Karl Erik Sandvoll m.fl. Sigma1. Helse- og sosialfag. Gyldendal undervisning

Transkript

1 Karl Erik Sandvoll m.fl. Sigma1 Helse- og sosialfag Gyldendal undervisning

2 # Gyldendal Norsk Forlag AS, utgave, 1. opplag Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for det yrkesfaglige utdanningsprogrammet teknikk og industriell produksjon. Printed in Norway by PDC Tangen, 2006 ISBN 13: ISBN 10: Redaktør: Ellen Semb Bilderedaktør: Sissel Falck Design: Gamma grafisk Vegard Brekke og Hild Mowinckel Sats og layout: Gamma grafisk Vegard Brekke, PrePress as Figurer: Gamma grafisk Vegard Brekke, forfatterne Omslagsdesign: Hild Mowinkel Omslagsillustrasjon, omslagsbilde: Getty Images Bilder, illustrasjoner: Illustratører: Anja Ruud: side 14, s. 33, s. 38 n.t.v., s. 58, s. 71, s.78 t.v., s. 82, s. 84, s. 141, s. 159 t.v., s.164 n.t.h., s. 167 t.v., s. 197, s. 199, s. 203, s. 209, s. 218, s. 222, Bjørn Norheim: s. 11, s. 16, s. 17, s. 20 t.v., s. 24, s. 31 m., s. 35 t.v., s. 36, s. 42 ø.t.h., s.52-55, s. 57 n.t.v., s. 69, s. 74, s. 75, s. 79, s.139 n., s.152 n., s.161 ø.t.h., s.164 n.t.v., s. 166 t.h.m. Bilder og øvrige illustrasjoner: Side 4: Ole Moksnes AS, s. 8: Peter Till/Getty Images, s. 12: Scanpix, s. 13: Corbis/Scanpix, s. 18: ø. Ole Moksnes AS, n. George Widman/Scanpix, s. 19: Jason Reed/Scanpix, s. 22: Ørn E.Borgen/Scanpix, s. 29: t.v. CERN/Science Photo Library/GV-Press, t.h. Dylan Martinez/Scanpix, s. 32: GBA/Photodisc, s. 44: Sverre A. Børretzen/Scanpix, s. 50: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 51: Stanley Brown/Getty Images, s. 61: Scanpix, s. 65: Ole Moksnes AS, s.74: ø.t.v. Espen Sjølingstad Hoen/Scanpix, s. 78: t.h. John Lund/Getty Images, s. 80: Hugh Sitton/Getty Images, s. 96: Ole Moksnes AS, s. 100: Berit Roald/Scanpix, s. 101: Wenche Dypbukt, s. 102: Anne Langdalen, s. 104: Daly & Newton/Getty Images, s. 108 n., 109 ø.t.v.: Ulf Carlsson, s. 120 n.t.v., s. 122 n.t.v.: John Arne Eidsmo, s. 128: Jason Reed/Scanpix, s. 138: #Trondheim kommune, Kart-og oppmålingskontoret, s. 139: ø.t.h. Ole Moksnes AS, s. 142 ø.t.h. og s. 143 n.t.h.: #2006 The LEGO Group, s. 148 og s.163 n.t.h.: M.C.Escher s «Symmetry Drawing E18» #2006 The M.C.Escher Company- Holland. All rights reserved. s.159: ø.t.h. Unni Brakestad, n.t.h. # Casterman/Distr. by PIB Copenhagen 2006, s. 160: Heimdal Eiendomsmegling, s. 161: ø.t.v. Ole Moksnes AS, s. 165: GBA, s. 168: #Succession Pablo Picasso/BONO Pablo Picasso: Violin and Grapes, New York Museum of Modern Art (MoMA). Olje på lerret, 50,6 x 61 cm. Mrs. David M.Levy Bequest #Foto SCALA, Firenze, s. 171: Knut Falch/Scanpix, s. 172, 173, 174: Ole Moksnes AS, s. 174 n.: E.H.Shepard Copyright under the Berne Convention.# by Reed International Books Ltd., s. 175: GBA/Photodisc, s. 176: Liv Hegna/ Scanpix, s. 178: Ole Moksnes AS, s. 179: Ragnar Axelsson/Scanpix, s. 186, 190: Ole Moksnes AS, s. 194: Adam Gault/Getty Images, s. 196: Ole Moksnes AS, s. 204: Trygve Indrelid/Scanpix, s. 207: GBA/Photodisc, s. 214: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 226, 227: Diplom-is. Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no

