«36 er et oddetall» Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet

«36 er et oddetall» Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet Ida Heiberg Solem og Ellen Konstanse Hovik Denne artikkelen drøfter aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk. Drøftingen gjøres på bakgrunn av en analyse av en undervisningssekvens på grunnskolens tredje trinn. Dette knyttes i artikkelen til forskning på læreres kunnskaper og deres handlingsberedskap som variabler for undervisningen. Som teoretisk rammeverk og analyseverktøy har vi brukt The Knowledge Quartet og Mathematical Knowledge for Teaching. Vi finner at disse rammeverkene utfyller hverandre, og vi diskuterer hvordan lærerens undervisningskunnskap får betydning for hvilke valg hun foretar. Til slutt drøfter vi hvordan analyser av undervisningssekvenser kan brukes i den nye grunnskolelærerutdanningen. Ida Heiberg Solem Høgskolen i Oslo og Akershus ida.solem@hioa.no Ellen Konstanse Hovik Høgskolen i Oslo og Akershus ellen-konstanse.hovik@ hioa.no Nøkkelord: undervisningskunnskap i matematikk, Kunnskapskvartetten, spesiell fagkunnskap i matematikk, lærerutdanning Innledning Vår utfordring som lærerutdannere i matematikk er å gi studentene en utdanning som kvalifiserer dem for arbeid i klasserommet matematikk for undervisning. Forskning viser at lærerens kunnskaper i matematikk har betydning for undervisningen og elevenes læringsutbytte, men det er ikke innlysende hva innholdet i denne kunnskapen skal være (Ball, Hill, & Bass, 2005; Hill, Rowan, & Ball, 2005; Ma, 1999; Nordenbo, Larsen, Tifticki, Wendt, & Østergaard, 2008; Pepin, 2008; Rowland, Turner, Thwaites, & Huckstep, 2009). I de nasjonale retningslinjene for matematikk i ny grunnskolelærerutdanning (Kunnskapsdepartementet, 2010) brukes begrepet Solem, I.H., & Hovik, E.K. (2012). «36 er et oddetall» Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet Tidsskriftet FoU i praksis, 6(1), 47 60. 47

FoU i praksis nr. 1 2012 undervisningskunnskap. I innledningen til Faget i lærerutdanningen står det at undervisningskunnskap innebærer «at de [studentene] må ha en solid og reflektert forståelse for den matematikken elevene skal lære og hvordan denne utvikles videre på de neste trinnene i utdanningssystemet» (s. 33). Slik vi leser dette, står undervisningskunnskap her som et overordnet begrep. Under Læringsutbytte brukes imidlertid begrepet undervisningskunnskap bare i to av elleve punkter om den matematikken elevene arbeider med på barnetrinnet, og om betydningen av regning som grunnleggende ferdighet. Ellers brukes begrepet kunnskap. Når Kleve (2010) diskuterer undervisningskunnskap i matematikk, benytter hun Shulmans (1986) begrep Pedagogical Content Knowledge (PCK), mens Fauskanger, Mosvold og Bjuland (2010) oversetter PCK med fagdidaktisk kunnskap og bruker begrepet undervisningskunnskap synonymt med Mathematical Knowledge for Teaching slik det beskrives av Ball, Thames og Phelps (2008). I denne artikkelen velger vi ikke å definere begrepet eksplisitt, men forsøker å belyse ulike aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk med utgangspunkt i en konkret episode på tredje trinn. Det gjør vi ved å benytte to teoretiske rammeverk utviklet henholdsvis ved Cambridge University av Tim Rowland og hans kolleger (Rowland, Huckstep, & Thwaites, 2005) og ved Universitetet i Michigan av Deborah Ball og hennes kolleger (Ball, Thames, & Phelps, 2008). Disse rammeverkene gir oss analyseverktøyet som vi vil benytte for å drøfte følgende problemstilling: Hvordan kommer ulike aspekter av lærerens undervisningskunnskap i matematikk til uttrykk i en konkret undervisningssituasjon? I drøftingen vil vi knytte vår analyse til vår oppgave som lærerutdannere. Teorigrunnlag De to rammeverkene vi benytter i analysen, bygger begge på Shulman (1986) og hans begrep Content Knowledge, som omfatter Subject Matter Content Knowledge (SMK fagkunnskap), Pedagogical Content Knowledge (PCK fagdidaktisk kunnskap) og Curriculum Knowledge CK læreplankunnskap). Shulmans inndeling var starten på en ny retning i synet på lærerkompetanse ved at fagets betydning ble sterkere vektlagt. Hans viktige bidrag var påstanden om at både fagkunnskap og pedagogisk kunnskap er nødvendig for god undervisning. Rowland og hans forskerteam ved Cambridge har utviklet rammeverket The Knowledge Quartet eller Kunnskapskvartetten (KQ) til bruk i utdanning av grunnskolelærere. Rammeverket er knyttet til praksis og refleksjon over praksis og er tenkt som et verktøy til å identifisere og analysere 48

