πt f(v)e (x v) 4c t dv Onde tunger vil hevde t u(x, t) ikke er definert for t. Ikke br, for vi hr jo prøvd å få til t u(x, ) f(x), som åpenbrt ikke er helt riktig. Det kn vises t lim u(x, t) f(x) t men det skl ikke vi gjøre. Teorem 4.5. Vrmelikningen u t c u xx, på hele x-ksen med initilkrv løses v u(x, t) c πt vi hr Lplces ligning u(x, ) f(x) f(v)e (x v) 4c t lim u(x, t) f(x). t dv, For å forstå hvor Lplce ligning kommer fr, må mn betrkte vrmeligningen i romlige dimensjoner u t c (u xx + u yy ). Det fysiske bildet du kn h, er en tynn vrmeisolert plte der vrmeenergi kn forsvinne ut eller inn gjennom sidekntene. Løsningen til vrmeligningen vil d gi temperturen u(x, y, t) i plten gitt fornuftige rnd- initilkrv. Vi skl ikke løse vrmeligningen i to romlige dimensjoner, men derimot betrkte spesiltilfellet der t, slik t vrmestrømmen er konstnt, eller stedy-stte flow som vi sier på norsk. Dersom vrmestrømmen er konstnt, er u t (x, y, t), slik t vrmeligningen blir u xx + u yy. Dette klles Lplce ligning, den kn vi løse med teknikker vi hr lært i kurset. Her er en figur som beskriver en typisk situsjon. Dette er temperturen i en tynn plte der temperturen holdes konstnt lik null på tre sider, konstnt lik fem eller en eller noe på den siste siden. Løsning på begrenset intervll - seprsjon v vrible Vi setter opp problemet u xx + u yy, på rektngelet [, ] [, b] med rndkrv u(x, ) u(, y) u(, y) u(x, b) f(x). Vi seprerer i vei u(x, y) F (x)g(y). På smme vis som for bølgeligningen vrmeligningen, får vi F (x) + kf (x) G (y) kg(y). Å finne F k blir ekskt repetisjon v rgumentet for bølgeligningen, mens G n (y) A n e nπ y + B n e nπ y slik t de generelle løsningene som tilfredsstiller u(, y) u(b, y) blir u n (x, y) F (x)g n (y) ( A n e nπ y + B n e nπ y) sin nπ x. Krever vi u(x, ), får vi slik t A n B n, u n (x, y) A n ( e nπ y e nπ y) sin nπ x A n sinh nπ y sin nπ x, krever vi u(x, b) f(x), får vi det til ved å legge smmen lle løsninger u(x, y) u n (x, y) A n sinh nπ y sin nπ x, kreve slik t n f(x) u(x, b) A n sinh nπb n n A n sinh nπb sin nπ x, f(x) sin nπx dx. 7

28 Løsning i hlvplnet Vi skl se på Lplces ligning u xx + u yy, i hlvplnet. Rndkrv skl være der lim u(x, y) lim u(x, y) x ± y u(x, ) f(x), lim f(x). x ± Siden lim x ± u(x, y) stser vi på t u er bsolutt integrerbr i x, slik t vi kn fouriertrnsformere med hensyn på x. D får vi eller F(u xx ) + F(u yy ) F() w û(w, y) + û yy (w, y). Akkurt som med vrmeligningen, lter vi som om dette er en ordinær differensilligning i y, får û(w, y) A(w)e w y + B(w)e w[y. Nå må vi fouriertrnsformere rndkrvet lim y u(x, y), d får vi lim û(w, y). y Noen rtige egenskper En funksjon som tilfredsstiller u xx + u yy klles gjerne en hrmonisk funksjon. Hrmoniske funksjoner hr morsomme egenskper. Teorem 4.6. L u være hrmonisk på Ω, l C Ω være en sirkelskive med sentrum i (x, y ) rdius. D gjelder t u(x, y ) π C u ds π C u da. Vi lr denne stå ubevist inntil videre. Beviset kommer ikke på eksmen i år. T kontkt om du lurer. Teorem 4.7. L u være hrmonisk på Ω, l C Ω være en sirkelskive med sentrum i (x, y ) rdius. D ligger på C. mx u(x, y) (x,y) C min u(x, y) (x,y) C Vi beviser ikke denne heller. Bruker vi dette, ser vi t B(w), følgelig er û(w, y) A(w)e w y. Trnsformerer vi u(x, ) f(x), får vi bruker vi denne, får vi û(w, ) ˆf(w), û(w, y) ˆf(w)e w y. Nå kn vi inverstrnsformere få u(x, y) π F ( ˆf(w)e w y ). ˆf(w)e w y e iwx dw Nå bruker vi smme trikset som for vrmeligningen. Siden dette er inversfouriertrnsformen til produktet mellom ˆf(w) e w y, ( ) y F π x + y e w y, ser vi t u(x, y) π f π ( π ) y x + y y f(v) (x v) + y dv. 8

29 Del II Numerikk 9

30 5 Numeriske likningsløsere Andregrdslikningen kn vi løse med formelen x + bx + c x b ± b 4c. Men i mnge nvendelser dukker det opp likninger ikke kn løses nlytisk. Et klssisk eksempel er x cos x. I disse tilfellene må vi velge blnt forskjellige numeriske løsere istedet. En løsning r v en likning klles gjerne en rot. Hlveringsmetoden Vi søker r slik t f(r). Dersom f er kontinuerlig bytter fortegn i r, kn vi benytte denne informsjonen til å finne en pproksimsjon x n til r. L oss nt t vi kjenner b slik t r [, b] er den eneste roten til f i [, b]. Vi definerer nå x, x b, x +b. Fortegnet til f(x ) vil fortelle oss om x < r eller x > r, følgelig vil vi kunne si med sikkerhet om r [x, x ] eller r [x, x ]. Intervllene [x, x ] [x, x ] er kkurt hlvprten så lnge som [x, x ], så etter å h utført denne prosessen, hr vi en mer nøyktig ide om hvor r befinner seg. Vi setter så x x eller x x, lt etter fortegnet til f(x ), repeterer prosedyren. Dersom vi gjør dette n gnger, ender vi opp med et intervll med lengde b n, hvis vi til slutt setter r n x+x, vet vi t r x n b n+. Teorem 5.. Dersom f er en kontinuerlig funksjon med en rot i intervllet (, b), produserer n steg med hlveringsmetoden et estimt som tilfredsstiller Fikspunktmetoden r x n b n+. Ant t vi hr en likning på formen Itersjonen r g(r). x n+ g(x n ). vil konvergere mot r under noen omstendigheter. Det kommer litt n på g. Vi begynner med et eksempel. Eksempel 5.. Vi løser polynomlikningen x + x x. Dette polynomet kn spltes i x + x x (x + )(x )(x + ), vi skl se hvordn fikspunkmetoden leter etter de forskjellige løsningene. Likningen kn skrives om til x g(x) på flere måter, men vi skl begynne med å skrive x ( x + x ), slik t g(x) x n+ ( x + x ), ( x n + x n ). Vi prøver å finne løsningen r , strter derfor en kjøring i x.5. Vi får: x.5 x x x x x x x 5 -. Også nå ønsker metoden heller å finne r. Eksemplet over er kjørt med en kodesnutt som ser slik ut: import numpy s np import time #initilgjetning x-.5 #denne koden er bsert p t vi overskriver... en enkelt vribel istedet for lgre... hele rekken v itersjoner. derfor... trenger vi en ekstr vribel for... holde styr p vstnden mellom... itersjonene. yx- #hvor tett skl det vere mellom... itersjonene foer vi er fornoyde? tol**(-6) #fikspunkt for x-cos x while np.bs(y-x) > tol: # vi holder p s... lenge vstnden mellom itersjonene er... storre en tol yx # y er n forrige itersjon x(x**+x**-)/ #dette er... fikspunktitersjonen time.sleep(.5) #en liten puse, slik t... vi skl f tid til nyte synet v... den nye itersjonen print x, np.bs(x-y) #som printes her

31 Fikspunktmetoden i forrige eksempel viste en sterk prefernse på hvilken rot den hdde lyst til å finne. Men mn kn skrive om likningen til x g(x) på mnge måter. Eksempel 5.. Vi skriver nå om likningen x + x x. til + x x x x. Strter vi i x.5, får vi x -.5 x x x x x Denne fikspunktmetoden klrte fint å finne roten r. Som vi ser v de to foregående eksemplene, kn fikspunktmetoden konvergere mot forskjellige røtter vhengig v hvordn vi skriver om likningen. Den kn så ikke konvergere i det hele ttt. Eksempel 5.4. Vi prøver igjen x + x x x. Strter vi i x.5, i håp om å finne r, får vi x -.5 x. x x x x x x x x x Denne fikspunktmetoden klrte ikke å finne noe som helst når vi strtet i x.5. For å skjønne hv som skjer, kn vi tylorutvikler g om r: g(x n ) g(r) + g (r)(x n r)+ skrive g (r) x n+ r g(x n ) g(r) (x n r) + g (r) (x n r) +...! g (r)(x n r) + g (r) (x n r) +... d hr vi en likning som sier noe om størrelsen på x n+ r som en funksjon v x n r, ltså hvor mye feilen minker fr itersjon til itersjon. For fikspunktitersjonen ser vi t det blir best konvergens om g er så liten som mulig. Vi tr med et konvergensteorem. Teorem 5.5. L g være en kontinuerlig deriverbr funksjon. Dersom både < g(x) < b g (x) L < på på [, b], finnes et entydig punkt r slik t Fikspunktmetoden r g(r). x n+ g(x n ) konvergerer mot r dersom x [, b]. Eksempel 5.6. I eksemplene over er g(x) + x x x. g(x) x + x. Hvis du deriverer disse evluerer i røttene til polynomet x + x x, vil du se et tydelig mønster. Fikspunktmetoden greier ikke finne r dersom g (r) >. Til slutt kn nevnes t fikspunktmetoden så kn brukes på systemer på formen x G(x) der x R n G : R n R n. Itersjonen er x n+ G(x n ). Å nlysere konvergensen til denne itersjonen blir for hrdt for oss, men vi skl få bruk for selve itersjonen i kpitlet om numeriske metoder for ordinære differensillikninger. Newtons metode Ant t likningen er på formen f(r). Prosedyren for Newtons metode er som følger: slå tngenten til funksjonen f i itersjonen x n. Punktet der tngenten skjærer x-ksen er den nye itersjonen x n. Hvis vi setter opp likningen for tngenten y f(x n ) f (x n )(x x n ), sier t itersjonen x n+ er den x-verdien slik t y : f(x n ) f (x n )(x n+ x n ), blir itersjonen x n+ x n f(x n) f (x n ). Eksempel 5.7. Vi søker løsningene til x 4 x + 5x 5x + 4