3 FORORD Denne matematikkboka er skrevet for elever som har valgt det yrkesfaglige utdanningsprogrammet for teknikk og industriell produksjon. Boka er en alt-i-ett-bok som inneholder lærestoff og et rikt utvalg av oppgaver. Vi har lagt stor vekt på å gi boka en ryddig struktur. Hvert delemne med forklarende tekst, eksempler og aktiviteter er samlet i oppslag over en dobbeltside. På neste side ser du hvordan dette er bygd opp. Delemnene er laget ut fra en helhetstanke, der tekst, eksempler, figurer og aktiviteter til sammen skal hjelpe deg til å nå målene i læreplanen. Mange oppslag inneholder en utfordring som kan være med på å gjøre faget mer spennende. Her kan du også få utfordret din egen forståelse. Kapitlene blir innledet med læreplanmål og en kort, motiverende tekst. Etter oppslagene i hvert kapittel presenterer vi et større sammensatt eksempel. Det skal hjelpe deg til å sette delkunnskapen inn i en helhet. Deretter følger et sammendrag og test-deg-selv-oppgaver. Til slutt i hvert kapittel finner du flere graderte øvingsoppgaver sortert etter emne, og blandede oppgaver fra hele kapitlet. Denne boka skal hjelpe deg til å løse aktuelle matematiske problemstillinger innen fagområdet teknikk og industriell produksjon, og i din hverdag i og utenfor skolen. Læreplanmålene sier at du skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster, og at du skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag- og samfunnsområder. Vi har i denne boka valgt å ha med et bredt spekter av oppgaver, alt fra tradisjonelle regneoppgaver til oppgaver som krever andre løsningsstrategier. Miniprosjektene er et eksempel på slike oppgaver. Det kan være å utforske matematiske problemer eller finne informasjon i andre bøker og på nettet. Denne informasjonen må du bearbeide og sammenfatte, for så å presentere for andre. Vi håper dette skal føre til faglige samtaler om matematikk gode muntlige ferdigheter er en forutsetning for å lære. Vi ønsker deg velkommen til Nettstedet inneholder sider både for elever og lærere. Elevsidene presenterer blant annet interaktive oppgaver og fordypningsstoff. På lærersidene finnes det forslag til undervisningsopplegg, tempoplan, omtale av kapitler, prøveforslag og annet. I læreplanen heter det: «Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.» Vi håper dere griper mulighetene som boka og nettstedet gir, slik at matematikkopplæringen kan foregå på en aktiv måte. Vi vil takke konsulenter og andre bidragsytere for konstruktive innspill og gode råd underveis. Oslo, mars 2006 Wenche Dypbukt Silja Mustaparta Snorre Evjen Bjørn Fosdahl Arne S. Kaldahl Rubi Skøyum Karin Øiseth FORORD 3

4 4

5 5

6 INNHOLD Kapittel 1 M LING OG BEREGNINGER 1 Sånn cirka avrunding, overslag og nøyaktighet Målenheter for lengde Omkrets hele veien rundt Kappe- og klippelengder Flatemål Areal av enkle figurer Areal av sammensatte figurer Målenheter for massetetthet, vekt og volum Megastore og mikroskopiske tall Sammensatt eksempel SAMMENDRAG TEST DEG SELV Òvingsoppgaver Kapittel 2 REGNING OG FORMLER 1 Problemløsing husk å være lur! Regnerekkefølge Alle de små reglene formelregning Formler for skjærhastighet og omdreiningstall Lag dine egne formler Forholdstall og brøker Veien om Sammensatte eksempler SAMMENDRAG TEST DEG SELV Òvingsoppgaver Kapittel 3 PROSENT 1 Hvor mange prosent er dette? Prosentfaktor hva er det? Vekstfaktor sparer deg for arbeid Når grunnlaget er ukjent Prosentpoeng ikke det samme som vanlig prosentregning Sammensatt eksempel SAMMENDRAG TEST DEG SELV Òvingsoppgaver Kapittel 4 GRAFISKE FRAMSTILLINGER OG PROPORSJONALITET 1 Grafisk presentasjon Kan du stole på grafiske framstillinger? Vi finner sammenhenger grafisk Proporsjonale størrelser Omvendt proporsjonale størrelser Sammensatt eksempel SAMMENDRAG TEST DEG SELV Òvingsoppgaver INNHOLD

7 Kapittel 5 MER OM M LING OG AREAL 1 Pytagoras og sidelengder Omkrets og areal ved hjelp av Pytagoras setning Formlikhet Tangens og dreiing av konuser Målestokk Perspektivtegning Arbeidstegninger Mangekanter Tesselering med regulære mangekanter Tesselering med andre grunnfigurer Sammensatt eksempel SAMMENDRAG TEST DEG SELV Òvingsoppgaver Kapittel 6 VOLUM OG OVERFLATE 1 Rommål hvor stort er innholdet? Volum av prismer og sylindrer Volum av kjegler, kuler og pyramider Volum av sammensatte figurer Overflata av enkle og sammensatte figurer Sammensatt eksempel SAMMENDRAG TEST DEG SELV Òvingsoppgaver Kapittel 7 ÒKONOMI 1 Indekser da kroneisen kostet en krone Indeksformelen leses like godt bak fram Gir mer penger alltid bedre råd? Reallønn og kroneverdi Lønn som fortjent? Timelønn og akkord Provisjon, bonusordninger og frynsegoder Hva har vi å rutte med? Lønn, feriepenger og skatt Vi spleiser på godene skatter og avgifter Sparing forsiktig eller vågal? Lån røverkjøp eller landeveisrøveri? Forbruksmuligheter kjøp nå, betal etter hvert! Budsjett og regnskap viktige redskap i planlegging Sammensatt eksempel SAMMENDRAG TEST DEG SELV Òvingsoppgaver Fasit Stikkord L replan i matematikk INNHOLD 7