Ida Heiberg Solem og Ellen Konstanse Hovik: «36 er et oddetall» Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet hvordan læreres undervisningskunnskap kommer til uttrykk i klasserommet (Rowland et al., 2005; Turner & Rowland, 2008). Kunnskapskvartetten er utviklet gjennom en «grounded» tilnærming til videostudier av lærerstudenter i praksis og består av fire hovedkategorier eller dimensjoner: Foundation, Transformation, Connection og Contingency. Foundation (fundamentet eller grunnlaget) er forankret i lærerens teoretiske bakgrunn og forestillinger, lærerens kunnskaper i og om faget og fagets didaktikk, lærerens holdninger til hvorfor man skal undervise i matematikk, for hvem og eventuelt når. Lærerens syn på hvordan matematikk-kunnskap dannes, og dermed lærerens syn på hva som er god matematikkundervisning, hører også til denne kategorien. Transformation (transformasjon eller omdanning) innbefatter kunnskap satt ut i livet i form av planlegging og gjennomføring av undervisning. Sentralt her er valg av representasjonsformer, illustrasjoner, eksempler, analogier, forklaringer og demonstrasjoner. Connection (sammenheng) innbefatter kunnskap om hvordan emner og oppgaver henger sammen og bevissthet om de kognitive utfordringer ulike emner og oppgaver gir. Dette handler også om matematikkens indre sammenheng, begrunnelser, bevis og valg av rekkefølge av emner. Contingency handler om hvordan læreren takler og responderer på uventete faglige innspill i klasserommet, og hvordan hun utnytter mulighetene slike innspill gir. Responsen kan ikke planlegges og krever at læreren har en handlingsberedskap for å ta utfordringer på stående fot, er i stand til å avvike fra egen agenda og ikke minst kan vurdere hvorvidt det er hensiktsmessig i den gitte situasjonen. Ball og hennes team har utviklet en praksisbasert teori om undervisningskunnskap i matematikk. De bruker begrepet Mathematical Knowledge for Teaching (MKT): «The mathematical knowledge needed to carry out the work of teaching mathematics» (Ball et al., 2008, s. 395) og har laget en modell som deler MKT inn i seks kategorier (Figur 1). Modellen bygger på Shulmans kategorier om fagkunnskap (SMK), som finnes i venstre halvdel av Figur 1, og fagdidaktisk kunnskap (PCK), som finnes i høyre halvdel av Figur 1. 49

FoU i praksis nr. 1 2012 Figur 1: Mathematical Knowledge for Teaching (Ball et al., 2008) Kategorien Common Content Knowledge (CCK allmenn fagkunnskap) omhandler den matematikkunnskap som mange utdannede voksne må ha for å kunne gjøre riktige beregninger eller løse et matematisk problem på en korrekt måte. Et viktig poeng er at denne typen kunnskap trengs i mange sammenhenger, og ifølge Ball et al. (2008) er det åpenbart at denne typen kompetanse også er essensiell for lærere. I kategorien Specialized Content Knowledge (SCK spesiell fagkunnskap) plasserer forskerteamet matematikkunnskap som er unik for lærerprofesjonen. Dette er det feltet som etter hvert interesserte denne forskergruppen spesielt. Perhaps most interesting to us has been evidence that teaching may require a specialized form of pure subject matter knowledge - «pure» because it is not mixed with knowledge of students or pedagogy and is thus distinct from the pedagogical content knowledge identified by Shulman and his colleagues and «specialized» because it is not needed or used in settings other than mathematics teaching. This uniqueness is what makes this content knowledge special. (Ball et al., s. 396) SCK omfatter kunnskap om ulike modeller for tall, ulike representasjonsformer, ulike abstraksjonsnivåer, kunnskap om regnestrategier og regnemetoder og evne til å vurdere om de er hensiktsmessige og generaliserbare. Spesiell fagkunnskap innebærer også kunnskap om matematisk tenkning, argumentasjon og bevis i klasserommet: Hvilke problemstillinger egner seg som bevis, og hva er sammenhengen mellom mer uformelle resonnementer og formelle bevis (Stylianides & Ball, 2008). En tredje kategori, Horizon 50