32 Som Ingrid Espelid Hovig hr vi jukset litt, vlgt et polynom som fktoriseres pent: x 4 x +5x 5x+4 (x )(x )(x )(x 4) Newtons metode blir: x n+ x n x4 n x n + 5x n 5x n + 4 4x n x n + 7x n 5 L oss lete etter r. Vi strter i x.5, får: x.5 x x x x x x 6. Konvergerer fort dette her. Som du ser i eksemplet over, dobles ntll korrekte desimler etter hver itersjon. For å nlysere konvergensen til Newtons metode må vi se den som en fikspunktitersjon, der Vi beregner g(x) x f(x) f (x). g (x) (f (x)) f(x)f (x) (f (x)) f(x)f (x) (f (x)) Husk t f(r). Dersom f (r), får vi slik t x n+ r g(x n ) g(r) g (r) g (r) f(r)f (r) (f (r)), (x n r) + g (r) (x n r) +...! Dette klles kvdrtisk konvergens - feilen etter n + itersjoner er proporsjonl med kvdrtet v feilen etter n itersjoner. D konvergerer det fort. Eksempel 5.8. Nå prøver vi å finne løsningene til x 4 9x + 7x x +. Nok en gng er det et lettfktorisert polynom: x 4 9x + 7x x + (x ) (x )(x 4) Newtons metode blir: x n+ x n x4 n 9x n + 7x n x n + 4x n 7x n + 54x n Nok en gng leter vi etter r, ved å strte i x.5: x.5 x x x x x x x x x x Det ser ut til å konvergere, men mye sktere enn i sted. Hv skjedde? I eksemplet over er f (). Dette betyr t g () f()f () (f ()) ikke er bestemt, grensen lim x g (x) trenger ikke være null. Eksemplet demonstrerer tydelig t den kvdrtiske konvergensen ikke kn grnteres dersom f (r). Sekntmetoden Denne ligner på Newton, men vi slår seknten til f gjennom itersjonene x n x i, istedet for tngenten i x i. Punktet der seknten skjærer x-ksen er den nye itersjonen x n. Itersjonen blir x n x i x n+ x n f(x n ) f(x n ) f(x i ). Merk t her må mn h to initilgjetninger x x, siden mn trenger to punkter for å slå en seknt. Når det gjelder sekntmetoden, kn det vises t x n+ r C(x n r).6, men det er et svineri, du må tylorutvikle noe ut v det hinsidige. Konvergens klles superlineær, ltså kjppere enn fikspunkt, men treigere enn Newton. Newtons metode i to dimensjoner Ant t vi hr to funksjoner f(x, y) g(x, y). Vi leter etter et punkt (, b) slik t både likningene f(, b) g(, b). f(x, y) g(x, y) ngir nivåkurver for funksjonene f g. Punktet (, b) må ligge på skjæringspunktet mellom disse.

33 y f(x, y) (, b) x vi skriver ( ) f(xn, y n ) g(x n, y n ) ( ) ( ) fx (x n, y n ) f y (x n, y n ) xn+ x n. g x (x n, y n ) g y (x n, y n ) y n+ y n g(x, y) Nå kn vi gnge med ( fx (x n, y n ) f y (x n, y n ) g x (x n, y n ) g y (x n, y n ) ) Ant t du hr en itersjon (x n, y n ). Vi setter opp tngentplnene til f g i (x n, y n ) z f(x n, y n ) f x (x n, y n )(x x n ) + f y (x n, y n )(y y n ) z g(x n, y n ) g x (x n, y n )(x x n ) + g y (x n, y n )(y y n ). Hvis vi krever t z, får vi likninger for skjæringslinjene mellom disse tngentplnene (x, y)-plnet f(x n, y n ) f x (x n,y n )(x x n ) + f y (x n, y n )(y y n ) g(x n, y n ) g x (x n,y n )(x x n ) + g y (x n, y n )(y y n ). Itersjonen (x n+, y n+ ) defineres som skjæringen mellom disse linjene. Altså er y f(x n, y n ) (, b) (x n, y n ) (x n+, y n+ ) f x (x n,y n )(x n+ x n ) + f y (x n, y n )(y n+ y n ) g(x n, y n ) g x (x n,y n )(x n+ x n ) + g y (x n, y n )(y n+ y n ), et lineært likningssystem som definerer (x n+, y n+ ). Mtrisen er ( fx (x n, y n ) f y (x n, y n ) ) g x (x n, y n ) g y (x n, y n ) x fr venstre, legge til (x n, y n ) på begge sider, få Newtons metode for systemer ( ) ( ) xn+ xn y n+ y n ( ) ( ) fx (x n, y n ) f y (x n, y n ) f(xn, y n ). g x (x n, y n ) g y (x n, y n ) g(x n, y n ) Jeg gdd ikke skrive ut hv f x (x n, y n ) f y (x n, y n ) g x (x n, y n ) g y (x n, y n ) er, men du kn regne det ut ved å huske fr lineærlgebren t ( ) ( ) b d b. c d d bc c Eksempel 5.9. Vi leter etter løsninger til systemet x + y x 4 + y Som du husker fr M er den første likningen for enhetssirkelen, mens den ndre er likningen for en ellipse med hlvkser. Trekker mn to gnger den første fr den ndre, kn mn regne ut t skjæringspunktet mellom disse kurvene i første kvdrnt er ( ), ( , ). 7 7 L oss se om Newtons metode finner dette punktet. Siden f(x, y) x + y blir g(x, y) x 4 + y ( ) fx (x n, y n ) f y (x n, y n ) g x (x n, y n ) g y (x n, y n ) som hr invers Metoden blir ( ) xn+ y n+ ( xn 7xy ( 4y y x x y n ) 7xy strter vi i (, ), får vi: ). ( 4y y x x ( ) x y x 4y ) ( f(xn, y n ) g(x n, y n ) ),

34 n x n y n Mskinpresisjon etter syv itersjoner. Br greier det her. 4

35 6 Numerisk derivsjon Hv om du ønsker å finne stigningen til en funksjon som er tbulert? Vi skl gå gjennom en sentrl teknikk for numerisk derivsjon som klles endelige differnser. Det er to grunner til dette: for det første trenger vi det for å lge numeriske skjem for differensillikninger, for det ndre gir det en fryktelig trnsprent illustrsjon v dette med feil. Seknter tngenter I M definerte vi den deriverte til en funksjon f som f f(x + h) f(x) (x) lim. h h Uttrykket f(x + h) f(x) h er stigningstllet til seknten til f mellom punktene x x + h. For små h er denne seknten en grei tilnærming til stigningstllet f(x): f (x) f(x + h) f(x). h På ppiret er det slik t jo mindre h, desto bedre tilnærming. Eksempel 6.. L f(x) e x, l h.. Vi beregner Merk t f (.5) e.6 e f (.5) e , så denne tilnærmingen bommer med rundt. Vi kn så prøve h.. D får vi f (.5) e.5 e som er noe bedre, nå er feilen på rundt. Vi knekker til med end en: f (.5) e.5 e.5. får en feil på rundt , Merk. Feilen i forrige eksempel er tydelig proporsjonl med h - deler du h på, deler du feilen på. En god illustrsjon v lineær feil. Tylorutvikling I M lærte du så tylorutvikling. Ant f er nlytisk funksjon. Det går n å utlede formelen f (x) f(x + h) f(x). h ved å bruke tylorutviklingen til f i punktet x: f(x + h) f(x) + f (x)h + f (x) h +. Stigningen til seknten kn skrives f(x + h) f(x) f (x) + f (x) h + h vi ser t dette stigninstllet består v den ekskte verdien for f (x) pluss resten v tylorrekken til f f (x) h + f (x) h + 6 Denne hlen forteller oss noe om feilen. Dersom h er liten nok, vil h være mye større enn h, vi skriver f (x) h + f (x) h + O(h) 6 for å signlisere t feilen er proporsjonl med h. Høyere ordens tilnærminger Vi kn reltivt lett forbedre den lineære tilnærmingen fr forrige vsnitt ved å skrive f(x h) f(x) f (x)h + f (x) h + sette opp tilnærmingen f(x + h) f(x h) f (x)+ f (x) h + f 5 (x) h 4 + h! 5! Feilen i denne tilnærmingen er f (x) h + f 5 (x) h 4 +! 5! Hvis h er liten, er det rimelig å nt denne feilen er mye mindre enn for den første tilnærmingen, siden h << h. Eksempel 6.. L f(x) e x, l h.. Vi beregner f (.5) e.6 e ,. som gir en feil på rundt 7.5. Mye bedre enn i sted. Vi kn prøver så h.: f (.5) e.5 e som er noe bedre, nå er feilen på rundt Knekker vi til med h., får vi f (.5) e.5 e som gir en feil på Merk. Legg merke til hvordn feilen i forrige eksempel er nærmest perfekt kvdrtisk - vi får to nye desimler hver gng vi deler h på. Feilen deles ltså på når h deles på. Hvis du virkelig vil slå på stortrommen, kn du bruke formelen f (x) f(x h) 8f(x h) + 8f(x + h) f(x + h) h Eksempel 6.. Vi bruker den store formelen med h., h. h.. Då får vi feil på 5, 9,. Fire nye desimler hver gng h deles på. Prøv selv. 5

