Elevers beskrivelse og løsning av kombinatoriske problemer

Transkript

1 Elevers beskrivelse og løsning av kombinatoriske problemer Oda Tingstad Burheim Charlottenlund skole Frode Rønning Institutt for matematiske fag NTNU Kunnskap for en bedre verden

2 Mål for prosjektet: Få større kunnskap om læringsmiljøets betydning for utvikling av matematisk tenking og forståelse Utvikle elevenes evne til å framstille matematikk, muntlig og skriftlig, diskutere matematikk, begrunne hvorfor noe er riktig eller ikke Samarbeid mellom NTNU og to barneskoler Designet bygger på Teorien for didaktiske situasjoner (Brousseau, 1997) Kunnskap for en bedre verden 2

3 Fasene i en didaktisk situasjon Formulering Aksjon Analyse av målkunnskapen og oppgavedesign Devolusjon (overlevering) = lærer inaktiv Institusjonalisering Validering Kunnskap for en bedre verden 3

4 Hva er kombinatorikk? Det å finne ut hvor mange kombinasjoner man kan finne av elementer i gitte mengder, f.eks. Hvor mange forskjellige måter kan vi stille opp n gjenstander/personer i rekkefølge på? Hvor mange forskjellige måter kan vi plukke ut en svart og en hvit kule på dersom vi har n svarte og m hvite kuler? Hvor mange forskjellige måter kan vi plukke k elementer ut fra en samling av n elementer på? ordnet/uordnet, med/uten tilbakelegging Kan knyttes til en rekke praktiske/konkrete situasjoner Kombinatorikk er grunnlaget for sannsynlighetsregning Kombinatorikk innebærer en multiplikativ struktur Kunnskap for en bedre verden 4

5 Multiplikative strukturer To (sammensatte) enheter der den ene fordeles over elementene i den andre. Man må være i stand til å telle på den ene enheten. Den må være itererbar. (Steffe, 1994) Svaret blir det samme om man teller på den ene eller den andre enheten. Dette er kommutativitet for multiplikasjon. Men det er ikke sikkert at det (uten videre) gir mening i situasjonen å bytte om hvilken enhet man teller på. Altså behøver ikke situasjonen å være kommutativ selv om multiplikasjon som regneoperasjon er det. Kunnskap for en bedre verden 5

6 ll ll ll ll ll ll n n n n 3 barn har 4 lekebiler hver. Hvor mange lekebiler har de til sammen? Vi teller på enheten lekebiler. Det gir ikke mening å telle på enheten barn. Situasjonen er ikke kommutativ (Vergnaud, 1983) Kunnskap for en bedre verden 6

7 Tankemodeller for multiplikasjon Like grupper Gjentatt addisjon Multiplikativ sammenligning ganger så mange som Rate mål per enhet antall enheter Kartesisk produkt Antall kombinasjoner Rektangulært mønster/areal (Greer, 1992) Kunnskap for en bedre verden 7

8 Læreplanen om kombinatorikk Kompetansemål etter 4. trinn Tal: Mål for opplæringa er at elevane skal kunne utvikle og bruke varierte metodar for multiplikasjon, bruke dei i praktiske situasjonar Kompetansemål etter 7. trinn Statistikk og sannsyn: Mål for opplæringa er at elevane skal kunne vurdere og samtale om sjansar i daglegdagse samanhengar, spel og eksperiment og berekne sannsyn i enkle situasjonar Kompetansemål etter 10. trinn Statistikk, sannsyn og kombinatorikk: Mål for opplæringa er at elevane skal kunne drøfte og løyse enkle kombinatoriske problem Kunnskap for en bedre verden 8

9 Oppgave, dag 1 Kunnskap for en bedre verden 9

10 Oppgave, dag 2 Kunnskap for en bedre verden 10

11 Til diskusjon Hvordan vil dere begrunne for elever (på 4. trinn) at disse oppgavene kan løses ved multiplikasjon? Hvilke representasjoner vil dere velge som del av begrunnelsen? Hvordan tror dere elevene selv ville angripe oppgavene? Ville dere angripe de to oppgavene ulikt, eller tror dere elevene ville angripe dem ulikt? Hva skyldes i tilfelle ulikhetene? Kunnskap for en bedre verden 11

12 Besvarelser, dag 1 Kunnskap for en bedre verden 12

13 Skrive forklaring på metoden de brukte Kunnskap for en bedre verden 13

14 Kjennetegn på løsningene, dag 1 Variasjoner over rektangulære mønster, tre rader med fire elementer i hver rad Noen har én farge per rad Da vet de når de er ferdig, når de har brukt opp alle fargene (hver rad har fått én farge) Telleenheten er fargede pepperkaker Kunnskap for en bedre verden 14