Ida Heiberg Solem og Ellen Konstanse Hovik: «36 er et oddetall» Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet Content Knowledge (HCK matematisk horisontkunnskap), handler om kunnskap om fagets indre sammenheng og hvordan matematiske emner henger sammen gjennom hele utdanningsløpet. Ball et al. (2008) deler Shulmans PCK i tre underkategorier. Kategorien Knowledge of Content and Students (KCS kunnskap om fag og elever) handler om kunnskap om elevers oppfatninger og misoppfatninger og evne til å forutsi hva elever opplever som vanskelig, interessant og motiverende. Det omfatter også lærerens evne til å fange opp og respondere på elevers ufullstendige tenkning og til å finne passende eksempler og representasjoner. Knowledge of Content and Teaching (KCT kunnskap om fag og undervisning) handler om å kombinere kunnskap om faget med kunnskap om undervisning, som å treffe avgjørelser om rekkefølgen av oppgaver og aktiviteter, fordeler og ulemper ved ulike representasjoner, og hvorvidt det er nødvendig med utdyping av et emne underveis. Ball et al. (2008) påpeker at det ikke alltid er et tydelig skille mellom de enkelte kategoriene i deres rammeverk. For eksempel vil det å oppdage at et svar er galt, høre med til allmenn fagkunnskap (CCK), mens det å avdekke feilens «natur» enten kan kategoriseres som spesiell fagkunnskap (SCK) hvis læreren tar i bruk sin kunnskap i matematikk og evne til matematisk analyse, eller som kunnskap om fag og elever (KCS) hvis læreren i stedet bruker sin erfaring med elever og typiske elevfeil. Vår begrunnelse for å benytte begge rammeverkene er at deres noe ulike perspektiver kan synliggjøre flere aspekter ved lærerens undervisningskunnskap. Kunnskapskvartetten har fokus på lærerens handlinger i klasserommet, mens Ball et al. (2008) i større grad fokuserer på hvilke spesifikke matematikkunnskaper lærere trenger. Dette avspeiles i hvordan de to rammeverkene betegner undervisningskunnskap i matematikk: «Mathematical knowledge in teaching» (Rowland et al., 2005) og «Mathematical knowledge for teaching» (Ball et al., 2008). Turner og Rowland (2008) argumenterer også for at de to teoriene gjensidig kan berike hverandre. In our own theory, the distinction between different kinds of mathematical knowledge is of lesser significance than the classification of the situations in which mathematical knowledge surfaces in teaching. In this sense the two theories may each have useful perspectives to offer the other. (Turner & Rowland, 2008, s. 2) Metode Undervisning er en så tett sammenveving av kunnskap og handling at lærerens undervisningskunnskap først blir realisert i klasserommet (Ball et 51

FoU i praksis nr. 1 2012 al., 2008; Boaler, 2003; Rowland et al., 2009). Vi har derfor valgt klasseromsobservasjon som metode. Vi valgte ut fem lærere på barnetrinnet som vi observerte i 2 4 timer per lærer. Alle fem har fordypning i matematikk for barnetrinnet. Observasjonene har gitt innsamlede data i form av lydopptak, feltnotater og bilder av elevarbeider, tavle- og flipovernotater. I tillegg har vi intervjuet lærerne i etterkant av undervisningen, gjort lydopptak og tatt notater av intervjuene. Dette utgjør vårt datamateriale. Transkribering av lydopptak har vært gjort for å trenge dypere inn i materialet. Vi har valgt en situasjon fra tredje trinn som viser en lærers respons på et uventet faglig innspill fra en elev. Det har vi gjort fordi dette var en fortettet situasjon som egnet seg for analyse. Forskning viser også at slike innspill i særlig grad synliggjør ulike sider ved lærerens undervisningskunnskap (Nilssen, Gudmundsdottir, & Wangsmo-Cappelen, 1995; Rowland, Huckstep, & Thwaites, 2006). Vi analyserer denne sekvensen ved å anvende kategorier fra våre to valgte rammeverk. Disse gir oss verktøy til drøfting og analyse av ulike aspekter ved undervisningskunnskap, og de vil