36 Høyere ordens deriverte Dersom du trenger en tilnærming for f (x), kn du bruke den ndre ordens sentrldiffernsen f(x + h) f(x) + f(x h) h f (x) + O(h ) Nå bør det etterhvert være klrt hvordn en slik derivsjonsformel konstrueres - mn søker en lineærkombinsjon v funksjonsverdier f(x), f(x h) f(x + h) lignende ledd, for å oppnå to ting: Korrekt tilnærming v den n-te deriverte. Så høy orden som mulig. Richrdsonekstrpolsjon Det går n å kombinere tilnærminger v forskjellig orden til å oppnå høyere ordens tilnærminger. Vi definerer f(x + h) f(x h) φ(h). h D hr vi t φ φ(h) f (x) + h f (x) 6 ( ) h f (x) + Her er trikset. ( ) h f (x) + 6 4φ ( ) h φ(h) f (x) + h 4 f 5 (x) + ( ) 4 h f 5 (x) + ( ) 4 h f 5 (x) 48 + Med ndre ord: den rette lineærkombinsjonen v to estimter med forskjellige gitterfinheter kn få et (eller flere) ledd i feilutviklingen til å forsvinne, d får vi en høyere ordens tilnærming. Eksempel 6.4. Hvis vi setter h., tr to tidligere pproksimsjoner, φ(.) e.6 e , med en feil på rundt 7.5, φ(.) e.5 e med en feil på rundt 7.5 5, kombinerer dem, får vi φ ( h ) φ(h) som gir en feil på.7 8 ( h ) 4. Det går n å formulere presise teoremer som forteller hvordn mn skl lineærkombinere tilnærminger til høyere ordens tilnærminger, men vi nøyer oss med denne lille smkebiten. 6

37 7 Interpolsjon Fr M husker du t dersom x i er n + forskjellige punkter på x-ksen med korresponderende y-verdier y i, finnes det et entydig polynom v mksiml grd n som interpolerer punktene (x i, y i ). I dette kpitlet skl vi sette opp to forskjellige formler for dette polynomet, t en litt grundigere nlyse. Til slutt skl vi så t en titt på hvordn dette kn gjøres med trigonometriske funksjoner. Lgrnges interpolsjon L x i være n + forskjellige punkter på intervllet [, b], med x x n b. For hvert punkt x i, definerer vi et polynom: l i (x) n k k i (x x k ) (x i x k ). Polynomet l i (x) hr orden n, tilfredsstiller l i (x k ) { for i k for i k. L f være en funksjon, med funksjonsverdier f(x i ) f i. Det er lett å se t p n (x) n f i l i (x). i tilfredsstiller p n (x i ) f(x i ) for lle i. Teorem 7.. L x i være n + forskjellige punkter på intervllet [, b], f en funksjon med funksjonsverdier f(x i ) f i. Det finnes et entydig polynom som tilfredsstiller p n (x i ) f(x i ) for lle i. Bevis. Konstruksjonen v Lgrnges interpolsjon viser t det for en tbell med n + punkter eksisterer et interpolsjonspolynom v mksiml grd n; vi hr jo nettopp konstruert det. Hvis vi ntr t det finnes to forskjellige polynomer p n q n v grd n som interpolerer den smme tbellen, evluerer differnsen p n q n i punktene x i, ser vi t Vi setter opp l (x) l (x) l (x) (x )(x ) ( )( ) (x )(x ) (x )(x ) (x )(x ) ( )( ) (x )(x ) ( )( ) (x )(x ). Det ndre ordens polynomet som interpolerer denne tbellen er: p(x) 4l (x) + 5l (x) + 6l (x) (x )(x ) 5(x )(x ) + (x )(x ). I gmle dger sto det i numerikkbøkene t lgrngepolynomene ikke måtte brukes i numeriske beregninger, fordi det koster for mnge flyttlsopersjoner å evluere dem. Dette er bre tull dersom mn bruker de rette interpolsjonspunktene evluerer polynomene på rett måte, men dette er dessverre utenfor vårt pensum. Newtons interpolsjon For å konstruere Newtons interpolsjon trenger vi å beregne de dividerte differnsene. De defineres rekursivt: f[x i ] f(x i ) f[x i, x i ] f(x i) f(x i ) x i x i f[x i,..., x i k ] f[x i,..., x i k+ ] f[x i,..., x i k ] x i x i k Newtons interpolsjonspolynom er: p n (x) f + n i i f[x i,..., x ] (x x k ). k Merk så t Lgrnges Newtons interpolsjon er bre to forskjellige formler for å sette opp det smme polynomet, siden interpolsjonspolynomet er entydig. Eksempel 7.. Polynomet p n (x i ) q n (x i ) i n. Men polynomet p q hr mksiml grd n, kn følgelig h mksimlt n nullpunkter, så den eneste muligheten her er p q, som betyr t interpolsjonspolynomet er entydig. Eksempel 7.. En funksjon hr følgende verdier: i x i f i p (x) f + f f x x (x x ) + interpolerer tbellen så lenge x x x. f f x x f f x x (x x )(x x ) x x x x x f f f 7

38 Det er vnlig å sette opp følgende tbleu for å illustrere de dividerte differnsene: x f[x ] f[x, x ] x f[x ] f[x, x, x ] f[x, x ] f[x, x, x, x ] x f[x ] f[x, x, x ] f[x, x ] x f[x ] Eksempel 7.4. L igjen Tbleuet blir i x i f i interpolsjonspolynomet blir p(x) 4 + x + x. Dette er selvfølgelig det smme polynomet som i forrige eksempel. Merk t polynomet er v første grd, siden punktene tilfeldigvis ligger på en rett linje. Interpolsjonsfeilen Det sier seg selv t et interpolsjonspolynom ikke kn være lik funksjonen som interpoleres med mindre denne funksjonen er et polynom v ikke høyere grd enn interpolnten. Nå er vi kommet til steg to i den generelle oppskriften for numeriske metoder, nemlig nlyse v feilen. D må vi begynne med en generlisering v middelverdistsen. Middelverdistsen sier t f (c) f(b) f() b f[, b] for en funksjon som er deriverbr på [, b]. f c En generlisert vrint for dividerte differenser går som følger. Teorem 7.5. Dersom f er n + gnger deriverbr på [, b], lle punktene x i er forskjellige, er f[x n,..., x ] f n (s) n! for en eller nnen s i intervllet [, b]. b x Bevis. Siden p n interpolerer f, må funksjonen g f p n h minst n + nullpunkt på intervllet [, b]. Gjenttt nvendelse v middelverdistsen forteller oss t g hr minst n nullpunkt, t g hr minst n nullpunkt, videre t g n+ hr minst ett nullpunkt på [, b]. Vi kller dette s. Siden må d n dx n p n(x) n!f[x n,..., x ], f n (s) n!f[x n,..., x ]. Vi kn nå utlede et uttrykk for interpolsjonsfeilen. Teorem 7.6. L f være en n + gnger deriverbr funksjon på [, b], interpolert i punktene x i. Interpolsjonsfeilen er f(x) p n (x) f n+ (s) (n + )! n (x x k ). k Bevis. Vi skriver opp Newtons interpolsjonspolynom p n (x) n i f + f[x i,..., x ] (x x k ) i k n + f[x n,..., x ] (x x k ), k det siste leddet er skrevet ut kun v pedgiske hensyn. Nå bytter vi ut x n med x i uttrykket over (tenk på x som et nytt interpolsjonspunkt), får f(x) n i f + f[x i,..., x ] (x x k ) i k n + f[x,..., x ] (x x k ). k Merk den snedige måten å skrive om f på. Trekker vi de to foregående uttrykkene fr hverndre, får vi f(x) p n (x) n (f[x, x n..., x ] f[x n, x n,..., x ]) (x x k ) k n f[x, x n,..., x ](x x n ) (x x k ) f[x, x n,..., x ] k n (x x k ), k bruker vi den generliserte middelverdistsen over, får vi f(x) p n (x) f n+ (s) (n + )! n (x x k ), k for en eller nnen s [, b]. Merk t s vhenger v x, kkurt som i Tylors teorem fr M. 8

39 Punktfordeling Steg tre i oppskriften på numeriskemetoder, er å finne ut om metoden kn h noen gode egenskper utover høy presisjon. I interpolsjonsfget er det en reltivt kjpp måte å vgjøre om en interpolsjonsmetode er god eller ikke: Det er vgjørende for kvliteten på interpolsjonen t punktene står riktig fordelt på intervllet [, b]. Men hvordn skl vi finne gode punkter for polynominterpolsjon, hv skiller de gode fr de dårlige punktene? Dette spørsmålet kn besvres på mnge måter, vi skl vende tilbke til spørsmålet i kpitlet om numerisk integrsjon. L oss begynne med å t for oss en god en dårlig punktmengde. Eksempel 7.7. Den dårlige punktmengden er den kjente kjære ekvidistnte punktmengden. Et ekvidistnt gitter med n punkter på intervllet [, b] er gitt ved x i + hi der i n h (b )/n. I figuren under er et plot v en lgrngefunksjon på et ekvidistnt gitter med elleve punkt. Merk oscillsjonene polynomet gjør mellom interpolsjonspunktene Mn finner gode punkter for interpolsjon ved å plssere dem slik t de minimerer utslget til polynomet n (x x k ) k i interpolsjonsfeilen, lle gode punktmengder for polynominterpolsjon klumper seg i endene v intervllet. For ekvidistnte gitre hr feilpolynomet stort utslg i endepunktene, det forklrer hvorfor lgrngefunksjonen i figuren over hr størst utslg fr funksjonsverdiene der. Vi skl nå t for oss noen forskjellige gode punktmengder Eksempel 7.8. L θ i være et ekvidistnt gitter på [, π], med θ n θ π θ n θ π Nå definerer vi x i cos θ i. Dette gitteret ligger på [, ]. x x n Det gitteret egner seg skikkelig godt for polynominterpolsjon. Under er et tilsvrende plot v en lgrngefunksjon på dette gitteret. Merk hvordn interpolsjonspolynomet ikke oscillerer særlig mellom interpolsjonspunktene. θ x Vi skl gjøre lt på intervllet [, ]. Dersom mn hr en punktfordeling x i på dette intervllet, kn mn flytte fordelingen til intervllet [, b] med formelen gitt i eksempel 7. under. Chebyshevpunkter For å prøve å forklre hv som skjedde i figuren må vi introdusere noen polynomer. Teorem 7.9. Funksjonen T n (x) cos (n rccos x) er et polynom når n er et nturlig tll. 9