15 Oppgave, dag 2 Kunnskap for en bedre verden 15

16 Besvarelser, dag 2 7 dager 15 dager Kunnskap for en bedre verden 16

17 Besvarelser, dag 2 15 dager 12 dager Kunnskap for en bedre verden 17

18 Besvarelser, dag 2 15 dager Kunnskap for en bedre verden 18

19 Kjennetegn på løsningene, dag 2 Større variasjon i valg av representasjoner Flere kommer ikke fram til riktig svar De er ikke sikre på når de er ferdige når har de fått med alle mulighetene? Telleenheten her er antrekk eller dager Kunnskap for en bedre verden 19

20 Ulikheter mellom de gitte oppgavene Oppgave 2: Vi starter med gensere og bukser, men det vi teller på er noe annet antall antrekk, eller dager en enhet som ikke var der i starten Vi vet ikke på forhånd når vi skal slutte å telle den enheten vi teller på har ubestemt størrelse Oppgave 1: Her starter vi med pepperkaker og farger, men det vi teller på er likevel pepperkaker, bare at de er farget. Vi har i større grad kontroll på når vi er ferdig Representasjonene for oppgave 1 viser i mye større grad en multiplikativ struktur rektangulært mønster Kunnskap for en bedre verden 20

21 Hvordan uttrykkes den multiplikative strukturen i oppgave 2? Roger: Vi har tenkt at vi kan ta alle genserne med alle buksene og alle buksene med alle genserne. Forsker: Har dere tenkt på hvor mange det vil bli? Roger: Femten. Fem gensere tre ganger, det blir femten. Forsker: Så dere tror det er ganger. Roger: Ja, fordi fem ganger tre er femten. Og det er fem gensere og alle fem genserne kan brukes tre ganger. Så da er det fem ganger tre. Kunnskap for en bedre verden 21

22 Hvordan uttrykkes den multiplikative strukturen i oppgave 2? Men Nora finner bare 12, og da blir Roger usikker. Roger: OK, så tolv. Du hadde rett, det var tolv, ikke femten. Nora: Ja, men. (hun finner to til) Roger: Å, kanskje vi har glemt enda flere. Ja, den der (peker på den svarte genseren), den har bare to. Så da er det femten. Jeg hadde rett! Kunnskap for en bedre verden 22

23 Samtale i lyttekrok om elevenes metoder = 18 Kunnskap for en bedre verden 23

24 Overgang fra tegning til multiplikasjon Kunnskap for en bedre verden 24

25 Kunnskap for en bedre verden 25

26 Kunnskap for en bedre verden 26

27 Kunnskap for en bedre verden 27

28 Hvorfor kombinatorikk tidlig i arbeidet med multiplikasjon? Lav inngangsterskel, konkrete situasjoner som alle elever kan forestille seg. Alle kan derfor arbeide med oppgavene ved hjelp av tegning og telling. Tydelig overgang fra det konkrete til multiplikasjon, via naturlig språk og tegning. Variasjon i modeller for multiplikasjon i innlæringsfasen gir rikere innhold i forståelsen av multiplikasjon: Elever kan allerede på småtrinnet vite og snakke om at multiplikasjon kan brukes i forskjellige situasjoner: like grupper, kombinasjoner, ganger så mange som, areal, mål per enhet antall enheter. Når kombinatorikk faktisk innføres (først på trinn) vil problemene det knyttes til ikke representere noen utfordring for elevene. Kunnskap for en bedre verden 28

29 Lærebøker for 6. trinn Kunnskap for en bedre verden 29

30 12 trekk med tilbakelegging 3 muligheter i hvert trekk Rekkefølgen er viktig 7 trekk uten tilbakelegging 34 muligheter i første trekk Rekkefølgen er ikke viktig 5 trekk med tilbakelegging 10 muligheter i hvert trekk Rekkefølgen er viktig Hvilket spill har størst vinnersjanse? Kunnskap for en bedre verden 30

31 Referanser Brousseau, G. (1997). The theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathématiques, (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland & V. Warfield, Red. & Overs.). Dordrecht, Nederland: Kluwer. Greer, B. (1992). Multiplication and division as models of situations. I D. A. Grouws (red.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (s ). New York, NY: Simon and Schuster Macmillan. Steffe, L. P. (1994). Children s multiplying schemes. I G. Harel & J. Confrey (red.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (s. 3-39). Albany, NY: State University of New York Press. Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. I R. Lesh & M. Landau (red.), Acquisition of mathematics concepts and processes (s ). Orlando, FL: Academic Press. Kunnskap for en bedre verden 31