dermed kunne indikere noen svar på vår problemstilling. Samtidig vil rammeverkene være styrende for hva vi ser etter, og hva vi finner. Dette er en kasusstudie, det vil si en studie som «innebærer en detaljert og intensiv analyse av et enkelt kasus» (Bryman, 2001, s. 501, vår oversettelse). En kasusstudie av denne typen er ikke egnet til generalisering (Silverman, 2000), men er en metode for å gå dypere inn i ulike aspekter ved undervisningskunnskap. Empiri og analyse Sekvensen vi presenterer og senere analyserer, foregår på tredje trinn med en lærer som var ferdigutdannet to år tidligere. Sekvensen starter med at læreren, her kalt Hanna, skriver tallet 36 på tavla og sier: «jeg vil ha kan dere fortelle meg de egenskapene tallet 36 har? Hva vet vi om tallet 36?» Etter noen elevinnspill knyttet til tierplass, enerplass og siffersum kommer følgende sekvens: (1) Hanna: Hva vet du om tallet, Mia? (2) Mia: Det er et oddetall. (3) Hanna: Er det et oddetall? (4) Mia: Nei, et partall. (5) Hanna: Hva var det med oddetallene? (6) Mia: Er det ikke et oddetall da? (7) Hanna: Da får vi gå tilbake. Hva er et oddetall da? (8) Sabrina: Eh, eh. Når man ikke kan dele på to. (9) Hanna: Oddetall. Ok. Ikke dele på to. 52

Ida Heiberg Solem og Ellen Konstanse Hovik: «36 er et oddetall» Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet (Skriver på tavla): Oddetall: ikke dele på to. (10) Hanna: Skal vi se. Vi kan prøve. Hvis jeg tegner opp: en, to, tre, fire, fem en, to, tre, fire, fem fem ti Her har jeg tegnet opp 36 streker. (Figur 2) (11) Hanna: Så har vi en person A, det er A (skriver A) og så person B (skriver B) så skal vi begynne å dele ut da. Hvor mye er det de kan få hver da? Hvor mye er det i hvert fall vi vet at de kan få da?» (12) Cato: En kan få 15. (13) Hanna: OK. Da setter jeg A på de her. Og hvis dette skal bli likt, må jo den andre få 15 og da? (Figur 3) (14) Mira: Ja. (bekreftende mumling fra flere) (15) Hanna: Er det B sine? (peker) (16) Mira: Mmm. (bekreftende mumling fra flere) (17) Hanna: Men vi har igjen noen streker enda? Dvs. at 30 er et partall da! (bekreftende mumling og nikking) (18) Hanna: Men vi har igjen disse også? Nils? (19) Nils: Hmm da må begge to få tre hver? (20) Hanna: Skal vi se om det går? Hvis vi skriver A på de, så skriver vi B på de. Dvs. at de da fikk først fikk de 15 hver, så fikk de 3 hver, til sammen fikk de 18. (Figur 4) (21) Hanna: Mia, er da 36 er partall eller et oddetall? (22) Mia: Partall. (23) Hanna: Et partall. Figur 2 Figur 3 Figur 4 Figur2 53

FoU i praksis nr. 1 2012 Figur 5: Tavla etter at hele sekvensen med 36 var avsluttet Sekvensen starter med et innspill fra en elev, Mia, som sier at 36 er et oddetall (2). Påstanden kom tydelig overraskende på læreren Hanna, noe som senere bekreftes i intervjuet. Hun stiller et motspørsmål (3) som får Mia til å korrigere sitt svar: «Nei, det er et partall» (4). Hannas umiddelbare reaksjon på Mias endrete svar avdekker hennes kunnskap om fag og elever (KCS). Hun slår seg ikke til ro med elevens «riktige» svar og sier i intervjuet at når denne relativt sterke eleven ikke hadde klart for seg begrepene oddetall/partall, var det stor mulighet for at dette også gjaldt andre elever. Å være i stand til å vurdere når det er hensiktsmessig å avvike fra det som er planen for timen, er aspekter ved Contingency. Hanna responderer på det uventete innspillet om at 36 er et oddetall ved å stille spørsmålene «Hva var det med oddetallene?» (5) og «Hva er et oddetall?» (7). Dermed endrer hun faglig fokus fra egenskaper ved tallet 36 til kjennetegn på oddetall og legger grunnlaget for det uformelle «beviset» hun gjennomfører med klassen. Hanna skriver Sabrinas definisjon av oddetall (8) på tavla: Oddetall: ikke dele på to (9). På den måten gjør hun premissene for den videre argumentasjonen tydelige for klassen. Hun fortsetter: «Skal vi se. Vi kan prøve.» Underforstått vil hun prøve å se om denne definisjonen holder for tallet 36. Læreren starter med å tegne 36 streker på tavla (10). Lærerens valg av representasjon faller under kategorien Transformasjon i Kunnskapskvartetten. Representasjoner i matematikk har en dobbel funk- 54