40 Bevis. L T n (θ) cos(nθ). D hr vi T T cos θ T cos θ cos θ Merk t lle disse er polynomer i cos θ. Dette er en sentrl observsjon, for når mn gjør vribelskiftet x cos θ vil mn få polynomer i x. Vi fortsetter med et induksjonsbevis for t cos nθ er et polynom i cos θ for lle nturlige tll n. Legg smmen slik t cos(n + )θ cos nθ cos θ sin nθ sin θ cos(n )θ cos nθ cos θ + sin nθ sin θ cos(n + )θ cos nθ cos θ cos(n )θ. Dersom vi ntr t cos nθ cos (n )θ er polynomer i cos θ, må cos nθ cos θ cos(n )θ være et polynom i cos θ, følgelig må så cos (n + )θ være et polynom i cos θ. Siden T T cos θ ( T cos θ ) er polynomer i cos θ, må cos nθ være det for lle nturlige n. Dersom cos nθ er et polynom i cos θ, må cos (n rccos x) være et polynom i x. Polynomene T n klles chebyshevpolynomer. Disse kn beregnes ved rekursjonen som er likningen T n+ xt n T n, cos(n + )θ + cos(n )θ cos nθ cos θ. fr forrige bevis, skrevet ut i form v T n. De første er T T x T x T 4x x T 4 8x 4 8x +. Gitteret i eksempel 7.8 klles Chebyshevs ekstremlgitter, for punktene er ekstremlpunktene til et chebyshevpolynom. Det n-te ordens polynomet T n gir opphv til et gitter med n + punkter, der n v dem er T n s stsjonære punkter, to er endepunktene i intervllet. De første seks polynomene er plottet under, smmen med 6-punktsgitteret som er ekstremlpunktene til T 5. En formel for gitterpunktene er: x i cos πi n i n Eksempel 7.. Gitteret i figuren over er gitt ved x -. x x x x x 5. Merk t endepunktene er en nnen type ekstremlpunkter enn de ndre; det er der T 5 er klippet v intervllgrensene. Eksempel 7.. Hvis vi ønsker å sette opp gitteret fr T 5 på et intervll [, b], bruker vi bre formelen y i + (b ) x i +, der x i er punktene på [, ] y i er punktene på [, b]. På intervllet [, 4] blir punktene x. x x x x x 5 4. Det er viktig å forstå t det hvordn punktene er fordelt på intervllet som hr noe å si for kvliteten på interpolsjonen. Chebyshevpolynomenes nullpunkter gir opphv til en nnen punktmengde som klles Chebyshevs nullpunktgitter. Dette gitteret er på ppiret end bedre enn Chebyshevs ekstremlgitter, men noe mindre prktisk, siden det ikke inneholder endepunktene. Polynomet T n+ gir opphv til et gitter med n + punkter, gitt ved x i cos π(i + ) n + i n. Under er et nok et plot v de første pr chebyshevpolynomene, med nullpunktgitteret til T 5. Vi tr med et teorem om interpolsjonsfeilen til Chebyshevs nullpunktgitter, men lr det stå ubevist. 4

41 på ekvidistnt chebyshevgitter. Denne funksjonen er kjent for sine ptolisk store n-te deriverte. Dette er en størrelse vi ikke hr kontroll på, merk nok en gng hvordn feilpolynomet illustrerer hvorfor ekvidistnt tinærmer vesentlig dårligere enn chebyshev i endene Teorem 7.. L f være en n + gnger deriverbr funksjon. Interpolsjonsfeil for interpolnten på chebyshevs nullpunktgitter på [, b] er: mx f(x) p n(x) x [,b] (b ) n+ n+ mx x [,b] f n+ (x) Under er et plot v feilpolynomet n (x x k ) k for chebyshevs nullpunktgitter n 6. Dette polynomet hr mksimlt utslg (b ) n+ n e Vi tr med et plot v tilsvrende feilpolynom for ekvidistnt gitter med n Eksempel 7.. Nedenfor er en figur v. ordens interpolnter v Runges funksjon f(x) + 6x Guss-punkter En punktmengde som likner på Chebyshev, klumper seg i endene v intervllet, klles Guss-punkter. Akkurt som for Chebyshev, kommer disse i to vrinter, som er henholdsvis null- ekstremlpunkter til en følge v polynomer, som klles Guss-Legendrepolynomene. Legendre-polynomene er gitt ved rekursjonen P P x (n + )P n+ (x) (n + )xp n (x) np n (x). Vi skl ikke utlede disse, men i kpitlet om numerisk integrsjon skl vi vise en metode for å produsere nullpuntene. Nullpunktgitrene til Legendre-polynomene klles Guss-Legendre-punkter. Her er en tbell med et pr lvere ordens punktfordelinger på intervllet [, ] n x i ±, ± 5 7 ± ± 5, ± 5 ± Guss-Legendre-punktene er på ppiret end bedre enn chebyshevpunktene, men mindre prktisk i bruk. Ekstremlpunktene til Legendre-polynomene klles Guss-Lobtto-punkter. Vi hoster opp nok en tbell med et pr lvere ordens punktfordelinger på intervllet [, ] 7 4

42 n x i, ± 4 ± 5, ± 5, ± 7, ± 6 ± ±, ± 7 7, ± 5 ± 5, ± Guss-Lobtto er på ppiret noe dårligere enn Guss- Legendre, men er noe mer prktisk i bruk, for de inneholder intervllets endepunkter. Fremdeles mindre prktisk enn Chebyshev. Andre typer polynominterpolsjon Til slutt kn nevnes t mn trenger ikke nøye seg med å kreve t interpolnten p skl t f sine verdier i interpolsjonspunktene. Mn kn så skru opp grden på polynomet, i tillegg kreve t p skl h smme stigningstll som f i punktene. I dette tilfellet klles det Hermite-interpolsjon. Dersom mn krever t p skl h smme verdi som f sine n + første deriverte i et enkelt punkt, er vi tilkke i tylorpolynomene du kjenner fr M. Mn kn så, istedet for å lge et interpolsjonspolynom som interpolerer f i lle punktene, for eksempel sortere interpolsjonspunktene i grupper på fire fire etterfølgende punkter, interpolere hver gruppe med et tredjeordens polynom, så sette smmen en stykkvis kontinuerlig deriverbr polynominterpolnt. Dette klles spline-interpolsjon. DFT - trigonometrisk interpolsjon Vi skl t en kjpp vending innom fouriernlysen igjen. Fouriernlyse chebyshevinterpolsjon henger nemlig smmen, for å se hvordn, må vi lære å interpolere med trigonometriske funksjoner. I dette vsnittet skl vi jobbe med det ekvidistnte gitteret x k πk N der N k N på intervllet [, π]. Vi ønsker å finne et trigonometrisk polynom n N c n e inx som interpolerer funksjonen f i gitterpunktene, ltså t f(x k ) c n e inx πk k in c n e N. n N n N Merk. Du tenker knskje t det hdde vært nturlig å t med gitterpunktet x π. Men det trigonometriske polynomet vi skl interpolere med, hr fundmentlperiode π, så hvis vi bestemmer hv polynomet skl være i x, bestemmer vi smtidig hv det skl være i x π. Derfor er ikke x π med i listen over interpolsjonspunkter. Teorem 7.4. Det trigonometriske polynomet c n e inx n N interpolerer f i punktene x i dersom koeffisientene er gitt ved c n N N k N f(x k )e inx. Bevis. Vi gnger ligningen over med e imx summerer over lle gitterpunkter N k N f(x k )e imx N k N n N c n e i πk N (n m). Nå bytter vi summsjonsrekkefølgen på høyre side, får N k N f(x k )e imx n N c n N k N e i πk N (n m). Merk t den innerste summen er en endelig geometrisk rekke med multipliksjonsfktor e i πk N. Dersom n m er N k N e i πk N (n m) e i πk dersom n m, er slik t N k N n N e i πk N ( N m) N k N ( N m) N k e i πk N (n m) (e i π N (n m)) k ( ) N e πi e i πk N (n m) N ( N m) e πi N (n m) e i πk N ( N m) eπi(n m), e πi N (n m) e πi N k(n m) c n Med ndre ord er N k N slik t N k N f(x k )e imx c n N N k N N, e πi N k(n m) Nc n. N k N n N n N Nc n. N k N c n N k N f(x k )e inx. c n e i πk N (n m) e πi N k(n m) 4