8

9 1 M LING OG BEREGNINGER

10 1.1 SÔnn cirka ^ avrunding, overslag og nöyaktighet Du skal l re ^ Ô avgjöre nôr det er behov for nöyaktighet i matematiske beregninger, og nôr vi kan gjöre overslag ^ Ô runde av desimaltall med ulik grad av nöyaktighet Tallet (pi) har et uendelig antall desimaler, tilsynelatende uten noe mønster. Japaneren Hiroyuki har lært seg de første desimalene utenat! Men trenger vi alltid å være så nøyaktige? Tenk deg at du er på IKEA og kjøper bilder. Du har dette i handlekurven: «Rød rose»: «Epler»: «Solsikke»: kr 167;50=kg kr 218;50=kg kr 107;50=kg Du har en femhundrelapp på deg. Hvordan kan du raskt regne ut i hodet om du har nok penger? Knepet er å gjøre et overslag, det vil si at du runder av tallene. Tabellen i margen illustrerer avrundingsreglene for desimaltall. Dersom vi skal runde av til nærmeste hele tall, ser vi på første desimal. Er denne desimalen 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av nedover. Skal vi runde av til én desimal, ser vi på andre desimal på samme måte, og så videre. TALLET er definert som omkretsen av en sirkel dividert med diameteren ¼ O=d.Vanligvis nöyer vi oss med to desimaler og skriver 3,14. Avrunding av 7,2356 nærmeste titall 10 nærmeste heltall 7 1 desimal 7,2 2 desimaler 7,24 3 desimaler 7,236 EKSEMPEL 1 a) Hvordan kan du gjøre et raskt overslag for å finne ut om bildene i eksemplet ovenfor koster mer enn 500 kroner? b) Du ønsker å ramme inn «Solsikke» på nytt. Bildet har form som et rektangel med bredden b ¼ 37;43 cm og høyden h ¼ 62; 56 cm. Hvor mange centimeter rammeverk bør du bestille? Løsning: a) Vi runder av oppover til nærmeste titall og legger sammen: 167; og 218; og 107; kr 170 þ kr 220 þ kr 110 ¼ kr 500 Siden vi har rundet av alle prisene oppover, er 500 kroner nok! b) Vi runder av til én desimal og legger sammen: 37;43 cm 37;4 cm og 62;56 cm 62;6 cm 2 b þ 2 h ¼ 2 37;4 cmþ 2 62;6 cm¼ 200;0 cm Er 200 cm nok? Burde vi runde av annerledes? 10 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER

11 Er det noen forskjell på tallene 7;2 mmog7;20 mm? Ja, det er det. Når vi oppgir en lengde som 7;20 mm, vil det si at vi har målt den med større nøyaktighet enn om vi oppgir den til å være 7;2 mm. Når vi oppgir lengden til å være 7;2 mm, er det underforstått at lengden ligger mellom 7;15 mm og 7;24 mm. Når vi oppgir lengden til å være 7;20 mm, er det underforstått at lengden ligger mellom 7;195 mm og 7;204 mm. Toleransen er avviket fra det målet vi ønsker. MÅLENØYAKTIGHET Meterstokk: 1 mm Målebånd: 1 mm Stålmålelinjal: 0,5 mm Skyvelære: 0,1 mm Mikrometer: 0,01 mm Måleur: 0,01 mm Mikrokator: 0,001 mm EKSEMPEL 2 a) Hva er det største og det minste tillatte målet på denne gjenstanden? b) Hvor stor er toleransen? Løsning: a) Største mål: 150 þ 3 ¼ 153 mm Minste mål: ¼ 147 mm b) Toleransen er 3 þ 3 ¼ 6mm. 150 mm ± 3 mm AKTIVITETER Oppgave 1.1 Rund av til én desimal: a) 1,23 b) 1,46 c) 6,96 d) 19,07 e) 4,555 f) 3,849 Oppgave 1.2 Rund av til to desimaler: a) 7,235 b) 11,464 c) 744,968 d) 19,079 e) 20,555 f) 13,445 Oppgave 1.3 Du er i dagligvarebutikken og handler mat. I handlekurven har du 1 purreløk: kr 9,50 3 liter melk à kr 9,00 per liter 1 brød: kr 14, g kjøttdeig: kr 40,50 Du står ved kassa og har en hundrelapp i lomma. Gjør overslag og bruk hoderegning for å finne ut om du unngår en pinlig situasjon. Oppgave 1.4 Klara skal regne ut jordas omkrets rundt ekvator. Jordas radius ved ekvator er 6378 km. Klara runder av til 6400 km før hun regner ut omkretsen. Hvor stort avvik fra det korrekte svaret, målt i kilometer, får hun på grunn av avrundingen? Oppgave mm ± 2 mm a) Hva er det største og det minste tillatte målet på denne gjenstanden? b) Hvor stor er toleransen? c) Hvilket måleverktøy kan du bruke her for å få god målenøyaktighet? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 11