Ida Heiberg Solem og Ellen Konstanse Hovik: «36 er et oddetall» Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet sjon de skal være kommunikative, og de skal være et tenkeredskap i en gitt kontekst. Vi må dermed se Hannas valg i lys av denne doble funksjonen. Elever på tredje trinn vil kunne representere 36 på ulikt vis, f.eks. symbolsk som 30 + 6, eller som penger gjennom tre tiere, en femmer og en enkrone. Hanna velger tellestreker, og hvis vi analyserer hennes representasjon nærmere, rommer den en kompleksitet som ikke er umiddelbart synlig. Hanna velger en representasjonsform der det er mulig både å se og telle alle enerne i 36 men som samtidig innbefatter en gruppering som gjør det enklere å holde oversikt over det tosifrete tallet. Hun grupperer tierne i femmere. Det gir et partall antall femmere som er direkte delelig på to. Hun tegner femmergruppene to og to over hverandre, noe som gjør det lett for elevene å følge med når hun teller opp tierne etter hvert som hun tegner. Hun grupperer ikke de seks siste enerne i en femmer og en ener og unngår dermed å måtte «løse opp» disse før deling. Representasjonen av 36 støtter elevene i å vise at 36 ikke er et oddetall. Hvis Hanna hadde valgt å representere 36 ved å gruppere i tiere og enere eller i tiere, en femmer og en ener, ville bildet vært et helt annet (Figur 6): Figur 6: Eksempler på representasjoner av 36 Med en slik representasjon ville det ikke være mulig å dele tierne på to før en tier var vekslet inn i enere eller femmere. Kunnskap om ulike representasjonsformer for tall faller inn under det Ball et al. (2008) karakteriserer som spesiell fagkunnskap (SCK). Observasjonen gir ikke grunnlag for å avgjøre om grupperingen i femmere var en tilfeldighet eller et bevisst valg fra Hannas side. Vi spurte henne derfor i etterkant om hun kunne ha brukt penger i stedet (fordi penger ville ha åpnet for bruk av både tiere og femmere): Da måtte jeg brukt femmere og enkroner. Hva med tikroner? Nei, da må vi begynne med veksling, det var ikke det som var poenget her. Nå var det viktig at det kan deles på to. Svaret indikerer at valget om å gruppere i femmere er bevisst. Hanna vet at å starte med en vekslingsproblematikk kan ta fokus bort fra det som var 55

FoU i praksis nr. 1 2012 poenget med sidespranget: å vise at 36 ikke er et oddetall. Avgjørelsen avdekker hennes kunnskap om undervisning og fag (KCT). Det er imidlertid hennes spesielle fagkunnskap (SCK) som gir henne et repertoar av representasjonsformer å velge i, slik at hun kan velge én form der hun unngår veksling. På spørsmålet om hvorfor hun hadde valgt tellestreker og ikke penger, svarte Hanna: «Penger betyr å innføre kontekst butikk og handling det bare forstyrrer. Tellestreker kan stå for hva som helst.» Denne avgjørelsen er dermed direkte knyttet til Hannas kunnskap om elever og fag (KCS), og hun vet at penger fører til «støy» i denne klassen. Vi ser at det er kombinasjonen av hennes spesielle fagkunnskap og hennes fagdidaktiske kunnskap (her KCS og KCT) som gir henne en handlingsberedskap for valg av representasjonsform: ingen veksling og ingen butikklek. Valget kan sees som direkte motivert av ønsket om å kommunisere med elevene og tilby dem et tenkeredskap for den videre argumentasjonen. Et annet aspekt ved Transformation som kommer til uttrykk i denne sekvensen, er hvordan Hanna knytter delingen av 36 til en personifisert kontekst gjennom å vise til person A og person B (11). Hun forenkler problemet ved først å fokusere på de seks femmergruppene: «Hvor mye er det i hvert fall vi vet at de kan få da?» Femmergruppene er tegnet i en rutenettstruktur slik at de tre tiergruppene like gjerne kan sees som to femtengrupper, og det gjør det enkelt å synliggjøre hva A og B får ved å sette ring rundt de to femtengruppene. Analysen av observasjonen viser hvordan Hanna gjennom hele sekvensen skaper sammenheng og knytter det hun gjør til noe elevene er kjent med (Connection). Hun starter med å spørre etter klassens definisjon av oddetall (7) og får svar fra flere av elevene: «ikke delelig på to»(8). Hun fortsetter med representasjoner