43 Det finnes imidlertid en teoretisk end enklere måte å skrive opp det trigonometriske interpolsjonspolynomet på. Teorem 7.5. Dirichletkjernen n N e in(x x k) tr verdien i x k i de ndre gitterpunkene. Interpolnten kn skrives N n N f(x k )D n (x x k ). Merk t interpolsjonspolynomet er skrevet som en diskret konvolusjon. I kpitlene om fourierrekker fouriertrnsform hr vi skrevet funksjoner som trigonometriske rekker integrler. Dette er en diskret vrint v kkurt det smme, klles derfor diskret fouriertrnsform. Koeffisientene c n kn beregnes ekstremt kjpt med en berømt lgoritme som går under nvnet FFT - fst fourier trnsform. Både Python Mtlb hr innebygde rutiner for dette. I fouriertrnsformkpitlet vr både trnsformsjonen inverstrnsformsjonen gitt ved integrler. I fourierekkekpitlet vr fourierkoeffisientene gitt ved integrler, inverstrnsformer gitt ved en sum. I dette kpitlet vr både trnsformsjon inverstrnsformsjon gitt ved summer. Det finnes en fjerde vrint der fourierkoeffisientene er gitt ved summer, mens inverstrnsformsjonen er et integrl, men denne er utenfor vårt pensum. 4

44 8 Numerisk integrsjon I dette kpitlet skl vi t for oss noen vnlige numeriske integrsjonsmetoder. I M hr du lært to v dem - trpesregelen Simpsons metode. Vi skl rskt repetere disse, så gå videre til mer spennende metoder. Alle er bygget på interpolsjonsteknikken vi lærte i forrige uke. Kvdrturregler Vi skl finne tilnærminger til integrlet I[f] f(x) dx ved å interpolere f, så integrere intepolsjonspolynomet nlytisk. Dette klles kvdrtur, en bestemt metode klles gjerne kvdrturregel. L x i være interpolsjonspunkter på [, b], l i de korresponderende lgrngefunksjonene, slik t n f(x) f(x i )l i (x). Vi skriver f(x) dx i n f(x i )l i (x) dx i n f(x i ) i l i (x) dx n f(x i )A i Q[f], i der vi hr definert A i l i(x) dx. Disse klles kvdrturvektene, eller bre vektene. Eksempel 8.. En v de ller enkleste kvdrturreglene kjenner du fr M. Den klles trpesregelen, er gitt ved ( ) f() + f(b) f(x) dx (b ) utledes enkelt ved å interpolere f med et førsteordens polynom i x x b integrere dette. Vektene er A A b. Eksempel 8.. Guss-Legendre-punktene for n på intervllet [, ] er ±, lgrngefunksjoner er ( ) l (x) x + Vi beregner ( l (x) x A A x + x ). dx dx. Eksempel 8.. Simpsons regel, som du så kjenner fr M, Q[f] b 6 hr vekter ( f() + 4f A A b 6 ( + b A ) ) + f(b), (b ). Disse utledes ved å interpolere f med ndre ordens polynomer i, b +b, men dette er gjort i M, så vi dropper det. Feilestimt Det første vi kn gjøre, er å sette opp en generell regel for kvdrturfeil. Denne detter rett ut v feilestimtet for intepolsjon. Teorem 8.4. L Q være en n+-punkts kvdrturregel på [, b], nt t f er n+ gnger kontinuerlig deriverbr på [, b]. En øvre skrnke for feilen er I[f] Q[f] M (n + )! der M mx s [,b] f n+ (s). Bevis. Integrer feilestimtet f(x) p n (x) f n+ (s) (n + )! fr til b bruk t f n+ M. n x x i dx i n (x x k ). k Fordelen med dette teoremet er t det er lett å bevise. Ulempen er t det stort sett er mulig å finne skrpere estimter, men disse er mer grisete å utlede. Vi tr derfor med noen bedre feilestimter for forskjellige kvdrturregler uten bevis. Teorem 8.5. For trpesregelen finnes det en s (, b) slik t I[f] Q[f] (b ) f (s). Teorem 8.6. For Simpsons regel finnes det en s (, b) slik t (b )5 I[f] Q[f] 88 f 4 (s). Det går n å skrive opp feilestimter for kvdrturregler bsert på Chebyshev-punkter, Guss- Legendre-punkter Guss-Lobtto-punkter, men de er gnske grisete, bevisen er ltfor kompliserte for oss. Vi nøyer oss derfor med noen eksempler, der vi smmenlikner med den nlytiske verdien til integrlet. 44

45 Eksempel 8.7. Vi tilnærmer e x dx e e med trpesregelen: Q[f] e + e Feilen er i smme størrelsesorden som svret. Triste greier. Eksempel 8.8. Med Simpsons regel går det litt bedre: Q[f] (e + 4e + e) Her er feilen Eksempel 8.9. Guss-Legendre med n gir Q[f] e / + e / Her er feilen på , fktisk mindre enn for Simpsons regel, til tross for t kvdrturregelen er bsert på en lvere ordens interpolsjon. Dette eksemplet illustrerer t plsseringen v interpolsjonspunktene hr mye å si. Presisjonsgrd Hr forskjellige kvdrturregler noen ndre gode egenskper enn høy presisjon? Vi sier t en integrsjonsformel er ekskt for funksjonen f dersom f dx i f(x i )A i. Dersom du interpolerer et polynom v grd n elller lvere med et polynom v grd n, blir f p identiske. Derfor må det være klrt t p(x) dx n f(x i )A i, i for lle polynomer v grd n eller lvere. Dersom kvdrturregelen er intelligent designet, kn mn oppnå høyere presisjonsgrd enn som så. Eksempel 8.. Trpesregelen hr presisjonsgrd, for ( ) + Q[] (b ) b ( ) + b Q[x] (b ) b mens ( Q[x + b ) ] (b ) b b + b dx x dx, x dx. Disse beregningene viser t trpesregelen integrerer lle første ordens polynomer riktig, siden Q[cx + d] cq[x] + dq[]. Ingen ndre ordens polynomer integreres riktig, siden Q[cx + dx + e] cq[x ] + dq[x] + eq[], Q[x ] ikke integreres riktig. Eksempel 8.. Guss-Lobtto n hr presisjonsgrd. Dette kn vises på smme måte som for trpesregelen, men vi venter litt med å se på det. Det er nemlig ikke så vnskelig å vise generelt t en n + -punkts Guss-Lobtto-regel hr presisjonsgrd n +, dette skl vi gjøre senere. Eksempel 8.. Simpsons regel hr presisjonsgrd. En rsk titt på feilestimtet forteller t dersom f er et tredjegrdspolynom, er f 4. Noen forskjellige kvdrturklsser Kvdrturregler skilles v er punktfordelingen, hvorvidt mn interpolerer med et polynom v høy grd på lle punktene, eller deler opp intervllet interpolerer med stykkvis kontinuerlige polynombiter, såklt smmenstte regler. Vi skl t for oss et pr klssiske kvdrturregler, vslutte med en diskusjon rundt smmenstte regler. Newton-Cotes Både trpesregelen Simpsons metode er eksempler på Newton-Cotes-regler. Dette er regler der interpolsjonen er gjort på ekvidistnte gitre. En klssisk lærebok i numerisk nlyse vil typisk inneholde en lengre utgreining om Newton-Cotes, men vi vet jo t mn skl styre unn polynominterpolsjon på ekvidistnte gitre, så derfor lr vi Newton-Cotes ligge. Eksempel 8.. Trpesregelen Simpsons regel er Newton-Cotes-regler med henholdsvis n n. Clenshw-Curtis Clenshw-curtiskvdrtur bserer seg på å integrere chebyshevinterpolnten. For chebyshevinterpolsjon er det lett å skrive opp formler for interpolsjonspunktene, pene formler for kvdrturvektene, men disse formlene er vnskelige å utlede. Teorem 8.4. Dersom n er et prtll, interpolsjonsgitteret er et n-punkts chebyshev ekstremlgitter, er vektene til kvdrturregelen gitt ved w i w w n (n )/ (n ) j for i n. (n ) 4j cos j(i ) n π 45

46 Guss-Legendre Vi skl beskrive prosessen som produserer Legendrepolynomene, vise t denne prosessen produserer kvdrturformler med presisjonsgrd n +. Teorem 8.5. L q være et polynom v grd n + slik t qp dx (8.) for lle polynomer p v grd mindre enn eller lik n. En kvdrturregel med disse n + nullpunktene som noder, vil være ekskt for lle polynomer v grd mindre enn eller lik n +. Bevis. Vi begynner med å vise t polynomet q hr n + forskjellige nullpunkter på intervllet [, b]. L x, x..., x r være de r punktene der q bytter fortegn på [, b]. Polynomet r (x x i ) i hr grd r, bytter fortegn nøyktig smtidig som q, slik t enten eller (x x i ) r q i (x x i ) r q i på [, b]. Dette betyr t siden vi hr (x x i ) dx, r q i qp dx (8.) for lle polynomer p v grd mindre enn eller lik n, impliserer dette t r n +. Siden r åpenbrt ikke kn være større enn n+, må r n+. Altså bytter q fortegn n+ gnger på [, b], må følgelig h n+ nullpunkter på [, b]. L nå h være et polynom v grd n+ eller lvere, del h på q med rest r: h qp + r. der p hr grd n, r hr mksiml grd n. Vi evluerer h i x i, ser t h(x i ) q(x i )p(x i ) + r(x i ) r(x i ), siden q(x i ) for lle i. Siden kvdrturregelen er bsert på integrsjon v et n-te ordens polyom, er den åpenbrt er ekskt for polyonomer v orden n eller lvere, vi kn beregne h(x) dx q(x)p(x) + r(x) dx n r(x i )A i i n h(x i )A i. i r(x) dx Eksempel 8.6. Vi tr et eksempel der vi konstruerer q fr grunnen v. L n [, b] [, ]. Vi må finne q(x) x + bx + c. Vi begynner med å kreve t q skl stå ortonlt på lle polynomer v grd eller lvere. Dersom q(x) dx xq(x) dx x + bx + c dx + b + c x +bx +cx dx 4 + b + c, vil (x + b)q(x) dx. Vi gnger den første likningen med seks, den ndre med tolv, får likningssystemet ( ) ( 6 b. 4 6 ) c Litt gusseliminsjon gir ( ) ( 6 b. ) c Her står det t + b, t + b + 6c. Løsningsrommet er 6 b c 6, c slik t q(x) 6x 6x +, er et mulig vlg for q. Andre vlg v konstnten c vil gi ndre polynomer, men lle vi h de smme nullpunktene, det er dem vi er ute etter. Nullpunktene til q er x x +. Lgrngefunksjonene blir L x x ( ( x x x + )) slik t L x x ( ( x x x )) A ( x ) dx A. Integrsjonsrutinen vi hr lget skl være ekskt for lle polynomer opp til grd. Vi tester: ( ) + ( + ) x dx 46

