Geometriske begrepers doble natur. Frode RønningR Voss

Transkript

1 Geometriske begrepers doble natur Frode RønningR Voss

2 Geometriske begreper Hva kjennetegner geometriske begreper? Geometri er en logisk oppbygd struktur læren om det tredimensjonale rommet rundt oss (Hershkowitz( Hershkowitz,, 1990) En geometrisk figur har begrepsmessige egenskaper bygd påp definisjoner, aksiomer, logisk utledede egenskaper er et visuelt bilde (Fischbein( Fischbein,, 1993) A geometrical figure is not a mere concept. It is an image, a visual image. It possesses a property that usual concepts do not possess, namely, it includes the mental representation of space property. (Fischbein( Fischbein,, s. 141) 2

3 har to funksjoner: Matematiske tegn Semiotisk: Et tegn er noe som står r for noe annet et objekt Epistemologisk: Tegnet inneholder kunnskap om det objektet det står r for Objekt/ referanse Tegn/ symbol Det matematiske begrepet er verken tegnet eller objektet som det står for. Begrep (Steinbring, 2006) 3

4 Objektene som studeres i geometri har påp samme tid både romlige egenskaper (form, plassering, størrelse, farge) og idealiserte, begrepsmessige egenskaper. På grunnlag av dette kaller Fischbein dem for figurlige begreper. What we assume is that, in the special case of geometrical reasoning, one has to do with a third type of mental objects which simultaneously possess both conceptual and figural properties. (Fischbein( Fischbein,, s. 144) Slutninger trekkes med støtte tte i (den idealiserte) figuren. De figurlige egenskapene kan ha større eller mindre innvirkning påp en persons begrepsoppfatning. Begrepsbildet som dannes avhenger av eksemplene som er til rådighet, og er dermed foranderlig. (Tall & Vinner, 1981) 4

5 Definisjoner Definisjoner av matematiske begreper er utviklet over lang tid for å oppnå en sås presis beskrivelse som mulig. Definisjoner er til en viss grad tilfeldige. Hvilke egenskaper man m tar med i definisjonen er gjenstand for valg. Barn utvikler innhold i begreper påp basis av erfaringer. Egne erfaringer kobles til andres erfaringer, og begreper utvikles i et sosialt fellesskap. Dette kan føre f til et begrepsbilde som ikke samsvarer med den aksepterte definisjonen. This difficulty in manipulating figural concepts, that is, the tendency to neglect the definition under the pressure of figural constraints, represents a major obstacle in geometrical reasoning (Fischbein,, s. 155) 5

6 Krav til en definisjon Absolutte krav: Ikke inneholde motsigelser Ha en entydig tolkning Ikke være v sirkulær r dersom den baserer seg påp tidligere definerte begrep Mindre absolutte krav: Være minimal (Zaslavski & Shir,, 2005) 6

7 Hva er en akseptabel definisjon? 1. Et kvadrat er et rektangel med fire like sider 2. Et kvadrat er et parallellogram med diagonaler som er like og som står r normalt påp hverandre 3. Et kvadrat er en mangekant med fire sider der alle sidene er like lange og alle vinklene er like store. Hvilke(t) ) av disse utsagnene aksepterer du som definisjon av et kvadrat? Av de du aksepterer, hvilket liker du best? Undersøkelse gjort blant elever påp videregående ende skole nivå (Shir & Zaslavski,, 2002) 7

8 1. Et kvadrat er et rektangel med fire like sider 2. Et kvadrat er et parallellogram med diagonaler som er like og som m står r normalt påp hverandre 3. Et kvadrat er en mangekant med fire sider der alle sidene er like e lange og alle vinklene er like store. Utsagn 3 har for mange detaljer Liker ikke 1 og 2 fordi de refererer til andre begreper ( du måm vite hva en rombe er ) 1 og 2 er korrekte, men de er ikke en definisjon Du ser sidene, ikke de vinkelrette diagonalene. Diagonalene er en egenskap ved kvadratet (ikke en definisjon) Sider og vinkler bygger kvadratet, ikke diagonalene (Shir & Zaslavski,, 2002) 8

9 Hva er en akseptabel definisjon? Matematiske hensyn Er definisjonen korrekt? Kommunikative hensyn Er formuleringen klar, forståelig? Figurative hensyn Det gjøres forskjell påp hvilke deler av objektet definisjonen refererer til vesentlige eller latente deler av objektet (Shir & Zaslavski,, 2002; Zaslavski & Shir,, 2005) 9

10 Barns arbeid med geometriske begreper Sortere, klassifisere og sette navn påp geometriske figurer. Arbeide med definisjoner. Lage begreper ut fra observerte egenskaper. Beskrive karakteristiske egenskaper ved en rombe. Hvilke spesielle egenskaper har et kvadrat? Vanlig definisjon av rombe: En firkant der alle sidene er like lange. Sidene utgjør r de vesentlige delene av objektet rombe. 10

11 Hva er forskjellen påp en rombe og et kvadrat? Elever (6-7 år) arbeider med å sette navn påp og kjenne igjen geometriske figurer 11

12 Noen punkter fra dialogen Sammenligning av rombe og kvadrat It is a bit wider (#8). It is fatter (#15). It s s kind of ah tipped that way, and then it looks like a rhombus, but it is actually a square tipped that way again (#13) Umm, the umm, the rhombus has got umm a longer line going down and then (#27) Longer points (#29) If we tilted it sideways OK it wouldn t t look, it wouldn t t be a square (#32) Elevene har en helhetlig (Gestalt) oppfatning av romben Elevene ser diagonalene i romben (latente( deler) 12

13 Hvilken gruppe hører h sirkelen med i? Elevene skal sortere figurene i grupper 13

14 Noen punkter fra dialogen Utgangspunkt: Sortere ut fra antall sider Hvor hører h sirkelen hjemme? No sides (#18) Might say one (#20) Because there is just one circle there, and there aren t t any points (#22) It s s like one side, which never stops (#24) Sammenheng mellom antall sider og antall hjørner Behovet for å avgrense til rette sidekanter Hva er fornuftige sorteringskriterier? 14

15 Referanser Fischbein,, E. (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, 24(2), Heath, T.L. (1956). The thirteen books of Euclid s s elements with introduction and commentary. New York: Dover. Hershkowitz,, R. (1990). Psychological aspects of learning geometry. I P. Nesher & J. Kilpatrick (red.), Mathematics and cognition (s ). Cambridge: Cambridge University Press Shir,, K., & Zaslavsky,, O. (2002). Students conception of an acceptable geometric definition. I A. D. Cockburn & E. Nardi (red.), Proceedings of the 26th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, s ). 208). Norwich, UK: PME. Steinbring,, H. (2006). What makes a sign a mathematical sign? An epistemological perspective on mathematical interaction. Educational Studies in Mathematics, 61, Tall, D., & Vinner,, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, Zaslavsky,, O., & Shir,, K. (2005). Students conception of a mathematical definition. Journal for Research in Mathematics Education, 36(4),