12 1.2 MÔlenheter for lengde Du skal l re ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for lengde Den kinesiske mur ble påbegynt rundt 300 f.kr. Muren er om lag m lang og ca cm høy på sitt høyeste. Hvordan kan vi gjøre om lengden til kilometer og høyden til meter? PREFIKSER kilo ¼ 1000 hekto ¼ 100 deka ¼ 10 desi ¼ 1 10 centi ¼ milli ¼ Tabellen viser sammenhengen mellom de vanligste målenhetene for lengde: mil kilometer hektometer dekameter meter desimeter centimeter millimeter mil km m dm cm mm ,1 0,01 0,001 Vi gjør om fra centimeter til meter ved å dele med 100. Det er det samme som å flytte kommaet to plasser mot venstre. Den kinesiske mur er altså rundt 1500 cm ¼ 1500 m ¼ 15 m høy. 100 Vi gjør om fra meter til kilometer ved å dele med Det er det samme som å flytte kommaet tre plasser mot venstre. Den kinesiske mur er m ¼ 6000 km lang. LENGDEMÅL Meter er grunnenheten for lengde. Hektometer og dekameter er sv rt lite brukt. 1mil svarer til10 km. EKSEMPEL 3 a) Hvor mange meter er 120 cm? b) Hvor mange meter er 2,7 km? Løsning: a) Vi flytter kommaet to plasser mot venstre eller deler med 100: 120 cm ¼ 1;2 m 120 cm ¼ m ¼ 1;2 m b) Vi flytter kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000: 2;7 km 2;700 km ¼ 2700 m 2;7 km¼ 2; m 2700 m OMGJØRING AV ENHETER NÔr vi regner om fra större til mindre môlenheter, bruker vi ofte -tegnet. Det gjör vi fordi större enheter gjerne inneholder usikkerhet. 12 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER

13 EKSEMPEL 4 Den norske løperkongen Mensen Ernst tilbakela i 1832 distansen Paris Moskva på 14 dager. I luftlinje måler denne distansen om lag 2500 km. a) Hvor mange meter svarer det til? b) Hvor mange mil løp Mensen Ernst? c) En engelsk mile er 1609 m. Hvor lang er distansen Paris Moskva i miles? Løsning: a) Vi bruker sammenhengen mellom enhetene for lengde: 2500 km ¼ meter meter b) En mil svarer til 10 km: 2500 km ¼ 2500 mil ¼ 250 mil 10 LØPERKONGEN Mensen Ernst ble födt i Sogn og Fjordane i1795 og döde i Egypt i1843. PÔ1800-tallet ble han beundret for sine löperprestasjoner over hele Europa. Dette er like langt som Norges grense mot Sverige, Finland og Russland til sammen! c) Vi gjør om fra meter til miles: m ¼ miles 1553;76 miles 1554 miles 1609 AKTIVITETER Oppgave 1.6 Gjør om til meter: a) 234 cm b) 170 mm c) 144 dm d) 2,047 km e) 0,2 mil f) 4,5 miles Oppgave 1.10 Obelisken på Petersplassen i Vatikanet er om lag 25 m høy. Oppgave 1.7 Monolitten i Vigelandsparken i Oslo er omtrent 17 m høy. a) Hvor høy er monolitten i centimeter? b) Tommer er et annet lengdemål. En tomme svarer til 2;54 cm. Hvor høy er monolitten omregnet i tommer? Oppgave 1.8 Gjør alle mål om til centimeter og regn ut: a) 1;2 mþ 2;7 dmþ 320 cm þ 30 mm b) 200 mm þ 0;15 m þ 5cm c) 3;5 tommer þ 2dmþ 40 mm Oppgave 1.9 Gjør alle mål om til meter og regn ut: a) 18 dm þ 76 cm þ 40 mm b) 3 dm 4;5 tommer þ 12 cm þ 30 mm c) 4 km þ 1;243 miles 990 dm a) Hvor høy er obelisken omregnet i fot? (1 fot ¼ 0,3048 m) b) Hvor høyt er dette kunstverket målt i tommer? c) Hvor mange tommer er det i en fot? Utfordring 1.11 a) Hvor mange kilometer løp Mensen Ernst i gjennomsnitt per dag på turen Paris Moskva? b) Vi antar at han løp 11 timer per dag. Finn gjennomsnittsfarten til Ernst i kilometer per time. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 13