47 ( ) + ( + ) 4 x dx. Merk t punktene er bre Guss-Legendre-punktene flyttet til intervllet [, ]. Dette eksemplet illustrerer hvordn Guss-Legendre-tbellen i interpolsjonskpitlet er konstruert. Kommentr. Legendrepolynomene er definert på intervllet [, ], så eksemplet over lget ikke et legendrepolynom, men derimot et polynom som hr nullpunktene til legendrepolynomet flyttet til intervllet [, ]. P (x ) Vi kn utvide tbellen fr forrige kpittel med vekter. Husk t tbellen gjelder for [, ], så om du trenger integrsjonsrutine for ndre intervller, må punktene flyttes, vektene beregnes på nytt. n x i A i 4 ± 4 ± ± ± ± 6 ± 7 ± ± ± ± ± Eksempel 8.7. Simpsons regel er så en Guss- Lobtto-regel med n. n x i A i ± ± ± ± , ± 5 7 5, ± Merk t lle vektene er positive. Kvdrturentusister regner dette som et kvlitetsstempel. Guss-Lobtto Vi koster på oss en tbell med vekter for Guss- Lobtto så. 47

48 9 Metoder for ordinære differensillikninger Vi skl lge numeriske metoder for å finne tilnærmede løsninger for initilverdiproblemet y f(x, y) y(x ) y. Dette er et kjempefelt. Vi hr bre tid til å skrpe så vidt i overflten, men vi skl prøve å belyse et pr momenter. Runge-Kutt-metoder En numerisk metode for ordinære differensillikninger strter med følgende to observsjoner: Vi vet hv den nlytiske løsningen er i x. Dette vet vi på grunn v initilkrvet y(x ) y. Vi vet hvilket stigningstll den nlytiske løsningen hr i x, for evluerer vi differensilikningen i x, får vi y (x ) f(x, y ). L oss lge oss et punkt x litt ut fr x, med vstnd h x x. Siden vi hr funksjonsverdien stigningstllet til y i x, kn vi bruke lineær tilnærming, gjette på y(x ): y(x ) y(x ) + hy (x ) y(x ) + hf(x, y ). Nå definerer vi y y(x )+hf(x, y ) y(x ). Dette er den tilnærmede verdien til y i x. Vi tr den for god fisk, lger oss et nytt punkt x x + h, beregner y y + hf(x, y ), som er en tilnærming y y(x ). Nå fortsetter vi i smme stilen, gitrer opp intervllet vi skl løse likningen på med gitterfinhet h, slik t punktene er gitt ved x i ih. Tilnærmingen til y(x i ) kller vi y i, metoden klles Eulers eksplisitte metode: y i+ y i + hf(x i, y i ), Metoden klles eksplisitt, siden likningen kommer ferdig løst for y i+. Vi skriver nå opp et pr ndre vrinter. Alle er bsert på å bytte ut stigningen f(x i, y i ) med et eller nnet estimt. Setter vi inn f(x i+, y i+ ) istedet for f(x i, y i ), får vi Eulers implisitte metode: y i+ y i + hf(x i+, y i+ ), bytter vi ut med (f(x i, y i ) + f(x i+, y i+ )), får vi trpesmetoden: y i+ y i + h (f(x i, y i ) + f(x i+, y i+ )). Disse to metodene klles implisitte fordi likningene ikke er ferdig løst for y i+. Noen gnger er det lett å finne y i+, ndre gnger ikke. Hvis vi bytter ut f(x i+, y i+ ) i trpesmetoden med en tilnærming bsert på et eksplisitt eulersteg, får vi den eksplisitte Heuns metode: hvis vi klinker til bytter ut tilnærmingen til stigningstllet med følgende vnserte opplegg, får vi nok en eksplisitt vrint, nemlig Runge-Kutts klssiske fjerdeordens metode, populært klt RK4: k f(x i, y i ) ( k f x i + h, y i + h ) k k f ( x i + h, y i + h ) k k 4 f(x i + h, y i + hk ) y i+ y i + h 6 (k + k + k + k 4 ). Dette er lle metodene vi skl nlysere, lle er eksempler på Runge-Kutt-metoder. Nå lurer du sikkert på hvorfor mn hr så mnge forskjellige metoder, det korte svret er som ellers i nvendt mtemtikk: noen metoder eksisterer fordi de er lette å finne opp forstå, mens ndre metoder finnes fordi de er skikkelig br. Eksempel 9.. Vi løser initilverdiproblemet y y y() med Eulers eksplisitte metode på intervllet [, ]. Siden f(x, y) y, blir metoden med y i+ y i hy i ( h)y i y. Løsning for h.5 gir figuren under. De blå dimntene er y, y, y, y 4 y 5, mens den røde kurven er den nlytiske løsningen y e x. Vi beregner y() /e , som kn smmenliknes med y : y 5 y() y i y i + hf(x i, y i ) y i+ y i + h (f(x i, y i ) + f(x i+, y i )), 48

49 Eksempel 9.. Vi løser smme problem som i sted med Eulers implisitte metode. Metoden blir y i+ y i hy i+, som vi løser for y i+, får y i+ y i ( + h). Figur under for h.5. Vi får y 5.496, Eksempel 9.4. Heuns metode: yi y i hy i y i+ y i h(y i + yi ) y 5 y() Bedre enn Euler, men ikke helt trpesmetoden. y 5 y() Eksempel 9.5. Til slutt RK4: Eksempel 9.. Trpesmetoden: y i+ y i h(y i + y i+ ). k y i ( k y i + h ) k ( k y i + h ) k Vi løser for y i+, får k 4 (y i + k ) Denne treffer noe bedre: y i+ + h h y i. y 5 y() y i+ y i + h 6 (k + k + k + k 4 ). Denne treffer gnske br: y 5 y() e 5. Noe må den h igjen for å være så komplisert

50 Utledningsmetoder I forrige vsnitt utledet vi Eulers eksplisitte metode. For å sette disse metodene i kontekst med tidligere pensum i kurset, for å indikere hvordn mn kn lge flere metoder, skl vi utlede noen v dem med kjente metoder for numerisk integrsjon derivsjon. En uledningsteknikk er å gitre opp med h x i+ x i, integrere differensillikningen y(x i+ ) y(x i ) xi+ x i xi+ x i y (x) dx f(x, y(x)) dx, bruke y i+ y i y(x i+ ) y(x i ) på venstre side, tilnærme integrlet xi+ x i f(x, y(x)) dx, med en kvdrturregel. Gjør mn den særdeles enkle tilnærmingen xi+ x i f(x, y(x)) dx. xi+ x i f(x i, y i ) dx hf(x i, y i ), får mn eksplisitt Euler, velger mn den tilsvrende enkle tilnærmingen xi+ x i f(x, y(x)) dx hf(x i+, y i+ ), får mn Eulers implisitte metode. Trpesregelen xi+ x i f(x, y(x)) dx h (f(x i, y i ) + f(x i+, y i+ )) gir trpesmetoden y i+ y(x i ) + h (f(x i, y i ) + f(x i+, y i+ )). Tilnærmer mn trpesregelen med formelen xi+ x i f(x, y(x)) dx h ( f(xi, y i ) + f(x i+, y i+) ) der yi+ y i + hf(x i, y i ) er et eksplisitt eulersteg, får mn Heuns metode. Bruker mn tilnærmingen xi+ ( xi + x i+ f(x, y(x)) dx hf, y ) i + y i+ x i får mn midtpunktmetoden. RK4 er vledet fr Simpsons metode. Tilnærmer mn xi+ x i f(x, y(x)) dx, med Simpson, får mn en implisitt metode som ikke er pensum, bytter mn ut de implisitte verdiene leddene i denne metoden med forskjellige estimter bsert på eksplisitt Euler, får mn RK4, litt som Heuns metode er vledet fr trpesmetoden. Metodene vi hr utledet til nå, klles enstegsmetoder, for kun y i+ y i figurerer i likningene. Grunnen til t lle metodene er på denne formen, er t det kun er brukt en type endelig differnsetilnærming på venstre side v y (x) f(x, y(x)), nemlig den første ordens differnsen y (x i+ ) y i+ y i. h Nå er det ingenting i veien for å bruke en høyere ordens tilnærming, for eksempel sentrldiffernsen y (x i ) y i+ y i. h Setter mn denne inn for y, får mn lep-frmetoden y i+ y i + hf(x i, y i ). Her inngår både y i+, y i y i, lep-fr er et eksempel på en flerstegsmetode. Flerstegsmetoder er ikke pensum i dette kurset. Feilnlyse I dette vsnittet skl vi t en titt på hvorfor metodene treffer så foreskjellig. Vi skl indikere hvordn nlysen får for eksplisitt Euler, så skrive opp resulttet for de ndre metodene. Lineriseringen som gir det første eulersteget er y(x ) y(x + h) y(x ) + hf(x, y(x )) y(x ) + hy (x ). Vi ntr t y er en nlytisk funksjon, tylorutvikler: y(x ) y(x + h) y(x ) + hy (x ) + y (x ) h + Smmenlikner vi denne med y y(x ) + hy (x ), ser vi t feilen i det første eulersteget er gitt ved y(x ) y y (x ) h + y (x ) h + 6 ltså tylorrekkehlen til y. Hvis vi ntr t h er liten, slik t h er mye større enn h, leddet y (x ) h dominerer hlen på tylorrekken, er det ikke urimelig å hevde t eksplisitt Euler hr lokl feil v størrelsesorden h. Feilen etter ett steg er ltså v størrelsesorden h. Men hv er feilen etter n steg? I eksemplene i forrige vsnitt, kjørte vi løserne på intervllet [, ]. L oss si t vi kjører på intervllet [x, x + ]. Vi velger h slik t x n x + hn x + n h. 5