som er kjent for elevene nemlig bruk av tellestreker og bruk av person A og B. Å bruke betegnelser som A og B på uspesifiserte personer er ifølge Hanna noe klassen er kjent med fra andre sammenhenger, og noe hun ifølge intervjuet bevisst gjør for å trene elevene på bruk av generelle betegnelser. Når klassen er enig om at de «i hvert fall kan få 15 hver», slår Hanna fast at da er 30 et partall (17). Underforstått oppfyller ikke tallet kriteriet for et oddetall. På den måten holder hun fast ved hva de skal vise, og hvor de er i argumentasjonsrekken. Etter å ha delt ut de siste seks enerne, sier hun: «Skal vi se om det går [å dele 36 på to]? Først fikk de 15 hver, så fikk de 3 hver, til sammen fikk de 18»(20). Hun avslutter med å vende tilbake til Mia og ber henne konkludere (21). Hannas argumentasjon er en måte å tenke og resonnere på som er vesentlig i matematikk, og som strekker seg utover spørsmålet om 36 er et oddetall eller ikke. Dette er samtidig et eksempel på det Ball et al. (2008) kaller matematisk horisontkunnskap (HCK). 56

Ida Heiberg Solem og Ellen Konstanse Hovik: «36 er et oddetall» Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet Hannas Foundation vises på ulike måter i denne sekvensen. Hun utnytter kunnskap om forskjellige oppdelinger av 36: 36 = 30 + 6 = 6 x 5 + 6 = 3 x (2 x 5) + 6. Dette danner grunnlaget for hennes representasjon av 36 på tavla. Kunnskapen om ulike representasjonsformer for tall benytter Hanna for å finne en representasjonsform som egner seg for et partall med odde antall tiere når hensikten er å dele i to. Det betyr at gruppering i tiere ikke er relevant (gir veksling), enere blir for uoversiktlig (fra intervju), og det hensiktsmessige er gruppering i femmere (representasjonsformen må kunne grupperes i femmere). Stylianides og Ball (2008) understreker hvor viktig det er å ta elever med på resonnementer som «likner» mer formelle bevis allerede fra de laveste klassetrinn. Dette forutsetter at læreren har kunnskap om mer enn det å bevise: Det omfatter også kunnskap om problemstillinger som egner seg for bevis i klasserommet, og kunnskap om hvordan man skal gjennomføre beviset i en form som kommuniserer med elevene (SCK, KCT og KCS). I tillegg må læreren ha en tillit til og tro på at elevene kan møte slike utfordringer (Foundation). Stylianides og Ball (2008) beskriver gangen i en mer uformell bevisførsel slik: 1) Argumentasjonen tar utgangspunkt i etablerte utsagn/definisjoner som er allment akseptert i klasserommet; 2) den gjør bruk av resonnement og argumentasjon som er gyldig, og som er kjent for elevene; 3) den kommuniseres med en uttrykksform som er egnet, og som er forståelig for elevene. Slik vi ser det, følger Hanna nettopp en slik argumentasjonsrekke: 1) Oddetall kan ikke deles på to; 2) 36 er et oddetall da skal det ikke kunne deles på to. Undersøkelsen viser at 36 kan deles på to, altså er 36 et partall; 3) Tellestreker og bruk av kontekst. Drøfting Situasjonen som er analysert over, starter med et uventet innspill fra en elev om at 36 er et oddetall. Læreres respons på slike innspill (Contingency) synliggjør ulike sider ved deres undervisningskunnskap (Nilssen et al., 1995; Rowland et al., 2006). Denne form for intervensjoner er noe av det vanskeligste å mestre for nyutdannede lærere og forutsetter en handlingsberedskap som gjør det mulig å skifte faglig fokus (Rowland et al., 2006). Nilssen et al. (1995) skriver at det er mangel på velutviklet PCK som gjør elevenes kommentarer «uventete». Både de og andre forskere, bl.a. Ainley og Luntley (2005), fremhever at en rutinert lærer vil regne med overraskende innspill fra elevene og har utviklet en kompetanse til å takle dem. Rowland et al. (2006) skriver at «The quality of such responses is undoubtedly determined, at least in part, by the knowledge resource available to the teacher» (s. 4). Kleve (2010) viser i en kasusstudie hvordan en rutinert lærer utnytter PCK til å «komme ut av den faglige klemma hun følte hun var kommet i» (s. 12). 57