14 1.3 Omkrets ^ hele veien rundt Du skal l re ^ hvordan du kan regne ut omkretsen av enkle geometriske figurer EKSEMPEL 5 Ola skal legge beslag rundt en treplate med lengden 400 mm og bredden 220 mm. Hvor mange millimeter beslag trenger han? Løsning: Tabellen i margen viser formler for omkretsen av noen enkle geometriske figurer. Omkretsen blir O ¼ 2 l þ 2 b ¼ mm þ mm ¼ 1240 mm HUSK NÔr du skal regne ut omkretsen av en geometrisk figur, mô alle lengdene ha samme enhet! Firmaet Tummelumsk skryter av at de har produsert tivolimarkedets mest spektakulære pariserhjul, med en radius på 21 meter. Rektangel b l O = 2l + 2b Kvadrat s s O = 4s Parallellogram s g Hvor mange meter har du beveget deg etter en runde med dette pariserhjulet? Enn etter tolv runder? For å regne ut det må vi finne omkretsen av hjulet. Tabellen i margen viser formler for omkretsen av noen enkle geometriske figurer. Siden et pariserhjul alltid har form som en sirkel, blir omkretsen O ¼ 2 r ¼ 2 21 m ¼ 131;947 m 132 m Her runder vi av svaret. Hvorfor det, tror du? Etter tolv runder med dette hjulet har du beveget deg 12 O ¼ m ¼ 1584 m 1;6 km O = 2s + 2g Trapes c d b a O = a + b + c + d Trekant c b a O = a + b + c Sirkel r O = 2pr Vi gjør om til kilometer og runder av grovere enn ovenfor. Tenk gjennom hvorfor. 14 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER

15 EKSEMPEL 6 Klara skal sette på en reim som skal gå rundt to like store hjul, se figuren. Hvor lang må reima være? 180 mm Løsning: Klara ser at reima går langs et rektangel med en halvsirkel i hver ende. Til sammen utgjør de to halvsirklene en hel sirkel. Omkretsen av reima blir derfor summen av omkretsen av en sirkel og av rektanglets to langsider: O ¼ 2 l þ d ¼ mm þ 180 mm ¼ 1285;49 mm 1286 mm Her runder Klara av oppover. Hvorfor det? Hun tar ikke med kortsidene på rektanglet i omkretsen av reima. Studer figuren og finn ut hvorfor! 360 mm AKTIVITETER Oppgave 1.12 Regn ut omkretsen av figurene: a) 17 m b) c) 13 cm e) g) 26 cm 26 cm 17 m r = 12,40 dm d = 52 m 13 cm h) d) 28 mm 21 mm 19 mm f) 37 cm 22 cm r = 35 mm Oppgave 1.13 Hvor stor er omkretsen av en sirkel med a) r ¼ 2,18 cm b) r ¼ 18 dm c) d ¼ 0,637 km i) 22 cm 7 dm Oppgave 1.14 Regn ut omkretsen i centimeter av et rektangel med a) b ¼ 20 cm og l ¼ 40 cm b) b ¼ 30 cm og l ¼ 17 dm c) b ¼ 4 fot og l ¼ 2 tommer Oppgave 1.15 Jordas radius ved ekvator er 6378 km. Hvor lang reisevei er det mellom to punkter på ekvator som ligger nøyaktig på hver sin side av jorda? Gi svaret i mil. Oppgave 1.16 Ernst er nesten ferdig med oppussingen og skal legge gulvlister i stua. Rommet har form som et rektangel med lengden 6 m og bredden 4 m. På den ene kortveggen er det en dør med bredden 70 cm inn til kjøkkenet. På den ene langveggen er det en tilsvarende dør ut mot gangen. Hvor mange meter listeverk bør Ernst kjøpe? Utfordring 1.17 En rull med hønsenetting er rullet som en sylinder med lengden 80 cm og diameter lik 20 cm. a) Hvor stor er omkretsen av rullen? b) Omtrent hvor mange runder er nettingen tvinnet rundt sylinderen når lengden av hønsenettingen er 5 m? c) Tenk gjennom hvilke feilkilder det er i svaret du fikk i b. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 15