51 Hvis vi nå gjør n steg med eksplisitt Euler, smler vi i hvert steg opp en lokl feil omtrent lik Feilen etter n steg blir y (x i ) h. n i y (x i ) h, hvis vi ntr t y M på [x, x + ], er det rimelig å hevde t n i y (x i ) h Mnh M h h Mh. Vi sier derfor t eulers metode hr globl feil v størrelsesorden h. Teorem 9.6. Lokl globl feil for metodene: Metode Lokl feil Globl feil Eksplisitt Euler h h Implisitt Euler h h Trpesmetoden h h Heuns metode h h RK4 h 5 h 4 Vi skl ikke bevise dette teoremet, men nevner t bevisteknikken er den smme for lle metodene: tylorutvikle om x for å finne lokl feil, så se på hv som skjer etter n steg. Dette teoremet forklrer lngt på vei hv som skjedde i eksemplene i forrige vsnitt. Nå tr vi et pr eksempler der vi lr h. Eksempel 9.7. Vi kjører smme eksempel som i forrige vsnitt, men nå bruker vi Eulers eksplisitte metode for h., h. så videre. Resulttene er oppsummert i følgende tbell: h y n y().97448e e e e e 6 Dette eksemplet demonstrerer tydelig t feilen etter n steg er proporsjonl med h. På folkemunne sier mn gjerne t mn får en ekstr korrekt desiml hver gng mn tideler h. Eulers implisitte metode oppfører seg omtrent likt, så den hopper vi over. Eksempel 9.8. Trpesmetoden for h., h. så videre: h y n y() e e e e e Her er feilen etter n steg proporsjonl med h. På folkemunne sier mn gjerne t mn får to desimler hver gng mn tideler h. Heuns metode produserer omtrent den smme tbellen. Eksempel 9.9. RK4: h y n y().4568e e e e e 5 Hv skjedde her? Feilen etter n steg proporsjonl med h 4, ltså fire desimler for hver tideling v h, men bre for de første tre tidelingene. Når h hr vi nådd såklt mskinpresisjon. Mtlb regner bre med 6 desimler, dette setter en stopper for konvergensen. Eksempel 9.. RK4, men nå hr mtlb fått beskjed om å regne med desimler: h y n y() e e.6878e e e Tbellene til nå hr ttt en brøkdel v et sekund å produsere. Til smmenlikning tok denne her rundt ti minutter, pluss noen timer knoting for å finne ut v hvordn mtlb skl regne riktig med desimler. Presisjon koster! Stbilitet Hr metodene noen ndre egenskper? Eulers eksplisitte implisitte metoder ser til forveksling like ut, hr kkurt smme orden. Men de oppfører seg gnske forskjellig. Eksempel 9.. Vi kjører eksplisitt Euler på smme problem som over, men på intervllet [, ], h.9. Det er trukket rette linjer mellom eulerstegene, så det skl bli litt enklere å se hv som skjer Eksempel 9.. Vi kjører igjen på intervllet [, ], men nå med h.5. Den numeriske løsningen ser ut til å virre frem tilbke en del før den sikter seg inn på rett spor. Eksempel 9.. Intervllet [, ], men nå med h.. Hv den numeriske løsningen tenker på, er ikke godt å si, men noe fornuftig er det ihvertfll ikke. 5

52 .5 denne ulikheten blir innfridd kkurt i det h bikker. Kjører vi smme resonnementet på Euler implisitt, får vi y i+ ( + h) i+. I vårt tilfelle er h >, så det må være klrt t < <, ( + h) i+ følgelig konvergerer følgen mot for lle vlg v h. Anlysen vi hr gjort, klles stbilitetsnlyse, y y er et såklt testproblem. Vi får ikke ekskt informsjon om hvordn Eulers metode kommer til å oppføre seg for lle mulige differensillikninger, men vi kn få en mgefølelse llikevel. Vi skl ikke gå inn på en lengre diskusjon om stbilitetsnlyse, som er et forskningsfelt i seg selv, men nevne t stbilitetsproblemer er som regel betydelige for eksplisitte metoder, ikke-eksisterende for implisitte metoder. Eksempel 9.5. Vi prøver Heuns metode på [, ], med h. Som du ser, går det gnske dårlig Eksempel 9.4. Vi kn slå fst t eksplisitt Euler ikke fungerte, det ser ut som om det går glt fordi h er for stor. Vi prøver Euler implisitt på smme intervll, men med h. Det går riktig br Eksempel 9.6. Vi prøver RK4 på [, ], med h.. Det går ikke noe bedre Forklringen på hv som skjedde her, er gnske enkel. Eulers eksplisitte metode er, for eksemplet vi hr studert, y i+ y i hy i ( h)y i ( h) y i ( h) i+ y ( h) i+, med ndre ord en geometrisk følge. Siden gymnset hr du visst t denne følgen divergerer dersom h Mer om implisitte metoder Så hvorfor bør vi ikke lltid bruke implisitte metoder? Det er et komplisert spørsmål å svre på, men vi skl gjøre et forsøk i dette vsnittet. Vi begynner med et eksempel, der vi setter opp de forskjellige numeriske metodene. Eksempel 9.7. Vi skriver opp de forskjellige metodene for y y xy + x. Eksplisitt Euler: y i+ y i + h y i x i y i + x i 5

53 Eksempel 9.8. Vi løser med y y xy + x y() 5 y i+ y i + h y i+ x i+ y i+ + x i+. Under er løsningskurve beregnet med h. på intervllet [, ]. Fikspunktmetoden trengte med strtgjetning y i et sted mellom itersjoner for å nå mskinpresisjon i hvert steg. Med lvere h vil ntll itersjoner gå ned Imsplisitt Euler: Trpesmetoden y i+ y i + h Heuns metode y i+ y i + h y i+ x i+ y i+ + x i+ ( yi x i yi + y i+ x i+ y ) i+ + x i + x i+ yi+ y i + h y i x i yi + x i y i+ y i + h ( yi x i yi + y i+ x i+(y ) i+ ) + x i + x i+ RK4 k y i x i yi + x i ( yi + h k k ) ( ) ( xi + h yi + h k ) + ( ) x i + h ( yi + h k k ) ( ) ( xi + h yi + h k ) + ( ) x i + h k 4 (y i + hk ) (x i + h)(y i + hk ) + (x i + h) y i+ y i + h 6 (k + k + k + k 4 ). Jeg hr for RK4 beholdt prentesene for å prøve å beholde den visuelle likhetene med de generelle likningene som definerer metoden. Men det er strengt ttt ikke nødvendig. I dette eksemplet kn y i+ beregnes nlytisk for de implisitte metodene, men merk t dette fort kn bli en smule håpløst om likningene ikke er kvdrtiske i y i+, slik som her. Stndrdteknikken er d å slå til med en numerisk likningsløser. Vnligvis er fikspunkmetoden et greit vlg. Itersjonen y i+ y i + h y i+ x i+ y i+ + x i+ llerede er på formen y i+ g(y i+ ), dersom h er liten, blir gjerne g liten, d husker du fr tidligere t fikspunktmetoden konvergerer gnske kjpt Eksemplet over illustrerer et viktig moment. Koster det mnge flyttllsopersjoner å kjøre en metode til en gitt presisjon? Det hjelper ikke å h en metode som beregner lt til mskinpresisjon om metoden tr ett år å kjøre. Implisitte metoder er ofte robuste stbile, men de koster så mer å bruke. Systemer v differensillikninger Alle metodene gjennomgått til nå, fungerer like fint på systemer v differensillikninger. Husk fr M t høyere ordens differensillikninger kn skrives om til førsteordens systemer v differensillikninger, så vi trenger ikke lge egne metoder for dem. Eksempel 9.9. Differensillikningen for en pendel er y + sin y. Vi skriver denne om til et system ved å sette z y, slik t systemet blir y z z sin y Vi skriver nå opp metodene. Eksplisitt Euler: Imsplisitt Euler: y i+ y i + hz i z i+ z i h sin y i y i+ y i + hz i+ z i+ z i h sin y i+ 5

54 Trpesmetoden: 4 y i+ y i + h (z i + z i+ ) z i+ z i h (sin y i + sin y i+ ) Skjønner du disse her, klrer du nok Heun RK4 så. (Alle k-ene blir vektorer med to komponenter.) Merk t mn på de implisitte metodene må kjøre en eller nnen flerdimensjonl likningsløser for å finne (y i+, z i+ ) i hvert steg. Eksempel 9.. Lotk-Volterr-systemet y y( z) y().5 z z(y ) z().5 beskriver to dyrepopulsjoner, der den ene driver med predsjon på den ndre. Dersom det er mnge mus (y) i fjellet, får rev mår (z) rikelig med mt til ungene sine, men er det få mus, vokser ikke så mnge unger opp. Vi løser dette systemet med eksplisitt Euler, får figuren under Eksempel 9.. Nå kjører vi implisitt euler med h., får får følgende figur. Siden systemet strter i (.5,.5), ser vi t dette er en inndgående spirl Bevring v viktige størrelser Nå skl vi t for oss nok en instns v steg tre: hr metodene noen ndre egenskper som er verdt å snkke om? Det kn være lurt å h følgende eksempel i bkhodet. L oss si t du ønsker å gjøre beregninger på plnetenes gng i solsystemet. Du lærte på gymnset t i solsystemet er energien for lle prktiske formål bevrt, ihvertfll på kort sikt. Plnetenes bevegelser følger Newtons grvitsjonslov, som for solsystemet vårt blir et differensillikningssystem med tre likninger per plnet. En numerisk metode for å simulere plnetenes gng rundt solen, bør sørge for å bevre energien til hver plnet, ellers kn plnetene kjøre i numeriske spirler ut i verdensrommet. Eksempel 9.. I forrige eksempel løste vi Lotk- Volterr med eksplisit euler, h. gv en pen figur. Hvis prøver med h., får vi figuren under. Systemet strter i (.5,.5), så vi ser t Euler lger en utdgående spirl. Eksempel 9.. Trpesmetoden klrer visst å beholde det pene periodiske svingemønsteret, selv med h