FoU i praksis nr. 1 2012 I eksempelet med Hanna ser vi at en faglig respons på slike innspill også er sterkt knyttet til lærerens Foundation og spesielle fagkunnskap (SCK). Det er hennes kunnskap om ulike representasjonsformer for tall, om argumentasjon og bevisførsel, kombinert med hennes kunnskap om elever og undervisning, som gjør at hun på tredje trinn kan gjennomføre en strukturert og faglig forankret argumentasjon for at 36 ikke kan være et oddetall. Hun kan dermed gi elevene mulighet for en læring og innsikt i matematikk som peker utover det konkrete eksempelet. Undervisningskunnskap er kompleks. Vår begrunnelse for å benytte to rammeverk er at flere aspekter kan bli synlige. Det ligger ikke innenfor vår problemstilling å sammenlikne de to rammeverkene, og datamaterialet gir heller ikke rom for dette. Men vi ser eksempler på at de to rammeverkene utfyller hverandre. Kategorien Contingency gir oss mulighet til å identifisere særlig utfordrende situasjoner i matematikkundervisningen, og kategorien Transformation og Connection fokuserer på hvordan læreren håndterer denne situasjonen. Kategoriene SCK, KCT og KCS gir oss et verktøy til å analysere hva som kreves av kunnskap hos lærere for å ha denne handlingsberedskapen. Ved å ta utgangspunkt i definerte kategorier eller dimensjoner vil imidlertid også «utsikten» begrenses. Den kulturen og de normene som er etablert i denne klassen, faller ikke åpenbart under noen av de kategoriene vi har benyttet i analysen, men de spiller trolig en vesentlig rolle for det som skjer i klasserommet. Flere har pekt på liknende begrensninger. Kleve (2010) foreslår for eksempel at klasseledelse kan komme inn som en femte dimensjon i Kunnskapskvartetten, mens Petrou (2009) savner en kategori som kan knyttes mer til lærebokas plass i undervisningen. Som forskere og lærerutdannere ønsker vi å bidra til økt innsikt i hva slags kunnskap matematikklærere har behov for. I artikkelen «Kunnskap og oppfatninger implikasjoner for etterutdanning» stiller Fauskanger og Mosvold (2008) spørsmålet: «Hvilken kunnskap skal lærerne få og hvorfor akkurat denne kunnskapen?» (s.188). Vi mener eksempelet med Hanna viser viktige aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk for en lærer på barnetrinnet. Analyse av observasjoner fra praksis kan være et viktig bidrag til å gi oss som lærerutdannere innsikt i hva slags kunnskaper våre studenter skal utvikle gjennom sin utdanning. Eksempelet kan i tillegg illustrere for studenter hvilken kompetanse de trenger, og samtidig øke deres forståelse for denne. Slik kan eksempelet bidra til økt motivasjon og interesse for faget i lærerutdanningen. Behovet for bruk av slike eksempler i undervisningen ved lærerutdanningen forsterkes av at få øvingslærere har fordypning i matematikk og matematikkdidaktikk. Konsekvensen må bli at eksempler på utfordringer og læreres bruk av kunnskap kommer inn i teoriundervisningen og blir gjort til gjenstand for analyser og drøftinger. 58

Ida Heiberg Solem og Ellen Konstanse Hovik: «36 er et oddetall» Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet Litteratur Ainley, J., & Luntley, M. (2005). What teachers know: The knowledge bases of classroom practice. I M. Bosch (red.), European research in mathematics education IV. Proceedings of the Fourth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (s. 1410 1419). Barcelona: ERME. Lastet ned 14. juni 2010 fra http://ermeweb.free.fr/cerme4/cerme4_wg12.pdf Ball, D.L., Hill, H.C, & Bass, H. (2005). Knowing mathematics for teaching: Who knows mathematics well enough to teach third grade, and how can we decide? American Educator, 29(1), 14 17, 20 22, 43 46. Ball, D.L., Thames, M., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching. What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389 407. Boaler, J. (2003). Studying and capturing the complexity of practice: The case of the dance of agency. I N. Pateman, B. Dougherty, & J. Zilliox (red.), Proceedings of the 27th conference of the International Group for Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, s. 3 16). Honolulu, HI: PME. Bryman, A. (2001). Social research methods. Oxford: Oxford University Press. Fauskanger, J., & Mosvold, R. (2008). Kunnskap og oppfatninger implikasjoner for etterutdanning. Norsk pedagogisk tidsskrift, 92(3), 187 195. Fauskanger, J., Mosvold, R, & Bjuland, R. (2010). Hva må læreren kunne? Tangenten, 21(4), 34 38. Hill, H., Rowan, B., & Ball, D. (2005). Effects of teachers mathematical knowledge for teaching on student achievement. American Educational Research Journal, 42(2), 371 406. Kunnskapsdepartementet. (2010). Nasjonale retningslinjer for grunnskolelærerutdanningen 1.