16 1.4 Kappe- og klippelengder Du skal l re ^ Ô regne ut klippelengden pô plater som skal knekkes Når vi knekker et arbeidsstykke, strekker det seg i knekkpunktet: For plater som er tynnere enn 4 mm, regner vi ut klippelengden etter den innvendige knekken. For plater tykkere enn 4 mm er den innvendige strekken så stor at vi må ta den med når vi regner ut klippelengden. EKSEMPEL 7 Regn ut klippelengden til denne plata, som er 2 mm tykk. Målene på figuren er innvendige mål. 30 mm 80 mm 2 Løsning: Plata er tynnere enn 4 mm, så klippelengden er summen av innvendige mål. Klippelengden blir 30 mm þ 80 mm ¼ 110 mm. EKSEMPEL 8 Du skal knekke en platebit med tykkelsen t ¼ 5mm i90 vinkel. Knekkradien R skal være 10 mm, og de utvendige målene skal være 80 mm þ 80 mm. Hvor lang må den totale klippelengden være? Løsning: Du ser på arbeidstegningen at lengden av plata er satt sammen av to rette partier og en bue. De rette partiene har lengden 80 mm ðt þ RÞ ¼80 mm ð5 þ 10Þ mm ¼ 80 mm 15 mm ¼ 65 mm 80 mm R = 10 mm 80 mm 5 mm Lengden av buen er omkrets 4 ¼ 2 r 4 ¼ r 2 Som radius i buen bruker du radien som går midt i plata: t r ¼ 10 mm þ t 2 ¼ 10 mm þ 5 2 mm ¼ 10 mm þ 2;5 mm¼ 12;5 mm r R 12;5 mm Buens lengde er ¼ 19;6 mm 2 Total klippelengde: 65 mm þ 19;6 mmþ 65 mm ¼ 149; 6mm 65 mm 19,6 mm 65 mm 5 mm 16 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER

17 AKTIVITETER Oppgave 1.18 Oppgave mm 60 mm 3 mm 40 mm R = 10 mm 8 mm 120 mm Du skal knekke en 3 mm tykk plate som vist på figuren. Regn ut klippelengden. Oppgave mm 70 mm 60 mm 40 mm 2 mm Du skal knekke en 2 mm tykk plate som vist på figuren. Regn ut klippelengden. Oppgave 1.20 En 8 mm tykk plate skal knekkes 90. Knekkradien R skal være 10 mm, og de utvendige målene skal være 40 mm þ 120 mm. Regn ut klippelengden. Oppgave 1.22 Dersom du hadde regnet ut platelengden i eksempel 8 ved å legge sammen utvendige mål (80 mm þ 80 mm), hvor mye for lang ville plata blitt? Oppgave 1.23 Lengden av en sirkelbue på 90 er en firedel av omkretsen. a) Hvor stor del av omkretsen utgjør 45? b) Hvor stor del av omkretsen utgjør 60? c) Hvor stor del av omkretsen utgjør 120? R = 10 mm 6 mm En 6 mm tykk plate skal knekkes 90 med en innvendig radius på 10 mm. a) Hvor stor blir den utvendige radien? b) Hvor stor blir nøytralradien (radien midt i plata)? c) Hvor langt blir buestykket? Utfordring 1.24 Du har samme situasjon som i eksempel 8, men skal knekke platebiten i 60 vinkel. Platetykkelsen t er 5 mm, knekkradien R skal være 10 mm, og de utvendige målene skal være 80 mm þ 80 mm. Hvor lang må den totale klippelengden være? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 17

18 1.5 FlatemÔl Du skal l re ^ at areal er et môl for störrelsen av en flate ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for areal En flate er todimensjonal og har ingen tykkelse. En firkantet flate er bare representert ved lengden og bredden. Til å oppgi størrelsen av en flate bruker vi betegnelsen areal. Tabellen viser sammenhengen mellom ulike målenheter for areal. kvadratkilometer kvadrathektometer kvadratdekameter kvadratmeter kvadratdesimeter kvadratcentimeter kvadratmillimeter km 2 m 2 dm 2 cm 2 mm ,01 0,0001 0, Når vi skal gjøre om fra m 2 til dm 2,måvi gange med 100. Det er det samme som å flytte kommaet to plasser mot høyre. For hver kolonne vi flytter oss i tabellen, må vi altså flytte kommaet to plasser. 14;25 m 2 ¼ 14; dm 2 ¼ 1425 dm 2 Vi gjør om fra m 2 til km 2 ved å dele med Det er det samme som å flytte kommaet seks plasser mot venstre: km2 ¼ 0;07 km 2 EUKLIDS DEFINISJONER ^ Et punkt er noe som ikke kan deles. ^ Ei linje er en lengde uten bredde. ^ En ate er noe som bare har lengde og bredde. ENHETER FOR AREAL Kvadratmeter, m 2,er grunnenheten for areal. Kvadratdekameter og kvadrathektometer brukes sv rt sjelden. EKSEMPEL 9 a) Hvor mange kvadratmeter er cm 2? b) Hvor mange kvadratmeter er mm 2? b) En serviett har et areal på 4dm 2. Hvor mange kvadratmeter utgjør det? d) New York by har et areal på 787 km 2. Gjør om til kvadratmeter. Løsning: a) Vi flytter kommaet fire plasser mot venstre: cm 2 ¼ 1;74 m 2 b) Vi flytter kommaet seks plasser mot venstre: mm 2 ¼ 0;56 m 2 c) Vi deler på 100: 4dm 2 ¼ m2 ¼ 0;04 m 2 d) Vi ganger med : 787 km 2 ¼ m m 2 18 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER

19 EKSEMPEL 10 Pentagonbygningen i Arlington i USA er en av verdens største kontorbygninger. Den dekker m 2 og har et bruksareal på fot 2. Parken i midten er ca. 20;2 mål. a) Hvor mange mål dekker Pentagon? b) Hvor mange kvadratkilometer er parken i midten? c) Hvor mange hektar er bruksarealet? ð1 fot ¼ 0;3048 mþ STORE FLATER 1mål ¼ 1000 m 2 1hektar¼ m 2 Løsning: a) Vi gjør om fra kvadratmeter til mål: m 2 ¼ m 2 : 1000 ¼ 117 mål b) Først gjør vi om fra mål til kvadratmeter: 20;2 mål ¼ 20; m 2 ¼ m 2 Deretter gjør vi om til kvadratkilometer: m 2 ¼ 0; km 2 0;2 km 2 c) Vi gjør om fra kvadratfot til kvadratmeter: 1 fot 2 ¼ 0;3048 m 0;3048 m ¼ 0;0929 m fot 2 ¼ ;0929 m 2 ¼ m 2 Så gjør vi om til hektar: m 2 ¼ m 2 : ;3 hektar AKTIVITETER Oppgave 1.25 Gjør om til kvadratmeter: a) 180 cm 2 b) 2500 mm 2 c) 132 dm 2 d) 3;04 km 2 e) 0;2 mål f) cm 2 Oppgave 1.26 Gjør om til passende enhet, og regn ut. a) 23 dm 2 þ 14 cm 2 þ 0;2 m 2 b) 4000 m 2 þ 0;3 km 2 þ 16 mål c) 5 hektar 17;2 mål 7840 m 2 Oppgave 1.27 Arealet av et A4-ark er 625 cm 2. Hvor stort er dette arealet i kvadratmeter? Oppgave 1.28 Arealet av et lite landområde, for eksempel en hustomt, blir ofte oppgitt i mål. Ett mål svarer til 1000 m 2. a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt på 4,5 mål? b) Hvor mange mål er et landområde på 6,3 km 2? Oppgave 1.29 Kunstneren David Åberg fra Helsingborg har malt et maleri med et areal på hele 4000 m 2. Dette er verdens største maleri malt på lerret av en kunstner. Hvor mange mål er arealet av maleriet? Oppgave 1.30 En plate på 1200 mm 2000 mm har arealet mm 2. Gjør om til en enhet som gjør det lettere å forstå hvor stor plata er. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 19

20 1.6 Areal av enkle figurer Du skal l re ^ Ô regne ut arealet av enkle geometriske figurer Trekanter, firkanter og sirkler er eksempler på enkle geometriske figurer som har vært brukt fra gammelt av. Tabellen i margen viser formler for arealet av noen enkle geometriske figurer. For et kvadrat med side lik 5 cm blir arealet A ¼ s s ¼ s 2 ¼ 5cm 5cm¼ 25 cm 2 For et trapes der a ¼ 4cm,b ¼ 5cm og h ¼ 3 cm, blir arealet A ¼ EKSEMPEL 11 ða þ bþh 2 ¼ ð4cmþ 5cmÞ3cm 2 ¼ 13;5 cm 2 Et salongbord er formet som et rektangel med lengden 2;4mog bredden 130 cm. a) Hvor stort er arealet av bordflata? b) Bordet er formet som en kasse med høyden 50 cm. Hvor stor er overflata av bordet? Løsning: a) For å få samme enhet på lengden og bredden av bordet gjør vi om bredden fra centimeter til meter: 130 cm ¼ 1;3 m A ¼ l b ¼ 2;4 m 1;3 m¼ 3;12 m 2 b) Først gjør vi om fra centimeter til meter: 50 cm ¼ 0;5 m. Deretter bretter vi ut kassa: Rektangel b l A = l b Kvadrat s s A = s s = s 2 Parallellogram h g A = g h Trapes b h a (a + b) h A = 2 Trekant h g g h A = 2 Sirkel r A = π r 2 2,4 m 130 cm 50 cm Langside: 2;4 m 0;5 m¼ 1;2 m 2 Kortside: 1;3 m 0;5 m¼ 0;65 m 2 Overflata av bordet: topp þ 2 langside þ 2 kortside ¼ 3;12 m 2 þ 2 1;2 m 2 þ 2 0;65 m 2 ¼ 6;82 m 2 HUSK NÔr du skal regne ut arealet av en geometrisk figur, mô alle lengdene ha samme enhet! 20 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER

21 EKSEMPEL 12 a) En trekant har grunnlinje 1 dm og høyde 6 cm. Hvor stort blir arealet av trekanten? b) I en sirkel er diameteren 1; 4 dm. Hva blir arealet av sirkelen? Løsning: a) Vi gjør om fra desimeter til centimeter for grunnlinja: 1dm¼ 10 cm. Vi bruker formelen for arealet av en trekant: A ¼ g h 2 ¼ 10 cm 6cm 2 ¼ 30 cm 2 6 cm 1 dm b) Radien i en sirkel er halvparten av diameteren: 1;4 dm 2 ¼ 0;7 dm 1,4 dm Vi bruker formelen for arealet av en sirkel: A ¼ r 2 ¼ ð0;7 dmþ 2 ¼ 1;5394 dm 2 1;5 dm 2 AKTIVITETER Oppgave 1.31 Regn ut arealene: a) r = 15 cm b) d = 2 dm c) 17 m 17 m Oppgave 1.34 En metallplate har form som et trapes med mål som vist på figuren. Hvor mange kvadratmeter er arealet av plata? 55 cm d) 26 cm 13 cm 26 cm 13 cm e) 48 cm Oppgave 1.32 Regn ut arealet av en trekant med grunnlinja 2 dm og høyden 5 cm. Oppgave 1.33 Et A4-ark med arealet 625 cm 2 kan maksimalt brettes seks ganger. (Bare prøv!) Regn ut arealet av et A4-ark som er brettet seks ganger. 23 cm 6 dm 120 cm Oppgave 1.35 Ernst skal bruke plateknekking for å lage en boks der grunnflata er et kvadrat med sider på 0;3 m. Hvor stort blir arealet av plata når boksen skal være 15 cm høy? (Boksen skal ikke ha lokk, og du trenger ikke ta hensyn til strekk i materialet.) KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 21

22 1.7 Areal av sammensatte figurer Du skal l re ^ regne ut arealet av sammensatte geometriske figurer Nye Bislett Stadion er et eksempel pa en sammensatt geometrisk figur. REGNING Na r vi skal regne ut arealet av en sammensatt geometrisk figur, ma vi først finne ut hvilke delfigurer den er satt sammen av. Sa regner vi ut arealene av delfigurene hver for seg. Deretter ma vi studere figuren nøye. Noen ganger ma vi legge sammen arealene, andre ganger kan det være lurt a trekke fra. UTEN ENHETER N r du arbeider med litt st rre regnestykker, kan det ofte v re greit sl yfe enhetene underveis, som i eksempel 13. Men det er viktig at du vet hvilken enhet svaret skal ha! EKSEMPEL 13 Svært forenklet kan vi si at arenaen pa Bislett Stadion omfatter et rektangel med lengden 105 m og bredden 90 m pluss en halvsirkel med radien 45 m i hver ende. Hvor stort er arealet av arenaen? 45 m 90 m Løsning: Formelen for arealet av arenaen blir A ¼ Arektangel þ Ahalvsirkel þ Ahalvsirkel 105 m 105 m ¼ Arektangel þ Asirkel ¼ l b þ r 2 Vi setter inn i formelen ovenfor: 90 m A ¼ l b þ r 2 ¼ þ 452 ¼ ;725 Arealet av arenaen er om lag m2. Her runder vi av mye i svaret. Kan du tenke deg hvorfor? m KAPITTEL 1 M LING OG BEREGNINGER

23 EKSEMPEL 14 Det er strenge regler for hvordan nasjonalflagg skal se ut. Figuren viser hvordan forholdene skal være i det japanske flagget. Diameteren til sola i midten er 24 cm. Hvor stort areal dekker det hvite området i det japanske flagget? 40 cm Løsning: Vi finner først det totale arealet av flagget: A ¼ l b ¼ 60 cm 40 cm ¼ 2400 cm 2 Så finner vi arealet av sola i midten: 2 24 A ¼ r 2 ¼ 2 cm ¼ ð12 cmþ 2 452;389 cm 2 452;4 cm 2 Arealet av det hvite området i det japanske flagget blir A ¼ 2400 cm 2 452;4 cm 2 ¼ 1947;6 cm cm 2 60 cm AKTIVITETER Oppgave 1.36 Regn ut arealet av disse flatene: a) 8 cm 4 cm Oppgave 1.37 En plate har mål og form som vist på figuren. Regn ut arealet av plata. 90 cm 200 cm 18 dm 17 cm b) 45 mm 25 mm 55 mm d) 0,8 dm 7 cm 10 cm c) 3 dm 93 mm 45 cm e) 20 cm 30 cm 20 cm 30 cm 20 cm Oppgave 1.38 Lengdeforholdene i det norske flagget er som vist på figuren. Finn det samlede arealet av de hvite og de blå områdene i flagget. Alle mål er i desimeter cm 6 f) 20 cm 6 cm 3 cm Utfordring 1.39 I en likesidet regulær sekskant er alle sidene 8 cm lange. Tegn figur og regn ut arealet av sekskanten. 6 cm KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 23