55 Hvorvidt figurene i de tre eksemplene over ble spirler eller lukkede kurver, hr ingenting med differensilikningene å gjøre; det er kun forskjeller i de numeriske metodene som slår ut her. Løsningene skl definitivt være lukkede bner, vi slår oss til ro med t trpesmetoden klrer noe som ikke eksplisitt implisitt euler klrer. Vi merker oss så t numeriske metoder for differensilliknigner er mer enn bre presisjon desimler. Dette er for øvrig så et forskningsfelt som klles geometrisk integrsjon - studiet om rtige fenomener i numerisk løsning v differensillikninger. Eksempel 9.4. Vi tr et siste eksempel. Symplektisk Euler er definert ved følgende skjem y i+ y i + hy i ( z i ) z i+ z i + hz i (y i+ ), produserer en tilsvrende pen figur. Symplektisk euler bevrer nemlig noe som klles den symplektiske strukturen Eksempel 9.5. Som bsolutt siste eksempel (jeg lover), tr vi eksplisitt Euler med h., men for x [, ]. Dette er litt for å demonstrere t det går glt selv med små h (det spiller ingen rolle hvor liten h er her, det går åt sken unsett). Og litt fordi figuren vr så vkker å skue. I eksempel 9. vr ikke intervllet lngt nok til t spirliseringen kom til uttrykk i figuren. Men den er der. 55

56 Metoder for prtielle differensillikninger Vi skl lge numerisk metoder for vrmeligningen med rndkrv u t u xx u(, t) u(, t) u(x, ) f(x). Metodene vi skl lge er bsert på ting vi hr gjort tidligere, vrmelikningen er kun en illustrsjon. Det er reltivt lett å konstruere liknende metoder for ndre likninger med de teknikkene vi skl gå gjennom for vrmelikningen. Gitteret Når vi skl løse en prtiell differensillikning, må vi holde styr på to gitre - et i x-retningen, et i t-retningen. Vi skl finne pproksimsjoner til løsningen u i lle gitterpunktene. Vi gitrer opp intervllet [, ] på x-ksen med gittervstnden h, nummererer punktene slik t x x n. Den positive t-ksen gitrer vi opp med gittervstnden k, nummerer slik t t. som vi kjenner igjen som et system v ordinære differensillikninger. Dette systemet hr n likninger, for i u u n kjenner vi; disse er gitt v rndbetingelsene. Diskretisering i t Nå kn vi løse systemet med en ønsket metode fr forrige kpittel, vi skl t i betrktning tre vlg. Etter diskretiseringen i t, skriver vi pproksimsjonen i punktet (x i, t j ) som u ij : u(x i, t j ) u ij De tre metodene vi skl bruke, er eksplisitt Euler, implisitt Euler, trpesmetoden. De korresponderende skjemene for vrmelikningen blir: Eksplisitt: u i,j+ u ij k Implisitt: u i+,j u i,j + u i,j h t u i,j+ u ij k u i+,j+ u i,j+ + u i,j+ h t j jk Diskretisering i x (x i, t j ) (ih, jk) x i ih x Vi setter først opp en tilnærming for u xx (x, t), bsert på den ndre ordens endelige differnseformelen for x: u xx (x, t) u(x + h, t) u(x, t) + u(x h, t) h Mn kn fint bruke høyere ordens differnseformler, men det skl ikke vi gjøre. Vi kn nå tenke t vi ersttter u(x, t) med n+ envrible funksjoner u i (t), som beskriver temperturendringen i hvert sitt punkt x i på stngen: u xx (x i, t) u i+(t) u ij (t) + u i (t) h, Nå setter vi inn dette uttrykket i vrmelikningen: u t (x i, t) u xx (x i, t) u i+(t) u ij (t) + u i (t) h, Siden u i kun er en funksjon v t, psser det å skrive u i(t) u i+(t) u ij (t) + u i (t) h, x Crnk-Nicholson: u i,j+ u ij k u i+,j u i,j + u i,j h + u i+,j+ u i,j+ + u i,j+ h Teorem.. Det explisitte implisitte skjem er v orden i t, v orden i x. Crnk-Nicolson er v orden i begge vrible. Beviset er en gnske hårete vrint v rgumentet for ordenen til eksplisitt Euler i forrige kpittel. Hver v disse skjemene hr sine fordeler, vi skl behndle dem i tur orden. Eksplisitt skjem Det eksplisitte skjemet u i,j+ u ij k u i+,j u i,j + u i,j h hr egentlig bre en fordel: det er så lett å prrmmere opp. Vi løser for u i,j+, får u i,j+ u ij + k h (u i+,j u i,j + u i,j ) Nå er det vnlig å tegne opp noe som klles stensilen. Dette er en figur som illustrerer hvilke gitterpunkter som er involvert i ligningen mn bruker for å beregne nye pproksimsjoner. 56

57 t j t Implisitt skjem Problemet med det eksplisitte skjemet er t det går til h... med mindre k/h < /, dette gjør t du må h veldig tett mellom punktene t-ksen. Akkurt som for ordinære differensilliknigner, kn vi bøte på dette med å bruke implisitt skjem. Det implisitte skjemet skriver vi ( + kh ) u i,j+ k h u i+,j+ k h u i,j+ u ij. x i x x Stensilen er Ant t du hr beregnet u ij for lle i opp til med en bestemt j. Vi kn d enkelt beregne u i,j+ for lle i ved å bruke formelen. For å nlysere mer, må vi sette opp et mtrisevektorprodukt som beskriver itersjonen. Vi definerer u j u j u j. u n,j u n,j Det eksplisitte skjemet kn skrives kompkt som t j t x i x x der u j+ (I k h A)u j A Det kn vises t denne mtrisen hr n forskjellige egenverdier gitt ved λ k 4 sin kπ n Egenverdiene til er dermed gitt ved for k n. I k h A 4 k kπ sin h n. Dersom k h <. går dette veldig br, for lle egenverdiene er mellom. D vil u j+ (I k h A)u j I hver tidssteg må vi løse et lineært likningssystem (I + k h A)u j+ u j der A er den smme mtrisen som i sted. Egenverdiene til (I + k h A) er + 4 k kπ sin h n, som åpenbrt er større enn unsett hv k h er. Dermed vil egenverdiene til (I+ k h A) lltid være mindre enn, følgelig vil skjemet konvergere mot unsett. Crnk-Nicolson Crnk-Nicolson skriver vi u i,j+ + k h ( u i+,j+ + u i,j+ u i,j+ ) Stensilen er t u ij k h ( u i+,j + u i,j u i,j ). være en kontrksjon, konvergere mot et fikspunkt. Dersom k h vil egenverdiene sende u i mot uendelig, dette er ikke oppførsel vi ønsker fr et numerisk skjem for vrmelikningen. Vi vet jo t temperturen skl synke mot i denne situsjonen! Dette er gnske restriktivt. Knskje noen ndre skjem er enklere å h med å gjøre. t j x i x x 57

58 Også her blir det et lineært ligningssystem (I + k h A)u j+ (I k h A)u j å løse på hvert tidssteg. Det kn vises t Crnk- Nicolson er en stbil metode for vrmelikningen, men det dropper vi. Lplces likning Vi kn så sette opp et numerisk skjem for Lplces likning u xx + u yy, på kvdrtet [, ] [, ] med rndkrv u(x, ) u(, y) u(, y) u(x, ) f(x). Vi gitrer opp på følgende vis: y y der B B B A B B y j jh (x i, y j ) x i ih x x Den første mtrisen i uttrykket for A er en såklt blokkdigonl mtrise, den ndre mtrisen hr to smmenhengende super- subdigonler med - i lle komponenter, der superdigonlen begynner i rd n, subdigonlen begynner i kolonne n. Under er et plot v en løsning der f(x) sin πx. bruker den kjente kjære differnseformelen u xx (x, t) u(x + h, t) u(x, t) + u(x h, t) h i både x y, slik t vi får skjemet 4u i,j u i+,j u i,j u i,j+ u i,j. Nå er u kjent på sidekntene til kvdrtet, slik t det er kun de indre gitterpunktene som gir opphv til likninger ukjente. L oss si t det er n indre gitterpunkter i hver koordintretning, slik t ntll likninger ukjente blir (n ). Vi orgniserer u ij i en vektor på formen u u. u n, u,. u n, u,. u n,n får følgelig et likningssystem på formen Au f Vrmelikningen på en plte Hvis mn først hr forstått hvordn lplces likning diskretiseres, er det ikke så vnskelig å forstå hvordn mn diskretiserer vrmelikningen i to romlige dimensjoner. Temperturen i plten er gitt ved funksjonen u(x, y, t), men nå tillter vi t temperturen vrierer med tiden, problemet vi skl løse, er med rndkrv initilkrv u t u xx + u yy u(, y, t) u(, y, t) u(x,, t) u(x,, t) f(x) u(x, y, ) g(x, y). Gitter i x y blir det smme som for lplces likning, mens k er tidssteget. Vi lr telleren i tid være 58