-7.trinn. Lastet ned 14. juni 2010 fra http://www.regjeringen.no/ nb/dep/kd/dok/rundskriv/2010/rundskriv-f-05 10-Forskrifter-om-nygrunnskolelarerutdanning.html?id=598615 Kleve, B. (2010). Brøkundervisning på barnetrinnet aspekter av en lærers matematikkunnskap. Acta Didactica Norge, 4(1). Lastet ned 12. juni 2010 fra http:// journals.ils.uio.no/index.php/adno/article/view/113/144 Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. Nilssen, V., Gudmundsdottir, S., & Wangsmo-Cappelen, V. (1995). Unexpected answers: Case study of a student teacher derailing in a math lesson. Revised version of a paper presented at the Annual meeting of the American Educational Research association San Francisco, CA, April 18. 22. 1995, 1 31. Nordenbo, S.E., Larsen, M.S., Tifticki, N., Wendt, R.E., & Østergaard, S. (2008). Lærerkompetencer og elevers læring i førskole og skole. Aarhus: Universitetet i Aarhus. Pepin, B. (2008). What kinds of knowledge help teachers to become effective teachers in mathematics? What kinds of choices do teachers have? a comparative perspective Lastet ned 4. januar 2010 fra http://www.maths-ed.org.uk/mkit/ Pepin_MKiT6.pdf Petrou, M. (2009). Adapting the knowledge quartet in the Cypriot mathematics classroom. I V. Durand-Guerrier, S. Soury-Lavergne, & F. Arzarello (red.), Proceedings of the Sixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (s. 2020 2029). Lyon: ERME. 59

FoU i praksis nr. 1 2012 Rowland, T., Huckstep, P., & Thwaites, A. (2005). Elementary teachers mathematics subject knowledge: The knowledge quartet and the case of Naomi. Journal of Mathematics Teacher Education, 8, 255 281. Rowland, T., Huckstep, P., & Thwaites, A. (2006). The knowledge quartet: Considering Chloe. I M. Bosch (red.), European research in mathematics education IV. Proceedings of the Fourth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (s.1568 1578). Barcelona: ERME. Lastet ned 5. januar 2010 fra http://ermeweb.free.fr/cerme4/cerme4_wg12.pdf Rowland, T., Turner, F., Thwaites, A., & Huckstep, P. (2009). Developing primary mathematics teaching. London: Sage Publication Ltd. Shulman, L.S. (1986). Those who understand. Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), 4 14. Silverman, D. (2000). Doing qualitative research A practical handbook. London: Sage Publications Ltd. Stylianides, A.J., & Ball, D.L. (2008). Understanding and describing mathematical knowledge for teaching: Knowledge about proof for engaging students in the activity of proving. Journal of Mathematics Teacher Education, 11, 307 332. Turner, F., & Rowland, T. (2008). The knowledge quartet: A means of developing and deepening mathematical knowledge in teaching. Lastet ned 4. januar 2010 fra http://www.maths-ed.org.uk/mkit/mkit5_turner&rowland.pdf English summary: 36 is an odd number aspects of mathematical knowledge for and in teaching in primary schools The authors discuss aspects of mathematical knowledge for and in teaching. The discussion is based on analysis of one episode from a mathematics lesson for Grade 3 students (8 years old) in Norway, and is related to research on teachers knowledge and action competence. As a theoretical framework for the analysis, the authors used the Knowledge Quartet and the concept Mathematical Knowledge for Teaching (MKT). We find that these frameworks complement each other and we discuss how the teacher s mathematical knowledge for and in teaching will influence the choices she makes. Finally, we indicate how the analysis of teaching sequences can be used in teacher education. Keywords: the Knowledge Quartet, mathematical knowledge for and in teaching, specialized content knowledge in mathematics, teacher education 60